第1章 第5讲 一元二次不等式（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次不等式”专题，依据高考评价体系梳理了解不等式、三个二次关系、恒成立问题三大核心考点，通过近五年真题分析明确解不等式占45%、恒成立问题占30%的高频考点分布，归纳含参、分式、高次不等式等常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养提升”，如以2025新高考Ⅱ卷分式不等式为例，详解穿根法和等价转化，培养学生数学思维和符号表达能力。特设“易错警示”和“方法模板”，助力学生掌握分类讨论等突破策略，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第5讲　一元二次不等式 1 知识梳理　体系构建 1．(教材经典题改编)不等式3x2－7x≤10的解集为__________． 2．(教材经典题改编)不等式－3x2＋5x－4>0的解集为_____． 3．已知不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|3<x<4}，则a＝_______，b＝_____． 【解析】 ∅ (－3，0] 激活思维 知识梳理　体系构建 5．(教材经典题改编)如图，在长为8 m、宽为 6 m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度的取值范围是_________(单位：m)． 【解析】 [1，3) 激活思维 知识梳理　体系构建 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集 设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表：   Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 聚焦知识 知识梳理　体系构建 {x|x<x1或x>x2} R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 聚焦知识 知识梳理　体系构建 2．与一元二次不等式有关的恒成立问题 注意：对于不等式ax2＋bx＋c>0(<0)，求解时不要忘记a＝0时的情形． 聚焦知识 知识梳理　体系构建 3．分式不等式与整式不等式 4．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为_________________________，|x|<a(a>0)的解集为___________． f(x)g(x)>0(<0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－a，a) 聚焦知识 知识梳理　体系构建 题型突破　能力进阶 目标 1 解不等式 视角1　不含参的不等式 　　　　　解下列关于x的不等式． (1) －6x2－5x＋1<0； 【解答】 1－1 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　解下列关于x的不等式． 【解答】 1－1 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　解下列关于x的不等式． 【解答】 1－1 举题说法 题型突破　能力进阶 (1) 可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集． (2) 分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组． (3) 解高次不等式，先分解成若干个因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正，然后将每一个一次因式的根标在数轴上，最后从最大根的右上方依次通过每一点画曲线，并注意奇穿过偶弹回． 总 结 提 炼 视角2　含参的一元二次不等式 　　　　　解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R). 【解答】 1－2 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 　　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1) 二次项中若含有参数应讨论是等于0、小于0还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2) 当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3) 确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式． 总 结 提 炼 变式1　解下列关于x的不等式： (1) x2－(3m＋1)x＋2m2＋3m－2<0. 【解答】 　　　　由题意得x2－(3m＋1)x＋2m2＋3m－2＝x2－(3m＋1)x＋(2m－1)(m＋2)<0，得(x－2m＋1)(x－m－2)<0. 当2m－1<m＋2，即m<3时，由(x－2m＋1)(x－m－2)<0，得2m－1<x<m＋2；当2m－1＝m＋2，即m＝3时，(x－2m＋1)(x－m－2)<0无解；当2m－1>m＋2，即m>3时，由(x－2m＋1)(x－m－2)<0，得m＋2<x<2m－1. 综上，当m<3时，该不等式的解集为{x|2m－1<x<m＋2}；当m＝3时，该不等式的解集为∅；当m>3时，该不等式的解集为{x|m＋2<x<2m－1}． 举题说法 题型突破　能力进阶 变式1　解下列关于x的不等式： (2) ax2－x＋a<0(a<0). 【解答】 　　　　对于一元二次方程ax2－x＋a＝0，a<0，判别式Δ＝1－4a2. 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 2 三个二次之间的关系 　　　(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则 (　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 2 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 　　　　令f(x)＝ax2＋bx＋c，因为ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，所以f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，a>0，故A正确； 因为a>0，所以c＝－6a<0，由b＝－a得a＋b＋c＝c<0，故C错误； 【答案】AB 举题说法 题型突破　能力进阶 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系： (1) 若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2) 若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围． 总 结 提 炼 1．已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1或x>3}，则下列结论正确的是 (　　) A．a>0 B．c<0 C．a＋b＋c>0 题组 高频 强化 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 对于A，B，由a<0和b＝－2a，c＝－3a，可得b>0，c>0，故A，B均错误；对于C，a＋b＋c＝－4a>0，故C正确； 【答案】C 举题说法 题型突破　能力进阶 2．(2025·武汉期中)已知关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0恰有四个整数解，则实数a的取值范围是_____________________． 【解析】 　　　　不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－a)(x－1)<0.当a＝1时，不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅，不合题意； 当a>1时，不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为(1，a)，要使不等式x2－(a＋1)x＋a<0恰有四个整数解，则5<a≤6； 当a<1时，不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为(a，1)，要使不等式x2－(a＋1)x＋a<0恰有四个整数解，则－4≤a<－3. 综上可得，实数a的取值范围是[－4，－3)∪(5，6]. [－4，－3)∪(5，6] 举题说法 题型突破　能力进阶 3．已知二次函数y＝x2－2ax＋b2的最小值为0，若关于x的不等式x2－2ax＋b2＜c的解集为(t，t＋4)，则实数c的值为____． 【解析】 4 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 3 一元二次不等式恒成立问题 　　　(1) 如果关于x的不等式ax2－ax＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围为_________． 3 【解析】 [0，4] 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　(2) 若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则实数a的最小值为______． 【解析】 3 －4 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　(3) (变更主元)若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题， 则实数x的取值范围为__________________． 【解析】 　　　　命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则其否定为真命题，即“∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题． 3 举题说法 题型突破　能力进阶 (1) 解决恒成立问题时，可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数． (2) 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方． (3) 解决不等式在给定区间上的恒成立问题，也可先求出相应函数在这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题． 总 结 提 炼 变式3　设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1) 若对一切实数x，f(x)<0恒成立，则m的取值范围是___________； 【解析】 (－4，0] 举题说法 题型突破　能力进阶 变式3　设函数f(x)＝mx2－mx－1. (2) 若当x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5恒成立，则m的取值范围是_______． 【解析】 举题说法 题型突破　能力进阶 方法二：当1≤x≤3时，f(x)<－m＋5恒成立，即当1≤x≤3时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立． 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 C 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 2．(2025·南昌模拟)若关于x的不等式x2－4x>a2－5a在区间[0，4]内有解，则实数a的取值范围是 (　　) A．(0，5) B．(1，4) C．(－∞，0)∪(5，＋∞) D．(－∞，1)∪(4，＋∞) 【解析】 　　　　因为x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[0，4]，所以当x＝0或x＝4时，x2－4x取得最大值0. 因为关于x的不等式x2－4x>a2－5a在区间[0，4]内有解，所以a2－5a<0，即a(a－5)<0，解得0<a<5. A 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 A．a<0 B．a2＋b2＝5 C．关于x的一元二次不等式bx2＋ax－1≥0的解集为∅ D．函数f(x)＝xa为其定义域上的减函数 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 bx2＋ax－1≥0即为－x2－2x－1≥0，即x2＋2x＋1≤0，解得x＝－1，故C错误．f(x)＝xa＝x-2，则函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，且在定义域上不单调，故D错误． 【答案】AB 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 1 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 配套精练 A．[－3，1)∪[2，＋∞) B．(－∞，－3]∪(1，2] C．[－3，1)∪(1，2] D．(－∞，－3]∪[2，＋∞) 【解析】 A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 2．(2025·金华模拟)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)，则对函数f(x)＝ax2＋bx＋c，下列不等式成立的是 (　　) A．f(4)>f(0)>f(1)　　　　 B．f(4)>f(1)>f(0) C．f(0)>f(1)>f(4)　　　　 D．f(0)>f(4)>f(1) 【解析】 A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 5．若关于x的不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为 (　　) A．(6，7]　　　B．[－1，0) 　　　C．[－1，0)∪(6，7]　　　D．[－1，7] 【解析】 　　　　不等式x2－(m＋3)x＋3m<0可化为(x－3)(x－m)<0. 当m>3时，不等式的解集为(3，m)，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以6<m≤7； 当m＝3时，不等式的解集为∅，此时不符合题意； 当m<3时，不等式的解集为(m，3)，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以－1≤m<0. 综上可知，实数m的取值范围是[－1，0)∪(6，7]. C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 (　　) A．a>0　　　　 B．c<0 C．a＋b>0 D．关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为(－3，－1) 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 不等式cx2＋bx＋a>0即为cx2－4cx＋3c>0，x2－4x＋3<0，解得1<x<3，故D错误． 【答案】BC 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 7．已知ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，3)，则下列说法正确的是 (　　　) A．a>0 D．当c＝2时，f(x)＝3ax2＋6bx，x∈[n1，n2]的值域是[－3，1]，则n2－n1的取值范围是[2，4] 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 　　　　对于A，由题意可知－2，3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a<0，故A错误． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 因为f(x)＝3ax2＋6bx，x∈[n1，n2]的值域是[－3，1]，所以f(x)在[n1，n2]上的最小值为－3，最大值为1，从而n1＝－1，1≤n2≤3，或－1≤n1≤1，n2＝3，因此2≤n2－n1≤4，故D正确． 【答案】BCD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 (－∞，－1)∪(1，5) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 9．已知f(x)＝x2－x＋1，当x∈[－1，2]时，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的 取值范围为_____________. 【解析】 　　　　由题意可得x2－x＋1>2x＋m对任意的x∈[－1，2]恒成立，即m<x2－3x＋1对任意的x∈[－1，2]恒成立． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 10．某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s＝0.21v＋0.006v2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于39 m，则这辆汽车刹车前的车速至少为_____km/h. 【解析】 　　　　根据题意，有s＝0.21v＋0.006v2≥39，整理得6v2＋210v－39×1 000≥0，解得v≥65或v≤－100(舍去)，所以这辆汽车刹车前的车速至少为65 km/h. 65 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 四、 解答题 11．解关于x的不等式：ax2＋2x＋1>0(a∈R). 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 ②当Δ＝0，即a＝1时，不等式为x2＋2x＋1＝(x＋1)2>0，解得x≠－1，即不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)； ③当Δ<0，即a>1时，ax2＋2x＋1>0恒成立，即不等式的解集为R. 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 12．设函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2. 【解答】 (1) 若不等式f(x)≥－2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 12．设函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2. 【解答】 (2) 解关于x的不等式：f(x)<a－1(a∈R). 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 13．已知关于x的不等式kx2－(2k＋1)x＋2<0的解集为A，其中k∈R. 【解答】 (1) 若A＝{x|1<x<2}，求k的值． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 13．已知关于x的不等式kx2－(2k＋1)x＋2<0的解集为A，其中k∈R. 【解答】 　　　　原不等式即为(kx－1)(x－2)<0.当k＝0时，原不等式即为x－2>0，解得x>2，此时A＝{x|x>2}； (2) 求不等式的解集A. 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 13．已知关于x的不等式kx2－(2k＋1)x＋2<0的解集为A，其中k∈R. 【解答】 (3) 是否存在实数k，使上述不等式的解集A中恰有3个整数？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实数根 x1，x2(x1<x2) 有两个相等实数根x1＝x2＝－ 无实 数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ______________________ {x|x≠－} ____ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ___________________ _____ _____ $