专题08 空间几何体中路径最短、轨迹、截面问题（思维导图+3知识点+6大题型+综合通关）（暑假复习讲义）新高二数学人教A版

专题08 空间几何体中路径最短、轨迹、截面问题 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01 空间几何体中的最短路径问题 题型02 截面的形状问题 题型03 截面的周长、面积问题 题型04 截面切割几何体体积问题 题型05 动点保持平行、垂直求轨迹 题型06 其他求轨迹题型 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 空间几何体中的最短路径问题 2. 截面问题 3. 轨迹问题 1. 柱锥台体中的最短路径问题 2. 截面的做法和形状问题 3. 动点平行、垂直、长度不变的轨迹问题 考情解码： 截面、轨迹问题一般都是压轴出现，对综合能力的要求比较高。 知识点一 最短路径问题 1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面. 2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解. 即时即练 1．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 2．已知正三棱柱的底面边长为1,高为8,一质点自点出发，沿着棱柱侧面绕行一周到达点的最短路线的长为__________. 3．已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点.则蚂蚁爬行的最短路程长为___________cm 4．如图，已知正四棱锥的侧棱长为，侧面等腰三角形的顶角为，则从A点出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程为（   ）    A． B． C． D．6 知识点二 截面问题 1、截面问题的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 2、截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3、作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 4、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； 2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图. 5、正方体中的基本截面类型 【易错提醒】 作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 2、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 3、交线问题 （1）利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线，即只需找相交平面的两个公共点，两点连线就是交线. （2）利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行，再利用性质作出交线. （3）对于球与多面体的交线长问题，根据交线的不同有两种计算方法：一是利用弧长公式计算，只需找出弧所对的圆心角即可；二是转化为截面小圆计算，只需找到小圆半径即可. 即时即练 1．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 2．在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 知识点三 轨迹问题 1、由动点保持平行性求轨迹 （1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹. 2、动点保持垂直求轨迹 （1）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹. 3、由动点保持等距（或者定距）求轨迹 （1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；（2）利用空间坐标计算求轨迹. 4、由动点保持等角（或定角）求轨迹 （1）直线与面成定角，可能是圆锥侧面；（2）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；（3）利用空间坐标系计算求轨迹. 5、投影求轨迹 （1）球的非正投影，可能是椭圆面；（2）多面体的投影，多为多边形. 6、翻折与动点求轨迹 （1）翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；（2）翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；（3）利用空间坐标运算求轨迹. 即时即练 1．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________ 2．（24-25高一下·河南·阶段检测）如图，在正方体，中，，为正方形内（含边界）一动点，是棱，的中点，且，则点的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 题型01 空间几何体中的最短路径问题 1．（24-25高一下·天津河西·阶段检测）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 2．（24-25高一下·福建福州·期中）已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点从点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 3．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·重庆九龙坡·阶段检测）已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 5．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________．    6．正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 7．如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为______． 题型02 截面的形状问题 1．（25-26高一下·全国·单元测试）用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长方形，也可以使截面是圆，则这个几何体可以是（   ） A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．球 2．已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 3．（24-25高一下·山西·阶段检测）用一个平面去截正方体，则截面不可能是（    ） A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形 4．在四棱锥中，，且，则（    ） A．不存在平行四边形截面 B．存在唯一的平行四边形截面 C．存在两个平行四边形截面 D．存在无穷多个平行四边形截面 5．（25-26高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【易错警示】 作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 2、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 3、交线问题 （1）利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线，即只需找相交平面的两个公共点，两点连线就是交线. （2）利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行，再利用性质作出交线. （3）对于球与多面体的交线长问题，根据交线的不同有两种计算方法：一是利用弧长公式计算，只需找出弧所对的圆心角即可；二是转化为截面小圆计算，只需找到小圆半径即可. 题型03 截面的周长、面积问题 1．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 2．（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    3．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为________． 4．（24-25高一下·河北·期中）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________. 5．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面面积为____．    题型04 截面切割几何体体积问题 1．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，过圆锥的一条母线的中点且与圆锥底面平行的平面截圆锥，则截面与底面之间的部分构成的几何体的体积是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西柳州·期末）现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，过三棱台上底面的一边，作一个平行于棱的截面，与下底面的交线为DE；若D、E分别是AB、BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．在正方体中，是线段的中点，平面ACM将正方体分成体积分别为、的两部分，其中，则______． 5．如图，在棱长为2a的正方体中，P，Q分别为的中点，过P，Q，B三点的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1）为_________ 6．点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱 所得截面面积为S，五棱锥. 的体积为，三棱柱的体积为V，则 __________，______    题型05 动点保持平行、垂直求轨迹 1．在所有棱长为4的正四棱锥中，M是底面正方形内一点（含边界），若，则点M的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 2．已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 3．在棱长为1的正方体中，E在棱上且满足，点F是侧面上的动点，且面AEC，则动点F在侧面上的轨迹长度为______． 4．点M是棱长为2的正方体的内切球O球面上的动点，点N为BC边上中点，若，则动点M的轨迹的长度为______． 5．（25-26高一下·全国·期末）在正方体中，点Q为底面四边形（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为______. 6．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________ 题型06 其他求轨迹题型 1．已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 2．已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（    ） A． B．3 C． D． 3．已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 4．在长方体中，已知，，点是四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离为1，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C．1 D． 5．如图，在棱长为3的正方体中，点P是平面内一个动点，且满足，则点P的轨迹长度为_____________． 6．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 1．用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 2．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 3．在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 5．已知正六棱柱的底面边长为4，体积为，点N在正六边形内及其边界上运动，若，则动点N的轨迹长度为（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，AB、CD是圆台的两条母线，若圆台的高为，上底面半径为3，下底面半径为6，则截面ABDC面积的最大值为（   ） A． B． C．18 D．24 7．将边长为的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且若则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正三棱柱的所有边长都相等，为线段的中点，为侧面内的一点（包括边界，异于点），过点、、作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（    ）    A．五边形 B．四边形 C．等腰三角形 D．直角三角形 9．（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，在边长为1的正方体中，，，，分别为棱，，，的点，满足，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（   ） A．时，该截面是正六边形 B．时，四边形为正方形 C．平面 D．当四边形为正方形时，它的面积为 10．（多选题）（24-25高一下·福建莆田·期末）在棱长为4的正方体中，点在棱上，且，点在正方形内（含边界）运动，则（    ） A．当时，平面截该正方体所得的截面面积为18 B．当时，点到平面的距离为 C．当，且平面时，点的轨迹长度为5 D．当，且时，点的轨迹长度为 11．（多选题）如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 12．如图，已知在三棱柱中，分别为的中点，则截面分三棱柱的体积比______. 13．（24-25高一下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是_________，截面的面积是_________． 14．已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，且点P在四边形内部及其边界上运动，并且总是保持平面，则动点P的轨迹长度为_________；在上述条件下，若总是保持，则动点P的轨迹长度为_________. 15．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是边长为4的正方形，，， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面内的一个动点，若平面，则动点 的轨迹长度是______． 16．如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为____________.    / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 空间几何体中路径最短、轨迹、截面问题 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01 空间几何体中的最短路径问题 题型02 截面的形状问题 题型03 截面的周长、面积问题 题型04 截面切割几何体体积问题 题型05 动点保持平行、垂直求轨迹 题型06 其他求轨迹题型 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 空间几何体中的最短路径问题 2. 截面问题 3. 轨迹问题 1. 柱锥台体中的最短路径问题 2. 截面的做法和形状问题 3. 动点平行、垂直、长度不变的轨迹问题 考情解码： 截面、轨迹问题一般都是压轴出现，对综合能力的要求比较高。 知识点一 最短路径问题 1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面. 2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解. 即时即练 1．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【分析】利用侧面展开图，结合勾股定理即可求解最短路径长. 【详解】 通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边， 即 故选：A. 2．已知正三棱柱的底面边长为1,高为8,一质点自点出发，沿着棱柱侧面绕行一周到达点的最短路线的长为__________. 【答案】 【分析】将该正三棱柱的侧面展开，结合展开图矩形的对角线长，进而求得最短距离. 【详解】正三棱柱的侧面展开图如下图所示： 则质点自点出发，沿着棱柱侧面绕行一周到达点的最短距离为上图矩形的对角线的长度， . 故答案为：. 3．已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点.则蚂蚁爬行的最短路程长为___________cm 【答案】 【分析】要求蚂蚁爬行的最短路程，需将圆锥的侧面展开，找到最短路径，利用三角形进行求解.. 【详解】 解： 由已知得：圆锥的底面半径为cm， 则底面圆的周长，即圆锥侧展开图扇形的弧长为：cm， 又圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图扇形的半径为：5cm， 则侧面展开图圆心角，最短距离即为的长， 由余弦定理得：， 故答案为： 4．如图，已知正四棱锥的侧棱长为，侧面等腰三角形的顶角为，则从A点出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程为（   ）    A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】把正四棱锥的侧面沿着SA剪开，得到它的侧面展开图，得到一个由四个全等的顶角为的等腰三角形组成的图象，所求的路径即为，求解即可. 【详解】把正四棱锥的侧面沿着SA剪开，得到它的侧面展开图(如图). 要使路程最短，必须沿着线段前行. 在中，，，则. 作于H，则，，. 故选：D.    知识点二 截面问题 1、截面问题的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 2、截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3、作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 4、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； 2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图. 5、正方体中的基本截面类型 【易错提醒】 作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 2、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 3、交线问题 （1）利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线，即只需找相交平面的两个公共点，两点连线就是交线. （2）利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行，再利用性质作出交线. （3）对于球与多面体的交线长问题，根据交线的不同有两种计算方法：一是利用弧长公式计算，只需找出弧所对的圆心角即可；二是转化为截面小圆计算，只需找到小圆半径即可. 即时即练 1．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】根据正方体的结构特征，讨论的位置并结合平面的基本性质、空间想象判断截面的形状，即可得. 【详解】如下图，    当在上，截面形状为矩形， 当与重合，截面形状为等边三角形， 当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形. 故选：C 2．在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先作出过，，三点的截面为五边形，根据相似，求解长度，根据体积公式即可求解. 【详解】如图，延长，相交于，连接，交于， 同理可作，则，，三点的截面为五边形， 不妨设正方体棱长为1，则，所以， 又，所以． 同理可得，， 可知截得较小部分体积， 所以， 又立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为． 故选：C． 知识点三 轨迹问题 1、由动点保持平行性求轨迹 （1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹. 2、动点保持垂直求轨迹 （1）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹. 3、由动点保持等距（或者定距）求轨迹 （1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；（2）利用空间坐标计算求轨迹. 4、由动点保持等角（或定角）求轨迹 （1）直线与面成定角，可能是圆锥侧面；（2）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；（3）利用空间坐标系计算求轨迹. 5、投影求轨迹 （1）球的非正投影，可能是椭圆面；（2）多面体的投影，多为多边形. 6、翻折与动点求轨迹 （1）翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；（2）翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；（3）利用空间坐标运算求轨迹. 即时即练 1．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________ 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 2．（24-25高一下·河南·阶段检测）如图，在正方体，中，，为正方形内（含边界）一动点，是棱，的中点，且，则点的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，可得，记圆弧与正方形的边的交点为，连接，进而计算可得，可求得点的轨迹的长度. 【详解】取的中点，连接， 因为是棱的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，， 又因为平面，又平面，所以， 又，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在平面的圆弧， 记圆弧与正方形的边的交点为，连接， 由对称性可得，又， 所以，所以可得， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的， 所以点的轨迹的长度为. 故选：C. 题型01 空间几何体中的最短路径问题 1．（24-25高一下·天津河西·阶段检测）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，. 故选；C 2．（24-25高一下·福建福州·期中）已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点从点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据侧面展开图可得最短距离. 【详解】由已知，需绕三棱柱的侧面绕行两周， 则将三棱柱沿展开，并沿底边扩大倍， 如图所示， 则展开图是以为底，为高的矩形， 则最短路径即为其对角线长为， 故选：D. 3．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在立体图形中，根据各边长得到相应的弧长，在侧面展开图中，利用弧长公式计算出夹角为直角，再根据勾股定理求边长即可得到答案. 【详解】因为，所以圆的周长是圆周长的两倍， 则弧的弧长. 将圆台一半侧面展开，如图1中扇环所示． 延长和交于点，连接，如图1所示， 由可得， 所以，则， 所以在中，， 即点到点所经过的最短路程为． 故选：C． 4．（25-26高一下·重庆九龙坡·阶段检测）已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，利用余弦定理计算即可得到答案. 【详解】因为平面，平面，所以，， 在正方形中，对角线平分直角，得， 将平面沿展开，与平面共面， 此时，且， 当三点共线时最小，此时， 由余弦定理可得， 开方得：，即的最小值为. 5．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________．    【答案】/ 【详解】把圆锥侧面沿母线展开如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径. 由题意可知，，， 则在等腰三角形中得，则，， 则弧长为， 设圆锥底面半径为，则，得， 则圆锥的侧面积为    6．正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 【答案】 【分析】把立体表面上的最短路程转化为展开图中两点间的距离．正四棱柱的三条棱长分别为3，3，2，连接相对顶点的表面路径共有三种基本展开方式；由于两个底面边长相等，其中有两种所得长度相同，因此只需比较两类不同的长度． 【详解】 将正四棱柱从到的表面路径展开到平面内，表面上的最短路径就转化为展开图中两点间的线段．所有本质不同的展开方式可归为以下两类． 情况1：经过相邻两个侧面． 将侧面与（或侧面与）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的长为，宽为． 所以，此时的最短路程为． 情况2：经过一个侧面与一个底面． 将侧面与上底面（或侧面与上底面）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的一边为，另一边为． 所以，此时的最短路程为． 比较两种长度的平方，前者的平方为40，后者的平方为34，因此． 所以，蚂蚁爬行的最短路程为． 7．如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为______． 【答案】2 【分析】画出正四棱锥的侧面展开图，得到A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最长最短距离. 【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 故答案为：2. 题型02 截面的形状问题 1．（25-26高一下·全国·单元测试）用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长方形，也可以使截面是圆，则这个几何体可以是（   ） A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【分析】根据几何体的特征排除选项A，B，D. 【详解】选项A，B截面不能是圆，不正确； 选项D截面不能是长方形，不正确； 选项C截面可以是长方形，也可以是圆. 故选：C. 2．已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【详解】延长，交的延长线于， 连接，交于， 延长，交的延长线于， 连接，交于， 最后依次连接， 所得截面，即为所求. 故选：B 3．（24-25高一下·山西·阶段检测）用一个平面去截正方体，则截面不可能是（    ） A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】可根据空间想象或者结合图形等方法解决. 【详解】用一个平面去截正方体，截面可能是正方形、梯形、等边三角形. 当平面平行于正方体的一个面去截正方体时，截面是正方形，如图，A可能. 如图，截面可以是梯形，B可能. 如图，当平面截取正方体的三个顶点，截面是等边三角形，C可能. 故选：D． 4．在四棱锥中，，且，则（    ） A．不存在平行四边形截面 B．存在唯一的平行四边形截面 C．存在两个平行四边形截面 D．存在无穷多个平行四边形截面 【答案】D 【分析】根据四棱锥截面图形结合几何特征判断即可. 【详解】如图，过的截面交平面于，则因为，平面，平面， 所以平面， 因为，且，则存在，所以为平行四边形， 同时在四棱锥中，作底面的平行平面截四棱锥截面都是平行四边形， 所以存在存在无穷多个平行四边形截面， 即四棱锥中存在无穷多个平行四边形截面； 故选：D. 5．（25-26高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法推出截面的形状． 【详解】如图所示，在正方体中， 由于平面平面，且平面与平面的交线为， 故平面与平面的交线必过点，且与平行， 不妨设正方体的棱长为1，在矩形中，由题可知，； 在矩形中，，； ， 又， ，故， 平面与平面的交线就是， 平面平面，且平面与平面的交线为， 平面与平面的交线必过点，且平行于， 设，平面，平面平面，平面， 平面， ，则与的交点位于的延长线上， 位于上，连接， 则平面与平面的交线为， ，，，，五点共面， 截面为五边形，故C正确． 【易错警示】 作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 2、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 3、交线问题 （1）利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线，即只需找相交平面的两个公共点，两点连线就是交线. （2）利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行，再利用性质作出交线. （3）对于球与多面体的交线长问题，根据交线的不同有两种计算方法：一是利用弧长公式计算，只需找出弧所对的圆心角即可；二是转化为截面小圆计算，只需找到小圆半径即可. 题型03 截面的周长、面积问题 1．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 【答案】 【分析】根据平面的性质及线线平行的关系可直接作出截面，再计算各边可得周长. 【详解】如图：取棱的中点，连接，则多边形为截面图形. 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为分别是的中点，由中位线定理得，再由， 所以，即四点共面，而平面是过的截面，且三点不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为2， 所以，所以截面的周长为. 故答案为：. 2．（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    【答案】18 【分析】首先根据平行的性质，作出截面，再求面积. 【详解】连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为为中点，为中点， 所以，所以即四点共面，而平面是过、、的截面，且三点、、不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为4， ，过点作于点， 所以， 所以截面的面积为.    3．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为________． 【答案】 【详解】 如图，取B1C1的中点M，连接KM，MC，易证四边形KMCA为等腰梯形，上底KM＝，下底AC＝，腰长AK＝MC＝，则其高为KH＝，所以计算可得其面积为. 4．（24-25高一下·河北·期中）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________. 【答案】 【分析】根据题意在正方体中找到截面，算出各边长再求周长即可. 【详解】在正方体中，设直线与直线，分别交于，，连接，分别与，交于点，，连接，，则五边形是过、、的正方体的截面. 由为中点，为中点，得， ，则，同理. ，即，，同理，. ，，， 所以截面的周长为. 故答案为：. 5．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面面积为____．    【答案】 【分析】取中点，延长，与直线交于点，与直线交于点，连接，交于点，连接，交于点，证明过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形，再求其面积即可. 【详解】取中点，因为为中点，故， 因为，分别是，的中点，所以， 由正方体性质可得，， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 延长，与直线交于点，与直线交于点， 连接，交于点，连接，交于点， 则过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形， 记的交点为，则， 由已知，所以， 所以， 故过，，三点的平面截正方体所得截面面积为.    题型04 截面切割几何体体积问题 1．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，过圆锥的一条母线的中点且与圆锥底面平行的平面截圆锥，则截面与底面之间的部分构成的几何体的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆锥轴截面的参数求出原圆锥的底面半径、高及体积，再利用相似性求出截得的小圆锥体积，作差得到所求几何体的体积. 【详解】已知圆锥轴截面为边长为2的等边三角形，因此圆锥底面直径等于等边三角形的边长，即底面半径； 圆锥的高为等边三角形的高，由勾股定理得， 原圆锥体积， 过母线中点且平行于底面的平面截圆锥，所得小圆锥与原圆锥为相似几何体， 相似比为，因此小圆锥的底面半径，高， 可得小圆锥体积， 所求体积. 2．（24-25高一下·广西柳州·期末）现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，设，分别求出四面体的表面积和三棱台的表面积，由这两部分的表面积相等，求出，即可求出截面面积. 【详解】如图正四面体，， ，令，截面， 由，得，即，则， ，四面体为正四面体， 四面体的表面积为：， 梯形的面积为，则三棱台的表面积为： ， 由，得，解得， 所以截面. 故选：D 3．如图所示，过三棱台上底面的一边，作一个平行于棱的截面，与下底面的交线为DE；若D、E分别是AB、BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行和面面平行得到线线平行，得到几何体为棱柱，另外，根据柱体和台体体积公式求出答案. 【详解】平面与棱平行，平面平面，平面平面， 所以，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 故几何体为棱柱，设棱柱的高为， 故， 又D、E分别是AB、BC的中点，则， 由台体体积公式得， 故 故选：A 4．在正方体中，是线段的中点，平面ACM将正方体分成体积分别为、的两部分，其中，则______． 【答案】 【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而作出平面与平面的交线，进而得出平面分正方体为两部分，再利用棱台的体积公式即可求出结果. 【详解】取的中点，连接，因为平面， 故平行于平面与平面的交线，又分别为的中点， 易知，即平面平面， 故平面分正方体为两部分，设正方体的边长为2，则正方体的体积为8， ，故 5．如图，在棱长为2a的正方体中，P，Q分别为的中点，过P，Q，B三点的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1）为_________ 【答案】 【分析】先作出完整的截面，求出两部分的体积即可. 【详解】由题意可知，延长PQ与的延长线交于点E，与的延长线交于点连接，分别交于点，由此作出完整的截面,易得，则，又，则， 则过点的截面上方的体积， 另一部分体积为，故. 6．点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱 所得截面面积为S，五棱锥. 的体积为，三棱柱的体积为V，则 __________，______    【答案】 / 【分析】延长交的延长线于点，可知截面为四边形；可证得为中点，得到；结合知，由此可求得；设四边形的面积为，可得，由可推导得到. 