精品解析：河北唐山市乐亭镇蔡庄初级中学2025-2026学年九年级下学期数学中考模拟预测

2026年河北省初中学业水平考试（九年级） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列与结果相等的是（ ） A. B. C. D. 2. 在如图标出的四个角中，最大的角是（ ） A. B. C. D. 3. 在用运算律计算时，题目变形合理的为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B分别是 边上的点，且 ，点P在 的内部，要使 ，则满足条件的P的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 5. 由四个棱长均为1的小正方体搭成的几何体，其俯视图如图所示，则它的主视图可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知某球形硅颗粒的直径为．若在长度为的芯片上按如图方式排列一行球形硅颗粒（每相邻两个颗粒相切），则这一行硅颗粒的总数量用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 是原方程的一个根 C. 两根之和为 D. 两根之积为 9. 如图，一个简易飞镖盘的盘面被分为8个大小相同的扇形，每个扇形区域标有一个数字，随机投掷一枚飞镖（飞镖落在盘外或分隔线上时重新投掷），若要使得飞镖落在数字5所在扇形的概率大于落在数字6所在扇形的概率，则m，n的值可能为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，已知四边形，边在数轴上，点A表示的数为，若，，则点D表示的整数可以是（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 11. 如图，在六边形中，， 均为等边三角形，四边形 是矩形， ， ，点P从点B出发，沿折线 匀速向终点E运动，设点P所走的路程为x， 的面积为y，则y与x之间满足的函数图象是（ ） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，点在一段抛物线（）上，若点Q的个数有两个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：___________． 14. 中国古代利用“三分损益法”来确定音律．这种方法最早见于《管子·地员篇》，用于计算五音（宫、商、角、徵、羽）的弦长．其核心原理是通过增加或减少三分之一的长度来生律．在古琴制作中，假设我们要制作两根琴弦，一根是“宫”音，一根是“徵”音．已知：“徵”音的弦长是“宫”音弦长的倍；“宫”音弦长比“徵”音弦长的一半多15厘米．设“宫”音弦长为x厘米，“徵”音弦长为y厘米，则可列方程组为__________． 15. 如图，在中，，E，F分别是边， 上的点，沿将折叠，使点A落在边上的点H处，若，则__________°． 16. 将一个正六边形和一个正八边形按如图所示方式拼在一起，A，B，M，P为顶点，连接AP交正六边形一边于点Q，若，则QM的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式：． 18. 下面是嘉嘉同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：······第一步 ············第二步 ··················第三步 ·····················第四步 （1）以上解分式方程的过程中，从第________步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 19. 如图，在和中，，连接，，的延长线与交于点，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的度数； 20. 甲、乙两个生物兴趣小组在探究“光照对绿豆种子发芽影响”的活动中，分别安排相同组数的实验，每组放置10粒种子，在相同的条件下，经过一段时间后，记录每组种子发芽的粒数，并把结果制成尚不完整的扇形统计图（图1）和完整的条形统计图（图2）． （1）求甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有几组； （2）甲兴趣小组种子发芽粒数的平均数，方差，求乙兴趣小组种子发芽粒数的平均数和方差，并判断哪个小组种子发芽情况较好些； （3）甲兴趣小组发现把一组种子发芽粒数记错了，若把正确的甲兴趣小组种子发芽粒数与乙兴趣小组种子发芽粒数合并得到一组新数据，这组数据的众数有3个，求甲兴趣小组的正确样本数据． 21. 已知在扇形中，半径，弦，点是上一点，连接． （1）如图1，连接，，若的长为． ①求 的度数； ②求的长； （2）如图2，点在的延长线上，且，连接，，当最大时，求的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中点，点，动点从点出发，以每秒 个单位长度沿 轴正方向匀速运动，运动时间为秒，过点的直线：也随之移动，反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）若直线：与反比例函数的图象有唯一的公共点，求的值； （3）若直线：与 轴交于点，与反比例函数的图象交于 ，两点，且点 在点的左侧，当时，求的值． 23. 综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，的距离为6米，桥拱最高点 到水面的距离为米． 数学建模：如图，以水面 为 轴， 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； 问题解决： （2）如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米． ①若在桥拱最高点 处有一个星形灯饰（大小忽略不计），求灯饰 与其水中倒影之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点 的水平距离． 24. 如图1，在矩形 中， ， ，根据尺规作图得到点E，且点E在BD上，连接 ． （1）求 的长； （2）如图2，点F在 边上（可与B点，C点重合），以点E为直角顶点， 为腰向右作等腰直角三角形，连接 ． ①当取最小值时，求的值； ②当点G落在的内部时（不含边界），求线段 的取值范围； ③若，连接 ，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平考试（九年级） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列与结果相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵原式 选项A：，与原式结果相等； 选项B：，与原式结果不相等； 选项C：，与原式结果不相等； 选项D：，与原式结果不相等． 2. 在如图标出的四个角中，最大的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：延长交于点 由三角形的外角性质可得，， ∴最大的角是． 3. 在用运算律计算时，题目变形合理的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 4. 如图，点A，B分别是 边上的点，且 ，点P在 的内部，要使 ，则满足条件的P的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，结合等腰三角形“三线合一”的性质，确定点 所在的轨迹为的角平分线，进而判断点的个数． 【详解】解：   点 在线段的垂直平分线上 是等腰三角形 线段的垂直平分线经过点 ，且平分 （等腰三角形三线合一） 点 在的角平分线上  点 在 的内部，且角平分线在角内部的部分是一条射线  满足条件的点 有无数个． 5. 由四个棱长均为1的小正方体搭成的几何体，其俯视图如图所示，则它的主视图可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由俯视图可知该几何体底面有3个小正方体，分布在两列，左列2个，右列1个．因为共有4个小正方体，所以第二层只有1个小正方体，根据第二层小正方体的位置判断主视图的形状． 【详解】解：∵俯视图显示底面有3个小正方体，且几何体由4个小正方体搭成， ∴第二层只有1个小正方体． ∵俯视图共有两列，左列有2个位置，右列有1个位置， ∴主视图的宽度应为2列，排除C、D（C、D显示为3列或结构不符）； 若第二层小正方体在右列，则主视图为左低右高（左1层右2层），选项中无此图形； 若第二层小正方体在左列，则主视图为左高右低（左2层右1层），选项A符合； 对于选项B，主视图显示左、右列均为2层，则至少需要个小正方体，与题意不符． ∴它的主视图可能是A． 6. 已知某球形硅颗粒的直径为．若在长度为的芯片上按如图方式排列一行球形硅颗粒（每相邻两个颗粒相切），则这一行硅颗粒的总数量用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，颗粒数量等于芯片总长度除以单个颗粒的直径，利用同底数幂的除法法则进行计算，最后将结果化为科学记数法即可． 【详解】解：设这一行硅颗粒的总数量为 芯片长度为，颗粒直径为，且颗粒紧密排列， 故这一行硅颗粒的总数量为 个． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A，表示的算术平方根，结果只能为非负数，即，不是，∴A错误； 选项B，，计算符合运算法则，∴B正确； 选项C，，∴C错误； 选项D，，，∴原式，结果不是，∴D错误． 8. 若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 是原方程的一个根 C. 两根之和为 D. 两根之积为 【答案】D 【解析】 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出m的值，再代入一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断各选项即可． 【详解】解：∵点与点关于 轴对称，关于 轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数 ∴ 将代入方程得 方程中，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根，A错误； 将代入方程，左边 ∴不是原方程的根，B错误； 对于一元二次方程，两根之和为 ∴两根之和为 ，C错误； 对于一元二次方程，两根之积为 ∴ 两根之积为 ，D正确． 9. 如图，一个简易飞镖盘的盘面被分为8个大小相同的扇形，每个扇形区域标有一个数字，随机投掷一枚飞镖（飞镖落在盘外或分隔线上时重新投掷），若要使得飞镖落在数字5所在扇形的概率大于落在数字6所在扇形的概率，则m，n的值可能为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概率的意义，飞镖落在某数字所在扇形的概率等于该数字所在扇形的个数除以总扇形个数．题目要求，即数字5所在的扇形个数需多于数字6所在的扇形个数．统计图中已有的数字个数，结合选项判断m，n的取值即可． 【详解】解：∵盘面被分为8个大小相同的扇形， ∴飞镖落在每个扇形的概率相等，概率大小取决于对应数字所在扇形的个数 ∵图中已有的数字中，5出现了2次，6出现了2次， ∴若要使得飞镖落在数字5所在扇形的概率大于落在数字6所在扇形的概率，即， ∴m，n中数字5的个数必须多于数字6的个数． A、若，，则数字5共2个，数字6共2个，不满足数字5的个数多于数字6的个数，不合题意； B、，，则数字5共2个，数字6共3个，不满足数字5的个数多于数字6的个数，不合题意； C、，，则数字5共3个，数字6共3个，不满足数字5的个数多于数字6的个数，不合题意； D、，，则数字5共3个，数字6共2个，满足数字5的个数多于数字6的个数，符合题意． 10. 如图，已知四边形，边在数轴上，点A表示的数为，若，，则点D表示的整数可以是（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点D表示的数为x，则，根据两点之间线段最短列出不等式组，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设点D表示的数为x， ∵点A表示的数为， ∴， 根据两点之间线段最短可得，， ∴，解得 ∴点D表示的整数可以是1． 11. 如图，在六边形中， ， 均为等边三角形，四边形 是矩形， ， ，点P从点B出发，沿折线 匀速向终点E运动，设点P所走的路程为x， 的面积为y，则y与x之间满足的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，通过分析点 在不同路段运动时，的高（即点 到直线 的距离）的变化情况来确定面积 的变化趋势． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，，， 和均为等边三角形 ， ∵的底边为定值，设点 到直线的距离为 ， 则，分段讨论如下： 当点 在上运动时 ( )： 点 从运动到 ，在起点 ， 是等边三角形， ， ∴ ∴ 过点作交的延长线于点 ， 点到直线的距离为 的一半，即 在终点 ， 而点 到直线的距离为 ， 此过程中 随的增大而增大，图象为上升线段； 当点 在上运动时( )： ， 点 到直线的距离不变，恒为 ，图象为水平线段； 当点  在上运动时 ( )：点 从 运动到 在起点 时， ， ， 在终点时，同理可得 此过程中 随的增大而减小，图象为下降线段 综上所述，函数图象中 值先从2上升到4，再保持4不变，最后下降到2． 12. 在平面直角坐标系中，点在一段抛物线（）上，若点Q的个数有两个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点代入抛物线，得到关于 的一元二次方程在上有两个不相等实根，利用二次函数图像性质求解 的取值范围． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线，得， 展开整理得， ∴该一元二次方程在上有两个不相等的实数根 设，该函数开口向上，对称轴为，满足， 如图：：， 解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 14. 中国古代利用“三分损益法”来确定音律．这种方法最早见于《管子·地员篇》，用于计算五音（宫、商、角、徵、羽）的弦长．其核心原理是通过增加或减少三分之一的长度来生律．在古琴制作中，假设我们要制作两根琴弦，一根是“宫”音，一根是“徵”音．已知：“徵”音的弦长是“宫”音弦长的倍；“宫”音弦长比“徵”音弦长的一半多15厘米．设“宫”音弦长为x厘米，“徵”音弦长为y厘米，则可列方程组为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干描述找出两个等量关系，根据等量关系列出方程，联立即可得到方程组． 【详解】解：设“宫”音弦长为厘米，“徵”音弦长为 厘米，由“徵”音的弦长是“宫”音弦长的倍，可得方程； 由“宫”音弦长比“徵”音弦长的一半多厘米，可得方程， 联立两个方程可得方程组． 15. 如图，在中，，E，F分别是边， 上的点，沿 将折叠，使点A落在 边上的点H处，若，则__________°． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质求出，再由三角形的内角和定理求出，再由折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由折叠可得． 16. 将一个正六边形和一个正八边形按如图所示方式拼在一起，A，B，M，P为顶点，连接AP交正六边形一边于点Q，若，则QM的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设正六边形和正八边形的中心分别为，延长交于点，则，证明平分，进而求得的值，勾股定理求得，进而求得，根据是等腰直角三角形，求得进而求得的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设正六边形和正八边形的中心分别为，延长交于点，则， 依题意，，，，，， ∴， ∴平分， 设到的距离为，则 ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 在中， 在中， ∴ 在中， ∴ 在中， ∴ 在中， ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 18. 下面是嘉嘉同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：······第一步 ············第二步 ··················第三步 ·····················第四步 （1）以上解分式方程的过程中，从第________步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）二 （2）， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得． 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【解析】 【分析】（1）根据解分式方程的步骤及相关法则逐步判断即可； （2）按照分式方程的标准步骤，去分母、化简求解、检验，即可得到正确结果． 【小问1详解】 解：在第二步去括号时，应得到，故从第二步开始出现错误． 【小问2详解】 略 19. 如图，在和中，，连接，，的延长线与交于点 ，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的度数； 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， ∵ ∴ 又∵ ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出，根据等角对等边可得，进而根据，即可证明； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据三角形内角和定理可得，进而根据平角的定义得出，最后根据三角形的外角的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 20. 甲、乙两个生物兴趣小组在探究“光照对绿豆种子发芽影响”的活动中，分别安排相同组数的实验，每组放置10粒种子，在相同的条件下，经过一段时间后，记录每组种子发芽的粒数，并把结果制成尚不完整的扇形统计图（图1）和完整的条形统计图（图2）． （1）求甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有几组； （2）甲兴趣小组种子发芽粒数的平均数，方差，求乙兴趣小组种子发芽粒数的平均数和方差，并判断哪个小组种子发芽情况较好些； （3）甲兴趣小组发现把一组种子发芽粒数记错了，若把正确的甲兴趣小组种子发芽粒数与乙兴趣小组种子发芽粒数合并得到一组新数据，这组数据的众数有3个，求甲兴趣小组的正确样本数据． 【答案】（1）2组 （2），；甲组种子发芽情况较好些 （3） 【解析】 【分析】（1）根据图2可得组数为，进而结合扇形统计，即可求解； （2）根据平均数与方差的定义，进行计算即可求解； （3）根据众数的定义分析，即可求解． 【小问1详解】 解：∵甲、乙安排相同组数的实验，根据图2可得组数为 ∴甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有组 【小问2详解】 解： ∵甲组的平均数大于乙组的平均数，且甲组的方差小于乙组的方差， ∴甲组种子发芽情况较好些 【小问3详解】 解：甲组原数据为：，乙组的原数据为： 合并到一起为， ∵这组数据的众数有3个，且乙数据不变，则众数为，， ∴甲兴趣小组的正确样本数据为 21. 已知在扇形中，半径，弦，点是上一点，连接． （1）如图1，连接，，若的长为． ①求 的度数； ②求的长； （2）如图2，点在的延长线上，且，连接，，当最大时，求的面积． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①设根据弧长公式求得，进而根据圆周角定理，即可求解； ②过点 作于点 ，根据垂径定理可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理求得，进而求得的长，即可求解． （2）根据题意得出当最大时，与相切，进而根据垂径定理以及勾股定理求解出的长，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵的长为．半径，设 ∴ 解得： ∴ ②如图，过点 作于点 ， ∵， ∴， ∴ ∴ 【小问2详解】 如图，过点 作于点， 当最大时，与相切， ∴ ∵半径，弦， ∴ 在中， ∵ ∴ 在中， 在中， ∴ 22. 如图，在平面直角坐标系中点，点，动点从点 出发，以每秒个单位长度沿 轴正方向匀速运动，运动时间为秒，过点的直线：也随之移动，反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）若直线：与反比例函数的图象有唯一的公共点，求的值； （3）若直线：与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，且点在点的左侧，当时，求的值． 【答案】（1） （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式，即可求解； （2）依题意得出，方程有唯一解，进而求得的值，结合题意求得的值； （3）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，勾股定理求得，根据求得，，进而求得，结合题意求得的值． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， 【小问2详解】 解：∵直线：与反比例函数的图象有唯一的公共点， 当时， 即，有两个相等的解， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵动点从点 出发，以每秒个单位长度沿 轴正方向匀速运动，运动时间为秒， ∴， 【小问3详解】 解：如图， ∵与轴交于点，在上， 设， ∴ ∵当时，， ∴， 联立 ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ ∴ ∵动点从点 出发，以每秒个单位长度沿 轴正方向匀速运动，运动时间为秒， ∴． 23. 综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点 ，的距离为6米，桥拱最高点到水面的距离为米． 数学建模：如图，以水面 为轴， 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； 问题解决： （2）如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米． ①若在桥拱最高点处有一个星形灯饰（大小忽略不计），求灯饰与其水中倒影之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 【答案】（1） （2）①灯饰与其水中倒影之间的距离为米； ②甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①由抛物线的对称性得，然后把其代入解析式求解点的纵坐标，即可求出灯饰与其水中倒影之间的距离； ②先求出甲型灯笼到的距离，再由点与之间的距离即可得到甲型灯笼的悬挂点即为点；接着求出2盏乙型灯笼到的距离，再求出它们到 的距离，代入解析式即可求解乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离． 【小问1详解】 解：轴垂直平分 ，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将，，代入， 得，解得， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①由抛物线的对称性得， 当时，， ∴灯饰与其水中倒影之间的距离为（米）； ②解：由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，点与之间的距离为（米）， 甲型灯笼的悬挂点即为点， 甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米； 由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，与 之间的距离为米， 该悬挂点到 的距离为（米）， 令，解得或， 乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 综上，甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 24. 如图1，在矩形 中， ， ，根据尺规作图得到点E，且点E在BD上，连接 ． （1）求 的长； （2）如图2，点F在 边上（可与B点，C点重合），以点E为直角顶点， 为腰向右作等腰直角三角形，连接 ． ①当取最小值时，求的值； ②当点G落在的内部时（不含边界），求线段 的取值范围； ③若，连接 ，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）①；②；③． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图判断 为 中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半结合勾股定理即可求 的长； （2）①根据等腰直角三角形中，所以 最小即时取最小值，构造直角三角形求即可； ②建立坐标系，用全等三角形表示出的坐标，再求直线与 的方程，通过的位置范围确定的取值范围； ③利用得，利用正切相等结合坐标列方程，解得后直接求三角形面积． 【小问1详解】 解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段 的垂直平分线， 为 中点， 是斜边上的中线， ， 在矩形 中，， 在中，， ． 【小问2详解】 ①解： 为等腰直角三角形， ， 最小时取最小， 是 边上（可与B点，C点重合）的动点， 时， 最小，如图1所示，作， ，， 四边形是正方形， 是 的中点，且 是的中位线， ，， ， ， 在中，， ． ②解：以 为原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，设，所以， 当，如图2，作，,连接， ， , , ， ， 点坐标为，即， 当，如图3，同理有， 点坐标为，即， 综上所述，点坐标为， ,设直线解析式为 ， 代入两点坐标计算可得， 直线解析式为， ,设直线 解析式为 ， 代入 点坐标计算可得， 直线 解析式为， 当点在直线上，得，解得， 当点在直线 上，得，解得， 时，点G落在的内部时（不含边界）， 线段 的取值范围为． ③当，如图4，设与 交于点 ， ， ， ， 由②知点坐标为， ， ， ，结合图象可知，此时在第四象限， ， ． 【点睛】本题以矩形为背景，综合考查了尺规作图（垂直平分线）、直角三角形斜边中线定理、等腰直角三角形的性质、坐标法求动点轨迹以及三角函数等核心知识，解题的关键在于，第一问需准确识别作图痕迹得到对角线中点，利用斜边中线快速求边长，后两问则通过建立平面直角坐标系，将点的坐标用的长度表示出来，从而把几何位置关系（点在三角形内部、线平行）转化为代数不等式或方程，这是统一处理动态几何问题的核心策略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $