第2章 第9讲 函数奇偶性与周期性（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数奇偶性与周期性”核心考点，依据高考评价体系明确奇偶性判定、性质应用、周期性转化三大考查要求。通过教材经典题改编与近五年高考真题分析，归纳出奇偶性判断“定义域优先+定义验证”、周期性“公式转化+区间映射”等常考题型，体现备考的系统性与针对性。 课件亮点在于“真题溯源+题型建模+素养提升”策略，如以2023全国甲卷偶函数求参数题为例，提炼“特殊值代入+定义验证”突破方法，培养学生的数学思维与运算能力。配套精练涵盖选择、填空、解答题全题型，附易错点分析（如定义域对称忽略），助力学生掌握解题技巧，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

第二章 基本初等函数 第9讲　函数奇偶性与周期性 1 知识梳理　体系构建 BC A 激活思维 知识梳理　体系构建 3．(教材经典题改编)已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，那么下列说法正确的是 (　　) A．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－b)＝－m B．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－a)＝－m C．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－b)＝－m D．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－a)＝－m 【解析】 　　　　奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数． B 激活思维 知识梳理　体系构建 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值是______． 【解析】 　　　　由题知f(2)＝6，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－6. －6 【解析】 1 激活思维 知识梳理　体系构建 1．奇偶性 定义：若_____________，则f(x)为偶函数；若_______________，则f(x)为奇函数． 这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称． 性质：(1) 奇函数的图象关于_______对称，偶函数的图象关于______对称． (2) 若奇函数的定义域包含0，则必有f(0)＝____． (3) 在关于y 轴对称的两个区间内，奇函数单调性_______，偶函数单调性_______． (4) 一般地：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇，除法相同． (5) 复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外． (6) 既奇又偶的函数只有一个y＝0，但定义域可以有无数个． f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 原点 y轴 0 相同 相反 聚焦知识 知识梳理　体系构建 2．周期性 (1) 对定义域内的任意x，存在非零常数T(T>0)，使________________成立，则T为f(x)的周期； (2) 若T存在最小值，则该值为最小正周期． f(x＋T)＝f(x) 聚焦知识 知识梳理　体系构建 题型突破　能力进阶 目标 1 函数奇偶性的判定 　　　判断下列函数的奇偶性： 1 【解答】 　　　　f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　判断下列函数的奇偶性： 1 【解答】 　　　　f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x).故该函数为奇函数． 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　判断下列函数的奇偶性： 1 【解答】 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 总 结 提 炼 【解析】 　　　　对于A，函数的定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A错误； 举题说法 题型突破　能力进阶 【答案】C 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 2 函数奇偶性的应用 视角1　求值(解析式) 　　　　　(1) (多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则 (　　) A．f(0)＝0 B．g(x)＝xf(x)是奇函数 C．f(－1)＝7 D．当x<0时，f(x)＝－x2＋x－5 2－1 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 　　　　对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以根据奇函数性质可知，f(0)＝0，故A正确； 对于B，g(x)＝xf(x)的定义域为R，由于f(－x)＝－f(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，即g(x)为偶函数，故B错误； 对于C，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则f(1)＝7，故f(－1)＝－f(1)＝－7，故C错误； 对于D，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝x2－x＋5＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋x－5，故D正确． 【答案】AD 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 2－1 D 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(3) 已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋cx－4，f(10)＝6，则f(－10)＝_______． 【解析】 　　　　设g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则f(x)＝g(x)－4，且g(x)为奇函数，即g(－x)＝ －g(x). 又f(10)＝g(10)－4＝6⇒g(10)＝10，所以g(－10)＝－g(10)＝－10，所以f(－10)＝ g(－10)－4＝－10－4＝－14. －14 2－1 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 2－1 3 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(5) (2026·临沂期中)设函数f(x)的定义域为R，g(x)＝(x－1)f(x)，h(x)＝f(x)－x，若g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，则f(x)＝________． 【解析】 　　　　因为g(x)＝(x－1)f(x)为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即(－x－1)f(－x)＝ －(x－1)f(x). 又h(x)＝f(x)－x为偶函数，所以h(－x)＝h(x)，即f(－x)＋x＝f(x)－x，得f(－x)＝f(x)－2x.将f(－x)＝f(x)－2x代入(－x－1)f(－x)＝－(x－1)f(x)，得(－x－1)·(f(x)－2x)＝ －(x－1)f(x)，－xf(x)＋2x2－f(x)＋2x＝－xf(x)＋f(x)，2x2＋2x＝2f(x)，f(x)＝x2＋x. x2＋x 2－1 举题说法 题型突破　能力进阶 一个奇函数如果存在最值，那么最大值与最小值互为相反数． 总 结 提 炼 变式 2-1　(2026·连云港期中)已知函数f(x)，g(x)，h(x)的定义域都为R，其中f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)h(x)，g(x)＝h(x)－x3，则函数h(x)的最大值为 (　　) 【解析】 　　　　因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又由f(x)＝(x＋1)h(x)，得(－x＋1)·h(－x)＝－(x＋1)h(x)①. 因为g(x)是偶函数，所以g(－x)＝g(x)，又由g(x)＝h(x)－x3，得h(－x)＋x3＝h(x)－x3②. 举题说法 题型突破　能力进阶 【答案】D 举题说法 题型突破　能力进阶 2－2 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 【答案】B 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 【答案】A 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 3 函数的周期性 3 【解析】 D 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　(2) (2025·武汉2月调研)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，若f(1)＝2，f(11)＝3，则f(2 025)＝ (　　) A．1　　　　B．－1　　　　C．5　　　　D．－5 【解析】 　　　　由题意可得f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，用x＋1代替x可得f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，两式相加得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(11)＝f(5)＝3.又f(5)＝－f(2)，所以f(2)＝－3，所以f(3)＝f(2)－f(1)＝－3－2＝－5，所以f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝－5. 3 D 举题说法 题型突破　能力进阶 周期性的几个常用结论 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则： (1) f(x＋a)＝f(x＋b)⇒f(x)的周期T＝|b－a|； (2) f(x＋a)＝－f(x)⇒f(x)的周期T＝2a； (4) f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a； (5) f(x)·f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a. 总 结 提 炼 【解析】 B 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 B 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 B 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 A 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 4．设f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且满足f(－a2＋2a－5)<f(2a2＋a＋1)，则实数a的取值范围为___________． 【解析】 　　　　因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－a2＋2a－5)＝f(a2－2a＋5)，所以不等式等价于f(a2－2a＋5)<f(2a2＋a＋1). (－4，1) 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2025·泉州二检)已知定义在R上的函数f(x)＋1为奇函数，且f(－1)＝－2，则f(1)＝ (　　) A．－2　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．2 【解析】 　　　　因为函数f(x)＋1为奇函数，所以f(－x)＋1＝－[f(x)＋1]，即f(－x)＋f(x)＝－2.令x＝1，得f(－1)＋f(1)＝－2，又f(－1)＝－2，所以f(1)＝0. B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 3．(2026·苏州期初)设函数f(x)＝ln |x＋1|－ln |x－1|，则f(x) (　　) A．是偶函数，且在(1，＋∞)上单调递增 B．是奇函数，且在(－1，1)上单调递减 C．是偶函数，且在(－∞，－1)上单调递增 D．是奇函数，且在(－∞，－1)上单调递减 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 又f(－x)＝ln |－x＋1|－ln |－x－1|＝ln |x－1|－ln |x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故A，C错误； 【答案】D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4．已知f(x)是定义在[1－m，2m－3]上的偶函数，当x∈[0，2m－3]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x－2)>f(3x－2m)的解集是 (　　) 【解析】 　　　　因为f(x)是定义在[1－m，2m－3]上的偶函数，所以1－m＋2m－3＝0，所以m＝2. 因为当x∈[0，2m－3]时，f(x)单调递减，所以当x∈[0，1]时，f(x)单调递减．因为 f(x－2)>f(3x－2m)，m＝2，所以f(|x－2|)>f(|3x－4|)， 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【答案】C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 二、 多项选择题 6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则 (　　) A．f(0)＝0 B．g(x)＝xf(x)是奇函数 C．f(－1)＝7 D．当x<0时，f(x)＝－x2＋x－5 【解析】 　　　　对于A，B，因为f(x)是定义在R上的奇函数，根据奇函数性质可知，f(0)＝0，A正确； g(x)＝xf(x)的定义域为R，由于f(－x)＝－f(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，即g(x)为偶函数，B错误； 对于C，当ax>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则f(1)＝7，故f(－1)＝－f(1)＝－7，C错误； 对于D，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝x2－x＋5＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋x－5，D正确． AD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 7．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＋2＝f(x)＋f(y)，且当x>1时，f(x)>2，则下列说法正确的是 (　　) A．f(－1)＝2 B．f(x)为偶函数 C．f(－2 026)<f(－2 025) D．f(x)在(1，＋∞)上是增函数 【解析】 　　　　对于A，在f(xy)＋2＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝1，得f(1)＋2＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝2，再令x＝y＝－1，得f(1)＋2＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝2，故A正确； 对于B，令y＝－1，得f(－x)＋2＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，又f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是偶函数，故B正确； 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【答案】ABD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 2 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 9．(2025·新乡二模)若f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，f(2)＋g(2)＝20，且f(x)－xg(x)＝x3，则f(－2)＋5g(－2)＝____． 【解析】 　　　　依题意得f(2)－2g(2)＝8，又f(2)＋g(2)＝20，解得f(2)＝16，g(2)＝4，所以f(－2)＋5g(－2)＝－f(2)＋5g(2)＝－16＋20＝4. 4 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 0 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 12．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(1)＝－2，且x<0时，f(x)>0. (1) 判断并证明f(x)的奇偶性； 【解答】 　　　　令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，可得f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x). 又f(x)的定义域为R，图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 12．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(1)＝－2，且x<0时，f(x)>0. (2) 解关于t的不等式：f(t2－t－2)－f(t＋1)>－10. 【解答】 　　　　任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，于是f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1＋Δx)＝f(x1)－[f(x1)＋f(Δx)]＝－f(Δx). 因为Δx>0，所以－Δx<0，由题意知f(－Δx)>0.又f(x)为奇函数，所以f(－Δx)＝－f(Δx)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，从而f(x)在[0，＋∞)上单调递减． 因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在R上单调递减． 由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，可知f(5)＝5f(1)＝－10.所以不等式f(t2－t－2)－f(t＋1)>－10等价于f(t2－t－2)＋f(－t－1)＝f(t2－2t－3)>f(5)，所以t2－2t－3<5，解得－2<t<4.所以不等式的解集为{t|－2<t<4}． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 B组　滚动小练 13．(2026·南昌期初)已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大赛，问其比赛结果，他们回答如下：甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；丙：丁最后，甲第二．如果每个人的两个回答中，都恰有一个是正确的，而且没有并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名的依次是 (　　) A．丙、甲、丁、乙　　　　 B．丙、甲、乙、丁 C．甲、乙、丙、丁　　　　 D．甲、乙、丁、丙 【解析】 　　　　若甲说的“丙第一”正确，则乙的回答中只能“丁第三”正确，丙的回答中“甲第二”正确，此时获得第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙； 若甲说的“乙第二”正确，又没有并列名次，则乙的回答中只能“丁第三”正确，丙的回答中“甲第二”正确，此时第二名出现甲、乙并列，与题设矛盾，因此第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙． A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 14．(2026·南通如东期初)已知a，b>0，且ab＝a＋b＋3，则a＋4b的最小值是 (　　) 【解析】 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 三、 填空题 8．(2023·全国甲卷理)若y＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝____． 10．若函数f(x)＝在区间[－2 026，2 026]上的最大值为4，则最小值为____． $