第20章勾股定理 期末综合复习优生辅导训练题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以勾股定理为核心，整合概念辨析、几何计算、空间展开及实际应用，通过方程思想、辅助线添加、分类讨论等方法，构建从基础到综合的知识逻辑体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |概念辨析|1题|勾股数正整数特性判断|勾股定理概念生成| |几何计算|6题|辅助线构造直角三角形、方程求解|性质应用与代数方法结合| |空间图形|2题|平面展开转化最短路径|空间观念向平面几何转化| |实际应用|5题|数学建模解决现实问题|数学眼光观察与表达现实世界| |综合探究|1题|多情境问题串联推理|知识迁移与逻辑思维发展|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第20章勾股定理》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1.下列三组数中，是勾股数的是() A.3,9,7 B.2,3,4 c.12,16,20 D.4,5,6 2.如图，在△ABC中，AB=AC且AD⊥BC于D,EF垂直平分AC,与BC交于E,与 AC交于F,若AB=5,BC=8,则EC的长为() D/E 25 8 C.w 3.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原文是：今有池方一丈，葭生 其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水 面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根 芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分 别是多少？设芦苇的长度是x尺.根据题意，可列方程为() A.x-12+52=x2 B.X+102=x+1 C.x-12+102=x D.X2+52=x+12 4.如图是一个棱长为1的正方体的展开图，A,B,C是展开后小正方形的顶点，则 ∠ABC的度数为() A.30° B.45° C.50° D.60° 5.如图，点E,D分别在△ABC的边AC,BC上，AD⊥BE,垂足为点F,AF=3DF, BF=3EF,AE=2V6,BD=4,则AB的长为() A.4 B.5 c.6 D.8 6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是-6,0，点B的坐标是0,8，点M是OB上 一点，将△ABM沿AM折叠，点B拾好落在X轴上的点B处，则点B的坐标为（） B M A B' A.3,0 B.0,3 c.4,0 D.0,4 7.如图，在△ABC中，AB=AC,高BD,CF交于点E.以点A为圆心BF长为半径画弧， 交边AB于点G,交边AC于点H,再以点H为圆心，GH长为半径作弧，两弧相交于边AC 的下方点I,连接AI、IC.若BD=8,DC=4,则四边形AICF的面积为() H A.12 B.32 C.40 D.80 二、填空题 8.已知点A-2,1,B5,3,点P在x轴上，则PA+PB的最小值为 9.如图所示，小黔在放风筝，已知BD=12m,BC=15m,BD⊥CE,若要使风筝沿 CD方向下降4m,则他应该往回收线m. D 10.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为10,0,0,3，点 D为5,0，点P在线段BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 11.如图，若圆柱的底面周长是8c,高是6cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到 顶部B处，则这条彩带的最小长度是 B 12.如图，一条笔直的铁路AB的同侧有两个村庄C,D,它们到铁路AB的距离分别为 15km和10km,分别过C,D两点作AB的垂线，垂足为M,N,测量得MN=25km 现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等，则E站到 M点的距离为 A☑ B 13.青山区加大绿化力度，和平公园有一块如图所示的四边形空地ABCD,现计划在空地 上种植草皮.经测量AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,∠ABC=90°，若 每平方米草皮需要200元.则这块地种植草皮需要投入 元 14.如图，一个直三棱柱盒子底面边长AB=3cm,BC=4cm,AC=5cm,高 AA=6cm,D是BC的中点，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的外表面爬到盒顶的点D 处，蚂蚁爬行的最短路程是cm.(结果保留整数) 三、解答题 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，过点D作DE⊥AB与BC 的延长线交于点E,DE交AC于点F,且AF=BE. (1)求证：△ADF≌△EDB: (2)若F为DE的中点，AF=2V5,求AB的长. 16.如图，一块四边形的空地ABCD,∠B=90°，AB=20米，BC=15米，CD=7米， AD=24米 B (1)连接AC,试判断△ACD的形状并说明理由： (2)为了绿化环境，计划在该空地上铺设草坪，则此块空地的面积是多少平方米？ 17.假日里，淇淇一家在广场放风筝.如图，测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m, 根据手中余线的长度，计算出AC的长度为17m,牵风筝线的手到地面的距离AB为1.5m, 点A、B、C、D在同一平面内. (1)求风筝离地面的垂直高度CD: (2)若想要让风筝沿射线DC方向再上升12m,还需放线多少米. 18.如图，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，己知点C为一海港，AC=150km, BC=200km,AB=250m,经测量，以台风中心为圆心周围125km及以内的地区会受 到影响. B (1)求证：∠ACB=90°： (2)请通过计算说明海港C会受台风影响： (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成.若台 风中心每小时移动15km,请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成 卸货？ 19.按要求完成以下问题 (1)教材呈现：如图1，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于 墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m.如果将梯子底端沿 OB向外移动0.8m,那么梯子顶端会沿墙AO下滑多少m？求出梯子会沿墙AO下滑的距离 AC的长度： B D 图1 (2)解决问题：如图2，某物流公司仓库内有一座17m的货架AB,货架顶部安装一个高5m 的装卸平台AC,现需对该平台进行设备检修.一辆高2m的叉车在货架前点M处，展开 25m的升降臂（最长25m)刚好接触到装卸平台底部A点.叉车向货架方向行驶多少m后， 其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点？请通过计算后说明理由. 图2 20.【问题提出】 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,若AB=5,AC=12,求 AD的长度： 【问题探究】 (2)如图2，已知∠B=∠ACD=90°，AB=3,BC=2,CD=1,求AD的长度； 【问题解决】 (3)如图3，△ABC是某景区的局部示意图，AD,DE是两条观景小道，该景区的规划 部门计划在AC的上方找一点F,使得EF=EC,∠AFE=90°，并沿AF修一条骑行小道， 经测量，∠B=90°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E,AB=700m,求骑行小道AF 的长度 图1 图2 图3 参考答案 1.解：对选项A,,32+7=9+49=58,9=81,58≠81， ∴.A不是勾股数： 对选项B,,22+32=4+9=13,42=16,13≠16， B不是勾股数： 对选项C,122+162=144+256=400,202=400 .12+162=20,且三个数均为正整数， ∴.C是勾股数 对选项D,42+52=16+25=41,62=36,41≠36， .D不是勾股数 2.解：连接AE, ,AB=AC且AD⊥BC于D,AB=5,BC=8, .BD=CD=4, ·AD=VAB2-BD2=3 ,EF垂直平分AC, ..AE=CE, 设AE=CE=X,则DE=CD-CE=4-X, 在Rt△ADE中，AE2=AD+DE2, X=32+4-x +25 Γ89 CE=25 3.解：设芦苇的长度是x尺，则水深为x-1尺， 根据题意，得x-12+52=X1 4.解：如图，连接AC, 则AC2=BC2=12+22=5,AB2=12+32=10, ..AC2+BC2=AB2, ∴.△ACB是等腰直角三角形， ∴.∠ABC=45° 5.解：设DF=m,EF=n,则AF=3m,BF=3n, AD L BE, ∴.∠AFE=∠AFB=∠DFB=90°， 在Rt△AFE中，AF+EF=AE2, .3m2+n2=2y6,即gm2+n2=24①： 在Rt△DFB中，DF2+BF2=BD, m2+3n2=42,即nm2+9n7=16② ①+②得：10m2+10n2=40,即m2+n2=4, :.在Rt△AFB中，AB=VAF2+BF=3m+3n=3m2+n=34=6 6.解：由折叠可知，AB=AB, :点A-6,0,点B0,8, .OA=6,OB=8, 六AB=96+g=10 .AB=10: .0B=AB-OA=10-6=4, .B的坐标为4,0： 7.解：如图，过点C作CP⊥AI于点P, AB=AC. ∴.∠CBF=∠BCD, .·CF⊥AB,BD⊥AC, ∴.∠CFB=∠BDC=90, 在△BCF和△CBD中， ∠CBF=∠BCD ∠CFB=∠BDC, BC=BC ∴.△BCF≌△CBD AAS, ∴.BF=CD=4,CF=BD=8, ∴.AF=AD: 由作图可知，AC平分∠BAI,AG=AH=AI=BF=4, ∴.GF=DH, 设GF=DH=X,则AF=4+X,AC=AH+DH+CD=8+X, .AF2+CF2=AC2, .4+x2+82=8+x2: 解得X=2, .∴AF=4+X=4+2=6, .AC平分∠BAI,CP⊥AI,CF⊥AB, ∴.CP=CF=8, :Sg=SaGF+Sa=号AFCF+号ANCP=×6×8+×4×8=40. 故选：C 8.解：如下图所示，作点A关于X轴的对称点A,连接AB交X轴于点P,则此时PA+PB 取得最小值，点P即为所求点， 点A(-2,1), .∴点A关于x轴的对称点A的坐标为(-2，-1)， A(-2,-1)'B(5,3) ∴.AB=(-2-52+(-1-37=(-72+(-42=V49+16=V65 .∴.PA+PB的最小值为V65 B 9.解：如图，有CF=4m, F B D 777f分777777777777777777 BD=12m,BC=15m,BD L CE, cD=-/BC2-BD=-152-12=9m :.FD=CD-CF=9-4=5m, BF=VBD2+FD2=/122+52=13m ∴.BC-BF=15-13=2m, 即他应该收回线2m. 10.解：矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为10,0，(0,3，点D为5,0， ..BC=OA=10,AB=OC=3,OD=5. 过P作PM⊥OA于M, ①当OP=OD时，如图1所示： 图1 .OP=OD=5,C0=3 由勾股定理得：CP=0P2-0C=4 .P4,3: ②当OD=PD时，如图2所示： D M D A 图2 ..PD=DO=5,PM=3, 由勾股定理得： MD=D P2-MP2=4' ∴.CP=OM=5-4=1, ∴.P1,3: 如图3所示： D 图3 ..PD=DO=5,PM=3. 由勾股定理得： MD=D P2-MP2=4' ∴.CP=OM=5+4=9, .P9,3; 综上，点P的坐标为1,3或4,3或9,3. 11.:解：如图，将圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD, D ,圆柱的底面周长是8cm,高是6cm, .AC=8cm,BC=6cm, 在Rt△ACB中，AB=RVAC2+BC2=9V82+6=RV100=10cm ∴.从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是10cm. 12.解：，C,D两村到E站的距离相等， .DE=CE, .DN⊥AB,CM⊥AB, ∴.∠CME=∠END=90°， ..ME2+CM2=CE2,NE2+DN2=DE2, ..ME2+CM2=NE2+DN2, 设ME=xkm,则NE=MN-ME=25-xkm, .CM=15km,DN=10km, ·X+152=25-x2+102 解得：x=10, .ME=10km, ∴，E站到M点的距离为10km. 13.解：连接AC, 在△ABC中，AB=3m,BC=4m,∠ABC=90°， 则AC=AB2+BC2=5m' 在△ACD中，CD=12m,DA=13m,AC=5m, 52+122=169=132, ..AC2+CD2=DA2. ∴.△ACD是直角三角形，且∠ACD=90° ABBG+AGCD. 即S四造形ABCD =1×3×4+1×5×12=36m2. .200×36=7200(元). 则这块地种植草皮需要投入7200元. 14.解：5cm>4cm>3cm>2cm, ..AC>AB>B D 故将三棱柱的两个侧面展开，如图，则最短路程是AD的长， B' D B 由题意，∠A=90°，AA=6cm,AD=3+号×4=5(cm: 由勾股定理得AD=AA?+AD=V6+52=/61≈8am' 即蚂蚁爬行的最短路程是8cm. 15.(1)证明：，DE⊥AB, .∠ADF=∠BDE=90°， ,∠ACB=90, ∴.∠E+∠B=∠A+∠B=90°， .∠E=∠A, 在△ADF和△EDB中， ∠ADF=∠EDB ∠A=∠E AF=EB .△ADF≌△EDBAAS」 (2)解：由(1)得，△ADF≌△EDB AAS, ..BD=DF,AD=DE,BE=AF=25. F为DE的中点， .DF=EF=BD, 在Rt△BDE中，BD+DE2=BE2, 即BD2+2BD2=25,解得BD=2 .DE=2BD=4, .AD=DE=4, .AB=AD+BD=4+2=6. 16.(1)解：在△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：AB+BC=AC2, ,AB=20,BC=15, ∴.AC2=202+152=625, ∴.AC=25(舍负)， .CD=7,AD=24,AC=25, ∴.CD+AD2=7+242=49+576=625,AC2=252=625, ..CD2+AD2=AC2, ∴.△ACD是直角三角形，即∠D=90°： (2)解：S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD xABG+AD-CD =×20×15+×24x7 =234(平方米). 答：此块空地的面积是234平方米. 17.(1)解：如图1，过点A作AE⊥CD于点E,则四边形ABDE是矩形， 马E 图1 .AE=BD=15,AB=ED=1.5,∠AEC=90°， 在Rt△AEC中， CE=VAC2-AE=172-15=8' ∴.CD=CE+ED=8+1.5=9.5, ∴.风筝离地面的垂直高度CD为9.5m; (2)解：如图2，延长DC至点F,连接AF, F E B 图2 则EF=CE+CF=8+12=20, 在Rt△AEF中， AF=EF2+AE2=V20+152=25 .AF-AC=25-17=8, ∴.还需放线8m. 18.(1)证明：，AC=150m,BC=200km,AB=250km, .AC2+BC2=1502+2002=62500,AB2=2502=62500, ..AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°： (2)解：如图1，过点C作CD⊥AB,垂足为D, D B 图1 ,∠ACB=90°， Su=方AGBG-方An,GD :CD=AC:BC=150x200=120km<125km, AB 250 ∴海港C会受影响： (3)解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港C开始受影响时台风中心在AB上的位置为E处， A E D B 图2 .CE=125km, 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=VAC2-CD=150-120=90km 在Rt△CDE中，由勾股定理得： DE=CE2-CD2=V1252-1202=35km1 .AE=AD-DE=90-35=55km, 由台风中心移动速度是15km/h可得，从A到E的时间为： 55=113.67(小时)， 153 g8 ∴.货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货. 19.(1)解：由题意可得，AB=2.5m,B0=0.7m, 0A=AB2-0B=V2.52-0.7=2.4m ,梯子底端沿OB向外移动0.8m, .OD=OB+BD=0.7+0.8=1.5m, C0=VAB2-0D2=V2.52-1.52=2ml' .AC=0A-0C=2.4-2=0.4m. 答：梯子会沿墙AO下滑的距离AC的长度为0.4m (2)解：叉车向货架方向行驶5m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点. 理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E, 由题意可得，CD=AD=25m,AB=17m,AC=5m, 叉车高2m, .BE=2m, .AE=AB-BE=17-2=15m, ED=AD2-AE=V252-152=20m' .CE=AE+AC=15+5=20m, ED=VCD2-CE=/252-20-15m, ..DD=ED-ED =20m-15m=5m, .叉车向货架方向行驶5m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点. A EE----- M 20.解：(1).∠BAC=90°，AB=5,AC=12, .BC=VA B2+AC2=13 :5a号AB×AC=号BC×AD. AD=12×5-60 1313 (2).·∠B=∠ACD=90°，AB=3,BC=2, ..AC=A B2+BC2=13 .CD=1, .∴.AD=AC2+CD2=V14 (3).∠B=90°，DE⊥AC,∠AFE=90°， .∴.∠B=∠AED=∠AFE=90°， ..AD2=AB2+BD2=AE2+DE2=AF2+EF2+DE2 .EF=EC,DE2+EC2=CD2, ..AB2+BD2=AF2+CE2+DE2=AF2+CD2, ,点D为BC的中点， ..BD2=CD2, ..AB2=AF2, ∴.AF=AB=700米， ∴.骑行小道AF的长度为700米.