单元综合复习(二)勾股定理-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

∴.DE=√AD+AE=3√2. ∴.设AB=3x,BC=4x,CA=5x. ,EC:CD=1:2,∴.EC=√2，CD=2√2. AB2+BC=(3x)2+(4x)2=25x2,CA2=(5.x)2 ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC =25x. =∠DAE=90°， ∴AB2+BC=CA..△ABC是直角三角形. ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE. (2)由(1)可知，∠B=90°.根据题意，得 ,'.△ACE≌△ABD(SAS). 3x十4x十5x=36,解得x=3. ∴.AB=9cm,BC=12cm. ∴.CE=BD=√2，∠E=∠ADB=45°. 当运动了3秒时，PB=9-1×3=6(cm),BQ=2X ∴.∠BDC=∠ADB+∠ADE=90. 3=6(cm). .BC=√CD+BD=√(22)+(2)=√I0. 拓展在线 △BPQ的面积为=18(cm). 1 14.(1)60614850 14.220 (2)证明：，a=2n,b=n-1,c=n2+1, 微专题2利用勾股定理解决折叠问题 ∴.a2=(2n)2=4n2,b=(n2-1)2=n-2n2+1, 1.C2或5 c2=(n2+1)2=n+2n2+1. .a2+b2=4n2+n-2n2+1=n+2n2+1=c2. 3.(1)证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD, ,n为正整数，且n≥3， ∠D=∠B=∠C=90°. .不论n为何值，a,b,c都是勾股数组。 ,将△ADE沿AE折叠至△AFE, 拓展在线 ∴.AD=AF,DE=FE,∠D=∠AFE=90 15.(1)延长AP交格点于点M,连接 ∴.AB=AF,∠B=∠AFG=90°. BM, 又，AG=AG,.Rt△ABG≌Rt△AFG(HL). 则PM=BM=√+2=√5，PB= (2),△ABG≌△AFG,∴.BG=FG. 设BG=FG=x,则GC=6一x. √/1+32=√/10， .E为CD的中点，∴.CE=DE=EF=3..EG=3十x .'PM+BM=PB2 .在Rt△CG中，3十(6-x)2=(3十x)2,解得x=2. .△PMB是等腰直角三角形，且∠PMB=90. ∴.BG=2 .∠MPB=∠MBP=45°. ∴.∠APB=180°-∠MPB=135. 4.(1)证明：由题意知，AF=CF,AE=CE,∠AFE= ∠CFE. (2)45° 第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用 四边形ABCD是长方形， ∴.AD∥BC.∴.∠AEF=∠CFE. 基础在线 ∴∠AFE=∠AEF.∴.AE=AF. 1.A2.63.正南 ..AE=AF=CE=CF. 4.过点C作CE⊥AB于点E. (2)由题意知，AE=CE=a. 在△ABC中， 由∠D=90°知，ED+DC=CE,即b2+c2=a2. .'AC=24 cm,CB=18 cm,AB=30 cm, .AC+CB2=242+182=900,AB2= 5.A6.3√2-3 302=900. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 ∴.AC+BC=AB2 第1课时勾股定理的逆定理 .△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°. 基础在线 1.BAC 2.B 3.B 4.D :Saw=7AC.BC=2CE·AB, 5.(1),a2+b=72+242=625,c2=252=625, .AC·BC=CE·AB,即24×18=CEX30, .a2+b2=c2 ∴由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形. CE=24X18=14.4(cm. 30 (2a>b>c,8+=1+(）广-1+品-0。 ∴.点C到AB的距离为14.4cm. 5.A e-()-9. 6.在Rt△ABC中，AB=BC=4, ..AC=AB2 +BC=32. .b2+c2≠a2. .CD=6,AD=2,..CD2=36=AD2+AC ∴.由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形 6.52+122=132,.AC+AB2=BC. ∴.△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°. ∴△ABC是直角三角形. Sm=号×4X4=8,Sm=号×4E×2=4E. 1 ∴Sm=合AB·AC=合BC·ADAD- 131 SAABC SAACD=SARO+SANCO SAAOD SAACO= 7.A8.C SARCO-SANOD=8-4V2. 能力在线 .△BOC与△AOD的面积相差8-4√2 9.B10.C11.(35,12,37)12.10150° 能力在线 13.(1)证明：AB:BC:CA=3:4:5, 7.D8.D9.135 一探究在线· 10.(1)R轮船沿西北方向航行.理由如下： :AD是△ABC的高，∠DAB=∠ABD=45° 由题意知，Q轮船每小时航行20海里，R轮船每小 ∴.AD=BD 时航行15海里， 在Rt△ABD中，AD2+BD=AB2,AB=3√2. .PQ=20×2=40(海里)，PR=15×2=30(海里). .'.AD=BD=3...CD=BD+BC=4. ,它们离开港口两小时后相距50海里，即QR= 在Rt△ACD中，AC=√JAD+CD=√32+4=5. 50海里， 15.(1)√/17√/13 又402+302=502，即PQ+PR2=QR, (2)如图所示，△DEF即为所求 ∴.△PQR为直角三角形，且∠QPR=90° Q轮船沿东北方向航行，可知∠1=45°， DE=√5，DF=5,EF=2√5， .∠2=∠QPR-∠1=45°. .'.DE+EF=DF. R轮船沿西北方向航行. .△DEF为直角三角形 (2)根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航 △DEF的面积为号DE·EF=号×，5X2厅=5. 行2小时后，PQ=20×(2+2)=80(海里)，PR= 16.(1)是.理由如下： 15×(2十2)=60（海里）， ,CD2+DB2=42+32=25,CB2=25, 由(1)得△PQR为直角三角形，且∠QPR=90°， .CD+DB2=CB..△CDB是直角三角形. 根据勾股定理，RQ=802+602=1002, .CDLAB.CD是从小区C到公路最近的路. ∴.RQ=100. 答：两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航 (25 行2小时两船相距100海里. 17.过点A作AD⊥BC于点D,如图②，设CD=x,则 11..在△BDC中，CB=1千米，CD=0.8千米，BD= AD2=b-x2=c2-(a-x)2, 0.6千米，BC=1,CD2+BD=0.82+0.62=1, 整理，得a2+b=c2+2ax, .CD+BD=BC.∴.△BDC是直角三角形. 2ax>0,∴.a2+b>c2; ∴.∠CDB=90°. 如图③，同理可得a+<c2 ,A,D,B在同一条直线上， ∴.∠ADC=180°-∠CDB=90°. △ADC是直角三角形. :A,B这两个取水点之间的距离为2.1千米， (∠ACB<90°) (∠ACB>90°) BD=0.6千米， 图② 图③ .AD=AB-BD=2.1-0.6=1.5(千米). 单元综合复习（二）勾股定理 在Rt△ADC中，AD=1.5千米，CD=0.8千米， 热门考点突破 由勾股定理，得 1.D2.C3.A4.A5.A6.D7.B8.√3-1 AC=√AD十CD=√/1.52+0.8=1.7（千米. 9.如图，过点A作AE⊥BC于点E, 答：原来的路线AC的长为1.7千米. ,AC=AB=25,BC=4, 拓展在线 BE-CE-BC-2. 12.2√13 微专题3利用勾股定理解决最短路径问题 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=√AB一BE =4. 1.B2.33 .DE=CE+CD=2+5=7, 3.(1)1300 在Rt△AED中，由勾股定理，得AD=√AE十DE (2)如图，作点A关于直线MN的 北 对称点A',连接A'B交MN于点 C 十→东 =√65. P,则点P即为所求. 10.11411.45°12.南偏东50° 13.(1),AB⊥BC,.∠B=90° 此时PA'=PA, .PA十PB=PA'+PB,即PA+PB的最小值为A'B 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 的长. AC=√JAB2+BC=√92+122=15(km). 由题意知，A'D=AD=200米，∠ACB=90°， 答：无人机飞行路径AC的长为15km. (2)证明：，AD2=172=289,CD2+AC=82+15 .A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900(米). =289,.AD=CD2+AC. 在Rt△A'BC中，∠ACB=90°， ∴.△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°. .A'B2=A'C2+BC=9002+12002=2250000. ∴AC⊥CD. A'B>0,.AB=1500米. 核心素养提升 即PA+PB的最小值为1500米 4.B5.1306.13π 14.(1)√10元 2 阶段测评2(20.1一20.2) 1 1 1 1.C2.C3.A4.A5.B6.C7.B (2)s+s+s,+s+s+S+…+s+Sm 859g.3610.51.4012.号 13.135 1 1 99+√100 14.∠ABC=135°，∴.∠ABD=45. +++ 2 2 年级数学（下）一 19 ,2十2。十2。十…+ (2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻 1+2√2+5√3+√4 √99+√/100 的两个内角的和， =2×(W2-1+√3-√2+√4-√3+…+√99 (3)60 √/98+√/100-√99)=2×（√/100-1）=18. 21.1.2多边形及其内角和 第二十一章四边形 基础在线 1.C2.D3.六4.D5.B6.205 21.1四边形及多边形 7.C8.B9.10 21.1.1四边形及其内角和 能力在线 基础在线 10.D11.B12.213.4514.120 1.D2.4441223.C4.B 15.(1)30°(2)十二(3)54 5.图①中，由四边形的内角和为360°，得 16.(1)证明：，从n边形的一个顶点出发连接对角线， x°+(x°+10)+90°+60°=360°，解得x=100, 将n边形分割成(n一2)个三角形，且三角形内角和 图②中，由四边形的内角和为360°，得2x°+150°十 为180°， 80°=360°，解得x=65. .n边形的内角和为(n一2)×180°. 6.由图可知，∠DAE=110°-65°=45. (2)由题意，得(n-2)×180°=360°×4，解得n=10, AE平分∠BAD,∠BAE=∠DAE=45°. ,.这个正多边形的边数为10. ∠BAD的外角为90°. (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些 ,四边形的外角和为360°， 对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为 .x十100°+110°+90°=360°..x=60. 2026.理由如下： 7.A8.②③ 假设能，设这个多边形的边数为x,则过多边形的 能力在线 一个顶点的所有对角线条数为(x一3)条，这些对角 9.A10.B 线分多边形所得的三角形个数为(x一2)个， 11.门框加固（答案不唯一）12.4：3：2：1 13.(1)AD⊥CD,BC⊥AB,∠D=∠B=90°， x-3+x-2=2026.x=2031 2 :四边形ABCD的内角和为360°， .∠DAB+∠DCB=180°. x是正整数，c-2031不符合题意 2 ,AE平分∠BAD,CF平分∠DCB, ∴过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些 ∠BAE=-3∠DAB,∠DCF- 2∠DCB 对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为 2026. ∴.∠BAE+∠DCP=2(∠DAB+∠DCB)=90. 拓展在线 17.(1)(2)(3)如图所示.（答案不唯一） (2)证明：，∠DAE+∠DEA=90°，∠DAE=∠BAE, .∠BAE+∠DEA=90°. 由(1)知，∠BAE+∠DCF=90°， .∠DEA=∠DCF..AE∥CF 图① 图② 3 14.(1)证明：如图①，连接BD. (4)11或12或13 :∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠C+∠CBD+ 21.2平行四边形 ∠CDB=180°，∠ABC=∠ABD+∠CBD,∠ADC 21.2.1平行四边形及其性质 =∠ADB+∠CDB. 第1课时平行四边形边、角及对角线的性质 .∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°. 基础在线 (2)如图②，延长AB,CD交于点G. 1.平行四边形2.63.A4.A5.D6.A 在四边形AECG中，∠G=360°-（∠BAE+∠E 7.证明：四边形ABCD是平行四边形， +∠DCE)=360°-(115°+90°+117)=38°≠40°. ∴.BC=AD=5,BC∥AD. 该模板不合格. ∴.∠EFC=∠EAD,∠ECF=∠EDA. '点E是平行四边形ABCD边CD的中点， .CE=DE..∴.△ADE≌△FCE(AAS). ..CF=AD=5..'.BF=BC+CF=5+5=10. 8.D9.C 10.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， 拓展在线 ∴.OA=OC,OB=OD. 15.(1)关系是∠1+∠2=∠3+∠4.理由如下： 点E,F分别是AO,CO的中点，.OE=OF ∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角， ,∠BOE=∠DOF, .∠3+∠4+∠5+∠6=360°. .△BOE≌△DOF(SAS).∴.BE=DF. ∴∠3+∠4=360°-（∠5+∠6）. (2):四边形ABCD为平行四边形， ∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°， .∠1+∠2=360°-（∠5+∠6）. ∴B0=D0=2BD. ∴∠1+∠2=∠3+∠4. BD=2AB,∴.BO=AB. 20 一探究在线·八 ,AE=EO=FO=CF,.BE⊥AO ,DE,BF分别平分∠ADC,∠ABC, ,EF=2,AB=√10，∴.AE=E0O=FO=CF=1. ∴∠CDE=∠ABF .BE=√AB2-AE=3,AC=4. AB∥CD, ∴.∠CDE+∠DEB=180°，∠DFB+∠ABF= ∴口ABCD的面积为2X号ACX BE=-4X3=12. 180°. 11.D ∴.∠DEB=∠DFB. 能力在线 又∠CDE=∠ABF,∴.四边形DEBF为平行四边形. 12.B13.C14.126° .BD,EF互相平分. 15.(1)证明：四边形OAEB为平行四边形， (2)BD=2√7. .BD∥AE,OB=AE.∴.∠BDE=∠AED. 13.(1),四边形ABCD是平行四边形， ,四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,AB=CD.∴.∠DAE=∠AEB. ..OB=OD,..AE=OD, AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE. (∠AFE=∠OFD, .∠BAE=∠AEB..BE=AB.∴.BE=CD. 在△AEF与△ODF中，∠FEA=∠FDO, (2)BE=AB,BF平分∠ABE,∴.AF=EF AE=OD, I∠DAF=∠CEF, .△AEF≌△ODF(AAS),∴.AF=OF 在△ADF和△ECF中，AF=EF, (2)DE平分∠ADB,∴.∠BDE=∠EDA, ∠AFD=∠EFC, ,∠BDE=∠DEA,∴.∠EDA=∠DEA, ∴.△ADF≌△ECF(ASA)..DF=CF. ..AD=AE,.'.AD=OD, .四边形ACED是平行四边形. ∠BDE=20°，∴∠ADB=40°， 拓展在线 ·∠D0A=∠DA0=180°-40° =70°. 14.,△ABD,△BCE都是等边三角形. 2 ∴.AD=BD=AB,BC=BE=EC,∠DBA=∠EBC 四边形OAEB是平行四边形， =60° ∴.OA∥BE.∴.∠OBE=∠DOA=70°. .∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA. 拓展在线 即∠DBE=∠ABC. 16.43 :BD=BA,∠DBE=∠ABC,BE=BC, 第2课时平行线之间的距离 ∴△DBE≌△ABC(SAS)..DE=AC. 基础在线 又，△ACF是等边三角形，∴AC=AF. 1.B2.C3.C4.8 .'.DE=AF. 能力在线 同理可证AD=EF, 5.C6.C7.18cm .四边形ADEF是平行四边形. 拓展在线 第2课时平行四边形的判定2 8.D 基础在线 21.2.2平行四边形的判定 1.D2.C 第1课时平行四边形的判定1 3.AB∥DC,.∠ABE=∠CDF 基础在线 IBE=DF,∠AEB=∠CFD, 1.C2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .△ABE≌△CDF(ASA).∴.AB=CD 3.在△AEB和△DFC中， 又：AB∥DC,∴.四边形ABCD是平行四边形. (AE=DF, 4.D ∠AEB=∠DFC, 5.(1)AD∥BC(答案不唯一) BE=CF, (2)证明：连接BD交AC于 △AEB≌△DFC(SAS).∴.AB=DC. 点O, 又，AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形. 四边形ABCD为平行四 4.C5.D6.37.平行四边形 边形， 8.(1)由题意知，在△BEO和△DFO中， ..AO=CO,BO=DO. ∠1=∠2， 又AE=CF,.AO-AE=CO-CF,即EO=FO. ROB-OD, ∴四边形EDFB是平行四边形. ∠EOB=∠FOD, 6.C ∴.△BEO≌△DFO. 7.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， (2)由(1)知，△BEO≌△DFO,∴.OE=OF ∴AB∥CD,AB=CD. .AE=CF,..OA=OC. 点E,F分别在BA,DC的延长线上，且BE=DF, 又，OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形. .'.AE//CF,BE-AB=DF-CD...AE=CF. 能力在线 ∴.四边形EAFC是平行四边形. 9.D10.B11.24 (2)四边形EAFC是平行四边形，∠E=∠F 12.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， ,∠E=∠D,∴∠D=∠F..AD=AF. ∴.∠ADC=∠ABC,AB∥CD. △ADF为等腰三角形. 年级数学（下）一单元综合复习 ■■■热门考点突破●■口 考点1勾股定理的认识与证明 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四 幅图中，不能证明勾股定理的是 密 B 2.(黔南期末)如图是我国古代著名的“赵爽弦 图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形 拼接而成的.若AB=13,AH=5,则正方形 EFGH的边长是 ( A.5 B.6 C.7 D.8 G S,9 第2题图 第3题图 考点2勾股定理及其应用 3.(滨州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，以Rt△ABC的三边为边长分别向外作正 方形，它们的面积分别为S1,S2,S3,若S1十S2 十S3=8,则S1的值为 A.4 B.22 C.2 D.√2 4.如图，在数轴上，点A,B表示的数分别为0,2， BC⊥AB于点B,且BC=1,连接AC,在AC 上截取CD=BC,以点A为圆心，AD长为半 径画弧，交线段AB于点E,则点E表示的实 数是 A.√5-1 B.-√5+1 C.√5 D.5+1 B D 第4题图 第6题图 勾股定理 5.(庆阳期末)一艘船由A港沿北偏东60°方向 航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向 航行40km至C港，则A,C两港之间的距离 为 () A.50 km B.40 km C.30 km D.107 km 6.(葫芦岛期中)在一次研学活动中，小宣同学欲 控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水 流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B 相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程 AC比河的宽度AB多2米，则河的宽度AB 是 () A.6米 B.9米 C.12米D.15米 7.(葫芦岛阶段练习)如图，在Rt△ABC中，AC =BC=2,点D在AB的延长线上，且CD= AB,则BD的长为 () A.√10-√2 B.√6-√2 C.√2 D.2√2-√6 第7题图 第8题图 8.(中考·广西)如图，点A,D在BC同侧，AB= BC=CA=2,BD=CD=√2，则AD= 9.(江门阶段练习)如图，在△ABD中，C为BD 上一点，AC=AB=25,BC=4,CD=5.求 AD的长. 第二十章32 考点3勾股定理的逆定理及其应用 10.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努 力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴 影部分).如图，已知AB=9m,BC=12m, CD=17m,AD=8m,技术人员通过测量确 定了∠ABC=90°.则这片绿地的面积是 m2. D 住宅 道 B街道C B 第10题图 第11题图 第12题图 11.(安阳阶段练习)如图，由9个边长为1的小 正方形组成一个九宫格，A,B,C,D都在格点 上，连接AB,CD交于点P,则∠BPD的度数 是 12.（厦门期中)如图，某港口O位于南北方向的 海岸线上.甲，乙两舰艇同时离开港口，各自 沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海 里，乙舰艇每小时航行12海里.它们离开港 口1.5小时后分别位于点P,Q处，且相距30 海里.已知甲舰艇沿北偏东40°方向航行，则乙 舰艇的航行方向是 13.（郑州期末)“一树新栽益四邻，野夫如到旧上 春”，春天是植树的最佳季节.如图，四边形 ABCD为某林场种植树林的区域，AB⊥BC. 经测量，AB=9km,BC=12km,CD=8km, AD=17 km. (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞 行到C处进行巡查，求无人机飞行路径AC 的长； (2)证明：AC⊥CD. 33探究在线八年级数学（下） ■■■核心素养提升●■● 14.（恩施期末)学习勾股定理后，我们发现美丽 的“数学海螺”中蕴含着相关知识.观察、分析 并解决问题. 441 A 0A:=()+1=2,S(S,是△0AA: 的面积)； 0M=(,②+1=3：S-号(S是△0A.A 的面积)； 0A=(3)yr+1=4:S=(S是△0AA, 的面积)； (1)推算出OA1o= ；Sn= (n为正整数)； 1 1 (2)求出s,十S,+s,十S+s,十S++ 1 S6+Sm的值.