第2章 第14讲 函数与方程（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数与方程”专题，覆盖函数零点概念、零点存在定理、二分法等核心考点，通过教材经典题改编和高考真题实例，梳理零点判定、参数范围、嵌套零点等常考题型，对接高考评价体系，突出备考针对性。 课件以“知识梳理-题型突破-配套精练”构建复习体系，如例2通过数形结合判断零点个数，例4用换元法解决嵌套函数零点问题，培养学生数学思维与模型意识。分层训练与易错点分析助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

第二章 基本初等函数 第14讲　函数与方程 1 知识梳理　体系构建 1．(教材经典题改编)f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是 (　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 【解析】 　　　　因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以f(x)在(2，3)内有零点． 又因为f(x)为增函数，所以函数f(x)有且只有1个零点． B 激活思维 知识梳理　体系构建 A．(3，4) 　　　　B．(2，3)　　　　C．(1，2) 　　　　D．(0，1) 【解析】 B 激活思维 知识梳理　体系构建 3．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 (　　) A．a>b>c　　　　B．b>c>a　　　　C．c>a>b　　　　D．b>a>c 【解析】 　　　　在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3及y＝－x的图象如图所示，由图象可知b>c>a. B 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 　　　　令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，作出函数f(x)的图象如图所示．由题可知函数y＝f(x)的图象和直线y＝m有3个交点，根据图象可得实数m的取值范围是(0，1). (0，1) 激活思维 知识梳理　体系构建 1．函数零点 (1) 概念：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的_________，即：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (2) 函数零点存在定理：①条件：(ⅰ) 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；(ⅱ) _____________<0. ②结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 横坐标 f(a)·f(b) f(c)＝0 聚焦知识 知识梳理　体系构建 2．二分法 (1) 对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2) 步骤：第一步：确定区间[a，b]，验证_____________，给定精确度ε； 第二步：求区间[a，b]的中点c； 第三步：计算f(c)：①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)). 第四步：判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤二到四． f(a)·f(b)<0 聚焦知识 知识梳理　体系构建 3．常用结论 (1) 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． (2) 由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 聚焦知识 知识梳理　体系构建 题型突破　能力进阶 目标 1 零点所在区间的判定 　　　已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝ (　　) A．－2　　　　B．－1　　　　C．0　　　　D．1 1 【解析】 　　　　因为函数f(x)＝e－x－2x－5是连续的减函数，f(－2)＝e2－1>0，f(－1)＝e－3<0，所以f(－2)·f(－1)<0，函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2． A 举题说法 题型突破　能力进阶 确定函数零点所在区间的方法：(1) 解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2) 利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3) 数形结合法：通过画函数图象，判断图象与x轴在给定区间上是否有交点． 总 结 提 炼 变式1　函数f(x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是 (　　) A．(0，1)　　　　B．(1，2) 　　　　C．(2，3)　　　　D．(3，4) 【解析】 　　　　函数f(x)＝x＋ln x－4的定义域为(0，＋∞)，因为f(x)在(0，＋∞)上连续且为增函数，且f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝－1＋ln 3>0，则f(2)·f(3)<0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是(2，3). C 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 2 零点个数的判定 　　　(2025·承德期末)已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且f(x)在[0，2]上的图象如图所示，则函数g(x)＝[f(x)－x]·[f(x)＋x＋1]的零点个数为 (　　) A．7　　　　B．6　　　　C．5　　　　D．4 2 【解析】 　　　　令g(x)＝[f(x)－x][f(x)＋x＋1]＝0，得f(x)＝x或f(x)＝－x－1.如图，画出f(x)在[－2，2]上的图象与直线y＝x，直线y＝－x－1. 由图可知，f(x)的图象与直线y＝x有5个公共点，f(x)的图象与直线y＝－x－1仅有1个公共点，则g(x)的零点个数为5＋1＝6. B 举题说法 题型突破　能力进阶 函数零点个数的判断方法：(1) 直接求零点．(2) 零点存在定理，应注意：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点．(3) 作出两函数的图象，观察其交点即得零点个数． 总 结 提 炼 【解析】 3 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 3 根据零点情况确定参数 视角1　根据零点个数求参数范围 【解析】 　　　　由F(x)＝f(x)＋g(x)恰有2个零点，得函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点．画出函数y＝f(x)的图象如图所示，平移直线y＝－x，当－a≤1，即a≥－1时，直线y＝－x－a与函数y＝f(x)的图象有2个交点． 3－1 C 举题说法 题型突破　能力进阶 视角2　根据零点所在区间求参数范围 　　　　　(2025·抚顺二模)若函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为 (　　) A．[－4，1)　　　B．(－4，1] 　　　C．[－1，4)　　　D．(－1，4] 【解析】 D 3－2 举题说法 题型突破　能力进阶 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法 (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； (2) 值域法：将问题转化成求函数的值域问题加以解决； (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后利用数形结合求解． 总 结 提 炼 A．(－∞，1]　　　　B．(－∞，1) 　　　　C．[1，＋∞)　　　　D．(1，＋∞) 【解析】 　　　　由g(x)＝0，得f(x)＝－2x＋m，因此g(x)有一个零点，当且仅当函数y＝f(x)的图象与直线y＝－2x＋m有且仅有一个公共点． 函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，此时f(x)∈(0，1)；f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)∈R.在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝－2x＋m的图象如图所示， 举题说法 题型突破　能力进阶 观察图象知，当m<1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝－2x＋m有两个交点．当m≥1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝－2x＋m有1个交点，所以m的取值范围是[1，＋∞). 【答案】C 举题说法 题型突破　能力进阶 4 【解析】 　　　　画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数g(x)＝[f(x)]2－(m＋2)f(x)＋2m恰好有5个不同的零点，所以方程[f(x)]2－(m＋2)f(x)＋2m＝0有5个根． 设t＝f(x)，则方程化为t2－(m＋2)t＋2m＝0，易知此方程有两个不等的实根t1＝m，t2＝2. 微探究 嵌套函数的零点 举题说法 题型突破　能力进阶 【答案】A 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 　　　　令t＝f(x)，由f(f(x))＝2可得f(t)＝2.当t≤0时，由f(t)＝－t2－2t＝2，即t2＋2t＋2＝0，则Δ＝4－4×2<0，即方程t2＋2t＋2＝0无解； 4 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 对于嵌套函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下： (1) 确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； (2) 确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)； (3) 确定直线u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an. 总 结 提 炼 1．函数f(x)＝ln x与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为 (　　) A．3　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0 【解析】 　　　　由题知g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝ln x与g(x)＝(x－2)2的图象如图所示．由图可知，两个函数的图象有2个交点． B 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 C 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 3．若函数f(x)＝|ex－1|－b只有一个零点，则实数b的取值集合是______________． 【解析】 　　　　函数f(x)＝|ex－1|－b只有一个零点，即y＝|ex－1|的图象与直线y＝b只有1个交点． 作出y＝|ex－1|的大致图象与直线y＝b如图所示，由图可知，实数b的取值集合是{0}∪[1，＋∞). {0}∪[1，＋∞) 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 1 (0，27) 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．已知方程3x＋2x－10＝0的解在(k，k＋1)(k∈Z)内，则k＝ (　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 【解析】 　　　　设f(x)＝3x＋2x－10，则f(x)在定义域内单调递增，故f(x)在定义域内至多有一个零点． 因为f(1)＝3＋2－10＝－5<0，f(2)＝9＋4－10＝3>0，所以f(x)仅在(1，2)内存在零点，即方程3x＋2x－10＝0的解在(1，2)内，故k＝1. B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 　　　　当x<0时，由x2－2x＝8，得(x＋2)(x－4)＝0，所以x＝－2；当x>0时，由2x＝8，得x＝3.因为－2＋3＝1，所以方程f(x)＝8的所有根的和为1. A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 3．已知f(x)是定义在R上的函数，且有f(x＋1)＝f(x)＋1，当0<x≤1时，f(x)＝3x＋1，则方程f(x)＝4的根的个数为 (　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【解析】 　　　　因为f(x)是定义在R上的函数，且有f(x＋1)＝f(x)＋1，当0<x≤1时，f(x)＝3x＋1，所以当－1<x≤0时，0<x＋1≤1，则f(x)＝f(x＋1)－1＝3x＋3， 同理，当1<x≤2时，0<x－1≤1，f(x)＝f(x－1)＋1＝3x－1，当2<x≤3时，0<x－2≤1，f(x)＝f(x－2)＋2＝3x－3，当3<x≤4时，0<x－3≤1，f(x)＝f(x－3)＋3＝3x－5.作出函数f(x)的图象与直线y＝4如图所示，由图象可知，方程f(x)＝4的根的个数为3. C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 　　　　令[f(x)]2－5f(x)＋6＝0，解得f(x)＝2或f(x)＝3.作出y＝f(x)的图象如图所示，由图可知，直线y＝2与y＝f(x)的图象有3个交点，直线y＝3与y＝f(x)的图象有4个交点，所以原方程有7个解，即函数y＝[f(x)]2－5f(x)＋6有7个零点． C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 二、 多项选择题 7．已知函数f(x)＝x2－2|x|(x<a)，若函数F(x)＝f(x)－x存在两个零点，则a的取值可能是 (　　　) A．－1　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 【解析】 BCD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 CD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 　　　　依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有四个交点． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 当x∈(－∞，－1)时，函数f(x)为减函数，f(x)∈[0，＋∞)；当x∈(－1，0]时，函数f(x)为增函数，f(x)∈(0，1]； 当x∈(0，1)时，函数f(x)为减函数，f(x)∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数f(x)为增函数，f(x)∈[0，＋∞).结合图象可知，实数b的取值范围为(0，1]. 【答案】(0，1] 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 11．设函数f(x)＝ex＋ax2，g(x)＝a－e－x，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则实数a＝____. 【解析】 　　　　令h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)＝ex＋ax2－a＋e－x，定义域为R，因为h(－x)＝e－x＋ax2－a＋ex＝h(x)，所以h(x)为偶函数． 由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则h(x)只有唯一的零点0，所以h(0)＝1－a＋1＝0，解得a＝2. 2 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 B组　滚动小练 13．从A地到B地的距离约为300 km，经多次试验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的数据如下表： 为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是 (　　) v 0 40 60 80 120 Q 0 7 8 10 20 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 【答案】B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 【答案】C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 $