3.1 函数的概念及其表示·专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数概念核心，以定义域、解析式、分段函数为逻辑主线，通过6类题型实现从具体到抽象的层级突破，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |具体函数定义域|3题|含根式、分式等具体函数|概念基础，从实例感知定义域约束| |抽象（复合）函数定义域|4题|已知f(x)定义域求f(g(x))定义域|从具体到抽象，强化对应关系理解| |定义域求参数|3题|含参数的定义域为R或特定范围|深化定义域与参数的逻辑关联| |函数解析式求解|6题|换元法、待定系数法等|函数表示核心技能，连接概念与应用| |分段函数求值|4题|直接与逆向求值|分段函数基础应用，培养符号意识| |分段函数方程不等式|5题|方程求解与不等式证明|综合应用，提升推理能力与问题解决能力|

§3.1 函数的概念及其表示·专项训练 目录 题型1：具体函数的定义域 2 题型2：抽象（复合）函数的定义域 3 题型3：根据定义域求参数 5 题型4：函数解析式的求解 6 题型5：分段函数求值 9 题型6：与分段函数有关方程、不等式的求解 11 题型1：具体函数的定义域 【例1.1.】 函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【详解】由于偶次根号下的被开方数非负，则，即， 因为是增函数，解得； 另外，由分母不为零得，解得. 综上，定义域为 【例1.2.】 函数的定义域为______. 【答案】 【难度】0.86 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 【例1.3.】 函数的定义域为_____________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】具体函数的定义域、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【详解】根据二次根式与对数函数有意义的条件可得，解之可得，，时，不等式解集为 ，故的定义域为，故答案为. 题型2：抽象（复合）函数的定义域 【例2.1.】 函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据零指数幂底数不为零以及抽象函数的定义域的求解方法得到结果. 【详解】已知函数的定义域为，又函数， 则且 解得且. 所以函数的定义域为. 故选：A. 【例2.2.】 （1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______； （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、抽象函数的定义域 【分析】（1）根据抽象函数定义域的解法，列出不等式求解即可； （2）先求出的范围，可得的定义域，然后根据抽象函数定义域的解法，列出不等式求解的定义域． 【详解】（1）函数的定义域为， 由，解得， 所以函数的定义域为． （2）函数的定义域为， 则，可得的定义域为． 由，即且， 即且，解得或． 所以函数的定义域为． 【例2.3.】 若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【详解】要使函数有意义，则，解得，取交集得． 【例2.4.】 已知函数，则函数的定义域为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】由根式和分式的性质求原函数的定义域，进而有，即可得. 【详解】由题设，且， 对于有且， 所以函数定义域为. 故答案为： 题型3：根据定义域求参数 【例3.1.】 函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知函数的定义域求参数 【分析】时直接代入；时利用可得答案． 【详解】因为函数的定义域为， 所以关于的方程无实数解， 当时，显然无解，符合题意； 当时，则，解得． 综上可得． 故选：D． 【例3.2.】 若的定义域为，则的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意，转化为，对恒成立求解. 【详解】因为的定义域为， 所以，对恒成立， 当时，，不符合题意； 当，解得， 综上的取值范围是 ， 故答案为： 【例3.3.】 若函数定义域为，则实数_______实数b的取值范围_______． 【答案】 2 【难度】0.85 【知识点】已知函数的定义域求参数 【分析】利用函数的定义域求解即可. 【详解】函数，故，即 函数的定义域为，故. 故答案为：2； 题型4：函数解析式的求解 【例4.1.】 已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 【例4.2.】 定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式、函数方程组法求解析式 【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值. 【详解】因为，① 令，可得.② ①×2－②得，所以.所以. 故选：B. 【例4.3.】 已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】已知函数类型求解析式、待定系数法 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或． 【例4.4.】 已知函数，则函数的解析式是___________． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用配凑法求抽象函数解析式即可． 【详解】，且， 所以，． 故答案为：，． 【例4.5.】 已知函数满足，则的解析式为___________. 【答案】f(x)=2x 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】利用换元法，用方程组思想求得，然后用配凑法得出． 【详解】根据题意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x， 用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…① 用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…② ①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12， ∴f(x+1)=2x2(x+1)， f(x)=2x， 故答案为：f(x)=2x. 【例4.6.】 已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】根据所给关系式利用赋值法求出，推得和，联立计算即得. 【详解】因为， 令得，所以； 当时， 令得，则①， 又②， 用替换可得③， 由②③，可得， 将①式代入，可得， 又，两式相加，整理得， 显然当时也成立， 所以. 故答案为： 题型5：分段函数求值 【例5.1.】 已知函数，则为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数幂的运算、对数的运算 【详解】， . 所以 【例5.2.】 已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【详解】当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，或. 【例5.3.】 已知函数，则____________. 【答案】2 【难度】0.89 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、特殊角的三角函数值 【分析】根据分段函数解析式代入求解即可. 【详解】由，可得， 由，可得， 由，可得，故， 因此. 【例5.4.】 设函数，则_____，_____． 【答案】 26 37 【难度】0.85 【知识点】求分段函数值 【分析】根据函数解析式直接求解即可 【详解】因为， 所以， ， 故答案为：26，37 题型6：与分段函数有关方程、不等式的求解 【例6.1.】 已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量、根据函数的单调性解不等式、求分段函数值 【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数 ，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和. 【详解】若，则，因为函数在单调递增， 且，所以方程无解； 若，，则， 得到，即， 整理得，解得（舍）或； 若，因为函数在单调递减， 且，所以方程无解； 综上，，， 所以，. 故选：B. 【例6.2.】 设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【详解】因为，故，故， 而，故，故， 而即为或，故或， 故不等式的解集为. 【例6.3.】 已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、解分段函数不等式 【分析】先分区间求解的解集，结合函数单调性确定x的范围后，再代入解关于a的不等式即可. 【详解】 分情况讨论不等式的解： 当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增. 又， 因此. 综上，的解为. 将代入得，解得，即. 【例6.4.】 已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式 【详解】由题得或，解得，故选项D正确． 【例6.5.】 设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式 【分析】根据分段函数的特点，分段列不等式求解最后取并集即可. 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.1 函数的概念及其表示·专项训练 目录 题型1：具体函数的定义域 2 题型2：抽象（复合）函数的定义域 2 题型3：根据定义域求参数 2 题型4：函数解析式的求解 3 题型5：分段函数求值 3 题型6：与分段函数有关方程、不等式的求解 4 题型1：具体函数的定义域 【例1.1.】 函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 函数的定义域为______. 【例1.3.】 函数的定义域为_____________. 题型2：抽象（复合）函数的定义域 【例2.1.】 函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 （1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______； （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【例2.3.】 若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【例2.4.】 已知函数，则函数的定义域为______． 题型3：根据定义域求参数 【例3.1.】 函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 若的定义域为，则的取值范围是___________． 【例3.3.】 若函数定义域为，则实数_______实数b的取值范围_______． 题型4：函数解析式的求解 【例4.1.】 已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【例4.2.】 定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【例4.3.】 已知函数是一次函数，若，则______． 【例4.4.】 已知函数，则函数的解析式是___________． 【例4.5.】 已知函数满足，则的解析式为___________. 【例4.6.】 已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 题型5：分段函数求值 【例5.1.】 已知函数，则为（   ） A． B． C．2 D．3 【例5.2.】 已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 【例5.3.】 已知函数，则____________. 【例5.4.】 设函数，则_____，_____． 题型6：与分段函数有关方程、不等式的求解 【例6.1.】 已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【例6.2.】 设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例6.5.】 设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $