期末复习：事件的独立性复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末复习：事件的独立性复习讲义 期末复习：事件的独立性复习讲义 考点目录 证明事件相互独立 独立事件的乘法公式 考点一 证明事件相互独立 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义 设事件 、，若满足 ，则称 与 相互独立。 1. 等价判定条件 （1）公式判定：（通用证明依据）； （2）条件概率判定： 或 。 含义： 发生与否不改变 发生的概率，两事件互不影响。 1. 推论 若 、 独立，则： 与 、 与 、 与 也相互独立。 1. 区分互斥与独立 互斥：，；独立：。 除 或 外，互斥事件一定不独立。 二、解题原理 1. 通用证明步骤： ① 分别计算 、； ② 计算 、 同时发生的概率 ； ③ 验证等式 是否成立，成立则独立，不成立则不独立。 1. 有条件概率时：先求 ，对比是否等于 ，相等即可证明独立。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·天津滨海·月考）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 【答案】B 【详解】对于A，因为事件和事件可以同时发生，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于B，，，，所以事件和事件相互独立，所以B正确； 对于C，事件和事件可以同时发生，所以不是对立事件，所以C错误； 对于D，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）四种情况， 事件包括（正正）（正反）两个基本事件，事件包括（正反）（反反）两种情况，所以不相等，所以D错误． 例2．（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】D 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，共种情况； 令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则， 令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则， 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则， 令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则， 显然，所以丙与丁不对立，故B错误； 由，，，所以， 所以甲与丙不独立，故C错误； 又，， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 例3．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·福建宁德·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】D 【分析】对A，由对立事件的概率关系判断；对B，由互斥事件的概念判断；对C、D，由相互独立事件的概念判断. 【详解】， 对于A：因为，所以不对立，A错误； 对于B：因为当向上的点数为时，事件同时发生，所以不互斥，B错误； 对于C：因为事件“向上的点数是2”，，， ，所以与不相互独立； 对于D：因为事件“向上的点数为”，，又， 所以，所以与相互独立. 故选：D. 变式2．（25-26高三上·上海宝山·期中）抛掷一枚骰子2次，记事件为“2次所得点数和为7”.下列事件中，与事件相互独立的是（   ） A．第1次所得点数为1 B．2次中至少有1次所得点数为1 C．2次所得点数均为1 D．2次中恰有1次所得点数为1 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的定义，逐项检验即可得解. 【详解】为“2次所得点数和为7”，即包含基本事件， 记“第1次所得点数为1”，则包含的基本事件为, 所以包含的基本事件为，故，则，即相互独立，故A正确； 记“2次中至少有1次所得点数为1”，则包含的基本事件为，则， 所以包含的基本事件为，故，则，即不相互独立，故B错误； 记“2次所得点数均为1”，则包含的基本事件为，故， 所以为空集，没有基本事件，即，所以，故不相互独立，故C错误； 记“2次中恰有1次所得点数为1”，则包含的基本事件为，故， 所以包含的基本事件为，故，所以，即不互相独立，故D错误. 故选：A 变式3．（25-26高一下·广东东莞·月考）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（    ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 【答案】D 【分析】根据独立事件的定义逐一判断即可. 【详解】解：抛掷骰子两次，共有个基本事件数, 则, 共18个基本事件，则, 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则, 且，则, ，所以C错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是7，则, 则,且，则 因为，所以事件与事件相互独立. 故选：D. 考点二 独立事件的乘法公式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 两独立事件乘法公式 若 、 相互独立，则同时发生的概率： 1. 推广： 个相互独立事件 若 两两相互独立，则 1. 对立事件搭配公式 独立前提下，至少一个发生、至多一个发生可结合对立转化： 、 独立，则 。 1. 对比一般乘法公式（不独立） 任意事件：； 仅独立时，，简化为乘积形式。 二、解题原理 1. 使用前提：先判断事件之间互不影响、相互独立，才能直接相乘； 1. 正向计算：多个独立事件同时发生，直接把各自概率相乘； 1. 间接计算技巧： “至少有一个发生”转化为对立事件“全都不发生”，用乘法公式计算全不发生概率，再用 ； 1. 分步模型（放回抽样、多次独立试验）：每一步互不干扰，直接套用独立乘法公式计算总概率。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·北京昌平·月考）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 例2．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； (2)求经过3轮罚球后，比赛结束的概率； (3)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 【答案】(1)甲、乙两队打成平局的概率为 (2)求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为 (3)甲队第5个球员需出场罚球的概率为 【分析】（1）平局包含两人都罚进或两人都罚不进两个互斥事件，利用独立事件乘法分别计算两种情况的概率，再相加即可. （2）3 轮后两队各剩 2 次罚球机会，落后方最多追回2分，因此分差≥3时比赛提前终止. 3轮内分差≥3，仅有两种极端比分：甲 3:0 乙、乙 3:0 甲（前两轮分差均未达终止条件，天然成立）.分别计算两种比分的概率，求和即得总概率. （3）分析甲队第5个球员需出场的前提条件：前两轮甲队2:0领先，若甲队第5个球员需出场，说明第三、四轮罚球结束后比赛未提前终止，即前四轮总比分甲队与乙队的分差不超过1分，分别计算三种比分情况2:1、2:2、3:2的概率，再计算概率之和即可. 【详解】（1）设甲队球员罚进点球为事件，未罚进为事件，乙队球员罚进点球为事件，未罚进为事件. 因为，所以；同理，因为，所以. 则甲、乙均罚进的概率为， 甲、乙均未罚进的概率为， 所以甲、乙两队打成平局的概率为. （2）设踢完轮后，甲队总得分为，乙队总得分为. 分类讨论：踢完3轮分差大于或等于3，且前1、2轮未提前结束， ①当3轮后甲队比乙队多3分，甲队3轮全进，乙队3轮全不进，即，则概率为： ​ ②当3轮后乙队比甲队多3分，乙队3轮全进，甲队3轮全不进，即，则概率为： 综上，求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为. （3）因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束时比分可能为或或，则需要分以下情况来讨论： ①比分为的概率为： . ②比分为的概率为： . ③比分为的概率为： . 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为. 例3．（25-26高一下·江苏扬州·期中）甲、乙两位同学参加趣味竞赛，竞赛规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为的球有个，甲从6个球中随机摸取3个球，记录所取球的标号之和后将球放回，再由乙从6个球中随机摸取3个球，记录所摸取球的标号之和，规定所摸取球的标号之和多者获胜. (1)求甲所取球的标号之和为7的概率； (2)求甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据标号之和为7的情况，根据古典概型，求出概率即可； （2）根据三个球标号之和的所有情况，分别求出各自的概率，再分别讨论甲获胜的所有情况，根据独立事件概率乘法公式，求出结果即可. 【详解】（1）摸取三个球标号之和为随机变量，当时有和两种情况， 则. （2）随机变量有可能的值有， 当时，三个球标号为，则， 当时，三个球标号为，则， 由（1）可知，， 当时，三个球标号为，则， 当时，三个球标号为，则； 当甲要获胜时，甲标号之和为时，乙可以是， 当甲标号之和为时，乙可以是， 甲标号之和为时，乙可以是，甲标号之和为时，乙可以是， 所以甲获胜的概率为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·广东江门·期末）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求的值； (2)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (3)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为、、三个等级.若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、；乙在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、.求甲、乙能同时获得参赛资格的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有直方图面积之和为可得出关于的等式，即可解得的值； （2）利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （3）求出甲、乙各自获得参赛资格的概率，再利用独立事件的概率公式可求得甲、乙能同时获得参赛资格的概率. 【详解】（1）由题意得，，解得. （2）因为按、分层，采用分层随机抽样的方法抽取人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为、、， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为， 从人中抽取人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有人分数低于分”为事件， 则. 即，因此. 故人中至少有人分数低于分的概率为. （3）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，，. 由于甲、乙的考核结果互相不受影响， 所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立. 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为. 变式2．（25-26高一下·北京房山·月考）甲､乙两人参加猜成语对抗赛.甲､乙两人在每次比赛中各猜一个成语，若一方猜对且对方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次比赛中，甲､乙猜对的概率分别为和，且每次比赛中甲､乙猜对与否互不影响，各次比赛结果也互不影响. (1)求在一次比赛中甲获胜的概率； (2)求在一次比赛中平局的概率； (3)求在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的概率公式计算出甲在一次比赛中获胜的概率； （2）利用独立事件的概率公式及概率加法公式可计算出在一次比赛中平局的概率； （3）利用独立事件和对立事件的概率公式可求得在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率. 【详解】（1）记在一次比赛中，甲猜对为事件A，乙猜对为事件B. 则在一次比赛中甲获胜的概率为. （2）在一次比赛中平局的概率为. （3）由（1）知，在一次比赛中甲获胜的概率为，所以在一次比赛中甲没有获胜的概率为. 且各次比赛结果也互不影响，所以两次比赛，甲均没有获胜的概率为. 所以在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率为. 变式3．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织两部门的员工参加培训. (1)已知该公司部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； (2)此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率； (3)从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到部门领导且第二天选到部门领导的概率.（无需过程，直接作答） 【答案】(1)样本空间见解析， (2) (3) 【分析】（1）利用组合计数方法求出基本事件数，再利用古典概率列式求解. （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. （3）利用（1）中结果求得基本事件的个数，记事件：第一天选到部门领导且第二天选到部门领导，直接求出事件包含的基本事件的个数，利用古典概率公式，即可求解. 【详解】（1）记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从6名部门领导中随机选取2人负责，样本空间为： ，共15种， 选取2人全部来自部门领导的事件，不同结果有：，共3种， 所以全部来自A部门领导的概率为. （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. （3）由（1）知，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，共有种， 记事件：第一天选到部门领导且第二天选到部门领导， 则事件包含：，共种， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：事件的独立性复习讲义 期末复习：事件的独立性复习讲义 考点目录 证明事件相互独立 独立事件的乘法公式 考点一 证明事件相互独立 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义 设事件 、，若满足 ，则称 与 相互独立。 1. 等价判定条件 （1）公式判定：（通用证明依据）； （2）条件概率判定： 或 。 含义： 发生与否不改变 发生的概率，两事件互不影响。 1. 推论 若 、 独立，则： 与 、 与 、 与 也相互独立。 1. 区分互斥与独立 互斥：，；独立：。 除 或 外，互斥事件一定不独立。 二、解题原理 1. 通用证明步骤： ① 分别计算 、； ② 计算 、 同时发生的概率 ； ③ 验证等式 是否成立，成立则独立，不成立则不独立。 1. 有条件概率时：先求 ，对比是否等于 ，相等即可证明独立。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·天津滨海·月考）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 例2．（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 例3．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·福建宁德·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 变式2．（25-26高三上·上海宝山·期中）抛掷一枚骰子2次，记事件为“2次所得点数和为7”.下列事件中，与事件相互独立的是（   ） A．第1次所得点数为1 B．2次中至少有1次所得点数为1 C．2次所得点数均为1 D．2次中恰有1次所得点数为1 变式3．（25-26高一下·广东东莞·月考）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（    ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 考点二 独立事件的乘法公式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 两独立事件乘法公式 若 、 相互独立，则同时发生的概率： 1. 推广： 个相互独立事件 若 两两相互独立，则 1. 对立事件搭配公式 独立前提下，至少一个发生、至多一个发生可结合对立转化： 、 独立，则 。 1. 对比一般乘法公式（不独立） 任意事件：； 仅独立时，，简化为乘积形式。 二、解题原理 1. 使用前提：先判断事件之间互不影响、相互独立，才能直接相乘； 1. 正向计算：多个独立事件同时发生，直接把各自概率相乘； 1. 间接计算技巧： “至少有一个发生”转化为对立事件“全都不发生”，用乘法公式计算全不发生概率，再用 ； 1. 分步模型（放回抽样、多次独立试验）：每一步互不干扰，直接套用独立乘法公式计算总概率。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·北京昌平·月考）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 例2．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； (2)求经过3轮罚球后，比赛结束的概率； (3)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 例3．（25-26高一下·江苏扬州·期中）甲、乙两位同学参加趣味竞赛，竞赛规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为的球有个，甲从6个球中随机摸取3个球，记录所取球的标号之和后将球放回，再由乙从6个球中随机摸取3个球，记录所摸取球的标号之和，规定所摸取球的标号之和多者获胜. (1)求甲所取球的标号之和为7的概率； (2)求甲获胜的概率. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·广东江门·期末）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求的值； (2)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (3)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为、、三个等级.若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、；乙在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、.求甲、乙能同时获得参赛资格的概率. 变式2．（25-26高一下·北京房山·月考）甲､乙两人参加猜成语对抗赛.甲､乙两人在每次比赛中各猜一个成语，若一方猜对且对方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次比赛中，甲､乙猜对的概率分别为和，且每次比赛中甲､乙猜对与否互不影响，各次比赛结果也互不影响. (1)求在一次比赛中甲获胜的概率； (2)求在一次比赛中平局的概率； (3)求在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率. 变式3．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织两部门的员工参加培训. (1)已知该公司部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； (2)此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率； (3)从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到部门领导且第二天选到部门领导的概率.（无需过程，直接作答） 2 学科网（北京）股份有限公司 $