专项训练02 数轴上的动点探究问题（巩固培优，苏科版江苏专用）数学小升初衔接

**基本信息** 聚焦数轴动点问题，以知识点为基础，通过8类典型题型构建从概念到综合应用的完整训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3个知识点|数轴定义、画法及与有理数关系|从数轴三要素到点与数的对应，构建数形结合基础| |综合题型|8类题型（含38道例题）|涵盖绝对值最值、相遇、翻折等问题|以动点运动为主线，融合距离公式、方程思想，实现从单一到复杂情境的能力迁移|

专项训练02 数轴上的动点探究问题 【知识点1 数轴的定义】 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 要点分析： （1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向． （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． 【知识点2 数轴的画法】 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 要点分析： （1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取． （2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点． 【知识点3 数轴与有理数的关系】 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如． 要点分析： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 【题型1 数轴动点中的绝对值最值问题】 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 【答案】(1)或 (2)Q有最大值11 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴上两点间的距离、化简绝对值，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）是数轴上表示和两点间的距离，据此即可求解； （2）分类讨论①、②、③即可求解； （3）先求出、的最小值，再求出的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得：是数轴上表示和两点间的距离， ， 或； （2）解：是数轴上表示的点到表示、5两点间的距离之差， ①时，； ②时，； ③时，； 综上所述，当时，有最大值11； （3）解：表示数到2、4、6、、2024的距离之和， 而2、4、6、、2024共有1012个偶数， 要使的值最小，根据已知阅读材料可知： 的最小值为：， 的最小值为：， ， 的最小值为， 的最小值为： ． 此时的取值范围是． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，，． (1)原点的置在______； A．点A的左边        B．点B的右边 C．点A与点B之间，且靠近点A    D．点A与点B之间，且靠近点B (2)若，，则点A表示的数为 ． (3)若，则 ． (4)拓展：若c，d，e，f分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是 ． 【答案】(1)D (2) (3) (4)1119 【分析】本题考查的是数轴与绝对值意义，整式的加减运算，能够根据题干分析出ab异号是解题的关键. （1）先判断a、b异号，a的绝对值大，据此即可确定原点的位置； （2）由题意得，，计算即可求解； （3）先确定A、B两点间的距离为2，得到，，求得，，据此去绝对值符号，计算即可求解； （4）要使取得最大值，则保证两正数之差最大，于是，，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b异号， 又∵， ∴a的绝对值大， ∴b靠原点近， ∴故选：D； （2）解：由题意，， 解得，， 则点A表示的数为； 故答案为：； （3）解：∵， ∴，即A、B两点间的距离为2， ∵a的绝对值大， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：； （4）解：若使的值最大， 则最低位数字最大为，最高位数字最小为即可， 同时为使最大，则e应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字， 所以e为1，此时d只能为1，所以此数为1119， 故答案为：1119． 【题型2 数轴动点中的相遇问题】 6．（24-25七年级上·天津滨海新·期末）如图，数轴上两点（点在点的左侧，表示点与点之间的距离），点表示的有理数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒（）． (1)点表示的数为___________，线段的中点表示的数为___________； (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________； (3)当为何值时，点与点相遇？ (4)当时，此时点表示的数是多少？ 【答案】(1)16，2 (2)， (3) (4)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴． （1）设点表示的数为x，利用两点之间的距离公式列方程可得点表示的数，再利用线段中点公式可得的中点表示的数； （2）根据在数轴上点的移动规律列代数式； （3）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可； （4）根据，分两种情况：相遇前和相遇后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设点表示的数为x， ∵点表示的有理数为， ∴， 解得：， 即点表示的数为16， 线段的中点表示的数为， 故答案为：16，2； （2）解：∵点表示的有理数为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴秒后，点表示的数为， ∵点表示的数为16，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴秒后，点表示的数为， 故答案为：，； （3）解：点与点相遇时，， 解得， 所以当时，点与点相遇； （4）解：，分以下两种情况： 点与点相遇前，，即， 解得， 此时点表示的数是：； 点与点相遇后，，即， 解得， 此时点表示的数是：． 7．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在数轴上A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b满足. (1)求a，b的值； (2)点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动，且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位； (3)若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 【答案】(1) (2)点Q的速度为每秒3个单位，点P的速度为每秒6个单位 (3)经过秒或秒或4秒，P、Q两点相距6个单位长度． 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，分类讨论是解题的关键． （1）由非负数的性质得出，即可得出答案； （2）由题意得出方程组，解方程组即可； （3）分两种情况进行讨论，由题意分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵点的速度是点速度的倍， 设点的速度为每秒个单位，则点的速度为每秒个单位， 依题意，， 解得：， 答：点的速度为每秒个单位，则点的速度为每秒个单位； （3）解：点所表示的数是；点所表示的数是； ， 当点到达点时，需要秒； 设经过秒钟，、两点相距个单位长度， 分情况讨论： ①点没有到达点， 当、没有相遇，、两点相距个单位长度时， 由题意得：， 解得：； 当、相遇后，、两点相距个单位长度时， 由题意得：， 解得：； ②点到达点后原速返回， 当点还没有追上点时， 由题意得：， 解得：； 当点超过点时， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒钟，、两点相距个单位长度． 【题型3 数轴动点中的翻折问题】 13．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知点A，B在数轴上，A，B对应的数字为a，b，满足，点M从点A开始以2个单位长度/秒的速度向右移动，同时点N从点B开始以3个单位长度/秒的速度向右移动，移动时间为t秒 (1)__________，_________． (2)用含t的代数式表示点M对应的数为__________，点N对应的数__________． (3)数轴上有一点P．若将数轴沿着点A翻折后，点P对应的数为Q，点Q对应的数为．当点N到达点P时，立即向左返回；当点N到达点B时，点M，N同时停止移动．在移动过程中，请用含t的代数式表示点M与点N之间的距离． 【答案】(1)1；7 (2)； (3) 【分析】（1）根据非负数的性质可得，则可求出； （2）用点A表示的数加上点M运动的路程即为点M表示的数，用点B表示的数加上点N运动的路程即可求出点N表示的数； （3）先根据点P和点Q到折叠点A的距离相等求出点P表示的数，进而求出点N运动到点B的时间，以及点N回到点B的时间，然后分点N从B到P的运动过程和点N从P到B的运动过程，两种情况分别表示出点M和点N表示的数，再利用数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1；7； （2）解：由（1）得，点A表示的数为1，点B表示的数为7， ∵点M从点A开始以2个单位长度/秒的速度向右移动，同时点N从点B开始以3个单位长度/秒的速度向右移动， ∴点M对应的数为，点N对应的数， 故答案为：；； （3）解：∵将数轴沿着点A翻折后，点P对应的数为Q，点Q对应的数为， ∴点P和点Q到点A的距离都为， ∴点P表示的数为， ∴点N运动到点P的时间为秒， ∴当点N运动到点B时的运动时间为秒； 当时，由（1）得点M对应的数为，点N对应的数， ∴； 当时，点M对应的数为，点N对应的数为， ∴； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，整式的加减计算，数轴上两点距离计算，非负数的性质，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． 14．（24-25七年级上·山东济南·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．翻折是初中数学重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 如图，若数轴上表示的点与表示的点重合． 则表示的点与表示______的点重合； 若数轴上，两点之间的距离为（点在点的左侧），当，两点经折叠后重合，则点表示的数为______，点表示的数为______； 若点表示数，点经折叠后与点重合，则点表示的数是______； 【问题情境】 如图，一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是和，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为，求点表示的数． 【答案】【问题情境】；，；； 【问题情境】点表示的数为或． 【分析】【问题情境】根据数轴上表示的点与表示的点重合，则点与的距离和点与的距离相等，从而求解； 根据题意，数轴是绕数折叠，则点表示的数为左侧个单位，点表示的数为右侧个单位，然后由有理数加减运算即可； 分当在左侧时和当在右侧时两种情况分析即可； 【问题情境】分当落在点左边时，当落在点右边时两种情况分析即可； 本题考查了数轴及数轴上两点间的距离，有理数加法、减法、除法运算，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：1【问题情境】 ∵数轴上表示的点与表示的点重合， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ∵数轴上，两点之间的距离为，数轴上表示的点与表示的点重合， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； ∵，数轴上表示的点与表示的点重合， ∴， 当在左侧时，则与的距离为， ∴点表示的数是； 当在右侧时，则与的距离为， ∴点表示的数是； 综上可知：点表示的数是， 故答案为：； 【问题情境】 当落在点左边时， ∵点与点之间的距离为， ∴点为表示的数为， ∴点表示的数， 当落在点右边时， ∵点与点之间的距离为， ∴点为表示的数为， ∴点表示的数， 综上可知：点表示的数为或． 【题型4 数轴动点中的相距问题】 19．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【问题背景】 大美瓦房店，瓦房店滨海路上风景怡人．在滨海路上和两地之间相距大约5千米，大明骑电动车从地出发，以1千米/分钟的速度向地方向匀速行驶：笑笑骑自行车从地出发，以0.5千米/分钟的速度向地方向匀速行驶．两人同时出发，经过几分钟大明、笑笑之间相距1千米？    【问题解决】 小美同学在学习了《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图1，将滨海路抽象为一条数轴，将点与数轴的原点重合，点表示数5．大明和笑笑分别用动点、来表示，设运动的时间为分钟． （1）分钟后点在数轴上对应的数是_____，点对应的数是_____；（用含的代数式表示） （2）我们知道，如果数轴上，两点分别对应数，，则．试运用该方法求经过几分钟，之间相距1千米？ 【拓展应用】 （3）如图2，点，，为数轴上三点；若点表示的数是，点表示的数是40，点表示数是25，现有两个动点、分别从点，同时开始在线段上运动，点以每分钟2个单位长度的速度向右运动，点以每分钟1个单位长度的速度向左运动，若点与点之间的距离为，点与点之间的距离为.在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）当或时，，之间相距1千米；（3）存在，当或时，使得 【分析】本题考查数轴上动点问题，涉及数轴上两点之间距离求法、绝对值意义、解一元一次方程等知识，数形结合列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，列代数式即可得到答案； （2）由题意，数形结合，由数轴上两点之间距离求法，得到，结合绝对值意义，解一元一次方程即可得到答案； （3）由题意，数形结合，由数轴上两点之间距离求法，得到，从而得到，结合绝对值意义，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：（1）依据题意得，分钟后点对应的数是，点对应的数是， 故答案为：，； （2）由题意得：， 解得：或， 当或时，，之间相距1千米， （3）存在某一时刻，使得， 理由如下： ， ，， 由题意得：， 解得：或， 存在，当或时，． 20．（24-25七年级上·江西吉安·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图1，点在数轴上所对应的数为，点表示的数为4，是数轴上一动点． （1）则、两点间的距离________，、两点的中点表示的数为________． （2）若、两点间的距离，则点表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有、两点，分别表示的数为，8，点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间秒（）． （3）用含的式子填空： 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 此时、两点的中点表示的数为________．（用含的式子填空） （4）按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5个单位长度？ 【答案】（1）9，；（2）或；（3），，；（4）经过4秒会相遇；A、B两点经过3秒或5秒会相距5个单位长度． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置， （1）根据题目给定的距离公式即可求得； （2）利用点P与点A的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； （3）点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动即可写出点A和点B在t秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案； （4）根据相遇的时候两个点表示的数一样列出方程求解即可；根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4， ∴， 点M在数轴上所对应的数为． 故答案为：9，； （2）∵若A、P两点间的距离，点A在数轴上所对应的数为， 当P点在A点左边时，则P点的为：， 当P点在A点右边时，则P点的为：， ∴点表示的数为或， 故答案为：或； （3）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 此时A、B两点的中点M表示的数为：． 故答案为：，，； （4）当时， 解得：， ∴经过4秒会相遇； 设它们按上述方式运动，A、B两点经过t秒会相距5个单位长度， 当点A在点B左侧时： 解得； 当点A在点B右侧时： 解得； 答：它们按上述方式运动，A、B两点经过3秒或5秒会相距5个单位长度． 【题型5 数轴动点中的和差倍分问题】 21．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【新知理解】 我们规定：对于数轴上不同的三个点，若点到点的距离恰好为点到点的距离的（为正整数）倍时，即，则称点是“的阶巧分点”． （1）数轴上点，点表示的数分别为． ①线段的长为______； ②若点是“的3阶巧分点”，则点表示的数为______； 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，点在之间运动，且不与两点重合，作“的2阶巧分点”，记为，作“的4阶巧分点”，记为，且满足分别在线段和上．当点运动时，求的值． 【拓展应用】 （3）数轴上两点表示的数分别为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，作“的1阶巧分点”，记为，作“的3阶巧分点”，记为．两点同时出发，设运动时间为，若，直接写出的值． 【答案】（1）①8； ②1 和7； （2）； （3）或或或． 【分析】（1）①利用两点之间的距离公式进行计算即可，计算距离时需注意符号，避免直接相减导致错误； ②设点表示的数为，则：，注意解绝对值方程时需分情况讨论，并验证解的合理性； （2）设点表示的数为，根据巧分点定义表示和，进一步列出即可； （3）设运动时间为秒，点和点分别为：，进一步根据列出方程求解即可． 【详解】解：（1）①已知点和点在数轴上分别表示的数为和，则线段的长度为：   , 故答案为：． ②点 是“的 3 阶巧分点”，即满足， 设点表示的数为，则： ， 分情况讨论：   1.当： 时，，解得， 2.当：时，，解得， 因此点表示的数为：1 和7． 故答案为：1 和7． （2）设点表示的数为，根据巧分点定义： 是的 2 阶巧分点，其表示的数为： ， 是的 4 阶巧分点，其表示的数为：， 所以， 继续化简得：， 分别在线段和上，当时，结果为：， 所以． （3）设运动时间为 秒，点和点分别为：， 当在间，在间时； 是的 1 阶巧分点（中点），其表示的数为：， 是的 3 阶巧分点，需满足，解得表示的数为：， 根据条件，其中，故：，   解得：或， 同理当在间，在外时； ，， 则， 解得：或， 综上，或或或． 【点睛】本题是新定义问题，考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据两点间的距离来解决问题，涉及分类讨论，动点问题，线段的关系，难度较大． 22．（24-25七年级上·广西柳州·期中）点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为，在数轴上A 、B 两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为 ； (2)若x与2的距离为3，则x的值为 ； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为 ； (4)假设，，有一点P由原点O开始以每秒1的速度向右运动，请你求出运动时间t是多少秒时，（点P到点A的距离是点P到点B的距离的2 倍） 【答案】(1)3 (2)或5 (3)或0或1或2 (4)或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，有理数的加减运算，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据数轴上两点之间的距离公式列式求解即可； （2）分x在2左边和x在2右边两种情况讨论，然后分别列式求解即可； （3）首先得到表示x到2的距离加上x到的距离等于3，然后结合（1）得到x在和2之间，进而求解即可； （4）首先得到点P表示的数为t，然后表示出，，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解： ∴和2之间的距离为3； （2）解：若x与2的距离为3， ∴当x在2左边时，； 当x在2右边时，； （3）解：表示x到2的距离加上x到的距离等于3 ∵由（1）可得，和2之间的距离为3 ∴当x在和2之间时， ∴满足条件的所有整数x为或0或1或2； （4）解：根据题意得，点P表示的数为t ∵，，有一点P由原点O开始以每秒1的速度向右运动， ∴， ∵ ∴ ∴或 解得或． 【题型6 数轴动点中的定值问题】 26．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，且，满足．解答下列问题： (1)___________，___________； (2)若数轴上点满足，求点对应的数； (3)点，点，点是数轴上的动点，点从点出发，沿数轴以5个单位/秒的速度向右运动，点从点出发，以3个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度向左移动，设运动时间为，在三个点移动的过程中，或是否会是定值．若会，请求的取值范围；若不会，请说明理由． 【答案】(1)，12 (2)7或22 (3)当时，为定值；当时，为定值．理由见解析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得解； （2）分两种情况，点在上或在的延长线上，表示出和，再建立方程求解即可； （3）先用表示出点Q，M，N，进而表示出和，再代入得出关系式，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 解得：， 故答案为：，12； （2）解：法一：设点表示的数为，分两种情况： ①当点在线段上时， ， 解得； ②当点在线段的延长线上时， ， 解得． 综上所述，点表示的数为7或22． 法二：设点表示的数为，由题意得： 或 综上所述，点表示的数为7或22． （3）解：由题意得： 点表示的数为点表示的数为点表示的数为， ， ①当时，， 此时为定值， 不为定值， ②当时，， 此时，为定值， 不为定值， 答：当时，为定值；当时，为定值． 27．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）课本P52页习题8，我们曾探究过，如果数轴上点表示数，点表示数，线段的长表示为．当点为线段中点时，即时，点表示的数为．请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的点表示数，点表示数5．若在原点处放一挡板，一动点从点处以2个单位／秒的速度向左运动；同时另一个动点从点处以3个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到点后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为（秒）． (1)动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______；（用含的代数式表示） (2)当是线段中点时，求时间的值； (3)分别取和的中点，； ①当时，求时间的值； ②试判断是否存在常数，使得的值是定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①或②存在， 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题： （1）根据两点间的距离公式结合数轴上的动点，左移减，右移加，列出代数式即可； （2）分和两种情况，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，根据的值是定值，得到整式的值与的值无关，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为：， 当时，动点表示的数为， 当时，动点表示的数为； 故答案为：，，； （2）①当时，，解得：； ②当时，，解得：（舍去）； 故． （3）①由题意，点表示的数为：， 当时，点表示的数为：， 则：，解得：或（舍去）； 当时，点表示的数为：， 则：，解得：或（舍去）； 综上：或； ②存在： 由题意，得：， 当时，，， ∴， ∴当时，为定值； 当，，， ∴， ∴当时，为定值； 综上：当时，的值是定值． 【题型7 数轴动点中的折返问题】 31．（24-25七年级上·福建福州·期中）数轴上点A，B对应的数分别是和10，点P以每秒2个单位的速度从点A出发向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B出发向左运动，当点Q到达点A后立即折返向右运动，设运动时间为t秒． (1)当点P和点Q第一次相遇时，求t的值； (2)当时，求点P到点Q的距离； (3)在整个运动过程中，当t为多少时，P，Q两点间的距离为2？请直接写出t的值． 【答案】(1)点P与点Q第一次相遇时t的值为3 (2)9 (3)或或13或17 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离． （1）利用路程速度时间，结合点P和点Q第一次相遇时的路程之和为15，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用时间路程速度，可求出点Q到达点A所需时间，找出当时点P，Q表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时点P到点Q的距离； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据P，Q两点间的距离为2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据P，Q两点间的距离为2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴当点P和点Q第一次相遇时，t的值为3； （2）解：（秒）， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∴当时，点P到点Q的距离为9； （3）解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 即或， 解得：或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 即或， 解得或． 综上所述，在整个运动过程中，当t为或或13或17时，P，Q两点间的距离为2． 32．（24-25七年级上·四川成都·期中）“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值即可； （2）根据，结合两点间距离公式得出，分情况讨论，求出结果即可； （3）分四种情况讨论：当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧：当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵点P在数轴上对应的数为x，， ∴根据两点间距离公式可得：， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； ∴当或时，． （3）解：当点P到达点N时，需要的时间为： （秒）， 此时点Q到达， 当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧： ， 解得：； 当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧： ， 解得： 综上分析可知：当或或或时，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离，注意进行分类讨论． 【题型8 数轴动点中的新定义问题】 36．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图5，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且． (1)___________，___________，A，B两点之间的距离为___________； (2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数； (3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数． 【答案】(1)，7，12 (2) (3)点P对应的有理数分别是和 【分析】本题考查数轴上的两点间的距离，数轴上的动点问题，有理数的加法运算，一元一次方程的应用． （1）根据非负性，求出a，b的值，两点间的距离公式求出A，B两点之间的距离即可； （2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，根据题意，列出算式进行计算即可； （3）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧，点P在点A和点B之间，点P在点B的右侧，三种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得：，， ∴A，B两点之间的距离为， 故答案为：，7，12； （2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数， ∴ ， 所以当运动到2025次时，求点M所对应的数为； （3）解：设点P对应的数为x， ①当点P在点A的左侧时：， 解得：， ②当点P在点A和点B之间时：， 解得：， ③当点P在点B的右侧时：， 解得：，这与点P在点B的右侧矛盾，故舍去， 综上所述，点P所对应的有理数分别是和． 37．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ． (2)若x表示一个有理数，则的最小值 ． (3)在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉例如：，，，． 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ； ． ③计算：． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，化简绝对值，有理数的加减计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据绝对值的几何意义可得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1的点和数的点的距离之和，据此结合数轴求解即可； （3）①②仿照题意去绝对值即可；③先仿照题意去绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示x和的两点之间的距离表示为； （2）解：由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1的点和数的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为； （3）解：； ； ③ ． 38．（24-25七年级上·福建莆田·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b， 若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：； 若点A在B的右侧，即，则A，B两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为， ③点A向右运动m个单位长度后，点A表示的数为：..， 点A向左运动m个单位长度后，点A表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒， 请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题： (1)表示点A到点B之间的距离，运动之前，的距离为_______； (2)A点与C点的中点为D，则点D表示的数为_______；运动t秒后，点A表示的数为_______（用含t的式子表示）； (3)若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值． 【答案】(1)4 (2)3； (3)16或1或4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据数轴两点间的距离，即可求解； （3）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； 故答案为：4； （2）解：A点与C点的中点D表示的数为； 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：3，； （3）解：根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 当点A是点B，C的中点时，， 解得：； 当点B是点A，C的中点时，， 解得：； 当点C是点A，B的中点时，， 解得：； 综上所述，t的值为16或1或4； 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：点在线段上，， ； 点在线段上， ， ，，综上： ∴最大值为，最小值为，∴，故选：B． 2．（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：，，，解得：，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，表示的数是，表示的数是， 根据题意可得：，即：，解得：或，故选：． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 【答案】D 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：或，解得：或， 的值为或1．故选：D． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是 ；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为 ． 【答案】 秒或秒 【详解】解：∵数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等， ∴数轴的原点对应的刻度为，∴点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是， ∵点P从点A向右移动，速度为4个单位长度/秒，点Q从点B向右移动，速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒，∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P在点Q左边时，，解得，； 当点P在点Q右边时，，解得，； 综上所述，当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为秒或秒。故答案为：①；② 秒或秒． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】 40 【详解】解：（1）M点对应的数是：；故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90，， 设t秒后P、Q相遇，，解得， 此时点P走过的路程为，此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是．故答案为：． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为数，，，，且，满足，点在点的右侧且到点的距离为8个单位长度，点表示的数是12；动点从点出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点从点出发，以2个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒． (1)则_____________；_____________； (2)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________；（用含的式子表示） (3)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________．（用含的式子表示） 【答案】(1)；(2)；(3)； 【详解】（1）解：∵，∴， 解得：；故答案为：；； （2）解：由（1）得点A所表示的数为，点B所表示的数为， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，∴点C所表示的数为4， 又∵点D所表示的数为12，∴从运动到的过程中，点表示的数是；从运动到的过程中，点表示的数是；故答案为：；； （3）解：∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数，点B，C之间的距离， ∵动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动， ∴点P从点A运动到点B所用的时间为：（秒）， 又∵点P在线段上的运动速度为（个单位/秒）， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为（秒）， ∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：； ∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（秒）， ∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：（个单位/秒）， ∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：秒）， ∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：．故答案为：；． 7．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．(1)当时，求点Q表示的数；(2)当时，求点Q表示的数；(3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数．    【答案】(1)6(2)2(3)或 【详解】（1）解：当时，点Q表示的数为； （2）解：当时，点Q运动的路程为，点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时，点运动的路程为，秒，点表示的数为； ②点达到原点时，点运动的路程为， 秒，点表示的数为，故点P表示的数为或． 8．（2024·江苏·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离． 【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）当0≤t≤8时，PQ＝－2t＋16；当8＜t≤12时，PQ＝2t－16；当12＜t≤20时，PQ＝20－t． 【详解】解：（1）由题意可得当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为：， 点Q对应的数为：，P、Q两点间的距离为：，故答案为：－5, －11；     6． （2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为：－10＋t．故答案为：－10＋t． （3）当0≤t≤8时，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t) ＝－2t＋16； 当8＜t≤12时，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16； 当12＜t≤20时，PQ＝10－(－10＋t) ＝20－t． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧，已知，，若动点、分别从点、处同时向右移动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．则： (1)当为何值时，、两点重合？(2)当为何值时，、两点相距个单位长度？(3)如图2，点是的中点，在点、同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)是定值，理由见解析 【详解】（1）∵，∴，由题意，得：，解得：； （2）由题意，点表示的数为，点表示的数为，∴，∴或； （3）是定值，理由如下：∵点表示的数为，为的中点， ∴表示的数为，∴， ∵，∴，∴为定值． 10．（2024·江苏连云港·七年级校考期中）已知M、N两点在数轴上所装示的数分别为m、n，且m、n满足：(1)则m =  _________ ，n =  _________ ；(2)①情境：有一个玩具汽车如图所示，放置在数轴上，将汽车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具汽车的长为 _________ 个单位长度； ②应用：一天，小阳问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小阳心想：爷爷的年龄到底是多少岁呢?聪明的你能帮小阳求出来吗? (3)在（2）①的条件下，当汽车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记汽车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关?若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10，(2)①4；②64岁(3)存在，使得的值与它们的运动时间无关 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴，故答案为：10，； （2）解：①由题意得：， ∴，∴玩具火车的长为4个单位长度，故答案为：4； ②同①可知爷爷比小阳大岁，设爷爷的年龄为x岁，则小阳的年龄为岁， 由题意得，解得，∴爷爷的年龄是64岁； （3）解：由题意可得， ， ∴， ∵的值与它们的运动时间无关∴，∴， ∴存在，使得的值与它们的运动时间无关； 1．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 2．如图，数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6．将点A在数轴上移动2个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．先求出点A表示的数，然后分两种情况求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6， ∴点A表示的数为：， 当点A在数轴上向右移动2个单位长度得到点时，点C表示的数为：； 当点A在数轴上向左移动2个单位长度得到点时，点C表示的数为：； 故选：C． 3．如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，依次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， …， 依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合， ， 数轴上的数2025所对应的点将与圆周上的字母B重合， 故选：B． 4．数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的平移，列代数式，点A的初始位置为，以每秒2个单位长度的速度运动，t秒后的位置为初始位置加上位移（速度乘以时间）． 【详解】解：∵点A的初始位置为，运动速度为2个单位长度/秒， ∴当向右移动时，t秒后，点A表示的数是； 当向左移动时，t秒后，点A表示的数是； 故答案为：或． 5．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 6．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 【答案】(1)4 (2) (3)2或6 (4)4，1 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，掌握数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键 ． （1）根据点A表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据数轴上中点的计算即可求解； （3）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可； （4）首先根据移动方式求出点E表示的数，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，则原点如图所示， ∴点B表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：点A表示的数是，点B表示的数为4， ∴到A、B两点的距离相等的点表示的数为， ∴则P点表示的数为， 故答案为：； （3）解：点B表示的数为4， ∴当点C在点B左边时，点C表示的数为； 当点C在点B的右边时，点C表示的数为， 故答案为：2或6． （4）解：∵点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E， ∴点E表示的数是； ∴D、E两点间的距离是． 8．如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上的点表示有理数的方法． （1）根据正方形的边长，即可得到点第一次落在数轴上表示的数； （2）根据正方形的周长，即可得到点第五次落在数轴上表示的数； （3）根据题意求出，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，点与原点重合， ∴点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵正方形的边长为，点与原点重合，点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， ∴点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （3）解：由（2）知点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 此时，点在点的正上方，点所表示的数是，即， ∴以点、、三点为顶点的三角形面积为， 故答案为：． 9．数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．请利用数轴回答下列问题： (1)如果点表示数，将点向右移动个单位长度到达点，那么点表示的数是__________，、两点间的距离是__________； (2)如果点表示数，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到达点，那么点表示的数是__________，、两点间的距离是__________； (3)一般的，如果点表示的数为，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到达点，那么点表示的数是__________． (4)如果点表示的数为，点表示的数是，在数轴上有点到点和点的距离相等，则点表示的数是__________． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】（）根据“左减右加”的规则求出点表示的数，再根据数轴上两点间的距离公式求出两点间的距离即可； （）根据“左减右加”的规则求出点表示的数，再根据数轴上两点间的距离公式求出两点间的距离即可； （）根据“左减右加”的规则解答即可； （）由题意可知，点一定在点之间，设点表示的数是，根据数轴上两点间的距离公式列出方程解答即可求解； 本题考查了有理数与数轴，数轴上两点间距离公式，掌握数轴上点的平移规则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴点表示的数是， ∵， ∴、两点间的距离是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴点表示的数是， ∴、两点间的距离是， 故答案为：，； （3）解：点表示的数是， 故答案为：； （4）解：由题意可知，点一定在点之间， 设点表示的数是， 则， 解得， ∴点表示的数是， 故答案为：． 10．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 11．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．        (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是_____，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)1；6；3 (2)①2，8，10；②不变，；③线段的长度为 【分析】本题主要考查了相反数、有理数、数轴两点间的距离、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据点与点表示的数互为相反数，可得点B，根据点与点的中点为点表示的数，可得点D，进而即可得解； （2）①根据跳跃点的定义可知M和关于原点对称，所以可得到表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得表示的数，进而可求的长度；②由题易知P是和的中点，再分类讨论利用数轴上两点距离求解即可；③同②思路即可得解． 【详解】（1）解：∵点与点表示的数互为相反数， ∴点B表示的数是1， 根据题意得，点与点之间的距离， ∵点与点的中点为点表示的数， ∴点D表示的数是， 故答案为：1，6，3； （2）解：①由题可知M和关于原点对称， ∴表示的数是2， ∵点P表示的数为5， ∴， ∵， ∴表示的数是8， ∴线段的长度为， 故答案为：2，8，10； ②的值不变，，理由如下： 依题意知点表示的数是， 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴； 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴， 综上所述：； ③∵点M表示的数是m，则一次跳跃点表示的数是， ∵点与点位于点P的两侧，且，即点P是点和点之间的中点， ∵点P表示的数是p， ∴点表示的数是， ∴． 12．【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2) (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由见解析 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为； （3）点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； （3）解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练02 数轴上的动点探究问题 【知识点1 数轴的定义】 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 要点分析： （1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向． （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． 【知识点2 数轴的画法】 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 要点分析： （1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取． （2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点． 【知识点3 数轴与有理数的关系】 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如． 要点分析： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 【题型1 数轴动点中的绝对值最值问题】 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 4．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，，． (1)原点的置在______； A．点A的左边        B．点B的右边 C．点A与点B之间，且靠近点A    D．点A与点B之间，且靠近点B (2)若，，则点A表示的数为 ． (3)若，则 ． (4)拓展：若c，d，e，f分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是 ． 【题型2 数轴动点中的相遇问题】 6．（24-25七年级上·天津滨海新·期末）如图，数轴上两点（点在点的左侧，表示点与点之间的距离），点表示的有理数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒（）． (1)点表示的数为___________，线段的中点表示的数为___________； (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________； (3)当为何值时，点与点相遇？ (4)当时，此时点表示的数是多少？ 7．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在数轴上A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b满足. (1)求a，b的值； (2)点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动，且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位； (3)若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 【题型3 数轴动点中的翻折问题】 13．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知点A，B在数轴上，A，B对应的数字为a，b，满足，点M从点A开始以2个单位长度/秒的速度向右移动，同时点N从点B开始以3个单位长度/秒的速度向右移动，移动时间为t秒 (1)__________，_________． (2)用含t的代数式表示点M对应的数为__________，点N对应的数__________． (3)数轴上有一点P．若将数轴沿着点A翻折后，点P对应的数为Q，点Q对应的数为．当点N到达点P时，立即向左返回；当点N到达点B时，点M，N同时停止移动．在移动过程中，请用含t的代数式表示点M与点N之间的距离． 14．（24-25七年级上·山东济南·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．翻折是初中数学重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 如图，若数轴上表示的点与表示的点重合． 则表示的点与表示______的点重合； 若数轴上，两点之间的距离为（点在点的左侧），当，两点经折叠后重合，则点表示的数为______，点表示的数为______； 若点表示数，点经折叠后与点重合，则点表示的数是______； 【问题情境】 如图，一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是和，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为，求点表示的数． 【题型4 数轴动点中的相距问题】 19．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【问题背景】 大美瓦房店，瓦房店滨海路上风景怡人．在滨海路上和两地之间相距大约5千米，大明骑电动车从地出发，以1千米/分钟的速度向地方向匀速行驶：笑笑骑自行车从地出发，以0.5千米/分钟的速度向地方向匀速行驶．两人同时出发，经过几分钟大明、笑笑之间相距1千米？    【问题解决】 小美同学在学习了《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图1，将滨海路抽象为一条数轴，将点与数轴的原点重合，点表示数5．大明和笑笑分别用动点、来表示，设运动的时间为分钟． （1）分钟后点在数轴上对应的数是_____，点对应的数是_____；（用含的代数式表示） （2）我们知道，如果数轴上，两点分别对应数，，则．试运用该方法求经过几分钟，之间相距1千米？ 【拓展应用】 （3）如图2，点，，为数轴上三点；若点表示的数是，点表示的数是40，点表示数是25，现有两个动点、分别从点，同时开始在线段上运动，点以每分钟2个单位长度的速度向右运动，点以每分钟1个单位长度的速度向左运动，若点与点之间的距离为，点与点之间的距离为.在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由． 20．（24-25七年级上·江西吉安·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图1，点在数轴上所对应的数为，点表示的数为4，是数轴上一动点． （1）则、两点间的距离________，、两点的中点表示的数为________． （2）若、两点间的距离，则点表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有、两点，分别表示的数为，8，点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间秒（）． （3）用含的式子填空： 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 此时、两点的中点表示的数为________．（用含的式子填空） （4）按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5个单位长度？ 【题型5 数轴动点中的和差倍分问题】 21．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【新知理解】 我们规定：对于数轴上不同的三个点，若点到点的距离恰好为点到点的距离的（为正整数）倍时，即，则称点是“的阶巧分点”． （1）数轴上点，点表示的数分别为． ①线段的长为______； ②若点是“的3阶巧分点”，则点表示的数为______； 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，点在之间运动，且不与两点重合，作“的2阶巧分点”，记为，作“的4阶巧分点”，记为，且满足分别在线段和上．当点运动时，求的值． 【拓展应用】 （3）数轴上两点表示的数分别为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，作“的1阶巧分点”，记为，作“的3阶巧分点”，记为．两点同时出发，设运动时间为，若，直接写出的值． 22．（24-25七年级上·广西柳州·期中）点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为，在数轴上A 、B 两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为 ； (2)若x与2的距离为3，则x的值为 ； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为 ； (4)假设，，有一点P由原点O开始以每秒1的速度向右运动，请你求出运动时间t是多少秒时，（点P到点A的距离是点P到点B的距离的2 倍） 【题型6 数轴动点中的定值问题】 26．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，且，满足．解答下列问题： (1)___________，___________； (2)若数轴上点满足，求点对应的数； (3)点，点，点是数轴上的动点，点从点出发，沿数轴以5个单位/秒的速度向右运动，点从点出发，以3个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度向左移动，设运动时间为，在三个点移动的过程中，或是否会是定值．若会，请求的取值范围；若不会，请说明理由． 27．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）课本P52页习题8，我们曾探究过，如果数轴上点表示数，点表示数，线段的长表示为．当点为线段中点时，即时，点表示的数为．请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的点表示数，点表示数5．若在原点处放一挡板，一动点从点处以2个单位／秒的速度向左运动；同时另一个动点从点处以3个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到点后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为（秒）． (1)动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______；（用含的代数式表示） (2)当是线段中点时，求时间的值； (3)分别取和的中点，； ①当时，求时间的值； ②试判断是否存在常数，使得的值是定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【题型7 数轴动点中的折返问题】 31．（24-25七年级上·福建福州·期中）数轴上点A，B对应的数分别是和10，点P以每秒2个单位的速度从点A出发向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B出发向左运动，当点Q到达点A后立即折返向右运动，设运动时间为t秒． (1)当点P和点Q第一次相遇时，求t的值； (2)当时，求点P到点Q的距离； (3)在整个运动过程中，当t为多少时，P，Q两点间的距离为2？请直接写出t的值． 32．（24-25七年级上·四川成都·期中）“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 【题型8 数轴动点中的新定义问题】 36．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图5，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且． (1)___________，___________，A，B两点之间的距离为___________； (2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数； (3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数． 37．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ． (2)若x表示一个有理数，则的最小值 ． (3)在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉例如：，，，． 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ； ． ③计算：． 38．（24-25七年级上·福建莆田·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b， 若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：； 若点A在B的右侧，即，则A，B两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为， ③点A向右运动m个单位长度后，点A表示的数为：..， 点A向左运动m个单位长度后，点A表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒， 请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题： (1)表示点A到点B之间的距离，运动之前，的距离为_______； (2)A点与C点的中点为D，则点D表示的数为_______；运动t秒后，点A表示的数为_______（用含t的式子表示）； (3)若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是 ；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为 ． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为数，，，，且，满足，点在点的右侧且到点的距离为8个单位长度，点表示的数是12；动点从点出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点从点出发，以2个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒． (1)则_____________；_____________； (2)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________；（用含的式子表示） (3)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________．（用含的式子表示） 7．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．(1)当时，求点Q表示的数；(2)当时，求点Q表示的数；(3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数．    8．（2024·江苏·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧，已知，，若动点、分别从点、处同时向右移动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．则： (1)当为何值时，、两点重合？(2)当为何值时，、两点相距个单位长度？(3)如图2，点是的中点，在点、同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由． 10．（2024·江苏连云港·七年级校考期中）已知M、N两点在数轴上所装示的数分别为m、n，且m、n满足：(1)则m =  _________ ，n =  _________ ；(2)①情境：有一个玩具汽车如图所示，放置在数轴上，将汽车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具汽车的长为 _________ 个单位长度； ②应用：一天，小阳问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小阳心想：爷爷的年龄到底是多少岁呢?聪明的你能帮小阳求出来吗? (3)在（2）①的条件下，当汽车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记汽车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关?若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 1．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．如图，数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6．将点A在数轴上移动2个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 4．数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 5．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 6．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 8．如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 9．数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．请利用数轴回答下列问题： (1)如果点表示数，将点向右移动个单位长度到达点，那么点表示的数是__________，、两点间的距离是__________； (2)如果点表示数，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到达点，那么点表示的数是__________，、两点间的距离是__________； (3)一般的，如果点表示的数为，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到达点，那么点表示的数是__________． (4)如果点表示的数为，点表示的数是，在数轴上有点到点和点的距离相等，则点表示的数是__________． 10．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 11．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．        (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是_____，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 12．【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $