第2章 第8讲 函数的单调性与最值（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性与最值”专题，依据高考评价体系梳理了单调性定义、复合函数单调性、最值求法三大核心考点，通过近五年高考真题分析明确单调性应用（比大小、解不等式、参数范围）占比60%、最值求法（单调性法、换元法等）占比40%的高频分布，归纳了定义法证明、分段函数单调性等常考题型。 课件亮点在于“真题引领+分层突破+素养提升”策略，以2021全国甲卷单调性判断、2025模拟题分段函数参数范围为例，指导“同增异减”法则、定义法作差变形等技巧，培养数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达），特设易错警示（如单调区间不能用“∪”连接）和变式训练，帮助学生掌握得分关键，教师可据此精准复习，提升备考效率。

第二章 基本初等函数 第8讲　函数的单调性与最值 1 知识梳理　体系构建 1．(教材经典题改编)已知y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为 (　　) A．[－1，3] B．[－1，2]和[4，5] C．[－1，2] D．[－3，－1]和[2，4] B 激活思维 知识梳理　体系构建 2．(教材经典题改编)(多选)下列函数在(0，＋∞)上为增函数的是 (　　　) A．f(x)＝－2x＋1　　　　 B．f(x)＝x2＋1 【解析】 　　　　对于A，f(x)＝－2x＋1是一次函数，所以f(x)在R上是减函数，故A错误； 对于B，因为f(x)＝x2＋1的对称轴为y轴，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故B正确； BCD 激活思维 知识梳理　体系构建 A．f(x)的最大值为2，最小值为0.4 B．f(x)的最大值为2，没有最小值 C．f(x)没有最大值，最小值为0.4 D．f(x)的最大值与最小值都没有 C 激活思维 知识梳理　体系构建 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为__________________________． 【解析】 (－∞，40]∪[160，＋∞) 激活思维 知识梳理　体系构建 5．已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在其定义域上单调递减，那么不等式f(x2)>f(2x＋3)的解集为___________________． 【解析】 (－1，0)∪(0，3) 激活思维 知识梳理　体系构建 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义   增函数 减函数 定义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A 当x1<x2时，都有_______________，那么就说函数f(x)在区间A上是增函数 当x1<x2时，都有_______________，那么就说函数f(x)在区间A上是减函数 图象 描述 自左向右看，图象是_________ 自左向右看，图象是_________ f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 上升的 下降的 聚焦知识 知识梳理　体系构建 (2) 复合函数的单调性 对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：___________． 同增异减 聚焦知识 知识梳理　体系构建 2．若函数f(x)与g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1) f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有_______的单调性． (2) f(x)与－f(x)的单调性_______． (3) 当a>0时，af(x)与f(x)的单调性_______；当a<0时，af(x)与f(x)的单调性_______． (6) f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上)简记为： ①↗＋↗＝↗；②↘＋↘＝↘； ③↗－↘＝↗；④↘－↗＝↘. 相同 相反 相同 相反 相同 相反 相同 聚焦知识 知识梳理　体系构建 3．常用结论 (1) 函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (2) 函数最值存在的两条结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到； ②开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值． 聚焦知识 知识梳理　体系构建 题型突破　能力进阶 目标 1 判断函数的单调性 视角1　基本初等函数单调性的直接判定 　　　　　(2021·全国甲卷文)下列函数是增函数的为 (　　) 【解析】 D 1－1 举题说法 题型突破　能力进阶 视角2　定义法证明函数单调性 【解答】 因为0≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，故f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[0，＋∞)上单调递增． 1－2 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(2) 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足：当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)f(b). ①求证：f(0)＝1； 【解答】 　　　　令a＝1，b＝0，则f(1)＝f(0)f(1)，又f(1)>1，所以f(0)＝1. 1－2 ②求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(2) 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足：当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)f(b). ③求证：f(x)是增函数． 【解答】 1－2 举题说法 题型突破　能力进阶 视角3　确定函数的单调区间 【解析】 　　　　由x2＋2x－8≥0，可得x≤－4或x≥2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－4]∪[2，＋∞). 1－3 (－∞，－4] 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(2) 函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为____________；函数g(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是____________． 【解析】 由x2－2x－8>0，得g(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数g(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内). 因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数g(x)的单调递增区间为(4，＋∞). 1－3 [2，＋∞) (4，＋∞) 举题说法 题型突破　能力进阶 (1) 求函数的单调区间时，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2) 函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． 易错警示：函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”． 总 结 提 炼 变式1　(2025·泉州模拟)函数g(x)＝x|x＋1|＋1的单调递减区间为____________. 【解析】 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 2 函数单调性的应用 视角1　利用单调性比大小 【解析】 D 2－1 A．a<b<c　　　　B．c<b<a　　　　C．b<c<a　　　　D．c<a<b 举题说法 题型突破　能力进阶 视角2　解抽象不等式 　　　　　(1) 若f(x)是定义在(－∞，0]上的减函数，则不等式f(2x＋3)≤f(x＋1)的解 集为___________. 【解析】 2－2 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(2) 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，若f(2)＝0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集是_________． 【解析】 　　　　因为定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． (1，2) 2－2 举题说法 题型突破　能力进阶 视角3　求参数的取值范围 【解析】 2－3 A．(1，＋∞)　　　　B．(－∞，2) 　　　　C．(1，2)　　　　D．(1，2] D 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 2－3 (－∞，－3] 举题说法 题型突破　能力进阶 利用单调性求参数的范围(或值)的方法 (1) 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； (2) 若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 总 结 提 炼 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 3 函数的最值(值域) 3 【解析】 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 3 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 3 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 3 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 求函数值域的主要方法 (1) 配方法：对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域问题，可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域(详见第10讲). (2) 单调性法：根据函数的单调性直接求最值． (3) 分离常数法：分子分母都是一次函数的情形，先分离常数，再利用反比例函数的图象求解． (4) 基本不等式法：详见第6讲． (6) 判别式法：将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用判别式求出y的取值范围或最值． 总 结 提 炼 A．[5，＋∞)　　　　 B．[6，＋∞) C．[7，＋∞)　　　　 D．[10，＋∞) 【解析】 题组 高频 强化 A 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 D 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 7或－1 举题说法 题型突破　能力进阶 “对勾”函数的图象与性质 微探究 “对勾”函数与“飘带”函数 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 “飘带”函数的图象与性质 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 　　　　当m＝0时，f(x)＝|x|(x≠0)，A有可能； 4 举题说法 题型突破　能力进阶 【答案】ABD 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 4 举题说法 题型突破　能力进阶 【答案】AD 举题说法 题型突破　能力进阶 1．(2023·北京卷)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是 (　　) 【解析】 　　　　对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【答案】C 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 A 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【答案】D 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 A．(－∞，－2]∪[1，＋∞) B．[－2，1] C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D．[－1，2] 【解析】 A 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 配套精练 练习1 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．函数y＝ln (－x2＋2x＋3)的单调递减区间是 (　　) A．(－1，1]　　　B．[1，3) 　　　C．(－∞，1]　　　D．[1，＋∞) B 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 A．(4，＋∞)　　　B．(0，4) 　　　C．(4，8)　　　D．(－∞，4) 【解析】 B 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 3．设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，则a的取值范围是 (　　) A．[－4，1)　　　　B．(1，4] 　　　　C．(1，2]　　　　D．(1，＋∞) 【解析】 　　　　因为函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，所以－4≤a＋1<2a≤4，解得1<a≤2. C 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【解析】 【答案】D 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【解析】 C 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 二、 多项选择题 6．下列函数中，在(2，＋∞)上单调的是 (　　) AC 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【解析】 　　　　作函数f(x)＝min{|x|，x＋1}的图象如图所示．对于A，根据图象可得f(x)无最大值，也无最小值，故A错误； 【答案】BC 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 三、 填空题 8．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为______________． 【解析】 　　　　因为f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，1－a]. 因为f(x)在(－∞，4]上是减函数，所以1－a≥4，可得a≤－3，即实数a的取值范围是(－∞，－3]. (－∞，－3] 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【解析】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【解析】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 四、 解答题 【解答】 (1) 求a，b的值； 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 (2) 利用单调性的定义证明函数f(x)在区间(0，2)上是减函数； 【解答】 因为0<x1<x2<2，所以x1－x2<0，0<x1x2<4，x1x2－4<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，2)上是减函数． 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 (3) 求函数f(x)在区间[1，3]上的最大值和最小值． 【解答】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 12．已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1. (1) 求f(1)和f(9)的值； 【解答】 　　　　由题知，f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，可得f(1)＝0.令x＝y＝3，则f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.故f(1)＝0，f(9)＝2. 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 12．已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1. (2) 解关于x的不等式：f(3x＋6)＋f(x)<2. 【解答】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【解析】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【答案】D 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 (　　) A．(2 025，＋∞)　B．(2 026，＋∞) 　C．(2 027，＋∞)　D．(1 014，＋∞) 【解析】 由f(1)＝2 026，得g(1)＝2 024，由f(x－2 026)>2(x－1 014)，得f(x－2 026)－2(x－2 026)>2 024，即g(x－2 026)>g(1)，则x－2 026>1，解得x>2 027，所以原不等式的解集为(2 027，＋∞). C 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 15．已知函数f(x)的定义域为R，对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)f(b)，当x<0时，f(x)>1，且f(0)≠0，若f(－2)＝4，则不等式f(5x2－12x)>16的解集是_____． 【解析】 　　　　因为对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(－2)＝4，且f(0)≠0，所以f(－4)＝[f(－2)]2＝42＝16，且f(0)＝f(0)f(0)⇒f(0)＝1. 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 配套精练 练习2 一、 单项选择题 【解析】 　　　　因为f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f(－2)＝f(2). D 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 A．[3，＋∞) B．(－∞，－5] C．(－∞，－5]∪[3，＋∞) D．[－1，＋∞) 【解析】 C 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 【解析】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 【答案】B 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 【解析】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 【答案】D 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a＞0时，f(x)的值域为R 【解析】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 【答案】BCD 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 A．当a＝1时，函数的值域为R B．若函数在R上单调递增，则a的取值范围是[－1，0] C．若f(1＋m2)≥f(2|m|)，则m≥1 D．f(f(0))＝e＋ln 2 【解析】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 因为函数y＝ex，y＝ln (x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝ex＋ln (x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，则f(x)＝ex＋ln (x＋1)≥f(0)＝1， 综上所述，函数的值域为(－∞，0]∪[1，＋∞)，故A错误； 对于C，因为1＋m2≥1，2|m|≥0恒成立，由A知，函数y＝ex＋ln (x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(1＋m2)≥f(2|m|)，即为1＋m2≥2|m|，即(|m|－1)2≥0恒成立，所以m∈R，故C错误； 对于D，因为f(0)＝1，所以f(f(0))＝f(1)＝e＋ln 2，故D正确． 【答案】BD 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 【解析】 　　　　因为对任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(1－x)，所以函数f(x)关于直线x＝2对称． 若f(m)>f(－1)，则|m－2|<|2－(－1)|，解得－1<m<5，故D正确． 【答案】ABD 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 三、 填空题 8．函数y＝x|x－4|的单调递减区间是_________． 【解析】 　　　　当x<4时，y＝－x(x－4)＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，所以该函数在(－∞，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减； 当x>4时，y＝x(x－4)＝(x－2)2－4，则该函数在(4，＋∞)上单调递增．综上，该函数的单调递减区间为(2，4). (2，4) 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 【解析】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 【解析】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 四、 解答题 【解答】 (1) 求f(x)的解析式； 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 (2) 判断f(x)在[3，＋∞)上的单调性并用单调性的定义证明； 【解答】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 (3) 若不等式f(m2＋3)>10恒成立，求m的取值范围． 【解答】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 【解答】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 【解答】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 【解答】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 解析式 y＝ax＋(a>0，b>0) y＝ax＋(a<0，b<0) 图象 定义域 (－∞，0)∪(0，＋∞) 解析式 y＝ax＋(a>0，b>0) y＝ax＋(a<0，b<0) 渐近线 y＝ax，x＝0 值域 (－∞，－2]∪[2，＋∞) 奇偶性 奇函数 单调性 在，上是增函数，在，上是减函数 在，上是增函数，在，上是减函数 解析式 y＝ax－(a>0，b>0) y＝ax－(a<0，b<0) 图象 定义域 (－∞，0)∪(0，＋∞) 渐近线 y＝ax，x＝0 值域 R 奇偶性 奇函数 单调性 在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数 在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数 对于B，由A知，函数y＝ex＋ln (x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，要使函数f(x)在R上单调递增，则解得－1≤a≤0，则a的取值范围是[－1，0]，故B正确； $