第1章 4 第2课时 正方形的判定（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 宁夏专版）

第2课时 【基础过关 ◆◆◆逐点击破 知识点正方形的判定 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,只需添加一个条件，即可证明菱形 ABCD是正方形，这个条件可以是( A.∠ABC=90° B.AB=BC C.AC⊥BD D.AB=CD (第1题图) (第2题图) 2.(银川二十一中期中)有下列四个条件：①AB BC,②∠ABC=90°，③AC=BD,④AC⊥ BD.从中选取两个作为补充条件，使平行四 边形ABCD为正方形（如图）.现在文文选择 了③④，你认为文文选择的 .（填“对” 或“不对”) 3.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交 于点O,过点C作CE∥BD,过点D作DE∥ AC,CE与DE交于点E.求证：四边形 CODE是正方形. 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的 平分线交BC于点D,DE∥AB交AC于点 E,DF∥AC交AB于点F. (1)求证：四边形AFDE为正方形； 13第一章特殊平行四边形 正方形的判定 (2)若AD=2√2，求四边形AFDE的面积. 口能力提升 >>》整合运用 5.在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC= ∠ADC=90°，连接AC,BD.添加下列条件后，仍 不能判定四边形ABCD为正方形的是( ) A.∠BCD=90° B.AB=BC C.AC⊥BD D.∠ABD=∠CBD 6.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线 AE交BC于点E,过点E作EF⊥AD于点 F,连接AC.若CE=√2BE,则∠DAC的度 数为 7.如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC 上一点，过点P分别作PM⊥AD于点M, PN⊥AB于点N,E是AM上一点，且 ∠EPA=15°. (1)求证：四边形PMAN是正方形； (2)若EP=2,求正方形PMAN的面积. 提示 请完成基本功专练（一） 教材扬展角 中点四边形问题【教材P20随堂练习T2延伸】 一题多问思维递进如图，点E,F,G,H分别为 (5)如图④，若AB=AD,BC=CD,求证：四边 四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点. 形EFGH是矩形. (1)如图①，关于四边形EFGH,下列说法正 确的是 A.不是平行四边形 B.一定是轴对称图形 图④ C.一定是中心对称图形 D.当AC=BD时，它为矩形 图① (2)如图②，若四边形ABCD是正方形，则四 边形EFGH的形状一定是 H 图② 图③ (3)如图③，若四边形ABCD是矩形，AB=3, AD=4,则四边形EFGH的周长是 ,面积是 名师总结：特殊四边形的中，点四边形：任意四边形 (4)当四边形ABCD的对角线AC,BD满足条件 →平行四边形，矩形→菱形，菱形→矩形，正方形→ 时，四边形EFGH是菱形： 正方形 数学九年级上册配BSD版14参考答案 第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 基础过关 1.C2.(1)有一组邻边(2)正方3.D4.D5.128°6.证明：四边形ABCD是 矩形，.AB=CD,AB∥CD.∴∠C=180-∠B=90°=∠B.∠BAE=∠CDF, .△ABE≌△DCF(ASA).7.证明：四边形ABCD是正方形，.AB∥CD,AD∥ BC..∠BCD=∠A=180°-∠B=90°，∠ADC=180°-∠BCD=90°=∠EDF. ∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF.:AD=CD,∴.△ADE≌ △CDF(ASA)..DE=DF. 能力提升 8.D9.A10.(4,3)11.解：(1)四边形ABCD是矩形，.AD∥BC..∠DAE ∠AEB.:EA平分∠BED,∴.∠AEB=∠AED.∴∠DAE=∠AED.∴DE=AD=lO. (2):四边形ABCD是矩形，∴.CD=AB=6,BC=AD=10,AB∥CD..∠C=180° 弥 ∠B=90°.∴.CE=√/DE-CD'=8.∴.BE=BC-CE=2. 思维拓展 12.解：(1)如答图①所示. a 答图① 她 (2)能，拼成的矩形如答图②所示（答案不唯一），拼成的菱形如答图③所示. h 答图② 答图③ 2菱形的性质与判定 0 第1课时菱形的性质 基础过关 1.B2.B3.84.证明：四边形ABCD是菱形，∴.OA=OC,AC⊥BD.∴.△AOE和 △COF都是直角三角形.在Rt△AOE和Rt△COF中， ,AE=CF,:.Rt△AOE≌ OA=OC, Rt△COF(HL).∠EAO=∠FCO.5.B6.247.解：(1)四边形ABCD是菱形， 0A=4,OB=3,∴AC=20A=8,BD=20B=6.∴S菱影D=7AC·BD=24.(2)四 线 边形ABCD是菱形，AC⊥BD..∠AOB=90°..AB=√OA+OB=5.CE⊥ AB,∴SE形m=AB·CE=24.∴CE=24.8.45或25 5 能力提升 9.D10.111.48 13 12.(1)证明：：四边形ABCD为菱形，∴.AD∥BC,AC BD.DE⊥BD,.DE∥AC..四边形ACED为平行四边形.(2)解：四边形ABCD 为菱形，OD=号BD=4,:四边形ACED为平行四边形，DE=AC=6.DEL BD,∴.∠ODE=90°.∴.OE=√OD+DE=2√I3.13.(1)证明：连接BD.:四边形 ABCD是菱形，.BD⊥AC.E,F分别是边AB,AD的中点，∴.EF是△ABD的中位 线.∴.EF∥BD.∴.EF⊥AC.(2)解：∠DAC=30°，四边形ABCD是菱形，∴∠DAB 60°，AD=AB.∴.△ABD是等边三角形.∴BD=AB=2.,EF是△ABD的中位线， EF=号BD=1. 思维拓展 14.3【点拨】连接BD.易证△ADE≌△BDF,即可推出AE=BF,列出方程即可解题. 55 第2课时菱形的判定 基础过关 1.C2.C3.AD∥BC(答案不唯一)4.证明：AB=AF,O为BF的中点，∴.AO1 BF,∠BAO=∠FAO.AE垂直平分BF..BE=EF.四边形ABCD是平行四边 形，.AD∥BC..∠FAO=∠BEA...∠BAO=∠BEA..AB=BE.∴.AB=BE=EF AF..四边形ABEF是菱形.5.B6.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AE∥CD,AB=CD.DE∥AC,.四边形ACDE是平行四边形.又AB=AC, .CD=AC..四边形ACDE是菱形.(2)解：四边形ACDE是菱形，AD⊥CE,AE AC=3.∴.∠AHE=90°..四边形ABCD是平行四边形，∴.BC∥AD.∴.∠BCE= ∠AHE=90°.，AB=AC=3,∴.BE=AB+AE=6.∴.CE=√BE-BC=4√2.7.C 能力提升 8.B9.D10.(1)解：AP=AB射线AQ平分∠BAP(2)证明：.以点A为圆心， AP长为半径画弧，交直线l于点B,.AP=AB.射线AQ平分∠BAP,.∠BAC= AB=AP, ∠PAC.在△ABC和△APC中，∠BAC=∠PAC,.△ABC≌△APC(SAS),∴.BC= AC=AC, PC.又以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C,∴.PA=PC,.AP= AB=BC=PC.∴.四边形ABCP是菱形. 思维拓展 11.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下：由题意，得AB∥CD,AD∥BC,.四边形 ABCD是平行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE,AF.,两张矩形纸条的宽 都为1cm,.AE=AF,SaAD=CD·AE=BC·AF,.CD=BC..四边形ABCD 是菱形.(2)由(1)，得AE=AF=1cm.:AD∥BC,.∠ABF=∠BAD=30°.∴.AB= 2AF=2cm.:四边形ABCD是菱形，.BC=AB=2cm.∴.重叠部分的面积为BC· AF=2 cm2. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 基础过关 1.A2.C3.2√34.证明：(1).四边形ABCD为矩形，.∠ABC=∠DCB=90°，AB= AB=DC, DC.∴∠ABE=∠DCF=90°，在△ABE和△DCF中，∠ABE=∠DCF,∴.△ABE≌ BE=CF, △DCF(SAS).(2).△ABE≌△DCF,∴.∠BAE=∠CDF..四边形ABCD为矩形， ∴.∠BAD=∠ADC=90°...∠BAD+∠BAE=∠ADC+∠CDF..∠EAD=∠FDA. 5.3cm6.50°7.证明：.BD∥CM,CD∥AB,.四边形BMCD是平行四边形. ”∠ACB=90,M是AB边的中点，∴CM=号AB=BM.“四边形BMCD是菱形. 8.D 能力提升 9.C10.A山.5.512.号13.1)证明：DE=0C,CE=0D四边形0CED是 平行四边形.：四边形ABCD为矩形，∴.OA=OC=OD=OB..四边形OCED为菱 形.(2)解：四边形ABCD为矩形，∠ABC=90,OA=号AC=6.“AF垂直平分线 段OB,∴.AB=OA=6.∴.BC=AC-AB2=6√3. 思维拓展 14.解：四边形ACBD是矩形，∴∠DAC=90°，AD∥BC..∠EAF=180°-∠DAC 90,在R△AEF中，G是EF的中点AG=FG=2ER.∴∠GAF=∠R,EF= 2AB,∴.AB=AG..∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F.AD∥BC,∴∠F= ∠CBF.∴.∠ABG=2∠CBF.∠ABC=3∠CBF.∠CBF是∠ABC的一个三等分角. 第2课时矩形的判定 基础过关 1.C2.有三个角是直角的四边形是矩形3.证明：：四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC,OB=OD..∠DAC=∠ADB,.OA=OD..AC=BD.四边形ABCD 是平行四边形，.四边形ABCD是矩形.4.A5.126.(1)答案不唯一，如：选择 ①.证明：AD∥BC,AB∥CD,.四边形ABCD是平行四边形.∠ABC=90°，.四 边形ABCD是矩形.(2)解：在Rt△ABC中，：AB=3,AC=5,∴BC=√JAC-AB= 4.由(1)知四边形ABCD是矩形，.S矩形AD=AB·BC=12.7.C -56 能力提升 8.B9.1010.(1)解：如图，DE即为所求. (2)证明：连接BD.四 边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.由勾股定理，易得BD=AB.:点P是AD的中 点，∴.BP⊥AD.AD∥BC,.BP⊥BC.由作图可知DE⊥BC.∠BPD=∠PBE= ∠BED=90.∴.四边形PBED是矩形. 思维拓展 11,解：(1)选小星的说法.证明如下：连接BE.,AE∥BD,DE∥BA,∴.四边形ABDE 是平行四边形..AE=BD..BD=BC,.AE=BC..AE∥BC,.四边形AEBC是平 行四边形.∠ACB=90°，.四边形AEBC是矩形.∠EBC=90,BE⊥CD.选小 红的说法.证明如下：连接BE,CE.:AE∥BD,DE∥BA,四边形ABDE是平行四边 形.∴AE=BD,AB=DE.:BD=BC,∴.AE=BC.AE∥BC,.四边形AEBC是平 行四边形.∠ACB=90°，.四边形AEBC是矩形..AB=CE..CE=DE.(任选一 (2)BC=号，设BC=2k,则AC=3,CD4,在R△ACD中，A CD2=AD,∴.(3k)2+(4k)2=(5√2)2，解得k=√2（负值已舍去）.∴.AC=3√2. 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 基础过关 1.B2.C3.24.√2-15.67.5°6.30°7.证明：：四边形ABCD是正方形，∴.AB= E∠B=∠D, BC=DC=AD,∠B=∠D.在△ABE和△ADF中，JAB=AD, .△ABE≌ ∠BAE=∠DAF, △ADF(ASA).BE=DF.BC-BE=DC-DF,即CE=CF.8.解：：四边形AB CD是正方形，∴.AC⊥BD,OC=OB=√2.∴.∠COB=90°.∴.BC=√OB+OC=2. BF⊥CE,∠BFC=∠BFE=9O°.BF平分∠DBC,∴∠CBF=∠EBF.∴∠BCE= ∠BEC..BE=BC=2...OE=BE-OB=2-√2.9.15°或759 能力提升 10.C11.C12.√513.证明：(1)：四边形ABCD为正方形，∴.AB=CB,∠ABE= AB=CB. ∠CBE=45°.在△EAB和△ECB中，∠ABE=∠CBE,..△EAB≌△ECB(SAS). BE=BE, (2)四边形ABCD为正方形，∴.∠BDC=45°.：△EAB≌△ECB,∠AEC=45°， ÷∠CED=∠AED=∠AEC=22.5.·∠DCE=∠BDC-∠CED=22.5R ∠CED=∠DCE..DC=DE.14.解：(1)：四边形ABCD是正方形，∠ADC= ∠C=∠A=∠B=90°，DC=DA.由折叠可得DC=DF,∠DFE=∠C=90°，∠CDE= ∠FDE,CE=EF.∴∠DFG=90,DA=DF..∠A=∠DFG=90°，：DG=DG,.Rt△DAG ≌R△DFG(HL).∴.∠ADG=∠FDG.:'∠ADG+∠FDG+∠CDE+∠FDE=∠ADC= 90,∠FDG+∠FDE=号×90=45.∠GDE=45.(2):正方形的边长为12，BE= 2CE,.BE=8,CE=EF=4,AB=12..Rt△DAG≌Rt△DFG,∴.AG=FG.设AG= FG=x,则GE=x十4，BG=12-x.:在Rt△BGE中，由勾股定理，得BG十BE= GE,.(12-x)2+82=(x十4)2.解得x=6.AG=6. 思维拓展 15.(1)5(2)6【点拨】(1)过点M作MP⊥BC于点P,MQ⊥AB于点Q,证明 △NMP≌△EMQ即可得解.(2)过点E作EF⊥BM于点F,证明△EFM≌△MHN, 得EF=MH,再求出EF,HN的长即可得解. 第2课时正方形的判定 基础过关 1.A2.对3.证明：CE∥BD,DE∥AC,∴.四边形CODE是平行四边形.：四边形 ABCD是正方形，.OD=OC,AC⊥BD..四边形CODE是菱形，∠DOC=90°..四边 形CODE是正方形.4.(1)证明：，DE∥AB,DF∥AC,∴.四边形AFDE是平行四边 形.∠BAC=90°，.四边形AFDE是矩形.：AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. :DF∥AC,∠FDA=∠CAD.∠FDA=∠BAD..AF=DF.四边形AFDE是 正方形.(2)解：：四边形AFDE是正方形，.∠AFD=90°..AF十DF=AD,:AF= DF,AD=2√2，.2DF2=(2√2)2.∴.S四边形AFDE=DF=4. -57 能力提升 5.C6.22.5°7.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.∠BAD=90°，AC是∠BAD 的平分线.PM⊥AD,PN⊥AB,∴.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°.∴.∠PMA= ∠PNA=∠BAD=90°.∴.四边形PMAN是矩形.又：PM=PN,.四边形PMAN是 正方形.(2)解：：四边形PMAN是正方形，.∠APM=∠APN=45°.∠EPA=15°， ∠EPM=∠APM-∠EPA=30.∴EM=2ED=1.PM=√E-EM-E. .SE方形PMAN=(W5)2=3. 教材拓展角 (1)C(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC,BD交于点O.,E,F 分别是AB,BC的中点EF是△ABC的中位线.EF∥AC,EF=2AC同理，得 HG∥AC,HG=号AC.∴EF∥HG,EF=HG.·四边形EFGH是平行四边形.：AB= AD,BC=CD,AC是线段BD的垂直平分线.∴.AC⊥BD.E,H分别为AB,AD的 中点，∴EH是△ABD的中位线.∴.EH∥BD.:EF∥AC,∴EF⊥EH,即∠HEF= 90°..四边形EFGH是矩形. 大单元整合练特殊四边形的折叠问题【落实课标】 1.D2.75°3.44.证明：(1)四边形ABCD是矩形，.AB=CD,∠B=∠D=90° 由折叠的性质，得∠F=∠D=∠B=90°，CF=CD=AB.:∠AEB=∠CEF,∴.△ABE ≌△CFE(AAS).(2),△ABE≌△CFE,∴.AE=CE.∴.△AEC是等腰三角形.(3)解： 设CE=AE=x.四边形ABCD是矩形，.BC=AD=8..BE=BC-CE=8-x.在 Rt△ABE中，BE十AB=AE,即(8-x)2十4=x2,解得x=5..AE=5.5.(1)证 明：由折叠的性质知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,.2(∠PAB十∠PAD)= 180°，即∠BAD=∠PAB十∠PAD=90°，同理可得∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形 ABCD是矩形.(2)解：连接AC.由折叠的性质知AE=AP=AF,“AF=之ER,同理 可得CG=2GH,“四边形EFGH是菱形，∴.EF=GH,EF∥GH.AF=CG,AF∥ CG..四边形ACGF是平行四边形.∴.FG=AC.:四边形ABCD是矩形，∴.BC=AD= √6，∠ABC=90°..AC=√AB+BC=3.∴.FG=3,即菱形纸片EFGH的边长为3. 专题一特殊平行四边形中的作图问题【宁夏热点】 1.(1)解：如图，菱形ABEF即为所求. FD(2)证明：：四边形ABCD是 平行四边形，.AD∥BC.AF=AB,BE=AB,.AF=BE..四边形ABEF是平行四 边形.AB=AF,∴.四边形ABEF是菱形.2.解：(1)如图①，点F即为所求.(2)如 图②，点G即为所求. 图① 图② 3.解：(1)如图①，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）.(2)如图②，正方形AB- CD即为所求.(3)如图③，菱形ABCD即为所求.8 图① 图② 图③ 4.解：(1)(2)(3)如图. 图① 图② 图③ 专题二与正方形有关的三种常考模型 1.解：两条路等长，它们的位置关系是互相垂直，理由如下：，四边形ABCD是正方形 ,.BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.AE=DF,,.△BAE2△ADF(SAS)..BE= AF,∠ABE=∠DAF.,∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，.∠BAO十∠ABE=90. ∠AOB=180°-（∠BAO十∠ABE)=90°..AF⊥BE..AF与BE等长，且互相垂 直.【变式题1】4【变式题2】3√22.(1)证明：在AB上截取BM=BE,连接ME, 58 四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°..∠BAE十∠AEB= 90.BM=BE,∴.△BEM是等腰直角三角形，AM=EC.∴.∠BME=45°.∠AME= 180°-∠BME=135.EF⊥AE,∴.∠AEF=90°..∠AEB+∠CEF=90°..∠BAE ∠CEF.∠DCG=180°-∠BCD=90°，CF平分∠DCG,.∠DCF=∠GCF=45. ∴.∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°.∴.∠AME=∠ECF=135°.∴.△AME≌△ECF (ASA).∴AE=EF.(2)解：仍然成立.理由如下：延长BA至点H,使AH=CE,连接 HE.,四边形ABCD是正方形，.∠B=90°，AB=BC,AD∥BC..BH=BE,∠HAD= 90°，∠DAE=∠AEB.∴△BEH是等腰直角三角形.∴.∠H=45°.：CF平分∠DCE, ∴∠ECF=号∠DCE=45.∠H=∠ECRF.:∠AEF=90,.∠HAD+∠DAE= ∠AEF+∠AEB..∠HAE=∠CEF..△AEH≌2△EFC(ASA)..AE=EF.3. 解：(1).四边形ABCD为正方形，.∠B=∠ADF=90°，AB=AD.,.∠ADG=90°= ∠B.:DG=BE,∴△ADG≌△ABE(SAS).∴.∠DAG=∠BAE,AE=AG.∴∠FAG= ∠FAD+∠GAD=∠FAD十∠BAE=90°-∠EAF=45°，即∠EAF=∠FAG..'AF= AF,.△AFG≌△AFE(SAS)..EF=FG..EF=DF+DG=DF+BE,即EF= BE+DF.(2)DF=EF+BE.证明如下：在CD上截取GD=BE,连接AG.同(1)可证 △AEB≌△AGD,.AE=AG,∠EAB=∠GAD.又.'∠BAG+∠GAD=90°，∴.∠EAG= ∠EAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG=90°.∴·∠FAG=∠EAG-∠EAF=45°. ∴∠EAF=∠GAF.AF=AF,∴△EAF≌△GAF(SAS).∴.EF=FG.:FD=FG+ DG..'.DF-EFBE. 专题三特殊平行四边形中的定值、最值问题【宁夏热点】 1.B【变式题1】g【变式题2】解：1)：四边形ABCD是菱形，∴A0=C0,AC1 BD,B0=合BD=8.在R△AB0中，A0=VAB-B0=6.AC=2A0=12. ∴Sm=分AC·BD=96.(2)GE十GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题 意，得S4D=2SD=S4x十Sa,即号×96=号X10GE+X10GF,GE 1 GF=9.6..GE十GF的值不发生变化.2.B3.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， 六AD∥BC,∠BAC=Z∠BAD=60.·∠B=180°-∠BAD=60.△ABC为等边 三角形..AB=BC=AC.:△AEF为等边三角形，.AE=AF,∠EAF=60°. ∴.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF.·△ABE≌△ACF(SAS). BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不发生变化.：△ABE≌△ACF,.SAAE S△AF,.S四边形AECF=S△Ax十S△AKF=S△AEc十S△ABE=S△AC·由(1)知△ABC为等边三 角形，过点A作AH.LBC于点H.易得AH=2,∴Sc=号X4X25=45 Saa5m=Sa=44395.3万6.107.后84 【变式题6√ 9.√2110.2十2/1311.2√5 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 【观察判断】①③【回顾反思】48【解决问题】解：菱形ABCD的内接矩形EFGH 的三种草图如图所示， A(E) D(H) C(G) 【拓展探究】解：(1)(2)如图所示. 图① 图② 第一章章末复习 思维导图 相等垂直平分相等互相垂直相等一半直角相等且互相平分一半 直角相等直角直角相等相等且互相垂直平分相等互相垂直直角 相等 考点整合 1.C2.C3.C4.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.△EAC 59 是等边三角形，∴.EA=EC.∴.EO⊥AC.∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边 形ABCD是菱形，OA=OC=子AC=4,OB=OD.在R1△AOB中，OB √AB-OA=3.,.OD=OB=3.△EAC是等边三角形，..AE=AC=8.在 R△A0E中，OE=V/AE-0A=4EDE=0E-OD=4E-3.5.C6号 7.解：(1)如图，线段BE即为所求。 (2)如图，截取线段BF,连接DF. 四边形ABCD是菱形，.AB∥CD..BF∥DE.BF=DE,.四边形DFBE是平行 四边形.由(1)作法知：BE⊥CD,∴.∠BED=90°，.四边形DFBE是矩形..∠DFB= 90°.∠DFA=90°.：四边形ABCD是菱形，AB=8,∴.AD=AB=8.在R△AFD中， :∠A=60,∴∠ADF=30.∴AF=号AD=4.·DF=VAD-AF=V8-平= 4√3，BF=AB-AF=8-4=4..矩形DFBE的周长为(43十4)×2=8W3十8. 8.AB=AC(答案不唯一)9.510.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，∴.AD=BC, AD∥BC.∴∠ADE=∠CBF.又：DE=BF,∴.△ADE≌△CBF(SAS).(2)解：连接 AC,交BD于点O.:四边形ABCD是正方形，.BD⊥AC,OA=OC=OB=OD= 号BD=5.:DE=BR,∴OD-DE=OB-BF,即OE=OF.四边形AECF是平行四 边形.又BD⊥AC,.四边形AECF是菱形，EF=2OF.四边形AECF的周长为 4AF=4√34，∴AF=√34.在Rt△AOF中，OF=√AF-OA=3.∴.EF=2OF=6. 聚焦课标 11.【概念理解】解：菱形，正方形【性质探究】解：AD十BC BDXAC【问题解决】 2 (1)解：1340(2)解：5a(3)证明：设CE与AB交于点M,BG与CE交于点V. :四边形ACFG是正方形，∴.AC=AG,∠GAC=90°.：四边形ABDE是正方形，∴.AE= AB,∠BAE=90°.∴.∠GAC十∠BAC=∠BAE十∠BAC,即∠GAB=∠CAE.在 AG=AC, △GAB和△CAE中，∠GAB=∠CAE,.△GAB≌△CAE(SAS)..∠GBA= AB=AE, ∠CEA..∠BAE=90°，∴.∠CEA十∠AME=90°..∠GBA+∠AME=90°. ∠AME=∠BMN,∴∠GBA十∠BMN=90.∴.∠BNM=90°..BGLCE..四边形 BCGE为“垂美四边形” 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 基础过关 1.C2.C3.3x2-7=02x2-4x十5=0x2-3x-4=03210-4-3 -75-44.B5.x(12-x)=32x2-12x十32=0 能力提升 6.B7.(65十2x)(30十2x)=24508.解：(1)设较短一段的长为xm.根据题意，得 2x=(2-x).化成一般形式为x2一6x十4=0.(2)设中间的奇数为x.根据题意，得 (x-2)2十x2十（x十2)2=251.化成一般形式为3x2-243=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 基础过关 1.B2.C3.一94.B5.解：假设能围成，设矩形花圃的长为xm,则宽为(20一x)m. 根据题意，得x(20-x)=75.整理，得x2-20x十75=0.用列表法估算方程的解，可得 x1=5,x2=15.当x=5时，20-x=15;15>5,.不合理，舍去.当x=15时，20-x= 5.答：能围成一个面积为75m2的矩形花圃，矩形花圃的长为15m,宽为5m. 能力提升 6.B7.20348x=1x=-19.解：根据题意可列方程为251一号×10r=15.用 列表法估算方程的解，可得t1≈0.7，t2≈4.3.答：约0.7s或4.3s后它在离抛出点 15m高的地方. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 基础过关 1.C2.D3.解：(1)整理，得x2=- “-写<0∴方程没有实数根.(2)移项，得 9· 60