【详解】延长交的延长线于点，连接交于点，连接，则平面截三棱柱所得截面为四边形．     ，为的中点， ≌，为的中点， 的面积. ，， 的面积为， . 设四边形的面积为， 的面积为， 五棱锥的体积为， 连接，则三棱锥的体积为， 故，， . 故答案为：；. 题型05 动点保持平行、垂直求轨迹 1．在所有棱长为4的正四棱锥中，M是底面正方形内一点（含边界），若，则点M的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令正方形中心为，取中点，利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直的性质探求轨迹的形状，进而求出其长度. 【详解】在正四棱锥中，令正方形中心为，取中点，连接， 取中点，连接，则，由平面， 平面，则平面，由，得， ，又平面， 因此，，点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆在正方形及内部的圆弧，显然， 则，而点是的轨迹的端点，于是点的轨迹是半径的半圆， 所以点M的轨迹长度是. 故选：A 2．已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用线面角的定义作出线面角，然后利用条件求出的长.取CD的中点E，连接AE，BE，则平面，取BC的中点F，BE的中点G，通过线面垂直的性质定理得所以平面ABE.再利用球的性质求得截面圆的半径，即可求得截面圆的周长，即点的轨迹长. 【详解】解：正三棱锥中，设点在底面上的投影为， 则为的中心，且平面. 连接，则为直线与平面所成的角.如图：    因为正三棱锥的底面的边长为4， 所以边上的高(中线)的长为，所以. 由题可知，所以，所以. 所以三棱锥为正四面体，其各个面均为正三角形. 因为动点在以为直径的球面上，且直线平面， 所以点的轨迹为过直线且垂直于的平面截以为直径的球面所得的截面圆. 如图所示，取的中点，连接AE，BE. 因为和均为正三角形，所以， 又平面ABE，故平面ABE. 所以平面, 平面即为平面. 取BC的中点F，BE的中点G，连接FG，则FG∥CD，所以平面MAB且. 因为F是BC的中点，所以F为以BC为直径的球的球心，所以FG是球心F到平面MAB的距离. 因为所以该球半径为2， 则点M的轨迹所形成的圆的半径为， 则其轨迹长为 故选：D． 3．在棱长为1的正方体中，E在棱上且满足，点F是侧面上的动点，且面AEC，则动点F在侧面上的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】根据已知，利用面面平行得到线面平行，再根据正方体的性质计算求解. 【详解】如图，取的中点，并连接、、， 因为E在棱上且满足，即E是棱的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 又，所以平面平面， 所以动点F在侧面上的轨迹即为， 因为正方体的棱长为1，由勾股定理有：.    故答案为：. 4．点M是棱长为2的正方体的内切球O球面上的动点，点N为BC边上中点，若，则动点M的轨迹的长度为______． 【答案】/ 【分析】分别取、的中点、，连接、、，证明、、、四点共面，并计算出球心到平面的距离，可计算得出截面圆的半径，利用圆的周长公式可求得结果. 【详解】如图，正方体的内切球的半径， 由题意，分别取、的中点、，连接、、， 在正方体中，四边形为平行四边形， 所以、、、四点共面， 则，，，所以，， 所以，，， 平面，平面，， ，平面， 所以，动点的轨迹就是平面截内切球的交线， 取的中点，连接， 则四边形为平行四边形，易知点为的中点， 过点在平面内作， 平面，平面，则， ，平面，， 所以，， 因为点为的中点，则到平面的距离为， 截面圆的半径， 所以动点的轨迹的长度为截面圆的周长． 故答案为：. 5．（25-26高一下·全国·期末）在正方体中，点Q为底面四边形（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为______. 【答案】线段 【分析】取的中点M，连接并延长交的延长线于N，可证平面，进而可得平面平面，再确定点的轨迹即可． 【详解】取的中点M，连接并延长交的延长线于N， 由，可得，所以，所以A为的中点． 连接，由正方体可得， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面． 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 又因为点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面， 所以，即点Q的轨迹是线段. 6．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________ 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 题型06 其他求轨迹题型 1．已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正三棱锥的图形特征，计算得出点的轨迹计算即可. 【详解】由题意可知，正三棱锥，设正的中心为，得 ，又， 点在内部（含边界）运动，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧， 作于，则点的轨迹长度为. 故选：A. 2．已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点，连接，证明平面，从而可得点在平面内，再根据，得点在以为球心，半径为1的球面上，可得动点的轨迹为平面与球的球面的交线，求出平面截球所得截面圆的半径，即可得解. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，所以， 又，所以，所以， 又，平面，所以平面， 由，得点在平面内， 由，得点在以为球心，半径为1的球面上， 因此动点的轨迹为平面与球的球面的交线，即在平面内的圆， 连接，设点到平面的距离为，平面截球所得截面圆的半径为， 则由得， 且，所以，则， 因此动点的轨迹长度为. 故选：D. 3．已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平行可知截面为正六边形，然后截面面积可求得正方体边长.再结合正方体中截面EFG可得，进而可判断点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，轨迹长度即可求解. 【详解】由题意截面EGF则为正六边形，如图所示，    由截面面积为及三角形面积公式可得，解得，∴正方体的棱长. 因为截面EFG，O为的中点，也是截面EFG的中心，且， ，即，解得. ∴使得的点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，所以轨迹长度为. 故选：C. 4．在长方体中，已知，，点是四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离为1，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】解法一：将平面延展，借助线面位置关系找到点的轨迹为线段，然后确定的大致位置，借助线面位置关系找到点到平面的距离，利用等面积法求得，，最后利用中位线性质即可求得点的轨迹的长度. 解法二：建立空间直角坐标系，设出点P的坐标，求出平面的法向量，利用点到平面的距离向量公式求得点的轨迹的方程，然后求出线段长度即可. 【详解】解法一：如图，将，，分别延长至，，， 使得，，，连接， 则平面即平面， 则满足条件的点的轨迹为和平面平行的平面与平面的交线 落在四边形内部（含边界）的部分，不妨设为线段. 由面面平行的性质知，线段与平行.设点到平面的距离为， 连接，则由，得， 解得，连接，则线段在的左侧.不妨设点在线段上，在线段上. 过点分别作，交于点，于点，连接， 作于点，易知，，平面， 从而有平面，作，垂足为，则，， 平面，从而有平面，即点到平面的距离为. 易知，， 因为，所以. 设，则，故，，.由及可得， 解得（舍去）或，故为的中点，所以为的中点， 所以，即点的轨迹的长度为，. 5．如图，在棱长为3的正方体中，点P是平面内一个动点，且满足，则点P的轨迹长度为_____________． 【答案】 【分析】连接，首先证明平面，设平面，连接、，即可得到三棱锥为正三棱锥，求出、，再利用勾股定理表示，即可得到，从而得到轨迹长. 【详解】解：连接，因为四边形为正方形，则， 平面，平面，则， 因为，平面，平面， 平面，， 同理可证，，平面，平面， 设平面，连接、， 因为，，所以三棱锥为正三棱锥， 则为的中心，则，且内切圆的半径， 所以，，， 平面，平面，，即，， 因为，即，，解得， 所以点的轨迹是半径为的圆，因为，所以点的轨迹长为. 故答案为： 6．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】先将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点到平面的距离即可确定点的运动轨迹，进而可得出答案． 【详解】将正三棱台补全为三棱锥， 则三棱锥为棱长为3的正四面体， 如图（一）所示.设点在侧面的射影为点，可得， 取点为的中点，可求得，，， 为的中心， 又直线与平面所成角的正切值为，所以， 在等腰梯形内（含边界），动点的轨迹为到的距离为1的圆弧与圆弧， 为的中心， 由对称性可知为正六边形， ，， 如图（二）所示，所以动点的轨迹长度为．    故答案为：． 1．用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，结合正方体的性质，即可判断. 【详解】如图1，在正方体中， 易知为正三角形，于是答案都有可能， 如图2， 若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设， 由正方体的性质可知：，，所以平面， 而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D错误. 故选：D. 2．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 3．在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】应用锥体体积及柱体体积公式结合图形特征计算求解即可. 【详解】设三棱柱的体积为，因为侧棱上各有一动点， 满足，所以四边形与四边形的面积相等， 故四棱锥的体积等于三棱柱的体积的，即， 则几何体的体积等于， 故过的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为或. 故选：A. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 延长交的延长线于点，连接交于点， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 如图所示，可得正方体的截面图形为五边形． 由与相似得， 所以，与相似得，所以． 由勾股定理得，， ，，， 所以截面图形的周长为． 5．已知正六棱柱的底面边长为4，体积为，点N在正六边形内及其边界上运动，若，则动点N的轨迹长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据棱柱体积公式列方程求高．已知的值，利用勾股定理求出，可知点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧（在正六边形内的部分），再根据已知得，用弧长公式算出轨迹长度． 【详解】设此正六棱柱的高为h，则体积，得， 又，在直角三角形中，可得， 所以点N的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆弧（在正六边形内的部分）， 又因为，所以动点N的轨迹长度为． 故选：C． 6．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，AB、CD是圆台的两条母线，若圆台的高为，上底面半径为3，下底面半径为6，则截面ABDC面积的最大值为（   ） A． B． C．18 D．24 【答案】C 【分析】首先求母线长，再求截面梯形的高，并表示截面的面积，根据基本不等式求最值. 【详解】因为上下底面半径之比为，所以， 所以设，，为母线长，高为， 设上底面圆的圆心为点，下底面圆心为点，所以，，， 所以， 四边形为等腰梯形，，， 则梯形的高为， 所以截面的面积， 当时，即时等号成立. 7．将边长为的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且若则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出几何图形，结合线面垂直、面面垂直的判定性质，借助勾股定理确定点的轨迹，进而求出轨迹长. 【详解】如图，取棱的中点，连接，则， 又平面，则平面，由平面， 得平面平面，在中，，由余弦定理得 ，为钝角，且， 在平面内过点作交的延长线于点，而平面平面， 于是平面，连接，又平面，则， 在中，， 在中，，， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹长度为. 故选：C. 8．如图，正三棱柱的所有边长都相等，为线段的中点，为侧面内的一点（包括边界，异于点），过点、、作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（    ）    A．五边形 B．四边形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】当的延长线与线段（除端点外）相交于点时，作出截面，即可判断B，对的延长线与线段、（除点外）相交时截面为三角形 ，结合B即可判断A，利用特殊点判断C、D. 【详解】对于B：当的延长线与线段（除端点外）相交于点时，延长交的延长线于点， 连接交于点，连接， 此时过点、、作正三棱柱的截面为四边形（当在线段（除端点外）时截面也为四边形），故B正确；    对于A：当的延长线与线段、（除点外）相交 （或点在线段、（除点外）上时）截面为三角形， 结合B选项可知，截面为三角形或四边形，不可能为五边形，故A错误； 对于C：取的中点，连接、，又为线段的中点， 所以，所以为等腰三角形，故C正确；    对于D：取的中点，连接、， 因为三棱柱为正三棱柱，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面， 所以，所以为直角三角形，故D正确；    故选：A 9．（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，在边长为1的正方体中，，，，分别为棱，，，的点，满足，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（   ） A．时，该截面是正六边形 B．时，四边形为正方形 C．平面 D．当四边形为正方形时，它的面积为 【答案】B 【分析】先根据线段比例关系利用相似三角形性质判断线线平行，再依据线面平行判定定理判断线面平行；然后针对四边形为正方形的情况，通过构建直角三角形，利用勾股定理建立等式求解相关参数，并进一步判断选项. 【详解】 在正方体中，因为，根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可知与相似，所以，进而可得. 又因为线面平行的判定定理，已知平面，平面，所以平面，故C选项正确.   判断当时截面的形状：当时，如前面第一个图，可以得到该截面为正六边形，所以A选项正确.   判断四边形为正方形时的情况：如前面第二个图，作，垂足为. 在正方体中，棱长设为，所以. 因为，根据正方体棱长以及线段比例关系可得. 又因为的长度，根据正方体棱长以及的关系可得. 在中，根据勾股定理. 由于四边形为正方形，所以，即. 等式两边同时平方可得. 展开括号：. 移项化简可得：，解得. 此时，正方形的面积为，所以B选项错误，D选项正确.    综上，A、C、D选项正确，B选项错误. 故选： B. 10．（多选题）（24-25高一下·福建莆田·期末）在棱长为4的正方体中，点在棱上，且，点在正方形内（含边界）运动，则（    ） A．当时，平面截该正方体所得的截面面积为18 B．当时，点到平面的距离为 C．当，且平面时，点的轨迹长度为5 D．当，且时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于A，取中点，连接，可得平面截该正方体所得的截面即为梯形并求出该梯形面积即可判断；对于B，设点到平面的距离为d，则由即可求解判断；对于C，分别取四等分点，且，可得平面平面即可得点的轨迹，进而得解；对于D，在平面内过E作交于点，过此时的点F作分别交于，求证平面即可得动点F的轨迹并求出轨迹长度. 【详解】对于A，当时，由题可知此时点在棱中点上， 取中点，连接，则， 因为且，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以由可唯一确定一个平面， 所以平面截该正方体所得的截面即为梯形， 因为， 所以平面截该正方体所得的截面梯形的面积为，故A正确； 对于B，当时，由题可知此时点在棱中点上，设点到平面的距离为d， 则由即，故B错误； 对于C，当即，分别取四等分点， 且，连接，则，且， 由A可知，所以，则由可唯一确定一个平面， 又在平面外，平面，所以平面， 由正方体性质可知且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 所以，因为在平面外，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 所以点F的轨迹为，所以点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，由正方体结构性质可知平面， 因为平面，所以， 在平面内过E作交于点， 则此时，所以与相似， 所以，过此时的点F作分别交于， 则且即， 因为，平面，所以平面， 因为，所以动点F的轨迹为线段，所以动点的轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD 11．（多选题）如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 【答案】AD 【详解】如图： 对A：设平面交棱于点，连接，. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确； 对B：因为，，所以，. 又和中，，，. 所以，所以，. 连接，，则， 且， ， ， 所以，又，所以，所以，故B错误； 对C：假设存在点，使得截面为长方形. 设，则，. 由， 即或. 这与矛盾，所以假设错误.故不存在点，使得截面为长方形.即C错误； 对D：设，，则，， 在中，由余弦定理，， 所以. 所以. 所以截面四边形的面积为， 所以当时，截面的面积最小，为.故D正确. 12．如图，已知在三棱柱中，分别为的中点，则截面分三棱柱的体积比______. 【答案】 【分析】通过设，三棱柱的高为，来求出棱台的体积，进而求出三棱锥的体积，计算比值. 【详解】设，三棱柱的高为. ， . . 13．（24-25高一下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是_________，截面的面积是_________． 【答案】 等腰梯形 / 【分析】根据线线平行及边长判断截面是等腰梯形，再计算可得面积. 【详解】如图，取的中点，连接，，，，， 因为，，故，且． 则截面为梯形，且为等腰梯形， ，可得梯形的高为，所以梯形的面积为． 故答案为：等腰梯形；. 14．已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，且点P在四边形内部及其边界上运动，并且总是保持平面，则动点P的轨迹长度为_________；在上述条件下，若总是保持，则动点P的轨迹长度为_________. 【答案】 1 【分析】（1）根据面面平行的知识画出点的轨迹，从而求得轨迹长度. （2）根据线面垂直的知识画出点的轨迹，从而求得轨迹长度. 【详解】（1）设分别是和的中点，则， 由于平面，平面， 所以平面， 由于是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 由于平面， 所以平面平面. 所以点的轨迹是线段，此时平面， 所以轨迹的长度为. （2）根据正方体的性质可知， 而平面， 所以平面， 由于平面，所以， 根据正方体的性质可知平面， 且， 所以平面，由于平面， 所以， 由于平面， 所以平面， 所以点的轨迹是线段，此时满足， 所以点的轨迹长度是. 故答案为：； 15．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是边长为4的正方形，，， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面内的一个动点，若平面，则动点 的轨迹长度是______． 【答案】 【分析】取棱的中点G，连接，可证明平面，进而得到动点M的轨迹为线段，再求线段长即可． 【详解】如图，取棱的中点G，连接． 因为F，G分别是棱的中点，所以． 因为 平面，所以平面． 因为平面，所以． 由正方形的性质易证． 因为平面，平面，， 所以平面，则平面． 因为M是侧面内的一个动点，所以动点M的轨迹为线段． 因为，所以． 因为E，G分别是棱的中点，所以， 即动点M的轨迹长度是． 16．如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为____________.    【答案】 【分析】先利用直线与平面所成的角为，求得点的轨迹，进而求得点的轨迹长度. 【详解】若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨， 在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）； 在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）； 在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图， 故点的轨迹长度为． 故答案为：.    / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $