浙江宁波市2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

宁波市2025学年第二学期期末考试 高二数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试题卷上的答案无效． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若集合，，则 A． B． C． D． 3．已知，，则“”是“且”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．从，，，，这五个数中随机取两个数，则其中一个是另一个两倍的概率为 A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 5．平面向量，，则与的夹角为 A． B． C． D． 6．若，则的值为 A． B． C． D． 7．某生物种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，则 A．存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且 B．存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且 C．存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且 D．不存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形 8．中国茶文化源远流长，茶壶造型千姿百态．比如起源于巴蜀茶馆的长嘴壶（图1），其细长的壶嘴能隔座注水，既美观又具实用之妙．如图2，一个长嘴壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径16厘米，壶身高12厘米，壶嘴长40厘米，与壶身夹角为60度，壶嘴最低点连接壶底．若将壶身向壶嘴方向转15度时，刚好可以使壶中的水倒出，则将茶壶水平放置时壶中的水面高度为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设直线，，是三条不同的直线，平面，是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的有 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 10．定义在上的函数满足为偶函数，且，则 A．函数为偶函数 B．函数为周期函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在内至少有个零点 11．已知点，分别是平面四边形边，的中点，且，，，则 A． B． C． D． 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数，则 ▲ ． 13．，是两个相互独立的随机事件，且，，则 ▲ ． 14．若对任意的，函数在区间上单调递增，则正实数的取值范围是 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某市1000名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1） （3）估计这次数学竞赛中63分以上的人数． 16．(15分)在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求； （2）若，，求的面积． 17．（15分）如图，在四棱锥中，，，，平面，． （1）求证：； （2）若，且二面角的大小为， （i）求直线与平面所成角的大小； （ii）求的长． 18．（17分）已知定义在上的函数． （1）若，求证：对任意成立； （2）给定函数，若满足方程，则称是的一个“不动点”．若函数在上仅有一个“不动点”，求的取值范围． 19．（17分）已知函数(，)，()． （1）求证：； （2）若对任意，存在，使得，求实数的最大值； （3）记的最大值为，最小值为．解关于的不等式：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波市2025学年第二学期期末考试 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A C C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AD ABD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．3 13．0.8 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解析：（1）由题意得，解得； 3分 （2）由（1）得成绩落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，则中位数为， 平均数为； 8分 （3）设为63分以上的频率，为63分以上的人数， 则，， 故63分以上的人数估计为855人． 13分 16．解析：（1）由余弦定理，得，， 从而，， 故， ，．又，所以； 6分 （2）由余弦定理，得， ，，，，解得或． 当时，；当时，． 综上，的面积为或． 15分 17．解析：（1）因为平面，平面，所以， 又因为，，，所以， 又，故平面，故； 4分 （2）（i）因为平面， 由线面角的定义知，为直线与平面所成角的平面角． 又因为，故线面所成角的大小为； 9分 （ii）因为，，，所以平面． 过作垂线，垂足为， 又，，所以平面． 过作垂线，垂足为， 由三垂线定理的逆定理知：为二面角的平面角． 故， 因为，所以，解得． 15分 18．解析：（1）由，得， 从而，此时满足条件． ， ，， 故对任意成立； 7分 （2）由的定义域为，得恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时等号成立，故． 设函数在上的“不动点”为，则， 即，整理得，， 令，，则， 则在上单调递减，上单调递增， 又，，， 所以若与的图象在上仅有一个交点，则或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是． 17分 19．解析：(1)因为，所以． 3分 （2）设，则，且． 注意到的分子和分母恒大于等于0，且当时，的分子最大，分母最小， 所以． 由题设，只需对任意，有成立． 令，显然，且， 即，其中，． 由，解得，或（舍去）． 当时，可取等号成立．所以，． 故，即实数的最大值为． 9分 （3）设，则． 则， 即，其中． 由，得， 即，所以． 由，得（这里显然有），即． 则，，即，． 故原不等式的解集为，． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $