江苏徐州市第一中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段性测试数学试卷

高二年级第二次阶段性测试 数学试卷 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．使不等式成立的一个充分不必要条件为（ ） A． B． C． D． 3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 4．对于实数，，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则，．其中真命题的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．若的展开式中常数项是10，则（ ） A． B． C． D． 6．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A． B． C． D． 7．古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立．在甲获得冠军的条件下，比赛进行了四局就结束的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知，若，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．除以6所得余数为1 D． 10．已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 11．在棱长为的正方体中，点在底面内（含边界），为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A．满足平面的点的轨迹长度为2 B．若点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为 C．的最小值为 D．若平面，则点是上靠近点的四等分点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．甲、乙、丙3人排成一行，其中甲不排在第1位，乙不排在第2位，丙不排在第3位，则共有____________种不同的排法． 13．某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从正态分布，且，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为____________． 14．如图，在多面体中，，分别在平面的两侧，且平面平面，平面平面，，若四边形是边长为的正方形，（），则二面角余弦值的取值范围为____________． 四、解答题：本题共有5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 设． （1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （2）若，解关于的不等式． 16．（本小题满分15分） 已知函数（a为常数）， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）不等式在上有解，求实数a的取值范围． 17．（本小题满分15分） 为了了解一定范围内高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下表）． 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 60 75 80 95 105 （1）求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； （2）该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，请求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为80分钟时的数学成绩． （附：， ，， ，，，） 18．（本小题满分17分） 如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19．（本小题满分17分） 一袋中共有个乒乓球，其中有个黄球，个白球，这些乒乓球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出黄球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个黄球放入袋中，重复上述过程次后，袋中黄球的个数记为． （1）求随机变量的分布列及数学期望； （2）设，，求； （3）求随机变量的数学期望关于的表达式． 学科网（北京）股份有限公司 $高二年级第二次阶段性测试 数学试卷 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.A2.D3.D4.A5.C6.B7.D8.C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.BCD 10.AD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.213.0.4096 14. 四、解答题：本题共有5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 解：(1)当m≤0时不满足题意， 2分 所以m>0,且△=(1-m)2-4m(m-2)≤0 4分 房以m32g 3 6分 (2)由题设mr+(1-m)x+m-2<m-1,则mr2+(1-m)x-1=(m+l(x-l)<0, x+(x-)>0 若m<0,则m 7分 11 当m,即m=-l时，解集为（∞，小U(,o∞）， 8分 1 >1 当m,即-1<m<0时，解集为 a(an 10分 自商) 1<1 12分 综上，-1≤m<0时解集为 13分 16.(本小题满分15分) 保we=+装-草 re)=2+吃.fo)-4 2分 2=a小3装-2小2+ra2 4分 -a≥x-xnx在 6分 ◆=e=fm 与6.g0,o上8 当x∈(L,4]时，8()<0，g(x)在（，4]上单调递减， 8分 因为 )+520，g4-82<0 10分 所以8(6r)m=g(4)=4-81n2 12分 所以a≥4-8n2,故实数a的取值范围是[4-8h2,+o） 15分 17.(本小题满分15分) x=30+40+50+60+70-502y=415 解：(1)因 -2-415=3 5 3分 ∑x=302+402+502+602+702=13500 4分 位-5区- 5分 21850-5×50×83 11001100 V13500-5×2500)35675-5×83x83) 1001231109. ≈0.992 7分 -5x-y 6=士 1100 1100 =1.1 -1 (2)由 立 1000 1000 (或者 2- 9分 a=y-6x=83-1.1x50=28 11分 故得y=1.1x+28 13分 当x=80时，y=116, 故预测每天课后自主学习数学时间达到80分钟时的数学成绩为116分. 15分 18.(本小题满分17分) 解：(1)四边形ABCD是正方形，∴.AD⊥DC, 1分 :AD⊥DE,DC∩DE=D,AD⊥平面CDEF, 3分 :ADC平面ABCD,.平面ABCD⊥平面CDEF 4分 (2)过点E作EO⊥DC于O,由(1)知EO⊥平面ABCD, 四边形CDEF是等腰梯形，∠CDE三6O°EF=CD ,CD=4, D0=1,E0=V5 6分 作OMIIDA,以O为坐标原点，分别以OM、OC、OE所在直线为x、'、z轴，建立如图所示的空 间直角坐标系0-2， 7分 .0(0,0,0),A(4,-1,0.B(4,3,0).C(0,30).F(0,25) CB=DA=(40,0）.DE=(0,15) m.DA=0 「4x=0 设平面ADE的一个法向量m=(x,2),则m:D正=0，即y+V5z=0, 令2=1，m=(0,-5,) 9分 又"Ac=(44,0）AF=(4,3,5) n:AC=0「 -4x+4y=0 同理设平面4CF的一个法向量m=(:,,),则：AF=0,即-4x+3y+52,=0, 11分 ..cos(mn) m.n V3+ 3--V7 7 13分 √42 故平面ADE与平面AFC所成角的正弦值为7， 14分 (3)设点B到平面AFC的距离为d, 由(2)知CB=(4,0,0）,平面ACF的一个法向量 CB.n 4 4V21 .d= 7 1+1+3 17分 19.(本小题满分17分) 3 4 解：(1)当n=1时，取出的是黄球的概率为7，取出的是白球的概率为7， 由题意可知：X2的可能取值为3,4,5，则有： P0X=0.P=-.P心x=列-报 所以X2的分布列为 X2 3 5 9 4 12 49 7 49 X2的数学期 E(x2)=3×9+4x4+5x12-199 49 7 4949 4分 (2)当k=0时，即第n次操作后袋中有3个黄球，白球4个， 3 所以 (X1=3+0)=7P 5分 当k=1,2,3,4时，第n+1次操作后袋中有3+k个黄球的可能性有两种： ①第n次操作后袋中有3+k个黄球，白球4-k个， 3+k 第1+1次取出来的也是黄球，这种情况发生的概率为7P,k=123,4。 7分 ②第n次操作后袋中有3+(k-)个黄球，白球5-k个， 5-k 第n+1次取出来的是白球，这种情况发生的概率为7P,囊=12,3,4。 9分 P心X=3+约=35号n+5A=234 10分 3 7P,k=0 P(X1=3+k)= 3+k,5-k 综上所述： 7 P+7Pk=l12,34 11分 (3)因为P(X.=3+k)=R,k=0,123,4 所以B+R+B+B+P=1,E(X)=3R+4P+5E+6E+7P 12分 3 P(XH=3)=7P】 P(X=4-A+月 P(X5) 5 又 PX=0)-号+9APXn=7)-+7A. 6 7 所以 x)-+4传a+号r5a+6号n+9n小-a+号aj -（6那+4+5那+6B+7P)+(化+R+月+B+B) 9Ex)1 14分 E(Kn)-7=9（E(X)-7） 由此可知， .X)-EX)-1=40 E(X)=199 25 7 E(Xi)-7_6 24 6 六EX)-77,{E(X,)-7}是以7为首项，7为公比的等比数列. 0x)129=4 Ex)-7-49) 17分