15.3等腰三角形13题型6重难（培优讲义）新八年级数学新教材人教版

15.3 等腰三角形（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 5 题型1 利用等腰三角形的性质求角的度数 5 题型2 利用等腰三角形的性质求线段长 8 题型3 利用等腰三角形性质证明 10 题型4 等腰三角形与个数问题 15 题型5 等腰三角形的判定证明题 17 题型6利用等腰三角形的性质解决实际问题 22 题型7 利用等边三角形的性质求角度 24 题型8 利用等边三角形的性质求线段长 28 题型9 利用等边三角形的性质证明 31 题型10 等边三角形的判定 34 题型11 含30°角的直角三角形的性质求线段长 37 题型12 含30°角的直角三角形的性质证明 40 题型13 含30°角的直角三角形的性质的实际应用 43 释疑惑·重难拓展 47 题型1 等腰三角形的分类讨论问题 47 题型2 等腰三角形多结论判断问题 49 题型3等腰三角形的性质与判定的综合应用 56 题型4 等边三角形的性质与判定的综合应用 59 题型5 等腰三角形与动点运动问题 64 题型 6等腰三角形的综合题 71 知中考·真题探源 78 练好题·提分培优 86 课标要点 1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形两条核心性质定理： ① 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）； ② 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）。 2.探索并证明等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 3.探索等边三角形性质定理：等边三角形三个内角都等于 60°； 4.探索等边三角形两条判定定理： ① 三个角都相等的三角形是等边三角形； ② 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 5.能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形。 6.结合轴对称知识，认识等腰三角形、等边三角形都是轴对称图形，能准确说出对称轴数量与位置。 7.掌握含 30° 角的直角三角形性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，并能应用定理计算与证明。 析知识·讲要点 知识点01 等腰三角形的性质 ◆1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． ◆2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”). ★用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）. ◆3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合. ★用符号语言表示为： 在△ABC中， （1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （2）∵AB=AC , BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. ★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． ★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 知识点02 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定方法： ◆1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形. ◆2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)． 几何语言： 在△ABC中， ∵ ∠B＝∠C（已知）， ∴ AB=AC （等角对等边）. ◆3、等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质 (等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等. 这两边所对的角也相等. 证明角相等. 判定 (等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等. 这两个角所对的边也相等. 证明线段相等. ◆4、尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形 已知等腰三角形底边长为 a，底边上的高的长为 h，求作这个等腰三角形. 作法：1. 作线段 AB = a； 2. 作线段 AB 的垂直平分线 MN，交 AB 于点 D； 3. 在 MN 上取一点 C，使 DC = h； 4. 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求作的等腰三角形. 知识点03 等边三角形的概念及性质 ◆1、定义：三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形． ◆2、性质： （1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴． （2）等边三角形的各角都等于60°． ◆3、等边三角形与等腰三角形的性质比较： 等腰三角形 等边三角形 对称性 轴对称图形(1条) 轴对称图形(3条) 边 两腰相等 三边都相等 角 两底角相等 三个角都等于60° 特殊线 底边上的中线、高和顶角的平 分线互相重合(1条) 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(3条) 知识点04 等边三角形的判定 ◆1、等边三角形的判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ． ◆2、等边三角形与等腰三角形判定的区别 图形 等腰三角形 等边三角形 判 定 从边看： 两条边相等的三角形是等腰三角形. 三条边都相等的三角形是等边 三角形. 从角看： 两个角相等的三角形是等 腰三角形. 三个角相等的三角形是等边三角形. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 知识点05 含30°角的直角三角形的性质 ◆1、含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． ◆2、此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． 【注意】 ①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 剖题型·讲技巧 题型1 利用等腰三角形的性质求角的度数 方法技巧 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.利用等腰三角形的性质，角的平分线的性质、三角形内角和定理，灵活运用相关性质是解题的关键． 1．（2026·四川成都·模拟预测）如图，已知，点在边上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质可得，，利用等腰三角形的性质求出的度数，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， ，， ． 2．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，进而可得，再根据三角形外角定理可得的度数． 【详解】解：， ， 由翻折可知，又， ， ， ． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 4．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，已知，，若，则____度． 【答案】 【分析】由平行线的性质得到，由，得到，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解： ，， ， ， ， ． 题型2 利用等腰三角形的性质求线段长 方法技巧 利用等腰三角形的性质求线段长有时利用面积公式、线段的垂直平分线等知识来解题. 1．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】首先求出，然后利用等角对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，平分交于点M，过点M作交于点N，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】平分，构造了等腰三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】解： 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 中，， ． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点为右侧一点，连接，若 ，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据等角对等边，由 可得 ，由 可得 ，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线定义得，，由平行线性质得，，所以，，则，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 题型3 利用等腰三角形性质证明 方法技巧 在等腰三角形的有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 1．（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后证明出，即可得到； （2）由得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级上·上海·期中）如图，已知在四边形中，点E在上，，，．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明：，， ， 又∵，， ； (2)证明： ， ， ． ， ， 平分． 【分析】（1）首先得到，然后证明； （2）首先利用全等三角形的性质得到，得到，等量代换得到，即可得到平分． 【详解】（1）略 （2）略 3．（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图1，在中，，于点，点在上． (1)求证：； (2)如图2，若的延长线交于点，且，垂足为，，原题设其它条件不变．试探索与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：，点是的中点， 垂直平分， 点在上． ； (2)． 证明：， ， ，， ， ， ， 垂直平分， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得； （2）判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到． 【详解】（1）略 （2）略 4．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知，如图，为的高，在上，且，，延长交于 (1)找出图中一对全等三角形，并证明你的结论． (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积计算，熟练掌握三角形全等的判定定理，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在与中， ， ； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 题型4 等腰三角形与个数问题 方法技巧 1、主要是利用等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数. 2、在格点中判定等腰三角形的个数还要用到分类讨论的思想. 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】结合网格特点与等腰三角形的定义，线段垂直平分线的定义可得答案. 【详解】解：如图， ∴当是等腰三角形，则符合条件的格点P共有个. 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查由等腰三角形定义构造等腰三角形，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键． 由等腰三角形定义，在网格中作出图形即可确定答案． 【详解】解：如图所示： 使得为等腰三角形的情况有：、、、、、、、，共8个， 故选：D． 3．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 题型5 等腰三角形的判定证明题 方法技巧 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简称：等角对等边） 说明：①等腰三角形它的定义既作为性质，又可作为判定办法. ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点在边上，连接，，的角平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】证明：∵平分角， ∴， ∵， 又∵， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【分析】由角平分线得到，再由推出，再利用三角形的外角性质证明，进而推出． 【详解】略 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）中，D 是中点，，垂足 E、F．判断 形状并证明． 【答案】是等腰三角形，见解析 【详解】解：是等腰三角形，证明如下： ∵， ∴． 在和中： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 3．（25-26八年级下·江西新余·阶段检测）如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线得到，，结合角平分线得到，最后根据等角对等边得到等腰三角形； （2）根据三角形的外角和角平分线得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵平分外角． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵平分内角，平分外角． ∴，， 由三角形的外角可得，， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点． (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明． (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)，，，，， 证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴． (2)证明：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据题意容易证明，则，进而证明和，则，，因此．由等腰三角形的性质可得，，，从而证明和． （2）证明步骤见（1）． 【详解】（1）略 （2）略 题型6利用等腰三角形的性质解决实际问题 方法技巧 利用等腰三角形的性质解决实际问题时，主要利用了等边对等角的性质和三角形外角的性质. 1．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（　　） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．求不出来 【答案】C． 【分析】由上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里的时速向正北航行，10时到达海岛B处，可求得AB的长，又由∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，可得∠C＝∠NAC，即可证得BC＝AB，则可得从海岛B到灯塔C的距离． 【详解】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里）， ∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°， ∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°， ∴∠C＝∠NAC， ∴BC＝AB＝30海里． 即从海岛B到灯塔C的距离是30海里． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 2．如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转当A端落地时，∠OAC＝25°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A'OA）是（　　） A．25° B．50° C．60° D．80° 【答案】B． 【分析】当B端着地时，如图，∠A′OA即为上下转动的最大角度，利用三角形外角的性质即可解决问题； 【详解】解：当B端着地时，如图，∠A′OA即为上下转动的最大角度， ∵O是AB的中点， ∴OA＝OB ∵OA＝OB′， ∴∠A＝∠B′＝25° ∴∠A′OA＝∠A+∠B′＝50°． 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及邻补角的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 3．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】D． 【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC， ∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°， ∴∠ODC＝25°， ∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°， ∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 4．如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝18°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE的长度相等，则最多能添加的钢管根数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．无数 【答案】A． 【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解． 【详解】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝18°， ∴∠GEF＝∠FGE＝36°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是18°，第二个是36°，第三个是54°，四个是72°，五个是90°就不存在了． 所以一共有4个． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键． 题型7 利用等边三角形的性质求角度 方法技巧 等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解. 1．（2026·四川南充·中考真题）如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A． 【分析】由等边三角形的性质可求解∠CAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADE的度数，进而可求解． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°， ∵AD是等边三角形ABC的中线， ∴∠CAD∠BAC＝30°，AD⊥BC， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°， ∴∠ADE＝75°， ∴∠EDC＝15°， 故选：A． 3．和均是等边三角形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握运用以上知识是解决本题的关键．首先根据边角边定理证明，再根据三角形全等的性质可得到，最后根据三角形的内角和定理，角之间的关系可得最终结果． 【详解】解： 和均是等边三角形， ，，， ， ， 又 ， ， ， ， 则 解得， 故选：B． 4．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【答案】C． 【分析】利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG， ∴∠CGD+∠CDG＝60°． ∵CG＝CD， ∴∠CGD＝∠CDG＝30°． ∵∠CDG＝∠DFE+∠E， ∴∠DFE+∠E＝30°． ∵DF＝DE， ∴∠E＝∠DFE＝15°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理的推论，等腰三角形的判定与性质，利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键． 题型8 利用等边三角形的性质求线段长 方法技巧 1.三边相等，线段直接等量替换； 2.作高，三线合一，底边平分，30° 对直角边是斜边一半； 3.手拉手等边证全等，转化线段长度； 4.利用 60° 角构造等边三角形转移边长。 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】证明，结合，，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，，则，，根据等腰三角形的判定得，，再根据三角形的定义得的周长为：，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，的平分线相交于点P， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为， ∵等边中，， ∴， ∴的周长为． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，结合，证明，得到，结合，可得，即得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 4．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据等边三角形的性质推出∠AFD＝∠BDE，再证△AFD和△BDE全等，得出BD＝AF＝2，BE＝AD，根据等边△ABC的周长求出AB的长，于是得出AD的长，即可求出BE的长． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴∠ADF+∠AFD＝120°， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠FDE＝60°，DF＝ED， ∴∠ADF+∠BDE＝120°， ∴∠AFD＝∠BDE， 在△AFD和△BDE中， ， ∴△AFD≌△BDE（AAS）， ∴BD＝AF＝2，BE＝AD， ∵△ABC的周长为15且△ABC是等边三角形， ∴AB＝5， ∴AD＝AB﹣BD＝5﹣2＝3， ∴BE＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 题型9 利用等边三角形的性质证明 方法技巧 此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等. 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明∶∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴． 2．如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的性质得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，求得∠DBC＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠2＝30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵BD是等边△ABC的中线， ∴BD⊥AC，∠ACB＝60°， ∴∠DBC＝30°， ∵BD＝DE， ∴∠E＝∠DBC＝30°， ∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°， ∴∠E＝∠CDE＝30°， ∴CD＝CE． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 3．如图，△BCD，△ACE都是等边三角形，求证：BE＝AD． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形各边长相等和各内角为60°的性质，可以证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形对应边相等的性质可得BE＝AD． 【详解】证明：∵△ABC和△ECD是等边三角形， ∴∠ACE＝∠BCD＝60°，BC＝AC，EC＝CD． ∴∠BCD+∠ACB＝∠ACE+∠ACB， 即∠BCE＝∠ACD． 在△BCE和△ACD中， ∴△BCE≌△ACD（SAS）． ∴BE＝AD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质，本题中求证△BCE≌△ACD是解题的关键． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合“”进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在 中   ， ∴； （2）解：是等边三角形， ， 又由（）得， ． 题型10 等边三角形的判定 方法技巧 1.有两条边相等 + 一个 60° 角，直接判定； 2.出现两个 60° 角，第三个角一定 60°，可判定； 3.平行线、外角、全等常用来推导 60° 角； 4. 看到等腰优先找 60° 角，最快证等边。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，，，平分．求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得，结合，即可证明是等边三角形． 【详解】略 2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，从而得到，由可得，从而得到，即可求解． 【详解】证明：，点是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【变式9-1】如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用是等边三角形并结合已知条件可得到，利用相同的方法可证，从而证得是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 同理， ∴是等边三角形． 4．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，， 求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 题型11 含30°角的直角三角形的性质求线段长 方法技巧 1.核心性质：直角三角形中，30° 角所对直角边 = 斜边的一半。 2.已知斜边求短直角边：斜边 ÷2；已知短直角边求斜边：×2。 3.辅助线思路：遇 120°、60° 等腰，作垂线分出含 30° 直角三角形。 4.等量转换：结合等边、等腰、全等转化边长再计算。 1．如图，在△ABC中，∠B＝30°，过点A作AD⊥AB交BC于点D，CD＝AD＝4，则BC的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D． 【分析】根据垂直定义可得∠DAB＝90°，然后在Rt△ADB中，利用含30度角的直角三角形的性质求出BD的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵AD⊥AB， ∴∠DAB＝90°， ∵∠B＝30°，AD＝4， ∴BD＝2AD＝8， ∵CD＝4， ∴BC＝CD+BD＝12， 故选：D． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 2．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.25 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用． 根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边得到，，进而求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ，， ， 又， ， ， ∵， ， ． 故选：A． 3．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 是的垂直平分线， ， ； (2) 【分析】（1）根据等角对等边可证，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可证，等量代换可证； （2）由（1）可知，根据含角的直角三角形的性质可得：． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可知， ， ， ，， ． 4．（2026·江苏常州·二模）如图，，，与相交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明，得到． （2）由含30度直角三角形的性质得出，由可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：略． （2）解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型12 含30°角的直角三角形的性质证明 方法技巧 1.作辅助线补全图形，造出等边三角形； 2.利用等边三边相等、内角 60° 等量代换； 3.推导出短直角边与斜边的二倍关系； 1．在直角三角形中∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB，求证：AB＝2BC． 【分析】通过已知条件可以求得∠ACD＝60°，则由直角三角形的两个锐角互余的性质得到∠A＝30°，所以“30度角所对的直角边等于斜边的一半”． 【详解】证明：如图，∵∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB， ∴∠ACD＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠A＝30°， ∴AB＝2BC． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E求证：AE＝2CE． 【分析】连接BE．根据三角形内角和定理，得∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝60°．根据线段垂直平分线的性质，由DE是线段AB的垂直平分线，得AE＝BE．根据含有30度角的直角三角形的性质，得CEBE，进而解决此题． 【详解】证明：如图，连接BE． ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝60°． ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE． ∴∠A＝∠ABE＝30°． ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°． ∵在Rt△CBE中，∠EBC＝30°， ∴CEBE， ∴CEAE， 即AE＝2CE． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、含有30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质、含有30度角的直角三角形的性质是解决本题的关键． 3．（2026·四川南充·三模）如图，是的中线，于，于．求证：． 【答案】证明：∵是的中线， ∴， ，， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， ． 【分析】先证明，得出，再根据含的直角三角形的性质，得出，即可得出结论． 4．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是高，． (1)若，求出的长度； (2)求证：． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】（1）根据含直角三角形的性质，进行求解即可； （2）根据在中，，，得出，，进而得出，据此即可求得结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵是高， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型13 含30°角的直角三角形的性质的实际应用 方法技巧 1.审题找关键：找出直角、30° 角，锁定短直角边（30° 对边）与斜边 2 倍关系。 2.标记边长：已知斜边 ÷2 得短边；已知短边 ×2 得斜边。 3.无直角 / 30° 时作垂线，构造含 30° 直角三角形。 4.生活题型（斜坡、树高、影子、支架）：画直角模型，对应线段代入倍数计算。 5.结合等边、等腰三角形等量代换，间接求未知线段。 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图是某温室大棚需搭建的三角形侧边支架，已知水平底边的长为10米，与的度数均为．为了增强支架稳定性，在处立了一根与水平方向垂直的立柱，则的长为（    ） A．5米 B．米 C．米 D．10米 【答案】A 【分析】本题考查了等角对等边，三角形外角的性质，以及角所对的直角边等于斜边的一半． 由与的度数均为，的长为10米可得，米，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵与的度数均为，的长为10米， ∴，米， ∵在处立了一根与水平方向垂直的立柱， ∴米． 故选A． 2．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为_____________． 【答案】1.2 【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 3．如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．求：此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？ 【分析】（1）据题意得到∠CBM＝60°，∠BAM＝30°，求得∠BMA＝30°，得到 AB＝BM，于是得到结论； （2）根据已知条件得到△BMC是等边三角形，求得 CM＝BC，∠BCM＝60°，于是得到结论． 【详解】解：（1）据题意得，∠CBM＝60°，∠BAM＝30°， 因为∠CBM＝∠BAM+∠BMA， 所以∠BMA＝30°， 所以∠BMA＝∠BAM， 所以 AB＝BM， AB＝28×0.5＝14， BM＝14， 答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里； （2）∵BC＝14，BM＝BC 且∠CBM＝60° 所以△BMC是等边三角形， 所以 CM＝BC，∠BCM＝60°， 所以CM＝14， 答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，正确理解方向角的定义是解题的关键． 4．（2026·浙江丽水·二模）如图，小明在处看见前面山上有一个气象站，此时测得水平线与视线的夹角为，当他乘坐汽车笔直地向山的方向行驶到达处后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为，点离路面的高为，求这个气象站离地面的高度． 【答案】 【分析】先作辅助线构造直角三角形与矩形，利用矩形性质得到观测点高度与相等．再通过三角形外角性质求出，结合判定为等腰三角形，得到然后在中，依据含角的直角三角形性质求出的长度．最后将与观测点离地面的高度相加，得到气象站离地面的总高度． 【详解】解：过点作地面于点过点作地面于点过点作地面于点，交直线于点 由题意可得， ∵过点作地面于点过点作地面于点过点作地面于点， ∴， 四边形和四边形均为矩形 ． 是的外角 ． ，． ． ． ． ． ． ． ． 在中 ． ． ． ． 答：这个气象站离地面的高度为 释疑惑·重难拓展 题型1 等腰三角形的分类讨论问题 1．一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（　　） A．3cm，5cm B．4cm，4cm C．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对 【答案】C． 【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】解：当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3（cm），能够组成三角形； 当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4（cm），能够组成三角形． 故另两边长分别为3cm，5cm或4cm，4cm． 故选：C． 2．如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（　　） A．30° B．75° C．30°或75° D．60° 【答案】C． 【分析】根据等腰三角形的一个外角等于150°，进行讨论可能是底角的外角是150°，也有可能顶角的外角是150°，从而求出答案． 【详解】解：①当150°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣150°＝30°； ②当150°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣150°＝30°，则底角为：（180°﹣30°）75°， ∴底角为30°或75°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，非常容易忽略一种情况． 3．已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm 【答案】B． 【分析】已知给出的9cm和15cm两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为xcm，分两种情况讨论：xx＝9或xx＝15． 【详解】解：设三角形的腰为xcm，如图： △ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线， 则有AB+AD＝9cm或AB+AD＝15cm，分下面两种情况： （1）xx＝9， 解得x＝6， ∵三角形的周长为9+15＝24（cm）， ∴三边长分别为6cm，6cm，12cm， ∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系， ∴舍去； （2）xx＝15， 解得x＝10， ∵三角形的周长为24cm， ∴三边长分别为10cm，10cm，4cm． 综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm． 故选：B． 4．等腰三角形的一个内角是70°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为（　　） A．20° B．35° C．20°或35° D．30°或35° 【答案】C． 【分析】题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解． 【详解】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高． ①当∠A＝70°时， 则∠ABC＝∠C＝55°， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC＝90°﹣55°＝35°； ②当∠C＝70°时， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC＝90°﹣70°＝20°； 故选：C． 题型2 等腰三角形多结论判断问题 1．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，在锐角中，，的角平分线和交于点F，平分交于点G．分析以下结论：①；②；③；④当时，，其中结论正确的是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据可对①进行判断；由平分交于点G即可判断②；根据全等三角形的判定即可判断③；根据题意可证得，结合是的中点即可证明，继而判断④． 【详解】解： ，、为的角平分线， ，，， ，故①正确； 平分交于点G， ， ，故②正确； 已知公共边，（是角平分线）， 但题目没有给出或这类条件，故无法证明全等，故③错误； ， ， 又是底角的角平分线， ，， ， ， 又是的中点， ，故④正确． 2．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有(     ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】先证明是等腰直角三角形，从而证明，根据全等三角形的性质即可证明结论，证明是等腰直角三角形，可得，可得，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①②③正确， 如图，过点D作于点F，则， ，， ， ∵点E是的中点， ， ，， ， ， ∴ ，故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，D是BC的中点，点E、F分别在边上，且 下列结论： ①≌； ②； ③； ④； 正确的是（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰直角三角形的性质． 先根据等腰直角三角形的性质得到，，，，再证明≌，则可对①进行判断；由三角形全等得到，所以，则可对②进行判断；由三角形全等得到，所以，由于只有时，，这时才有，则可对③进行判断；利用三角形外角性质得到，，则，从而可对④进行判断． 【详解】解：，， 为等腰直角三角形， ． 是BC的中点， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌，所以①正确； ， ，所以②正确； ≌， ， ， 只有时，，此时，所以③错误； ，， 而， ，所以④正确． 故选：B． 4．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，平分，交于，点G是上的一点，且，连交于P，连，下列结论： ①，②，③，④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】设与交于点，根据等腰三角形的判定和性质以及直角三角形两锐角互余，可判断①结论；先证明，再结合等角对等边的性质，可判断②结论；由垂直平分线的性质证明，可判断③结论；证明，可判断④结论． 【详解】解：如图，设与交于点， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故①正确，符合题意； ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ， 由上可知：， 在和中， ， ， ， 故④正确，符合题意； 综上：①②④正确，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，熟练掌握有关知识点是解题的关键． 题型3等腰三角形的性质与判定的综合应用 1．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； (2)解：为等腰三角形，理由如下： 由（1）知， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】（1）根据等边对等角得到，根据即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，即可判断的形状． 【详解】（1）略 （2）略 2．（22-23八年级下·宁夏银川·阶段检测）已知：如图，，是的高交于O点，且． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据、是的高，得出，证明 ， 得出，即，则，即是等腰三角形； （2）由（1）中，可得， 即，即可证明． 【详解】（1）证明：∵、是的高， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，即， ∴，即是等腰三角形； （2）证明：由（1）中，可得， 即， ∴． 3．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质有关知识． （1）通过全等三角形的判定定理证得 ，由“全等三角形的对应边相等”推知，所以是等腰三角形； （2）由等腰的性质求得，结合 的对应角相等 ，易求． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ． ． 是等腰三角形； （2）解：， ， ． ， ． ． ． 4．（2024八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的计算，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的知识． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和求出，根据平行线的性质得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，，进而计算即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴． 题型4 等边三角形的性质与判定的综合应用 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D、F分别为AB、AC的中点，且DE⊥AB，FG⊥AC，点E、G在BC上，BC＝18cm，求线段EG的长． 【分析】连接AE、AG，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EB＝EA，再根据等腰三角形两底角相等求出∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEG＝60°，同理求出∠AGE＝60°，从而判断出，△AEG为等边三角形，再根据等边三角形三边都相等列式求解即可． 【解答】解：如图，连接AE、AG ∵D为AB中点，ED⊥AB， ∴EB＝EA， ∴△ABE为等腰三角形， 又∵∠B＝∠EAB＝30°， ∴∠BAE＝30°， ∴∠AEG＝60°， 同理可证：∠AGE＝60°， ∴△AEG为等边三角形， ∴AE＝EG＝AG， 又∵AE＝BE，AG＝GC， ∴BE＝EG＝GC， 又BE+EG+GC＝BC＝18（cm）， ∴EG＝6（cm）． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形与等边三角形是解题的关键． 2．如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD＝CD，DE交AC于点F，AB∥DE． （1）判断△CEF的形状，并说明理由； （2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长． 【分析】（1）利用平行线的性质，证明∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB，然后利用三个角相等的三角形是等边三角形即可解答； （2）连接BD，根据已知易证BD是线段AC的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得BD平分ABC，最后根据角平分线和平行证明△BDE是等腰三角形即可解答． 【详解】解：（1）△CEF是等边三角形， 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC， ∵AB∥DE， ∴∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB， ∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF ∴△CEF是等边三角形； （2）连接BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∵AD＝CD， ∴BD是线段AC的垂直平分线， ∴BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AB∥DE ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠BDE＝∠CBD， ∴BE＝DE， ∴BC＝BE+EC＝DE+CF ∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6． 3．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 【分析】（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题． （2）证明BD＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题． 【详解】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°； ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°， ∴△ODE为等边三角形． （2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB， ∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO， ∴∠DOB＝∠DBO， ∴BD＝OD；同理可证CE＝OE； ∴△ODE的周长＝BC＝10． 【点睛】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用平行线的性质、等边三角形的性质来分析、判断、解答． 4．如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE． （1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形； （2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外） 【分析】（1）根据△ABC为等边三角形，则∠C＝∠B＝60°，由DE∥BC得到∠ADE＝∠C＝∠B＝∠AED＝60°，然后根据等边三角形的判定方法得到△ADE是等边三角形； （2）由等边三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． （2）解：△BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形． 由（1）可知，AB＝AC，∠＝60°， ∵D、E分别为AB、AC中点， ∴AD， ∵AD＝AE， ∴△ADE为等边三角形， ∴AD＝DE， ∴BD＝DE， 即△BDE为等腰三角形， 同理△DEC为等腰三角形． ∵AB＝BC，E为AC的中点， ∴∠ABE＝∠CBE＝30°， ∵∠ADE＝∠ABC＝60°， ∴DE∥BC， ∴∠EBC＝∠DEB＝30°， 同理∠BCD＝∠EDC＝30°， ∴FB＝FC，DF＝EF． 即△DEF和△BFC都为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． 题型5 等腰三角形与动点运动问题 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 　 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等． 【答案】4或6 【分析】首先求出BD的长，要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，得出方程12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等， ∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点， ∴BD＝12厘米， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP， 即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x， 解得：x＝1或x＝2， x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4； x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键． 2．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据动点运动情况，得到，作差即可得到； （2）当点B在线段的垂直平分线上时，，列方程求解即可； （3）连接，由对称可知，再借助，可知，故可以得出，进而推出，再利用垂直关系和等腰三角形三线合一的性质，由此得到此时点P是的中点，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （3）解：存在， 如图，连接， 由对称的性质，可知， 当，则， ∴， ∴， 又， ∴，即， 解得． 3．（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 【答案】(1) (2) (3)1或或 【分析】（1）先根据已知条件得到，；再表示出，，利用垂直平分线的性质列等式，解得； （2）由得，结合全等三角形的判定条件，确定需满足且，列出方程组求解得； （3） 先根据周长为得出，再分三种等腰三角形的情况列方程求解，最后验证三种情况均符合要求三角形三边关系即可． 【详解】（1）解：在中，，是中点， 故，， 由动点运动得：，， 因此，， ∵点在的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （2）解：∵， ∴， 当且， ∴对应边满足， 即， 两个方程同解得， 当时，； （3）解：∵为等腰三角形，且的周长为， ， 分三种情况讨论等腰三角形： 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系． 综上，经过1或或秒后，为等腰三角形，且的周长为． 4．（25-26八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)证明：； (2)动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（）的条件下，点是直线上的一点，且．当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的值为或； (3)的值为或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． （）由题意可得，所以，然后通过“”证明即可； （）由（）可知，，所以，从而有，，所以，，且，然后分当点在线段上时，当点在的延长线上时，两种情况求解即可； （）分当点在线段的延长线上时，当点在线段上时，两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ； （2）解：由（）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∵动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动， ∴，，且， 当点在线段上时，则，此时， ∴，解得：， 当点Q在的延长线上时，则，此时， ∴，解得：， 综上可得：的值为或； （3）解：如图，当点在线段的延长线上时， 由（）可知，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴，此时，， ∴， 解得； 如图，当点在线段上时， 同可得，，此时，， ∴， 解得， 综上所述，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，的值为或． 题型 6等腰三角形的综合题 1．已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合以及三角形内角和定理，即可获得答案； （2）首先证明，，然后根据“”证明即可； （3）首先根据全等三角形的性质证明，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）由（2）得，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知在中，，，点是边的中点，点分别在射线、上，且． (1)试说明的理由； (2)如图，当点在上、点在上时，试说明的理由； (3)如图，当点在的延长线上、点在的延长线上时，试问、与三者面积间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据等腰三角形的性质可得，根据三线合一得出，，进而根据等角对等边得出，即可得证； （2）根据，，证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）证明，得出，进而得出． 【详解】（1）解：在中，，， ， ，点是边的中点， ， ， ，即； （2），， ，， ， 在和中，， ， ； （3），理由如下： ， ， 同（2）可得， 在和中， ， ， ． 3．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)70 (2)①② (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案； （2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数； （3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即为等腰三角形， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）若， 则， ∴． ①当时，， ∵， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ，即， 在中， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，进而根据等边对等角结合三角形外角的性质可得，最后根据等角对等边即可求解； （2）先根据等边对等角结合平行线的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形性质推出，然后根据全等三角形性质可证，等量代换即可得证； （3）过作交延长线于点，先证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质推出，得出，进而得到的长，证明，得到，即可得解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ，， 为的中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，过作交延长线于点， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 知中考·真题探源 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，列方程求解即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 解得． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 4．（2026·湖南·中考真题）如图，在四边形中，连接．若，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】因为，，，可得，，，逐项判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，故B选项正确； ∵，∴不平分，故D选项错误； ∵，∴与不平行，故C选项错误； ∵，故A选项错误． 5．（2026·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边经过原点，连接．已知，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等腰三角形的性质得到，可证明，得到，则可证明，再根据点A的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵若点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 6．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可知直线 是线段 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得 ，进而得到 ，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用 求解即可． 【详解】由作图可知，直线 是线段 的垂直平分线， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 7．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 8．（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 【答案】1 【分析】根据角平分线定义和平行线性质证得是等腰三角形，求出的长，过点作于点，求出，根据角平分线的性质得出点到的距离． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴,, ∴， 过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴, 即点到的距离为1． 9．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则_____度． 【答案】40 或60 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 练好题·提分培优 1．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使点C落在边上的点E处．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质可以求出，由折叠的性质可得，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 2．（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E．已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解： 平分， ， ， ， ， ， ，， ， 故选C． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，垂足为D，点E是上一点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质得，，进而得，再求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，点E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，由平行线的性质得到∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，即可推出△DEF是等边三角形，得到△DEF的周长＝3EF＝BC＝6． 【详解】解：∵点E，F是边BC上的三等分点， ∴BC＝3EF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°， ∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF＝DF， ∴△DEF的周长＝3EF＝BC＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，关键是由以上知识点证明△DEF是等边三角形． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等角对等边的性质是解题的关键． 先计算各角的度数，利用角平分线性质、全等三角形判定，结合等角对等边逐一判定等腰三角形的个数． 【详解】解：在中，， 是的平分线， 是角平分线，，∴点到和的距离相等，即，∴是等腰三角形； 在和中，， ，是等腰三角形； 在中，，是等腰三角形； 在中，且，是等边三角形，， 在中，，，是等腰三角形； 综上所述，图中的等腰三角形有△BDE、△ABE、△ACD、△BEC，共4个． 故选：C． 6．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）如图，是的边上的中线，在上取一点，连接并延长交于点，若，，则的长为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，恰当作辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 延长，使得，连接，先证，得到，，进而可得，则，再由即可求解． 【详解】延长，使得，连接， 是的边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是________ ． 【答案】 /48度 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，然后可算出的度数． 【详解】解：∵平分， ． ， ． ∵垂直平分， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ． 8．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，，结合，推出，在中，根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解： 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 【答案】/40度 【分析】先利用等边三角形每个内角为，结合，在中求出，再由对顶角、翻折性质得，推出，最后在中用内角和算出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．有下列结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中，正确的结论有______．（填序号） 【答案】 【分析】延长交于点N，根据角平分线的定义及三角形内角和定理可得，即得，即可判定；由，平分，可得，再证明，可得，即可判定；证明，可得，再根据等腰三角形的性质得到，即可判定；根据已知条件无法判定或，判定；由可知，，则，证明，可得，可得，再由，，判定． 【详解】解：如图，延长交于点N， ∵是的高， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故正确； 根据已知条件无法判定或， ∴不一定是等边三角形， 故④错误； 由可知，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由可知， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确的结论有． 11．（2026·河北廊坊·二模）如图，点B，E，C，F在直线l上，，相交于点，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)证明： ， ， 即， 在和中， ． (2)证明：由（1）可知，， ， ， 是等腰三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，等腰三角形的判定方法，进行解答，即可． （1）根据全等三角形的判定方法，可证明，即可； （2）由全等三角形的性质，得到，根据等角对等边，即可． 【详解】（1）略 （2）略 【详解】略 12．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定． （1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明； （2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 13．（2022八年级下·广东惠州·竞赛）如图，在中，，垂直平分． (1)求的度数； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，根据垂直平分线的性质得到，即可得到答案； （2）过点B作于F，得到，根据三角形面积公式求得答案． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴ （2）过点B作于F， 则， ∵，， ∴， ∴的面积是． 14．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，，求的周长． (2)分别过点，作于、于，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的性质得到，由的周长为即可解答； （2）先证明，推出，求出，再根据等腰三角形三线合一求出，由即可解答． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为； （2）解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图1，在中， ，，点D在线段上，在外侧，以为边能否构造一个与全等的三角形． (1)数学兴趣小组的做法如下：如图2，过点B作 于点B，过点C作 于点C，相交于点E，则 即为所求作的三角形．请说明上面的做法得出 的理由； (2)在图2的基础上连接． ①若 ，，求点D到的距离； ②已知，点D是线段的三等分点，请直接写出的面积． 【答案】(1)证明：由作图可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴； (2)①1；②或． 【分析】（1）先证明，再证明，然后根据证明 ； （2）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是有，即可求出答案； （3）先求出，再根据点D是线段的三等分点，分别求出或，再根据（2）可知：，从而可得或． 【详解】（1）略 （2）①如图，延长线段、交于点F． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， 即 ． 在和中， ∴， ∴， ∴； 设点D到的距离为， ∴ ∴， 即点D到的距离为； ②∵， ∴， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 由（2）可知：， ∴或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3 等腰三角形（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 5 题型1 利用等腰三角形的性质求角的度数 5 题型2 利用等腰三角形的性质求线段长 6 题型3 利用等腰三角形性质证明 7 题型4 等腰三角形与个数问题 10 题型5 等腰三角形的判定证明题 11 题型6利用等腰三角形的性质解决实际问题 13 题型7 利用等边三角形的性质求角度 14 题型8 利用等边三角形的性质求线段长 15 题型9 利用等边三角形的性质证明 16 题型10 等边三角形的判定 18 题型11 含30°角的直角三角形的性质求线段长 19 题型12 含30°角的直角三角形的性质证明 21 题型13 含30°角的直角三角形的性质的实际应用 22 释疑惑·重难拓展 24 题型1 等腰三角形的分类讨论问题 24 题型2 等腰三角形多结论判断问题 24 题型3等腰三角形的性质与判定的综合应用 25 题型4 等边三角形的性质与判定的综合应用 27 题型5 等腰三角形与动点运动问题 29 题型 6等腰三角形的综合题 32 知中考·真题探源 35 练好题·提分培优 37 课标要点 1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形两条核心性质定理： ① 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）； ② 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）。 2.探索并证明等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 3.探索等边三角形性质定理：等边三角形三个内角都等于 60°； 4.探索等边三角形两条判定定理： ① 三个角都相等的三角形是等边三角形； ② 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 5.能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形。 6.结合轴对称知识，认识等腰三角形、等边三角形都是轴对称图形，能准确说出对称轴数量与位置。 7.掌握含 30° 角的直角三角形性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，并能应用定理计算与证明。 析知识·讲要点 知识点01 等腰三角形的性质 ◆1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． ◆2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”). ★用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）. ◆3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合. ★用符号语言表示为： 在△ABC中， （1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （2）∵AB=AC , BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. ★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． ★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 知识点02 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定方法： ◆1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形. ◆2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)． 几何语言： 在△ABC中， ∵ ∠B＝∠C（已知）， ∴ AB=AC （等角对等边）. ◆3、等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质 (等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等. 这两边所对的角也相等. 证明角相等. 判定 (等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等. 这两个角所对的边也相等. 证明线段相等. ◆4、尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形 已知等腰三角形底边长为 a，底边上的高的长为 h，求作这个等腰三角形. 作法：1. 作线段 AB = a； 2. 作线段 AB 的垂直平分线 MN，交 AB 于点 D； 3. 在 MN 上取一点 C，使 DC = h； 4. 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求作的等腰三角形. 知识点03 等边三角形的概念及性质 ◆1、定义：三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形． ◆2、性质： （1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴． （2）等边三角形的各角都等于60°． ◆3、等边三角形与等腰三角形的性质比较： 等腰三角形 等边三角形 对称性 轴对称图形(1条) 轴对称图形(3条) 边 两腰相等 三边都相等 角 两底角相等 三个角都等于60° 特殊线 底边上的中线、高和顶角的平 分线互相重合(1条) 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(3条) 知识点04 等边三角形的判定 ◆1、等边三角形的判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ． ◆2、等边三角形与等腰三角形判定的区别 图形 等腰三角形 等边三角形 判 定 从边看： 两条边相等的三角形是等腰三角形. 三条边都相等的三角形是等边 三角形. 从角看： 两个角相等的三角形是等 腰三角形. 三个角相等的三角形是等边三角形. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 知识点05 含30°角的直角三角形的性质 ◆1、含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． ◆2、此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． 【注意】 ①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 剖题型·讲技巧 题型1 利用等腰三角形的性质求角的度数 方法技巧 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.利用等腰三角形的性质，角的平分线的性质、三角形内角和定理，灵活运用相关性质是解题的关键． 1．（2026·四川成都·模拟预测）如图，已知，点在边上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 4．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，已知，，若，则____度． 题型2 利用等腰三角形的性质求线段长 方法技巧 利用等腰三角形的性质求线段长有时利用面积公式、线段的垂直平分线等知识来解题. 1．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，平分交于点M，过点M作交于点N，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点为右侧一点，连接，若 ，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 4．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型3 利用等腰三角形性质证明 方法技巧 在等腰三角形的有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 1．（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（23-24八年级上·上海·期中）如图，已知在四边形中，点E在上，，，．求证： (1)； (2)平分． 3．（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图1，在中，，于点，点在上． (1)求证：； (2)如图2，若的延长线交于点，且，垂足为，，原题设其它条件不变．试探索与的数量关系，并证明你的结论． 4．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知，如图，为的高，在上，且，，延长交于 (1)找出图中一对全等三角形，并证明你的结论． (2)若，且，求的面积． 题型4 等腰三角形与个数问题 方法技巧 1、主要是利用等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数. 2、在格点中判定等腰三角形的个数还要用到分类讨论的思想. 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型5 等腰三角形的判定证明题 方法技巧 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简称：等角对等边） 说明：①等腰三角形它的定义既作为性质，又可作为判定办法. ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点在边上，连接，，的角平分线交于点，交于点，求证：． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）中，D 是中点，，垂足 E、F．判断 形状并证明． 3．（25-26八年级下·江西新余·阶段检测）如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 4．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点． (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明． (2)求证：是等腰三角形． 题型6利用等腰三角形的性质解决实际问题 方法技巧 利用等腰三角形的性质解决实际问题时，主要利用了等边对等角的性质和三角形外角的性质. 1．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（　　） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．求不出来 2．如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转当A端落地时，∠OAC＝25°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A'OA）是（　　） A．25° B．50° C．60° D．80° 3．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 4．如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝18°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE的长度相等，则最多能添加的钢管根数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．无数 题型7 利用等边三角形的性质求角度 方法技巧 等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解. 1．（2026·四川南充·中考真题）如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 2．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 3．和均是等边三角形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 题型8 利用等边三角形的性质求线段长 方法技巧 1.三边相等，线段直接等量替换； 2.作高，三线合一，底边平分，30° 对直角边是斜边一半； 3.手拉手等边证全等，转化线段长度； 4.利用 60° 角构造等边三角形转移边长。 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型9 利用等边三角形的性质证明 方法技巧 此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等. 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 2．如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE． 3．如图，△BCD，△ACE都是等边三角形，求证：BE＝AD． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 题型10 等边三角形的判定 方法技巧 1.有两条边相等 + 一个 60° 角，直接判定； 2.出现两个 60° 角，第三个角一定 60°，可判定； 3.平行线、外角、全等常用来推导 60° 角； 4. 看到等腰优先找 60° 角，最快证等边。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，，，平分．求证：是等边三角形． 2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【变式9-1】如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 4．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，， 求证：是等边三角形． 题型11 含30°角的直角三角形的性质求线段长 方法技巧 1.核心性质：直角三角形中，30° 角所对直角边 = 斜边的一半。 2.已知斜边求短直角边：斜边 ÷2；已知短直角边求斜边：×2。 3.辅助线思路：遇 120°、60° 等腰，作垂线分出含 30° 直角三角形。 4.等量转换：结合等边、等腰、全等转化边长再计算。 1．如图，在△ABC中，∠B＝30°，过点A作AD⊥AB交BC于点D，CD＝AD＝4，则BC的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.25 3．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2026·江苏常州·二模）如图，，，与相交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型12 含30°角的直角三角形的性质证明 方法技巧 1.作辅助线补全图形，造出等边三角形； 2.利用等边三边相等、内角 60° 等量代换； 3.推导出短直角边与斜边的二倍关系； 1．在直角三角形中∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB，求证：AB＝2BC． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E求证：AE＝2CE． 3．（2026·四川南充·三模）如图，是的中线，于，于．求证：． 4．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是高，． (1)若，求出的长度； (2)求证：． 题型13 含30°角的直角三角形的性质的实际应用 方法技巧 1.审题找关键：找出直角、30° 角，锁定短直角边（30° 对边）与斜边 2 倍关系。 2.标记边长：已知斜边 ÷2 得短边；已知短边 ×2 得斜边。 3.无直角 / 30° 时作垂线，构造含 30° 直角三角形。 4.生活题型（斜坡、树高、影子、支架）：画直角模型，对应线段代入倍数计算。 5.结合等边、等腰三角形等量代换，间接求未知线段。 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图是某温室大棚需搭建的三角形侧边支架，已知水平底边的长为10米，与的度数均为．为了增强支架稳定性，在处立了一根与水平方向垂直的立柱，则的长为（    ） A．5米 B．米 C．米 D．10米 2．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为_____________． 3．如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．求：此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？ 4．（2026·浙江丽水·二模）如图，小明在处看见前面山上有一个气象站，此时测得水平线与视线的夹角为，当他乘坐汽车笔直地向山的方向行驶到达处后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为，点离路面的高为，求这个气象站离地面的高度． 释疑惑·重难拓展 题型1 等腰三角形的分类讨论问题 1．一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（　　） A．3cm，5cm B．4cm，4cm C．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对 2．如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（　　） A．30° B．75° C．30°或75° D．60° 3．已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm 4．等腰三角形的一个内角是70°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为（　　） A．20° B．35° C．20°或35° D．30°或35° 题型2 等腰三角形多结论判断问题 1．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，在锐角中，，的角平分线和交于点F，平分交于点G．分析以下结论：①；②；③；④当时，，其中结论正确的是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有(     ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，D是BC的中点，点E、F分别在边上，且 下列结论： ①≌； ②； ③； ④； 正确的是（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①③④ 4．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，平分，交于，点G是上的一点，且，连交于P，连，下列结论： ①，②，③，④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型3等腰三角形的性质与判定的综合应用 1．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 2．（22-23八年级下·宁夏银川·阶段检测）已知：如图，，是的高交于O点，且． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：． 3．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 4．（2024八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，求的度数． 题型4 等边三角形的性质与判定的综合应用 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D、F分别为AB、AC的中点，且DE⊥AB，FG⊥AC，点E、G在BC上，BC＝18cm，求线段EG的长． 2．如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD＝CD，DE交AC于点F，AB∥DE． （1）判断△CEF的形状，并说明理由； （2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长． 3．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 4．如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE． （1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形； （2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外） 题型5 等腰三角形与动点运动问题 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 　 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等． 2．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 3．（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 4．（25-26八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)证明：； (2)动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（）的条件下，点是直线上的一点，且．当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 题型 6等腰三角形的综合题 1．已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知在中，，，点是边的中点，点分别在射线、上，且． (1)试说明的理由； (2)如图，当点在上、点在上时，试说明的理由； (3)如图，当点在的延长线上、点在的延长线上时，试问、与三者面积间有怎样的数量关系，并说明理由． 3．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 知中考·真题探源 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 3．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 4．（2026·湖南·中考真题）如图，在四边形中，连接．若，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．平分 5．（2026·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边经过原点，连接．已知，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    8．（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 9．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则_____度． 练好题·提分培优 1．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使点C落在边上的点E处．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E．已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，垂足为D，点E是上一点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，点E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）如图，是的边上的中线，在上取一点，连接并延长交于点，若，，则的长为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 7．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是________ ． 8．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 10．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．有下列结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中，正确的结论有______．（填序号） 11．（2026·河北廊坊·二模）如图，点B，E，C，F在直线l上，，相交于点，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 12．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 13．（2022八年级下·广东惠州·竞赛）如图，在中，，垂直平分． (1)求的度数； (2)求的面积． 14．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，，求的周长． (2)分别过点，作于、于，若，，求的长． 15．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图1，在中， ，，点D在线段上，在外侧，以为边能否构造一个与全等的三角形． (1)数学兴趣小组的做法如下：如图2，过点B作 于点B，过点C作 于点C，相交于点E，则 即为所求作的三角形．请说明上面的做法得出 的理由； (2)在图2的基础上连接． ①若 ，，求点D到的距离； ②已知，点D是线段的三等分点，请直接写出的面积． 2 / 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