暑期预习讲义（第5讲）——平面直角坐标系 - 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

暑期预习讲义（第5讲）——平面直角坐标系（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 【知识点一】平面直角坐标系 2 【知识点二】象限 2 【知识点三】点的坐标表示 2 【知识点四】不同位置点的坐标特征 2 【知识点五】特殊图象上点的坐标特征 3 【知识点六】对称点上坐标特征 3 【知识点七】点到坐标轴的距离 3 【知识点八】用坐标表示平移 4 二.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】平面直角坐标系 4 【题型 2】点的位置 5 【题型 3】点到坐标轴的距离 5 【题型 4】两点之间距离 6 【题型 5】中点坐标 6 【题型 6】求平移后的坐标 6 【题型 7】坐标系中的轴对称点的坐标 7 三.经典题型精析（综合提升） 7 【题型 8】点的位置与点到坐标轴的距离 7 【题型 9】点坐标的规律探究 8 【题型 10】平移与轴对称 9 四.同步自测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.教材知识梳理 【知识点一】平面直角坐标系 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置和垂直位置：水平的数轴称为轴（横轴），取向右为正方向；垂直轴称为轴（纵轴），取向上为正方向。两坐标轴的交点叫做原点。 【知识点二】象限 建立了平面直角坐标系后,坐标平面被两条坐标轴分成四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 【特别提示】坐标轴上的点不属于任何象限。 【知识点三】点的坐标表示 对于平面内任意一点,过点别向作垂线,垂足在，对应的实数,分别叫做点横坐标和纵坐标，有序实数对（,）叫做点P的坐标。 【特别提示】写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，再加括号。如 （3，2）和（2，3）表示不同的点哦。 【知识点四】不同位置点的坐标特征 1、象限内点的坐标特征： 象限 横坐标（） 纵坐标（） 示例 第一象限 正（+） 正（+） （2，1） 第二象限 负（一） 正（+） （-2，1） 第三象限 负（一） 负（一） （-2，-1） 第四象限 正（+） 负（一） （2，-1） 【特别提示】（1）口诀:一全正、二负正、三全负、四正负；（2）（3，2）和（2，3）表示不同的点哦。 2、坐标轴上点的坐标特征： （1）轴上的点:纵坐标为0,可表示为（,0）；（2）轴上的点:横坐标为0,可表示为（0,） （3）原点:坐标为（0，0）。 【知识点五】特殊图象上点的坐标特征 1、象限角平分线上的点 （1）一、三象限角平分线：横坐标=纵坐标（）； （2）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数（）。 1、平行于坐标轴的直线上的点 （1）平行于轴的直线：所有点的纵坐标相同 （2）平行于轴的直线：所有点的横坐标相同 【知识点六】对称点上坐标特征 1、关于轴对称 两点横坐标相同，纵坐标互为相反数。即点（,）关于x轴的对称点为（,）； 2、关于轴对称 两点纵坐标相同,横坐标互为相反数。即点（,）关于y轴的对称点为（,）； 3、关于原点对称 两点横、纵坐标都互为相反数。即点（,）关于原点的对称点为（,）。 【知识点七】点到坐标轴的距离 点（,）到坐标轴的距离: （1）到轴的距离=（纵坐标的绝对值）；（2）到轴的距离=（横坐标的绝对值）；（3）到原点的距离==。 【知识点八】用坐标表示平移 1、点的平移规律 在平面直角坐标系中，设点P（,）： （1） 向右平移个单位得到（,），向左平移个单位得到（,）； （2） 向上平移个单位得到（,），向下平移个单位得到（,）。 2、图形的平移 图形上所有点的坐标变化规律相同： （1） 横坐标都加上（或减去）一个正数，图形向右（或左）平移；（2）纵坐标都加上（或减去）一个正数，图形向上（或下）平移。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】平面直角坐标系 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列平面直角坐标系画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示，则该平面直角坐标系的原点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句不正确的是（   ） A．在平面直角坐标系内两条互相垂直的数轴的交点是原点 B．凡是两条互相垂直的直线都能组成平面直角坐标系 C．平面直角坐标系所在的平面叫作坐标平面 D．两坐标轴的单位长度一般是相同的，但在某些实际问题中可以不同 【题型 2】点的位置 【例题2】（25-26八年级上·辽宁阜新·期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（  　  ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·云南红河·阶段检测）点在坐标系上第___________象限． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（25-26七年级下·福建福州·期中）若点在y轴上，则______． 【题型 3】点到坐标轴的距离 【例题3】（25-26八年级下·上海徐汇·期末）如果点的坐标为，则点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江西宜春·二模）若点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点M的坐标为______． 【变式2】（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为1，到轴的距离为2，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·广东广州·期中）如果点到两坐标轴的距离相等，则m的值是________． 【题型 4】两点之间距离 【例题4】（25-26八年级下·上海宝山·期中）已知平面上两点和，那么______． 【变式1】（25-26七年级下·广西钦州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，则的长为（    ） A．5 B．12 C．13 D．10 【变式3】（25-26八年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系内有两点、，则线段_______． 【题型 5】中点坐标 【例题5】（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 【变式2】（25-26八年级下·广西贵港·期中）若点与点关于点对称，则的值是多少（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）点和点的中点坐标为________． 【题型 6】求平移后的坐标 【例题6】（25-26八年级下·广东佛山·期中）在直角坐标系中，点，将点先向右平移个单位长度，再向下移动个单位长度，平移后点的坐标为______． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）将点向右平移3个单位长度得到点，点落在轴上，则点的坐标为________． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正的边长为2，顶点在轴上，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【题型 7】坐标系中的轴对称点的坐标 【例题7】（2026·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点与点关于轴对称，则的值为_____． 【变式2】（25-26八年级上·广东中山·期中）点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·广东惠州·二模）点与点关于y轴对称，则________． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 8】点的位置与点到坐标轴的距离 【例题8】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）已知点，解答下列问题： （1）若点A在y轴上，求点A的坐标； （2）若点A的纵坐标比横坐标大5，求点A的坐标； （3）若点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半，求a的值． 【变式1】（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在y轴的右侧，则点P的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段，若点P坐标是，则点Q一定不在第___象限． 【变式3】（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，求出点的坐标； （2）若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； （3）若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标，并说出点所在的象限． 【题型 9】点坐标的规律探究 【例题9】（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次平移一个单位长度，得到点，，，，…那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点，第次移动到点，则点的坐标是_____________． 【变式2】（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，半圆，半圆，半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026秒时，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，正方形，正方形，正方形，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为，，，，，，，，，，，…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A2026的坐标为_________． 【题型 10】平移与轴对称 【例题10】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）作出关于直线l对称的，观察平移后能否与重合，若能，请写出到的平移方式． 【变式1】（2023·浙江丽水·一模）四盏灯笼的位置如图，已知A，，，的坐标分别是，，，，平移其中一盏灯，使得轴两边的灯笼对称，下列说法正确的是（    ） A．平移点到 B．平移点到 C．平移点到 D．平移点到 【变式2】（24-25八年级上·安徽淮南·期中）已知点，规定一次变换是：先作点关于轴对称，再将对称点向右平移1个单位长度，则连续经过2024次变换后，点的坐标变为____________． 【变式3】（23-24八年级下·全国·单元测试）在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）点B关于x轴的对称点的坐标为 ； （2）将向左平移3个单位长度得到，请画出； （3）在（2）的条件下，的坐标为 ． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·青海西宁·期中）点P在第四象限，到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知点，则点所在象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用表示，“卒”的位置用表示，那么“士”的位置用（     ）表示. A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 6．（18-19八年级上·黑龙江绥化·期中）点向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·上海·三模）已知平面内不同的两点，点，点，关于直线叙述一定正确的是（     ） A．直线轴 B．直线轴 C．直线轴 D．直线轴 8．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，若三角形的面积为12，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 9．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，动点在平面直角坐标系中第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，点的坐标是（     ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如果在一个会议室中，第5排第6号表示为，那么第7排第9号可以表示为________，表示的意义是________． 12．（25-26八年级下·上海浦东新·期中）已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则______． 13．（25-26七年级下·重庆开州·期中）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则的值是_______． 14．（25-26八年级下·四川广元·期中）在平面直角坐标系中有两点，则的长为_________． 15．（25-26九年级上·四川泸州·期末）若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 16．（25-26八年级下·上海·期中）若点与点关于轴对称，则的值为________． 17．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知点在x轴上，点是轴上一动点，且，若三角形的面积为20，则点的坐标为_____． 18．（2026·河南南阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是坐标轴的正半轴上的一点，若射线、、构成轴对称图形，则线段的长为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形各顶点在格点上． （1）直接写出三角形的三个顶点的坐标：_______；_______；_______； （2）求三角形的面积． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·北京·期中）为更好的开展古树名木的保护工作，某公园对园内的棵百年古树利用坐标确定了位置，并且定期巡视． （1）请你在如图所示的正方形（每个小正方形的边长都是）网格中建立平面直角坐标系，使得古树，的位置分别表示为，； （2）在（1）建立的平面直角坐标系中， ①古树的位置对应的点的坐标为_______； ②标出另外三棵古树，，的位置． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，在轴上求点，使的值最小． （1）画图并在图中标出点的位置． （2）求的最小值． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·山东济南·阶段检测）【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为． 【类比应用】 （1）若点，，则 轴，的长度为 _； 【联系拓展】 已知点，， （2）若线段与轴交于点，点把线段分成的两部分时，求的值． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·广东广州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足：a是的立方根，，点C的坐标为． （1）______，______，______； （2）若点M在x轴上，且，试求点M的坐标． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图①，在平面直角坐标系中，三角形的顶点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C的坐标为，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离，． （1）求三角形的面积； （2）如图②，过点B作的平行线交y轴于点M，作和的平分线相交于点N，求的度数． （3）若点是第二象限内一点，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第5讲）——平面直角坐标系（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 【知识点一】平面直角坐标系 2 【知识点二】象限 2 【知识点三】点的坐标表示 2 【知识点四】不同位置点的坐标特征 2 【知识点五】特殊图象上点的坐标特征 3 【知识点六】对称点上坐标特征 3 【知识点七】点到坐标轴的距离 3 【知识点八】用坐标表示平移 4 二.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】平面直角坐标系 4 【题型 2】点的位置 6 【题型 3】点到坐标轴的距离 7 【题型 4】两点之间距离 9 【题型 5】中点坐标 10 【题型 6】求平移后的坐标 11 【题型 7】坐标系中的轴对称点的坐标 14 三.经典题型精析（综合提升） 15 【题型 8】点的位置与点到坐标轴的距离 15 【题型 9】点坐标的规律探究 18 【题型 10】平移与轴对称 22 四.同步自测 26 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 31 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 34 一.教材知识梳理 【知识点一】平面直角坐标系 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置和垂直位置：水平的数轴称为轴（横轴），取向右为正方向；垂直轴称为轴（纵轴），取向上为正方向。两坐标轴的交点叫做原点。 【知识点二】象限 建立了平面直角坐标系后,坐标平面被两条坐标轴分成四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 【特别提示】坐标轴上的点不属于任何象限。 【知识点三】点的坐标表示 对于平面内任意一点,过点别向作垂线,垂足在，对应的实数,分别叫做点横坐标和纵坐标，有序实数对（,）叫做点P的坐标。 【特别提示】写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，再加括号。如 （3，2）和（2，3）表示不同的点哦。 【知识点四】不同位置点的坐标特征 1、象限内点的坐标特征： 象限 横坐标（） 纵坐标（） 示例 第一象限 正（+） 正（+） （2，1） 第二象限 负（一） 正（+） （-2，1） 第三象限 负（一） 负（一） （-2，-1） 第四象限 正（+） 负（一） （2，-1） 【特别提示】（1）口诀:一全正、二负正、三全负、四正负；（2）（3，2）和（2，3）表示不同的点哦。 2、坐标轴上点的坐标特征： （1）轴上的点:纵坐标为0,可表示为（,0）；（2）轴上的点:横坐标为0,可表示为（0,） （3）原点:坐标为（0，0）。 【知识点五】特殊图象上点的坐标特征 1、象限角平分线上的点 （1）一、三象限角平分线：横坐标=纵坐标（）； （2）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数（）。 1、平行于坐标轴的直线上的点 （1）平行于轴的直线：所有点的纵坐标相同 （2）平行于轴的直线：所有点的横坐标相同 【知识点六】对称点上坐标特征 1、关于轴对称 两点横坐标相同，纵坐标互为相反数。即点（,）关于x轴的对称点为（,）； 2、关于轴对称 两点纵坐标相同,横坐标互为相反数。即点（,）关于y轴的对称点为（,）； 3、关于原点对称 两点横、纵坐标都互为相反数。即点（,）关于原点的对称点为（,）。 【知识点七】点到坐标轴的距离 点（,）到坐标轴的距离: （1）到轴的距离=（纵坐标的绝对值）；（2）到轴的距离=（横坐标的绝对值）；（3）到原点的距离==。 【知识点八】用坐标表示平移 1、点的平移规律 在平面直角坐标系中，设点P（,）： （1） 向右平移个单位得到（,），向左平移个单位得到（,）； （2） 向上平移个单位得到（,），向下平移个单位得到（,）。 2、图形的平移 图形上所有点的坐标变化规律相同： （1） 横坐标都加上（或减去）一个正数，图形向右（或左）平移；（2）纵坐标都加上（或减去）一个正数，图形向上（或下）平移。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】平面直角坐标系 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列平面直角坐标系画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解决本题的关键熟知平面直角坐标系的定义. 平面直角坐标系的三要素：两条数轴，互相垂直，公共原点，由此判断即可. 解：A、两条数轴不互相垂直，公共原点，选项错误，不符合题意； B、两条数轴互相垂直，公共原点，符合平面直角坐标系的定义，选项正确，符合题意； C、横轴的正方向向右，即原点左侧为负，右侧为正，选项错误，不符合题意； D、坐标轴未标注名称，选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示，则该平面直角坐标系的原点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了画平面直角坐标系，根据平面直角坐标系求点的坐标． 根据题意作平面直角坐标系，再判断即可． 解：∵一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示， ∴平面直角坐标系如下： ∴原点可能是点B， 故选：B 【变式2】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句不正确的是（   ） A．在平面直角坐标系内两条互相垂直的数轴的交点是原点 B．凡是两条互相垂直的直线都能组成平面直角坐标系 C．平面直角坐标系所在的平面叫作坐标平面 D．两坐标轴的单位长度一般是相同的，但在某些实际问题中可以不同 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，熟知平面直角坐标系的定义是解决问题的关键. 根据平面直角坐标系的定义及其相关知识即可解答. 解：A. 在平面直角坐标系内两条互相垂直的数轴的交点是原点，选项正确，不符合题意； B. 有公共原点的两条互相垂直的数轴才能组成平面直角坐标系，选项错误，符合题意； C. 平面直角坐标系所在的平面叫作坐标平面，选项正确，不符合题意 D. 两坐标轴的单位长度一般是相同的，但在某些实际问题中可以不同，选项正确，不符合题意. 故选：B 【题型 2】点的位置 【例题2】（25-26八年级上·辽宁阜新·期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、点位于第一象限，不符合题意； B、点位于第四象限，不符合题意； C、点位于第二象限，不符合题意； D、点位于第三象限，符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·云南红河·阶段检测）点在坐标系上第___________象限． 【答案】四 【分析】根据点的横纵坐标的符号判断所在象限即可． 解：∵点的横坐标，为正，纵坐标，为负，平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征为横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查象限内点的坐标符号特征，先根据点的位置得出的取值范围，再判断点横纵坐标的符号，即可确定点所在象限． 解：∵点在第三象限，第三象限内点的横纵坐标均为负数， ∴， ∴， 又∵点的纵坐标为，即点的横纵坐标都为正数， ∵第一象限内点的横纵坐标符号为， ∴点在第一象限． 【变式3】（25-26七年级下·福建福州·期中）若点在y轴上，则______． 【答案】 解：根据平面直角坐标系中y轴上点的坐标特征，可知y轴上的点的横坐标为， 点在轴上， ， ∴． 【题型 3】点到坐标轴的距离 【例题3】（25-26八年级下·上海徐汇·期末）如果点的坐标为，则点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵点的坐标为， ∴点到轴的距离为． 【变式1】（2026·江西宜春·二模）若点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点M的坐标为______． 【答案】 【分析】根据第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解． 解：设点M的坐标为， ∵距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度， ∴ ∵点M在第二象限， ∴ ∴点M的坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为1，到轴的距离为2，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：在平面直角坐标系中，第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负； ∴点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值； ∵点M到x轴的距离为1， ∴； ∵点M到y轴的距离为2， ∴； ∵点M在第四象限，横坐标为正、纵坐标为负， ∴， ∴点M的坐标为． 【变式3】（25-26七年级下·广东广州·期中）如果点到两坐标轴的距离相等，则m的值是________． 【答案】5或 【分析】根据点到坐标轴的距离的定义，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，列出绝对值方程后求解即可． 解：∵点到两坐标轴的距离相等，点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， ∴或， 解得或． 【题型 4】两点之间距离 【例题4】（25-26八年级下·上海宝山·期中）已知平面上两点和，那么______． 【答案】 【分析】若两点坐标为，，则两点间距离为． 解：∵， ∴ ． 【变式1】（25-26七年级下·广西钦州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】可利用平面直角坐标系中纵坐标相同的两点的位置特点计算线段长，纵坐标相同的两点连线平行于x轴，线段长度等于横坐标差的绝对值． 解：∵点，点的纵坐标相等， ∴线段平行于轴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，则的长为（    ） A．5 B．12 C．13 D．10 【答案】D 【分析】利用两点间的距离公式进行计算即可． 解： 则的长为10． 【变式3】（25-26八年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系内有两点、，则线段_______． 【答案】 解：∵、， ∴． 【题型 5】中点坐标 【例题5】（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． 【变式1】（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 【答案】 【分析】若已知点，，则线段的中点坐标为，将已知点坐标代入公式即可求解． 解：，， 线段的中点坐标为，即． 【变式2】（25-26八年级下·广西贵港·期中）若点与点关于点对称，则的值是多少（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若两点关于某点对称，则该点是两点连线的中点，利用中点坐标公式求出和的值，再计算即可． 解：∵点与点关于点对称 ∴点是线段的中点 根据中点坐标公式可得 ， ， 解得，， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）点和点的中点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查的是中点坐标计算，掌握中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半是解题的关键． 根据中点坐标公式直接求解即可． 解：点和点， 则中点横坐标为，纵坐标为， 则中点坐标为． 故答案为：． 【题型 6】求平移后的坐标 【例题6】（25-26八年级下·广东佛山·期中）在直角坐标系中，点，将点先向右平移个单位长度，再向下移动个单位长度，平移后点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标的平移规律，按照左减右加，上加下减的规律计算即可． 解：已知点原坐标为， 将点向右平移个单位长度，横坐标变为， 再向下平移个单位长度，纵坐标变为， ∴平移后点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题关键． 坐标系中点的平移，水平移动改变坐标，垂直移动改变坐标；向右移动增加，向下移动减少． 解：∵蚂蚁从点出发，先水平向右爬行个单位， ∴坐标增加，得； ∵然后又竖直向下爬行个单位， ∴坐标减少，得； ∴此时蚂蚁的位置是. 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）将点向右平移3个单位长度得到点，点落在轴上，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点坐标的平移，熟练掌握点坐标的平移规律是解题关键．先根据点坐标的平移规律可得，再根据轴上的点的横坐标等于0可得的值，据此解答即可得． 解：∵将点向右平移3个单位长度得到点， ∴，即， ∵点落在轴上， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正的边长为2，顶点在轴上，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质以及坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．先求得，再根据，，即可得到点B向右平移个单位，向上平移2个单位可得点，再根据平移方式由点A的坐标即可得出点的坐标． 解：如图，过A作轴， ∵是等边三角形，边长为2， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴点B向右平移个单位，向上平移2个单位可得点， ∴，即． 故选：D． 【题型 7】坐标系中的轴对称点的坐标 【例题7】（2026·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律直接计算即可得到结果． 解：∵点的坐标为， ∴点关于x轴的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于x轴的对称点的坐标为． 【变式1】（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点与点关于轴对称，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数求出m、n的值，进行计算即可 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴ 【变式2】（25-26八年级上·广东中山·期中）点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 解：点关于轴对称点的坐标是． 【变式3】（2026·广东惠州·二模）点与点关于y轴对称，则________． 【答案】1 解：点与点关于轴对称， ，， ． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 8】点的位置与点到坐标轴的距离 【例题8】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）已知点，解答下列问题： （1）若点A在y轴上，求点A的坐标； （2）若点A的纵坐标比横坐标大5，求点A的坐标； （3）若点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半，求a的值． 【答案】（1）A（0，5.5）；（2）；（3） 【分析】（1）根据点A在y轴上得出点A的横坐标为0求出a的值，再求出点A的纵坐标即可． （2）根据点A的纵坐标比横坐标大5，列出关于a的一元一次方程，求出a的值，即可求出点A的坐标． （3）根据点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半列出关于a的绝对值方程求解即可． 解：（1）解：∵点A在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解∶∵点A的纵坐标比横坐标大5， 则， 解得：， ∴，， ∴． （3）解：∵点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半， ∴， ∴， 当或， 解得：无解或， 综上，或． 【变式1】（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在y轴的右侧，则点P的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】利用点到坐标轴的距离的意义，结合点的位置确定横纵坐标，即可得到点P的坐标．用到性质：点到轴的距离为，到轴的距离为，轴右侧的点横坐标为正． 解：∵点到轴的距离是，到轴的距离是 ∴，， ∴， ∵点在轴右侧 ∴点的横坐标为正，即 ∴点的坐标为或． 【变式2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段，若点P坐标是，则点Q一定不在第___象限． 【答案】四 【分析】本题考查了点的坐标，根据线段平行于坐标轴的坐标特点，分平行于轴和平行于轴两种情况，求出点所有可能的坐标，判断其所在象限即可得到结论． 解：分两种情况讨论： ①当轴时，点的纵坐标与点相同，即， 设点坐标为， 由得， 解得或， 即在第一象限，在第二象限； ②当轴时，点的横坐标与点相同，即， 设点坐标为 ， 由得 ， 解得或， 即在第二象限， 在第三象限. 综上，点可能在第一、二、三象限，一定不在第四象限． 【变式3】（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，求出点的坐标； （2）若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； （3）若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标，并说出点所在的象限． 【答案】（1）；（2）；（3），点在第一象限，或，点在第二象限． 【分析】（1）根据点在轴上，可知其横坐标为零，据此建立等式求出的值，即可得到点的坐标； （2）根据直线轴，即的纵坐标相同，据此建立等式求出的值，即可得到点的坐标； （3）根据点到轴、轴的距离相等，分情况建立方程求出的值，即可得到点的坐标，再结合象限内坐标特点即可推出点所在的象限． 解题的关键在于根据题意找出坐标应满足的条件，并据此建立方程． 解：（1）解：点在轴上，且点， ， 解得， 点的坐标为； （2）解：点的坐标为，直线轴，且点， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：点到轴、轴的距离相等， ， 当时， 解得， ， 点的坐标为， ； 点在第一象限． 当时， 解得， ， 点的坐标为， ； 点在第二象限． 【题型 9】点坐标的规律探究 【例题9】（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次平移一个单位长度，得到点，，，，…那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过观察前几个点的坐标，发现每4个点为一个循环周期，横坐标增加2，纵坐标按1，1，0，0循环，据此规律求解即可． 解：观察图形可知，，，， ∴点的坐标每4个为一个循环组，且每个循环组横坐标增加2． ∵， ∴的纵坐标与相同，为1． ∵的横坐标为， ∴的横坐标为，即． 根据移动规律，为，为． 【变式1】（25-26七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点，第次移动到点，则点的坐标是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，先确定一个完整循环包含的移动次数以及每个循环结束后坐标的变化量，最后利用除法运算确定第2026次移动在循环中的位置，从而计算坐标． 解：第1次移动（向上）：， 第2次移动（向右）：， 第3次移动（向下）：， 第4次移动（向右）：， 第5次移动（向下）：， 第6次移动（向右）：， 第7次移动（向上）：， 第8次移动（向右）：， 观察发现，第8次移动后，机器人回到了轴上，且横坐标增加了， 接下来的第9次移动指令又是“向上”，与第1次相同， 因此，机器人的移动路线是以8次移动为一个循环周期， 在一个周期内，横坐标增加4，纵坐标最终回到0， 那么2026次移动后的坐标为：， 即机器人完成了253个完整的循环，又进行了2次移动， 个循环后，此时相当于点，此时的横坐标：，纵坐标为0， 从开始，按照前面循环移动的指令：向上→向右， 即，向上：， 向右：， 综上所述，的坐标为． 【变式2】（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，半圆，半圆，半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026秒时，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意易得半圆，半圆，半圆，半圆的周长都为，然后得出点走完半圆所需的时间为，此时点的坐标为，进而问题可求解． 解：由题意可知：半圆，半圆，半圆，半圆的周长都为， ∵点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点走完半圆所需的时间为，此时点的坐标为， ∵， ∴第2026秒时，点的坐标是，即为． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，正方形，正方形，正方形，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为，，，，，，，，，，，…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A2026的坐标为_________． 【答案】 【分析】观察图形及题干描述可知，正方形的顶点坐标变化具有规律性，每4个顶点为一个循环组，分别位于第三、二、一、四象限．根据除以的商和余数，确定点所在的象限以及所属正方形的序号，结合正方形边长规律即可求解． 解：由题意可知，正方形的中心均在坐标原点，各边均与轴或轴平行，每个正方形有个顶点，从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序依次排列， ∵第个正方形的边长为， ∴正方形顶点到坐标轴的距离均为， ∵， ∴点位于第个正方形，且是该正方形的第个顶点，该点位于第二象限，横坐标为负，纵坐标为正， ∵第个正方形的顶点坐标绝对值为 ∴点的坐标为． 【题型 10】平移与轴对称 【例题10】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）作出关于直线l对称的，观察平移后能否与重合，若能，请写出到的平移方式． 【答案】（1）见分析，，，；（2）见分析，能；将向上平移8个单位长度 【分析】根据 “关于轴对称的点，横同纵反” 的坐标规律，直接写出对称点坐标，再连接成三角形；先根据 “关于直线对称的点，纵同横到的距离相等” 写出的对称点坐标，得到；再对比与的坐标变化，确定平移方式．本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换与平移变换，涉及的知识点是轴对称的坐标规律、平移的坐标变化规律．解题中用到的方法是 “坐标变换法”：利用轴对称的坐标规律直接推导对称点，利用坐标差推导平移方式．解题关键是牢记不同轴对称（轴、直线）的坐标变换规律，避免横、纵坐标的变换规则混淆．易错点是关于直线对称时，错误计算横坐标，或平移时混淆横、纵坐标的变化方向． 解：（1）利用轴对称的性质分别作出，，对应的点，，，顺次连接． 如图所示： ，， （2）利用轴对称的性质分别作出，，对应的点，，，顺次连接． 如图所示： 能；将向上平移8个单位长度 【变式1】（2023·浙江丽水·一模）四盏灯笼的位置如图，已知A，，，的坐标分别是，，，，平移其中一盏灯，使得轴两边的灯笼对称，下列说法正确的是（    ） A．平移点到 B．平移点到 C．平移点到 D．平移点到 【答案】B 【分析】分别根据平移求出平移后的点坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变依次判断即可． 解：∵A，B，C，D的坐标分别是，，，，平移点到， ∴平移后四个点坐标为，，，， ∴y轴两侧的灯笼不对称， 故A不符合题意； ∵平移点到， ∴四个点坐标为，，，， ∴y轴两侧的灯笼对称， 故B符合题意； ∵平移点到， ∴四个点坐标为，，，， ∴y轴两侧的灯笼不对称， 故C不符合题意； ∵平移点到， ∴四个点坐标为，，，， ∴y轴两侧的灯笼不对称， 故D不符合题意， 故选：B． 【点拨】本题考查了关于y轴对称，点的平移，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征和点的平移规律是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·安徽淮南·期中）已知点，规定一次变换是：先作点关于轴对称，再将对称点向右平移1个单位长度，则连续经过2024次变换后，点的坐标变为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的坐标， 先分别求出一，二，三次变换后的坐标，即可得出数字变化的规律，再根据规律解答即可． 解：第一次变换的坐标为； 第二次变换的坐标为； 第三次变换的坐标为； ∴第2024次变换的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·全国·单元测试）在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）点B关于x轴的对称点的坐标为 ； （2）将向左平移3个单位长度得到，请画出； （3）在（2）的条件下，的坐标为 ． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了作图—平移变换、坐标与图形、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案； （2）根据平移的性质作出即可； （3）根据平面直角坐标系写出坐标即可． 解：（1）解：点B关于x轴的对称点的坐标为； （2）解：如图，即为所作， （3）解：在（2）的条件下，的坐标为． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·青海西宁·期中）点P在第四象限，到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第四象限点的坐标符号特征即可求解． 解：设点坐标为 ∵点到轴的距离为，到轴的距离为 ∴， ∴， ∵点在第四象限 ∴， ∴，， 即点的坐标为． 2．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知点，则点所在象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据点的横纵坐标符号即可判断所在象限． 解：∵点的坐标为，横坐标，纵坐标， 又∵在平面直角坐标系中，第四象限内点的坐标特征为横坐标为正，纵坐标为负， ∴点所在象限为第四象限． 3．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状． 解：如图， ∵点、、， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形， 选项C符合题意． 4．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用表示，“卒”的位置用表示，那么“士”的位置用（     ）表示. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据“帅”的坐标确定原点的位置，然后再画出坐标系，进而可得答案． 解：如图所示： “士”的坐标是． 5．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据勾股定理解题． 解：由题意知，，即， ∴． 6．（18-19八年级上·黑龙江绥化·期中）点向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标的平移问题，熟悉坐标平移左减右加，上加下减是解题的关键． 由点向上平移4个单位，再向左平移3个单位，得到即可求解． 解：根据点向上平移4个单位，再向左平移3个单位，得到， 所以点． 故选：D． 7．（2026·上海·三模）已知平面内不同的两点，点，点，关于直线叙述一定正确的是（     ） A．直线轴 B．直线轴 C．直线轴 D．直线轴 【答案】B 【分析】根据两点坐标特征结合平行、垂直的定义判断即可，需注意重合不满足平行关系． 解：∵点，点是平面内不同的两点， ∴两点横坐标相等，纵坐标不相等， 可得直线上所有点的横坐标都为， ∴直线一定垂直于轴， 当时，直线与轴重合，不满足平行于轴，因此C不一定正确， 综上，一定正确的是B选项． 8．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，若三角形的面积为12，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】和都在轴上，可将作为三角形的底，点到轴的距离作为高，利用三角形面积公式列方程求解即可． 解：点，点都在轴上， 的长度为． 点坐标为， 点到轴的距离即的高为． 根据三角形面积公式得： ， 化简得， 或， 解得或． 9．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由折叠得，由勾股定理求出，再求出，进而可求出点的坐标． 解：由折叠可知，， ∵点，点， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴的坐标为． 10．（25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，动点在平面直角坐标系中第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干给出的点坐标，归纳总结的横纵坐标的规律即可． 解：根据题干，总结规律可得，经过第次运动后，点的横坐标为，纵坐标以，，，，，的顺序进行循环， ∵， ∴经过第次运动后，点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如果在一个会议室中，第5排第6号表示为，那么第7排第9号可以表示为________，表示的意义是________． 【答案】 第6排第9号 【分析】根据已知表示方法，确定有序数对中两个数的实际意义，第一个数表示排数，第二个数表示号数，按对应关系求解即可． 解：由题意可得，有序数对的第一个数对应排数，第二个数对应号数， 因此第7排第9号可以表示为， 表示的意义是第6排第9号． 12．（25-26八年级下·上海浦东新·期中）已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，列方程求解即可，掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键. 解：轴，点的坐标为， 点的纵坐标与点的纵坐标相等，可得， 解得. 13．（25-26七年级下·重庆开州·期中）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则的值是_______． 【答案】 解：点在轴上， ，解得：． 14．（25-26八年级下·四川广元·期中）在平面直角坐标系中有两点，则的长为_________． 【答案】5 【分析】利用两点间距离公式代入坐标计算即可得到结果． 解：因为点， 所以 ． 15．（25-26九年级上·四川泸州·期末）若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查中心对称点的坐标、中点坐标，熟练掌握中点坐标的运算方法是解题的关键． 点A与点B关于点C对称，则点C是线段的中点，利用中点坐标公式求解． 解：设点B的坐标为， 则， 解得， 因此，点B的坐标是， 故答案为：． 16．（25-26八年级下·上海·期中）若点与点关于轴对称，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据关于轴对称的点的坐标特征求出和的值，再代入代数式计算即可． 解：根据关于轴对称的点的坐标特征：关于轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数． 点与点关于轴对称， ，， 将，代入得：． 17．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知点在x轴上，点是轴上一动点，且，若三角形的面积为20，则点的坐标为_____． 【答案】或 解：设， ∵，三角形的面积为20， ∴， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或． 18．（2026·河南南阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是坐标轴的正半轴上的一点，若射线、、构成轴对称图形，则线段的长为______． 【答案】1或2或 【分析】分射线，射线，射线为对称轴分类讨论即可解答． 解：∵点，， ∴轴，， 如图， ①若以射线为对称轴， ， ； ②若以射线为对称轴， ； ③若以射线为对称轴，作， ，， ， ， ， ， ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形各顶点在格点上． （1）直接写出三角形的三个顶点的坐标：_______；_______；_______； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）；；；（2）4 【分析】（1）根据点所在的位置，直接写出点的坐标即可； （2）利用网格求面积即可. 解：（1）略 （2）解：三角形的面积. 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·北京·期中）为更好的开展古树名木的保护工作，某公园对园内的棵百年古树利用坐标确定了位置，并且定期巡视． （1）请你在如图所示的正方形（每个小正方形的边长都是）网格中建立平面直角坐标系，使得古树，的位置分别表示为，； （2）在（1）建立的平面直角坐标系中， ①古树的位置对应的点的坐标为_______； ②标出另外三棵古树，，的位置． 【答案】（1）见分析；（2）①；②见分析 【分析】（1）根据，建立坐标系即可； （2）①根据（1）中坐标系，结合点位置解答即可； ②根据坐标系，结合三点坐标，标出各点位置即可． 解：（1）解：如图所示，坐标系即为所求． （2）解：①由（1）中坐标系可知，点的坐标为． ②点，，的位置如（1）中图所示． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，在轴上求点，使的值最小． （1）画图并在图中标出点的位置． （2）求的最小值． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）理解题意，过点A作轴的对称点，连接与轴的交点记为，连接，此时的值最小； （2）结合网格特征，运用勾股定理进行列式计算，即可作答． 解：（1）解：过点A作轴的对称点，连接与轴的交点记为，连接，如图所示： （2）解：由（1）得， 此时， 即的最小值为． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·山东济南·阶段检测）【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为． 【类比应用】 （1）若点，，则 轴，的长度为 _； 【联系拓展】 已知点，， （2）若线段与轴交于点，点把线段分成的两部分时，求的值． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式及三角形的面积，解题时要熟练掌握并灵活运用． （1）依据题意，当横坐标相同时平行于轴，当纵坐标相同时平行于轴，进而可以得解； （2）依据题意可得，同时分成两种情形讨论，再进行列式计算，即可作答． 解：（1）由题意，当横坐标相同时平行于轴，当纵坐标相同时平行于轴． 、两点纵坐标相同， 轴． ， ． 故答案为：；． （2）由题意，， ∴轴，． 线段与轴交于点， ，． 点把线段分成的两部分， ，或． 又， 当时，则； 当时，则； 又， ∴或 或． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·广东广州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足：a是的立方根，，点C的坐标为． （1）______，______，______； （2）若点M在x轴上，且，试求点M的坐标． 【答案】（1），，；（2）点的坐标为或 【分析】（1）根据立方根的定义可知a的值，解可知b的值，再结合三角形的面积公式即可求出的值； （2）设出点的坐标，找出线段的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出的值，从而得出点的坐标． 解：（1）解：∵a是的立方根， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点，点， 又∵点， ∴，， ∴； （2）解：设点M的坐标为，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或， 点的坐标为或． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图①，在平面直角坐标系中，三角形的顶点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C的坐标为，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离，． （1）求三角形的面积； （2）如图②，过点B作的平行线交y轴于点M，作和的平分线相交于点N，求的度数． （3）若点是第二象限内一点，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据点C的坐标为，以及题意，求得的坐标，再利用三角形面积求解即可； （2）过点N作，利用平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，即可求解； （3）连接，根据题意可得，用表示出的面积，化简即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离， ∴点A的坐标为， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点N作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴， （3）解：如图③，连接， ， ∵点是第二象限内一点，， ∴， ∴，化简可得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $