15.2画轴对称的图形6题型4重难（培优讲义）新八年级数学新教材人教版

15.2 画轴对称图形（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 3 题型1 画已知图形的轴对称图形 3 题型2 利用网格设计轴对称图形 4 题型3 车牌号码的镜面对称 6 题型4 钟表的镜面对称 6 题型5 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 7 题型6 在平面直角坐标系中画已知图形的轴对称 8 释疑惑·重难拓展 10 题型1 利用轴对称解决折叠问题 10 题型2 利用轴对称解决最值问题 11 题型3 与轴对称变换有关的规律题 13 题型4 平面坐标系与轴对称的综合运用 14 知中考·真题探源 17 练好题·提分培优 18 课标要点 1.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形。 2.在平面直角坐标系中，探索关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标规律，能利用坐标变化画出轴对称图形。 3.认识并欣赏自然界、生活、艺术作品中的轴对称图案，能利用轴对称进行简单图案设计。 4.依托 “对称点连线被对称轴垂直平分” 这一轴对称核心性质，规范作图、说理。 析知识·讲要点 知识点01 轴对称变换 ◆1、轴对称变换： 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线 l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同(位置、朝向可能不同)； ◆2、轴对称变换的性质： （1）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点； （2）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 知识点02 画轴对称图形 ◆1、几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段的端点，三角形、 四边形的顶点等）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． ◆2、一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 知识点03 用坐标表示轴对称 ◆1、关于坐标轴对称的点的坐标规律： 1.关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2.关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． ◆2、在坐标系中画出已知图形关于某直线成轴对称的图形的步骤： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 剖题型·讲技巧 题型1 画已知图形的轴对称图形 方法技巧 轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下： 1．找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点； 2．连接这对对应点； 3．画出对应点所连线段的垂直平分线． 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）分别以图中直线l为对称轴，画出图形的另一半．先想一想，再画一画． · 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图是一个轴对称图形的一半，直线是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半． 3．（25-26七年级下·全国·单元复习）分别以直线m，n为对称轴画出各图的另一半． 4．（2021·广东深圳·中考真题）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位． （1）过直线m作四边形的对称图形； （2）求四边形的面积． 题型2 利用网格设计轴对称图形 方法技巧 利用网格轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键，①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点． 1.如图，在4×4的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形． 2.观察图①～④中阴影部分构成的图案： (1)请写出这四个图案都具有的一个共同特征：___________； (2)在图⑤，图⑥中各设计一个新的图案，使该图案具有图①～④的共同特征． 3.下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． （1）如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴． （2）如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． （3）如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 4.认真观察图（1）～图（4）中阴影部分构成的图案，回答下列问题：    (1)请写出这4个图形都具有的两个共同特征①______；②______． (2)请在图（5）中，设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征 题型3 车牌号码的镜面对称 方法技巧 镜子成像为左右轴对称，上下不变、左右颠倒，数字 / 字母镜像有固定对应形态。也可以用翻纸法（最直观）， 把试卷 / 题目纸翻到背面，透光看车牌，看到的就是真实车牌。 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 4．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 题型4 钟表的镜面对称 方法技巧 1.公式速算：真实时间 = 12 时−镜面时间，分钟不够减借 1 当 60 分. 2.实操法：纸张翻面透光直接看时间. 3.画图法：沿钟表中线作指针对称再读数且符合范围； 1．（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆江津·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A．B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆江北·阶段检测）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）从水平放置的平面镜中看到平面镜中看到“”，实际电子钟示数是__________． 题型5 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 方法技巧 1、关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2、关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 1．（2026·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知点和点关于轴对称，则___________． 4．（25-26八年级下·湖南张家界·期中）点，关于轴对称，则___． 5．（25-26八年级下·湖南常德·期中）在平面直角坐标系中，点，点 (1)若点A关于y轴对称的点在第二象限的角平分线上，求a的值． (2)若点A，B关于x轴对称，求的值． (3)若点A向上平移2个单位长度后，与点B关于y轴对称，求的值． 题型6 在平面直角坐标系中画已知图形的轴对称 方法技巧 在平面直角坐标系中画轴对称图形的方法： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点A和点B的坐标分别为和． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)点C的坐标为______，点C关于x轴的对称点的坐标为______． 2．（2026·安徽阜阳·模拟预测）安徽省黄山市黟县塔川村红叶景观被誉为“中国四大秋色之一”，每年深秋时节吸引着大量的游客和摄影爱好者前往．如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，一片枫叶的顶点均在格点上，点A的坐标是． (1)将枫叶沿y轴正方向平移6个单位长度，画出平移后的图形，并写出点B的对应点的坐标； (2)画出（1）中平移后的枫叶关于y轴对称的枫叶，并写出点的对应点的坐标． 3．（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴的对称图形（其中点分别是点的对应点）； (2)若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 4．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系（带箭头的水平实线记为x轴，带箭头的竖直实线记为y轴），的顶点都在格点上． (1)请画出向左平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于x轴对称的图形； (3)在x轴上求作一点P，使的值最小． 释疑惑·重难拓展 题型1 利用轴对称解决折叠问题 1．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，将一正方形纸片沿图1中的对角线对折一次得图2，再沿图2中的斜边上的中线对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角得图4，将图4展开铺平后的平面图形是（     ） A．B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将长方形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，点A落到上方的点处，与边相交于点，点恰好落到上的处．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江西·期末）如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，若，则_______ 度；将图1纸带继续沿折叠成图2，则_______ 度． 题型2 利用轴对称解决最值问题 1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26八年级上·北京·期中）某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·天津津南·期中）如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 4．（25-26八年级上·广西河池·期末）综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题，所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心． (1)尺规作图：在图1中作点关于直线的对称点，连接交于点（不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔作图，再用黑色墨水笔描画清楚）； (2)在（1）中上任意找点（异于点），连接，，，，说明； (3)如图2，已知点，，点在轴上，且的值最小，求的值． 题型3 与轴对称变换有关的规律题 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2026次变换后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，第1次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；第2次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；…，依此规律，得到，则点的坐标是（    ）．    A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）边长为2的正方形在如图的平面直角坐标系中，设点，轴，若把正方形 “先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2026次变换后，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 题型4 平面坐标系与轴对称的综合运用 1．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)作出关于轴对称的； (2)作出关于轴对称的； (3)若将向上平移个单位长度，使和有公共点，直接写出的取值范围． 2．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 3．（25-26八年级下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)点C的坐标是______； (2)点D在第四象限内，且与全等，在图中画出点D并直接写出点D的坐标是______； (3)在y轴上存在一点E，使得，那么点E的坐标是______． 4．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴负半轴上，，且，满足． (1)直接写出点，，的坐标； (2)点关于轴的对称点为点，点是线段上一点，若直线平分三角形的面积，求点的横坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度向轴负半轴运动，动点从点出发以每秒个单位长度向轴正半轴运动，设直线、交于点，设动点、运动的时间为秒， ①如图2，当时，试探究与面积的数量关系，并说明理由； ②若的面积为，请写出一个满足条件的点坐标是__________． 知中考·真题探源 1．（2026·四川达州·中考真题）点关于y轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·四川绵阳·中考真题）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为．若点M的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古通辽·中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．（2023·浙江金华·中考真题）如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（    ）    A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 9．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 10．（2023·湖南湘西·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则__________． 练好题·提分培优 1．（25-26八年级上·河南开封·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于x轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江西上饶·二模）如图，在正方形网格中找线段（，在格点上），使它与线段，组成轴对称图形，线段的位置有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于 某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 4．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，三角形纸片中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为的周长为7，，则为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 7．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________． 8．（25-26八年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2026次碰到长方形边上的点的坐标为_____． 9．（22-23八年级上·山东青岛·期末）已知，点P，N分别是射线，上的定点，M为射线上的一动点，Q为射线上一动点，当的值最小时，的度数为______． 10．以图中的虚线为对称轴画出该图形的另一半． 11．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)求的面积． 12．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，直线m 上各点的横坐标都为1，请按要求分别完成下列各小题． (1)画出关于直线m对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出的坐标； (2)若点为的内部一点，请直接写出点P关于直线m对称的点的坐标． 13．（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2 画轴对称图形（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 3 题型1 画已知图形的轴对称图形 3 题型2 利用网格设计轴对称图形 5 题型3 车牌号码的镜面对称 8 题型4 钟表的镜面对称 9 题型5 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 11 题型6 在平面直角坐标系中画已知图形的轴对称 13 释疑惑·重难拓展 19 题型1 利用轴对称解决折叠问题 19 题型2 利用轴对称解决最值问题 22 题型3 与轴对称变换有关的规律题 27 题型4 平面坐标系与轴对称的综合运用 30 知中考·真题探源 37 练好题·提分培优 41 课标要点 1.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形。 2.在平面直角坐标系中，探索关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标规律，能利用坐标变化画出轴对称图形。 3.认识并欣赏自然界、生活、艺术作品中的轴对称图案，能利用轴对称进行简单图案设计。 4.依托 “对称点连线被对称轴垂直平分” 这一轴对称核心性质，规范作图、说理。 析知识·讲要点 知识点01 轴对称变换 ◆1、轴对称变换： 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线 l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同(位置、朝向可能不同)； ◆2、轴对称变换的性质： （1）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点； （2）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 知识点02 画轴对称图形 ◆1、几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段的端点，三角形、 四边形的顶点等）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． ◆2、一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 知识点03 用坐标表示轴对称 ◆1、关于坐标轴对称的点的坐标规律： 1.关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2.关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． ◆2、在坐标系中画出已知图形关于某直线成轴对称的图形的步骤： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 剖题型·讲技巧 题型1 画已知图形的轴对称图形 方法技巧 轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下： 1．找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点； 2．连接这对对应点； 3．画出对应点所连线段的垂直平分线． 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）分别以图中直线l为对称轴，画出图形的另一半．先想一想，再画一画． · 【答案】如图所示： 【详解】略 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图是一个轴对称图形的一半，直线是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半． 【答案】 【详解】解：略 3．（25-26七年级下·全国·单元复习）分别以直线m，n为对称轴画出各图的另一半． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的定义解题． 【详解】略． 4．（2021·广东深圳·中考真题）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位． （1）过直线m作四边形的对称图形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）先作出四边形ABCD各个顶点关于直线m的对称点，再顺次连接起来，即可； （2）四边形对角线的乘积÷2，即可求解． 【详解】（1）如图所示： （2）． 【点睛】本题主要考查画轴对称图形以及四边形的面积，掌握轴对称图形的性质，是解题的关键． 题型2 利用网格设计轴对称图形 方法技巧 利用网格轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键，①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点． 1.如图，在4×4的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形． 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示： ． 2.观察图①～④中阴影部分构成的图案： (1)请写出这四个图案都具有的一个共同特征：___________； (2)在图⑤，图⑥中各设计一个新的图案，使该图案具有图①～④的共同特征． 【答案】(1)都是轴对称图形； (2)见解析． 【分析】（1）本问主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． （2）根据轴对称图形的定义画图即可． 【详解】（1）根据观察，①～④图都是轴对称图形． （2）解： 3.下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． （1）如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴． （2）如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． （3）如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作出对称轴即可； （2）根据要求画出图形即可； （3）根据要求画出图形即可． 【详解】解：（1）如图①中，直线m即为所求； （2）如图②中，图形即为所求； （3）如图③中，图形即为所求． 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4.认真观察图（1）～图（4）中阴影部分构成的图案，回答下列问题：    (1)请写出这4个图形都具有的两个共同特征①______；②______． (2)请在图（5）中，设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征 【答案】(1)①轴对称图形；②阴影部分的面积都等于4个小正方形的面积和 (2)见解析 【分析】本题考查利用轴对称设计图案的知识，解题时要注意判断图形的共性，首先要看对称性；有阴影的，注意观察阴影部分的面积是否相同． （1）从图形的对称性，以及图形中阴影部分的面积入手考虑； （2）只需符合是轴对称图形，阴影部分面积为4即可． 【详解】（1）解：①都是轴对称图形； ②阴影部分的面积都等于4个小正方形的面积和； （2）解：如图（答案不唯一）：    题型3 车牌号码的镜面对称 方法技巧 镜子成像为左右轴对称，上下不变、左右颠倒，数字 / 字母镜像有固定对应形态。也可以用翻纸法（最直观）， 把试卷 / 题目纸翻到背面，透光看车牌，看到的就是真实车牌。 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 【答案】B 【分析】本题考查了镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，作出对称图形即可得出答案． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得：实际车牌号应从右向左读， 后面汽车的车牌号码是． 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可得在镜子里看到的“号码”是： ， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面反射的性质；关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，认真观察，注意技巧是解题的关键． 利用镜面对称的性质，大小和形状保持不变，方向相反，求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为： ． 题型4 钟表的镜面对称 方法技巧 1.公式速算：真实时间 = 12 时−镜面时间，分钟不够减借 1 当 60 分. 2.实操法：纸张翻面透光直接看时间. 3.画图法：沿钟表中线作指针对称再读数且符合范围； 1．（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 【详解】解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 2．（25-26八年级上·重庆江津·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【详解】解：如图， 接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C． 故选：C． 3．（25-26八年级上·重庆江北·阶段检测）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：是从镜子中看， 对称轴为竖直方向的直线， 、0的对称数字为1、0，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， 这时的时刻应是． 故选：C． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）从水平放置的平面镜中看到平面镜中看到“”，实际电子钟示数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据上下对称分析，进而得出实际时间． 【详解】解：平面镜中看到“”，平面镜水平放置，则上下对称由于数字和都是轴对称图形，在平面镜中成像时形状不变，因此实际电子钟示数仍为． 故答案为． 题型5 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 方法技巧 1、关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2、关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 1．（2026·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于x轴的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于x轴的对称点的坐标为． 2．（2026·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于x轴的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于x轴的对称点的坐标为． 3．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知点和点关于轴对称，则___________． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的两点的坐标特征，求代数式的值，关键是掌握两点关于轴对称的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.根据特征求出与的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 4．（25-26八年级下·湖南张家界·期中）点，关于轴对称，则___． 【答案】 【分析】利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：点，关于轴对称， ，， ． 5．（25-26八年级下·湖南常德·期中）在平面直角坐标系中，点，点 (1)若点A关于y轴对称的点在第二象限的角平分线上，求a的值． (2)若点A，B关于x轴对称，求的值． (3)若点A向上平移2个单位长度后，与点B关于y轴对称，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在第二象限角平分线上的坐标特征：横坐标和纵坐标互为相反数，据此列式计算即可求解； （2）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此列式计算即可求解； （3）关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点关于y轴对称的点为， ∴点在第二象限的角平分线上， ∴，   解得； （2）解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴； （3）解：∵点向上平移2个单位长度后得到点， ∴点， ∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴ ． 题型6 在平面直角坐标系中画已知图形的轴对称 方法技巧 在平面直角坐标系中画轴对称图形的方法： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点A和点B的坐标分别为和． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)点C的坐标为______，点C关于x轴的对称点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立、点的坐标确定以及关于x轴对称点的坐标规律，解题的关键是根据已知点的坐标确定坐标系的原点、x轴和y轴的位置，并掌握关于x轴对称点的坐标变化规律． （1） 根据点和点的坐标，确定坐标原点及坐标轴的位置，建立平面直角坐标系； （2） 在建立好的坐标系中，读出点C的坐标；根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”的规律，求出点C关于x轴的对称点的坐标． 【详解】（1）解：以点A向左2个单位、向上4个单位的交点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系． （2）解：在建立的坐标系中，可得点C的坐标为． ∵ 点关于x轴的对称点为， ∴ 点关于x轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 2．（2026·安徽阜阳·模拟预测）安徽省黄山市黟县塔川村红叶景观被誉为“中国四大秋色之一”，每年深秋时节吸引着大量的游客和摄影爱好者前往．如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，一片枫叶的顶点均在格点上，点A的坐标是． (1)将枫叶沿y轴正方向平移6个单位长度，画出平移后的图形，并写出点B的对应点的坐标； (2)画出（1）中平移后的枫叶关于y轴对称的枫叶，并写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)画图见解析；点的坐标为； (2)画图见解析；点的坐标为． 【详解】（1）解：如图所示，位于第二象限的枫叶即为所求， 点的坐标为； （2）解：如图所示，位于第一象限的枫叶即为所求， 点的坐标为． 3．（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴的对称图形（其中点分别是点的对应点）； (2)若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换以及关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键； （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，得到对应点坐标，再依次连接即可； （2）先作出，再根据对称坐标特征作出直线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，和直线即为所求： 4．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系（带箭头的水平实线记为x轴，带箭头的竖直实线记为y轴），的顶点都在格点上． (1)请画出向左平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于x轴对称的图形； (3)在x轴上求作一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； （3）解：点位置如图所示． ∵关于x轴对称的图形是， ∴， 故当在上时，的值最小． 释疑惑·重难拓展 题型1 利用轴对称解决折叠问题 1．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，将一正方形纸片沿图1中的对角线对折一次得图2，再沿图2中的斜边上的中线对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角得图4，将图4展开铺平后的平面图形是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠可知，图3中剪去的切口是斜向的，且没有经过折叠的顶点（即正方形的中心）．由于剪裁的斜线不是垂直或平行于折痕的，展开后的四边形是菱形，不会是正方形，将图4展开铺平后的平面图形是一个正方形中间有一个倾斜的菱形空洞．而且剪下的菱形的对角线与正方形的对角线共线，只有选项C符合． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将长方形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，点A落到上方的点处，与边相交于点，点恰好落到上的处．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠可得，即可得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：根据折叠可得， ∴， 又∵四边形是长方形， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·江西·期末）如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠得，，，设，然后根据建立方程求解，最后根据求解即可． 【详解】解：由折叠得，，， 设， ∵ ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，若，则_______ 度；将图1纸带继续沿折叠成图2，则_______ 度． 【答案】 35 75 【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得，，最后计算出即可； （2）由对顶角相等求得，由折叠的性质得，利用平行线的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图1， ， ，， 又， ， 又， ， 又 ， ， ； （2）如图2， ∵， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴． 题型2 利用轴对称解决最值问题 1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据题意，取关于的对称点，连接，交于点，即可求解． 【详解】解：如图，取关于的对称点，连接，交于点，则点与点重合， 故选：C． 2．（25-26八年级上·北京·期中）某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题．根据轴对称分析即可得到答案． 【详解】根据题意，所需步道最短，应过点或点作对称点，再连接另一点，与直线的交点即为休息站，故选项A、B、D均错误，选项C正确， 故选：C． 3．（23-24八年级上·天津津南·期中）如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，四边形内角和为，三角形外角的性质． （1）利用四边形内角和为，即可作答； （2）首先作点关于，的对称点，，延长到点，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当，，，四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，作点关于，的对称点，，延长到点， 则，，，， 的周长， 当，，，四点共线时，的周长最小， ，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·广西河池·期末）综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题，所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心． (1)尺规作图：在图1中作点关于直线的对称点，连接交于点（不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔作图，再用黑色墨水笔描画清楚）； (2)在（1）中上任意找点（异于点），连接，，，，说明； (3)如图2，已知点，，点在轴上，且的值最小，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了尺规作图—过一点作已知直线的垂线，三角形的三边关系，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作直线的垂线，然后找出点的对称点，连接两点即可得出交点； （2）根据轴对称的性质得出垂直平分，得出，然后分两种情况进行讨论，利用线段的和差以及三角形的三边关系进行证明即可； （3）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，取格点，根据点的坐标确定线段的长度，根据等边对等角得出角的度数，然后利用角的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）证明：如图所示， ∵点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， 当与重合时，； 当与不重合时，中， ∵，， ∴， 综上，； （3）解：如图所示，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小， 取格点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3 与轴对称变换有关的规律题 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2026次变换后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键； 观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2026除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，解答即可． 【详解】解：点第一次关于轴对称后的坐标为， 点第二次关于轴对称后的坐标为， 点第三次关于轴对称后的坐标为， 点第四次关于轴对称后的坐标为，即点回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后所得的点与第二次变换的位置相同，坐标为． 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，第1次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；第2次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；…，依此规律，得到，则点的坐标是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形类规律探索，先根据前面几个点的坐标发现并总结出规律是解题的关键．根据题意得出，，，，总结得出坐标规律，则，最后写出结果即可． 【详解】解：由题意可得，点，将先关于x轴对称，再向右平移一个单位长度得到，继续对称平移后得到，，， ∴由点坐标规律可得， ∴的坐标为． 故选：D． 3．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）边长为2的正方形在如图的平面直角坐标系中，设点，轴，若把正方形 “先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2026次变换后，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变化规律问题，先根据已知条件求出点A的坐标，然后根据规定把正方形“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，求出点A连续三次变换的坐标，找出其变化的规律，根据规律确定点A经过2026次变换后的坐标． 【详解】解：∵正方形的顶点D的坐标为．且轴，正方形的边长， ∴正方形的顶点A的坐标为． 由题意得，经过1次变换点A的坐标变为． 经过2次变换点A的坐标为． 经过3次变换点A的坐标为． 经过4次变换点A的坐标为． 从以上可以看出，奇数次变换点A的横坐标为，偶数次变换点A的横坐标为1； 变换的次数与点A的纵坐标的和为3． ∴当点A经过2026次变换后，点A的横坐标为1，点A的纵坐标为． ∴经过2026次变换后，点A的坐标为． 故选：D． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了小球碰撞正方形边时的对称问题、点的坐标的规律．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2026除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：∵弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角， ∴小球第1次碰到正方形的边时的点为， 小球第2次碰到正方形的边时的点为， 小球第3次碰到正方形的边时的点为， 小球第4次碰到正方形的边时的点为， 小球第5次碰到正方形的边时的点为， 小球第6次碰到正方形的边时的点为， 如此重复， ∴小球每6次碰撞是一个循环组， ∵， ∴的坐标与相同， ∴的坐标为． 故答案为：． 题型4 平面坐标系与轴对称的综合运用 1．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)作出关于轴对称的； (2)作出关于轴对称的； (3)若将向上平移个单位长度，使和有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接即可求解； （2）根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接即可求解； （3）根据平移的性质，分别求得的距离，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵， 当与重合时，， 当与重合时，， ∴将向上平移个单位长度，使和有公共点时， 2．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，作图见解析 (3)21 【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标，然后顺次连接，，，各点即可得四边形； （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：由图得； （2）解：，点C与点D关于x轴对称， ， 四边形如图所示， （3）解：由（2）图得， ． 3．（25-26八年级下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)点C的坐标是______； (2)点D在第四象限内，且与全等，在图中画出点D并直接写出点D的坐标是______； (3)在y轴上存在一点E，使得，那么点E的坐标是______． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)或 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解； （2）按要求画出点D，再由图写出点D的坐标； （3）根据题意，可知点E到的距离等于，在y轴上到的距离等于的点有两个，先画出点E，再由图写出点E的坐标． 【详解】（1）解：∵点C与点A关于y轴对称，点A的坐标为， ∴点C的坐标是； （2）解：点D如图所示， ∵，，， ∴； 由图可得，点D的坐标是； （3）解：∵在y轴上存在一点E，使得， ∴点E到的距离等于， 如图，在y轴上到的距离等于的点有两个，点E的坐标是或，即或． 4．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴负半轴上，，且，满足． (1)直接写出点，，的坐标； (2)点关于轴的对称点为点，点是线段上一点，若直线平分三角形的面积，求点的横坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度向轴负半轴运动，动点从点出发以每秒个单位长度向轴正半轴运动，设直线、交于点，设动点、运动的时间为秒， ①如图2，当时，试探究与面积的数量关系，并说明理由； ②若的面积为，请写出一个满足条件的点坐标是__________． 【答案】(1)，， (2)点的横坐标为 (3)①与面积相等，理由见解析；②坐标或 【分析】（1）利用被开方数为非负数求出的值，再代入求出，得到、坐标，最后根据和在轴负半轴的条件，求出点坐标； （2）先求关于轴的对称点，算出的面积，根据“平分面积”得的面积，再用三角形面积公式列方程，结合在线段上的取值范围，求出的横坐标； （3）①先表示出时和的长度，分别计算和，发现二者相等，再同时减去公共的四边形的面积，得到；②分、、和四种情况进行讨论，再根据的面积为，用割补法列出关于、分别列出方程，然后联立方程组求解，得到两个符合条件的点坐标． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）解：点关于轴的对称点为点， 点的坐标为， ，， ，， ， 直线平分三角形的面积， ， 设点的坐标为， ，即， 解得， 点是线段上一点， ． （3）①解：当时，，， 则， ， 可得， 则， 故． ②解：设点的坐标为， 当，点与点重合，，故； 当，如图，点在第四象限， ， ，可得， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ，即， 由， 解得， 点为； 若，如图，，点不存在； 若，如图，点在第二象限， ， ，可得， 同上法可证，，， 可得， 解得， 点为， 综上，点为或． 知中考·真题探源 1．（2026·四川达州·中考真题）点关于y轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系中点关于轴对称的坐标变化规律，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为， 又∵点的坐标为， ∴ 对称点的横坐标变为，纵坐标保持不变， ∴ 的坐标为． 2．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，   已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 3．（2024·四川绵阳·中考真题）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为．若点M的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于轴对称的点的性质，熟练掌握关于轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标的特点，即可得出答案． 【详解】解：点M的坐标为，则点的坐标为． 故选：A． 4．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质以及平移的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 直接利用平移的性质得出对应点坐标，再利用关于轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位后， ∴平移后的坐标为， ∴得到的点关于轴的对称点坐标是． 故选：B． 5．（2024·内蒙古通辽·中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标．掌握关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题关键．根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出答案． 【详解】解：∵图形的对称轴是轴， ∴在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：C． 6．（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点关于y轴的对称点的坐标是，即点P的坐标为关于y轴对称的点的坐标． 【详解】点 关于y轴的对称点的坐标是， 故选C． 【点睛】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 7．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三点，，的对称点坐标为，，，结合，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算即可． 【详解】∵三点，，的对称点坐标为，，，结合， ∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位， 故坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了关于x轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题的关键． 8．（2023·浙江金华·中考真题）如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（    ）    A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】先根据平移方式求出，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵将向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点， ∴， ∵， ∴点关于y轴对称， 故选B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，正确根据平移方式求出是解题的关键． 9．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【分析】关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为． 10．（2023·湖南湘西·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则__________． 【答案】1 【分析】根据题意可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， 点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ，， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查关于轴对称的两点，属于基础题，明白关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 练好题·提分培优 1．（25-26八年级上·河南开封·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于x轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查关于轴对称的点的特征，熟练掌握关于轴对称的点的特征是关键．根据关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：点A的坐标为， 点A关于x轴的对称点的坐标是． 故选：D． 2．（2026·江西上饶·二模）如图，在正方形网格中找线段（，在格点上），使它与线段，组成轴对称图形，线段的位置有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的特征进行作图即可． 【详解】解：线段如图所示： ①② ∴线段的位置共有2个． 3．在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于 某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解. 【详解】解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称． 故选：B． 4．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ， ． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，三角形纸片中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为的周长为7，，则为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由折叠可知，再利用的周长求出，然后可得． 【详解】解：由折叠可知， ， 解得， ， 即． 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【答案】3265 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265， 故答案为：3265． 7．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________． 【答案】70625 【分析】本题考查了轴对称的性质．直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换， 故他的学号为70625． 故答案为：70625． 8．（25-26八年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2026次碰到长方形边上的点的坐标为_____． 【答案】 【分析】先根据动点的运动规律，依次写出前几次碰到长方形边上的点的坐标，找出坐标的循环周期，再用总次数除以周期，根据余数确定第2026次碰到的点的坐标． 【详解】解：如图， 第1次碰到的点坐标：； 第2次碰到的点坐标：； 第3次碰到的点坐标：； 第4次碰到的点坐标：； 第5次碰到的点坐标：； 第6次碰到的点坐标：； 第7次碰到的点坐标：； ……； 由此可知，动点的坐标以次为一个循环周期． ， 即第2026次碰到的点的坐标与第4次碰到的点的坐标相同，为． 9．（22-23八年级上·山东青岛·期末）已知，点P，N分别是射线，上的定点，M为射线上的一动点，Q为射线上一动点，当的值最小时，的度数为______． 【答案】/40度 【分析】作N点关于的对称点D，P点关于的对称点E，连接与、分别交于点M、点Q，连接、，此时的值最小，由对称性可知，，，可求，最后在中根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作N点关于的对称点D，P点关于的对称点E，连接与、分别交于点M、点Q，连接、， ∴，此时的值最小， 由对称性可知，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、三角形的内角和定理、外角的性质等知识，通过作轴对称确定M、Q的位置，结合三角形外角的性质顺利解题的关键． 10．以图中的虚线为对称轴画出该图形的另一半． 【分析】根据轴对称变换的性质作出图形即可． 【详解】解：图形如图所示： 11．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2) 【分析】（1）分别作出点B，C关于y轴的对称点，，顺次连接A，，得到，根据点的位置即得的坐标； （2）根据割补法列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的三角形； 点的坐标是； （2）解：的面积为． 12．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，直线m 上各点的横坐标都为1，请按要求分别完成下列各小题． (1)画出关于直线m对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出的坐标； (2)若点为的内部一点，请直接写出点P关于直线m对称的点的坐标． 【答案】(1)见详解， (2) 【分析】本题考查了作轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，分别找出，再依次连接，即可作答． （2）设点P关于直线m对称的点的坐标为，运用轴对称的性质，进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示， 为所求： ∴； （2）解：设点P关于直线m对称的点的坐标为， ∵点为的内部一点，且直线m 上各点的横坐标都为1， ∴ ∴， ∴点的坐标为． 13．（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①图见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角点”的概念是解题的关键． （1）根据题意，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）①根据题意，作图即可求解； ②根据全等三角形的对应角相等得出，根据等角的补角相等得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，全等三角形的对应角相等得出，推得，即，过点作关于的对称点，连接，根据对称的性质可得出，推得、、三点共线，在结合“等角点”的定义即可证明． 【详解】（1）解：， 证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①解：如图： ②证明：由（1）得：， ∴， ∵，， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作关于的对称点，连接，如图： 则， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 即交直线于点， ∴点为点，关于直线的“等角点”． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $