四川省仁寿县文宫中学2025-2026学年高二下学期数学增分练2

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，融合疫情网课统计、奶粉质量检测等现实情境，通过基础题、综合题与附加题的梯度设计，适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6题|导数计算、二项式系数、曲线切线|第2题楼梯走法考查分步乘法计数原理，基础直观| |多选|2题|回归分析、二项式展开|第7题辨析残差与R²关系，强化统计思维| |填空|2题|函数构造、正态分布|第10题结合奶粉质量检测，体现数学语言描述现实| |解答|1题|独立性检验、分布列|疫情网课效果调查情境，培养数据观念与模型应用| |附加|1题|导数证明与不等式|第12题探究函数单调性与恒成立问题，发展逻辑推理|

高二数学增分练2 1.=(　　) A. B. C. D. 2.教学楼共有6层楼,每层都有南、北两个楼梯,从一楼到六楼共有(　　)种走法. A.25 B.52 C.62 D.26 3.(1-2x)n的二项展开式中,奇数项的系数和为(　　) A.2n B.2n-1 C. D. 4.若f(x)=ln x+x3,则=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 5.已知函数f(x)=2x+3f'(0)·ex,则f'(1)=(　　) A.e B.3-2e C.2-3e D.2+3e 6.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为(　　) A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)或(-1,-4) D.(2,8)或(-1,-4) 7.（多选）给出以下四个说法,其中正确的说法是(　　) A.残差分布的带状区域的宽度越窄,R2越小 B.在刻画经验回归模型的拟合效果时,R2的值越大,说明拟合的效果越好 C.在经验回归方程=0.5x+12中,当解释变量x每增加一个单位时,响应变量增加0.5个单位 D.对分类变量X与Y,若它们的χ2越小,则推断X与Y有关联时犯错误的概率越小 8.（多选）已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是(　　) A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15的项的系数为45 9.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意x>0,有f(x)+xf'(x)>0成立且f(1)=2,则不等式f(x)<的解集为　　　　　.  10.按照国家标准规定,500 g袋装奶粉每袋质量必须服从正态分布X~N(500,σ2),经检测某种品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋,则卖出的奶粉质量在510 g以上的袋数大约为　　　　　.  11.疫情期间,各地均响应“停课不停学,停课不停教”的号召,开展了网课学习.为了检查网课学习的效果,某机构对2 000名学生进行了网上调查,发现有些学生上网课时有家长在旁督促,而有些没有.将这2 000 名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类,对应的人数如下表所示: 家长督 促情况 成绩变化情况 合计 成绩上升 成绩没有上升 有家长督 促的学生 500 300 800 没有家长督 促的学生 700 500 1 200 合计 1 200 800 2 000 (1)依据α=0.1的独立性检验,能否认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联? (2)从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升,采用分层随机抽样的方法抽出8人,再从这8人中随机抽取3人做进一步调查,记抽到一名成绩上升的学生得1分,抽到一名成绩没有上升的学生得-1分,抽取3名学生的总得分用X表示,求X的分布列和均值. 附:χ2=. α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 12.(附加题)设函数f(x)=ln x-. (1)求证:当x>1时,f(x)>0; (2)若关于x的不等式<a(x-1)对任意x∈(1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围. 增分练2 答案 1.D　故选D. 2.A　根据题意,教学楼共有6层,共5层楼梯, 每层均有两个楼梯,即每层有2种走法, 则一共有2×2×2×2×2=25种走法. 3.C　∵在(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中,奇数项的系数和为a0+a2+a4+…,偶数项的系数和为a1+a3+a5+…, 令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+…=(-1)n, ① 令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5+…=3n, ② ①+②除以2可得,a0+a2+a4+…=, 故选C. 4.D　由题意f'(x)=+3x2,所以f'(1)=1+3=4, 所以=2=2f'(1)=8.故选D. 5.C　因为f'(x)=2+3f'(0)·ex,所以f'(0)=2+3f'(0),所以f'(0)=-1,所以f'(x)=2-3ex,所以f'(1)=2-3e.故选C. 6.C　依题意令f'(x)=3x2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4),故选C. 7.BC　在回归分析时,残差图中残差分布的带状区域的宽度越窄,说明拟合精度越高,R2的绝对值越接近1,故A错误. 用R2来刻画回归的效果时,R2值越大,说明模型的拟合效果越好,故B正确. 在经验回归方程=0.5x+12中,当解释变量x每增加一个单位时,响应变量增加0.5个单位,故C正确. 对分类变量X与Y,它们的χ2越小,推断X与Y有关联时犯错误的概率越大;χ2越大,推断X与Y有关联时犯错误的概率越小.故D错误. 故选BC. 8.BCD　由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等,可知n=10. 又因为展开式的各项系数之和为1 024,即当x=1时,(a+1)10=1 024,所以a=1. 所以二项式为 二项式系数和为210=1 024,则奇数项的二项式系数和为1 024=512,故A错误; 由n=10可知展开式共有11项,故第6项的二项式系数最大, 因为x2与的系数均为1,则该二项展开式的二项式系数与相应各项的系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确; 若展开式中存在常数项,由通项Tk+1=x2(10-k)可得2(10-k)-k=0,解得k=8,故C正确; 由通项Tk+1=x2(10-k)可得2(10-k)-k=15,解得k=2,所以系数为=45,故D正确.故选BCD. 9.(0,1)　令g(x)=xf(x)-2,x∈(0,+∞), g(1)=f(1)-2=0, ∵g'(x)=f(x)+xf'(x)>0, ∴g(x)=xf(x)-2在x∈(0,+∞)上单调递增, ∴满足不等式g(x)<0=g(1)的解为0<x<1, 即不等式f(x)<的解集为(0,1). 10.10　因为X~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)==0.025,所以卖出的奶粉质量在510 g以上袋数大约为400×0.025=10(袋). 11.解(1)零假设为H0:家长督促学生上网课与学生的成绩上升无关联.由题中数据可知, χ2=3.472>2.706=x0.1. 依据α=0.1的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联. (2)由题意可知,从有家长督促的800名学生中按分层随机抽样法抽出8人,其中成绩上升的有5人,成绩没有上升的有3人,再从这8人中随机抽取3人,随机变量X所有可能取的值为-3,-1,1,3, 则P(X=-3)=, P(X=-1)=, P(X=1)=, P(X=3)= 所以X的分布列为 X -3 -1 1 3 P E(X)=-3-1+1+3 12.(1)证明∵f(x)=ln x-, ∴f'(x)=. 当x>1时,f'(x)>0. ∴f(x)在(1,+∞)内单调递增,∴f(x)>f(1)=0,得证. (2)解设h(x)=-a(x-1),x∈(1,+∞), 则h'(x)=-a=, 当a≥1时,1-ax2<0,ln x>0,∴h'(x)<0, ∴h(x)在x∈(1,+∞)内单调递减, ∴h(x)<h(1)=0恒成立,即不等式<a(x-1)对任意x∈(1,+∞)恒成立; 当a≤0时,在(1,+∞)内有h(e)=-a(e-1)>0,故不合题意; 当0<a<1时,∵ln x>1-对任意x∈(1,+∞)恒成立; ∴h(x)=-a(x-1)>-a(x-1)=-a(x-1)=(1-ax2), ∴当x∈时,h(x)≥0,故不合题意. 综上,实数a的取值范围为[1,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $