精品解析：浙江衢州市2025-2026学年高二下学期6月期末数学试题

高二 数学 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷．考试结束后，将答题卷上交． 2．试卷共4页，有4大题，19小题．满分150分，考试时间120分钟． 3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，集合，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因，， 则. 2. 设复数，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由复数得，则其虚部为4. 3. 已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，结合向量夹角的范围可得结果. 【详解】由题意得， ， ∵，∴. 故选：A. 4. 设A，B是两个随机事件，为A的对立事件，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设及条件概率计算公式可得答案. 【详解】因为A的对立事件，且，则，又，则. 5. 函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上不单调 D. 3是函数的极小值点 【答案】A 【解析】 【分析】通过导函数的正负来判断原函数的单调性与极值，依据导数与函数单调性、极值的关系，对各选项逐一分析得出结论. 【详解】由题意可知，在A选项中，当时，， 因此在上单调递减，A正确， 在B选项中，当时，， 因此在上单调递增，B错误， 在C选项中，当时，恒成立， 因此在上单调递增，是单调函数，C错误， 在D选项中，左侧（递增）， 右侧（递减）， 因此是的极大值点，不是极小值点，D错误. 6. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知是锐角，，则， ，都是锐角，则，又， 则，故， ． 7. 一排有6个座位，3个人随机入座，则恰有2人相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】3个人随机入座6个座位，等价于6个座位中选3个进行排列； 种， 3个人全排列，有种排法， 3人排好后形成4个空隙，从4个空隙中选2个，插入“双空位”和“单空位”， 共计种， 故恰有2人相邻的概率为：． 8. 若不等式恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设． 当时，；当时，． 因为对定义域内的恒成立， 所以在上恒成立，且在上恒成立． 又是开口向上的二次函数，故必为的较大零点． 于是，整理得所以 因为的两根乘积为，所以另一根为 要使在上恒成立，需另一根不大于，即 同时，由于是较大零点，且两根乘积为，所以． 令则，且 由基本不等式得所以 当，即时取等，此时 代回可知的两根为和， 而，，满足在上成立，在上成立． 因此的最小值为 . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 样本数据2，3，4，6，7，8的中位数为6 B. 若，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为5 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量且，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：6个样本数据升序排列为2，3，4，6，7，8，中位数为第3，4个数的平均值， 即，故A错误； 选项B：根据平均数的线性性质可知，的平均数为，则的平均数为， 已知，则，故B正确； 选项C：随机变量，则，故C正确； 选项D：随机变量的图象关于对称轴对称， 则，由得， 故， 又，故，故D正确． 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱 ， 的中点，则（ ） A. 平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形 B. 平面 C. 异面直线与 所成角的余弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合中位线定理、正方体性质及平面定理判断即可；对于B，建立空间直角坐标系，求出平面，根据线面平行的向量求法证明即可；对于C，根据异面直线所成角的向量求法求解即可；对于D，设出外接球球心，建立方程组求出球心，进而得到半径，代入球的表面积公式求解即可. 【详解】对于A， 取 中点 ，连接，，因 ， 为中点，所以，， 正方体中，，，则，， 易得，故四边形为等腰梯形，且平面与平面为同一平面， 即平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形，A正确. 对于B，以为原点，分别以，，为， ，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，，，，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 因为，所以， 又平面，所以平面，B正确. 对于C，由上建系，，， 设异面直线与 所成角为， 则，C错误. 对于D，设三棱锥外接球的球心为， 则 ， 即， 解得，即球心， 所以外接球半径， 故三棱锥外接球的表面积为，D正确. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为 ，若函数和均为奇函数，则（ ） A. 函数的图象关于直线 对称 B. 函数的图象关于直线 对称 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性判断函数的对称性，再通过求导、变量代换等方法推导函数的周期性，最后通过举例判断选项D是否成立. 【详解】对于A，由 是奇函数得 ， 则 关于点 中心对称，不是关于直线 对称，因此A错误； 对于B，对 两边对 求导得： ， 所以 关于直线 对称，因此B正确； 对于C，因为 为奇函数，所以 又由 可得 所以 令 则 所以 为常数． 又由 为奇函数，取 得 所以 因此 即 于是 故 C 正确． 对于D，取 则为奇函数． 又 所以 也是奇函数，满足题设条件． 此时 每 项和为 ． 又 所以. 因此D不一定成立，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的系数为______．（用数字作答） 【答案】10 【解析】 【详解】的展开式通项为， 使，得， 故系数为. 13. 已知一个圆锥的底面半径，母线长，一只蚂蚁从底面圆周上的一点A出发，沿着圆锥的侧面绕轴爬行一周后又回到点A，则这只蚂蚁爬行的最短路程是______． 【答案】 【解析】 【分析】将圆锥侧面展开，利用余弦定理可得最短距离. 【详解】如下图将圆锥侧面展开，得扇形，则最短距离为线段长度. 由题意圆锥底面圆周长为，则圆弧长度为， 又扇形半径为 ，则扇形圆心角为，从而为等腰直角三角形， 从而. 14. 在中，若，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点为线段的三等分点，利用向量线性运算得到，利用基本不等式及三角形面积公式求最值. 【详解】设点为线段的三等分点， 因为， 又，， 所以，则， 当且仅当时取等号， 由， 当且仅当且时，等号成立， 故面积的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，． （1）求角 的大小； （2）若，，点 在边 上，且 平分，求 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换及正弦定理求解即可； （2）利用求解即可. 【小问1详解】 将展开， 得, 即, 因为，则， 又因为， 所以； 【小问2详解】 设， 因为， 平分， 所以， 又因为， 解得， 故. 16. 某企业为研究团队月度生产效益与员工技能培训的关系，开展调查分析，根据过往统计经验知，团队月度生产效益y（单位：万元）与员工技能培训投入x（单位：万元）满足一元线性回归模型，现连续统计了近10个月的数据，，…，，经计算得：，，，． （1）求y关于x的线性回归方程； （2）该企业计划下月拨付10万元专项资金用于团队发展建设，现拟定了两套方案： 方案一：将10万元全部用于员工技能培训； 方案二：将10万元中的一部分用于员工技能培训，剩余的部分用于发放员工绩效奖金． 根据长期运营经验，绩效奖金投入t万元可产生的额外效益为万元． 方案一和方案二中的员工技能培训所带来的生产效益仍满足（1）中的线性回归关系，试对比两套方案，如何分配资金可使团队月度生产效益最大，请说明理由． 参考公式：线性回归方程中，，． 【答案】（1） （2） 方案二，投入6万元用于员工技能培训，4万元用于发放绩效奖金时团队月度生产效益最大. 【解析】 【小问1详解】 由题意知， ，， ， 则. 所以y关于x的线性回归方程是. 【小问2详解】 若选择方案一，当时，代入（1）中的回归方程得万元； 若选择方案二，假设投入万元用于发放绩效奖金，万元用于员工专项技能培训，其中， 故团队月度生产效益， 当时，万元． 由于， 故选择方案二，其中投入6万元用于员工专项技能培训，剩余4万元用于发放绩效奖金，能实现团队月度生产效益最大化． 17. 如图，在三棱锥中， ，，，．设二面角的大小为． （1）当时， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （2）当时，求点 到平面的距离． 【答案】（1）（ⅰ）方法一：由可知，平面平面， 已知，平面平面，平面， 故平面，又平面， 因此； 方法二： 以 为坐标原点，所在直线为轴， 轴，过 作垂直于平面的直线为轴， 建立空间直角坐标系． 由已知条件可知, 由二面角定义及可知，, 因为 则, 所以， 即； （ⅱ）； （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）方法一：由面面垂直的定义和性质定理可得平面，再由线面垂直的性质定理即可得证； 方法二：以 为坐标原点，所在直线为轴， 轴，过 作垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可； （ⅱ）取 的中点 ，由、面面垂直的性质定理及直线与平面所成角的定义，可得是直线与平面所成角，在直角三角形中，由正弦的定义求解即可； （2）方法1：取 的中点，连接，由题意可得,求得点到平面的距离为，由等体积法求解即可； 方法2：取 的中点，连接，由题意可得,,求得点到平面的距离为，根据 到平面的距离是点到平面的距离的2倍，求解即可； 方法3：求出平面的法向量为及，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 （ⅰ）略； （ⅱ）取 的中点 ，由，可知， 因为，所以平面平面， 又因为平面平面，平面， 所以平面． 连接，所以是直线与平面所成角， 由（ⅰ）可知是直角三角形，解得， 因为，所以; 【小问2详解】 方法1：取 的中点，连接，由已知条件可知，故， 所以，所以点到平面的距离为， 三棱锥的体积：， 又因为三棱锥的体积， 所以，解得； 方法2：取 的中点，连接， 所以且，则，, 所以点到平面的距离为， 因为 到平面的距离是点到平面的距离的2倍， 所以 到平面的距离； 方法3：取 的中点，连接， 由已知条件可知，故，所以, 由，可得， 则， 设平面的法向量为， 由，得， 得法向量， 所以点 到平面的距离. 18. 在一个不透明的袋子中装有分别标注数字1，2，…，n的n个小球，这些小球除标注的数字外，大小、质地完全相同，现从中一次性随机抽取m个，记这m个球上的数字的最大值为X，其中， ，． （1）当，时， （ⅰ）求的概率； （ⅱ）求X的分布列及数学期望； （2）求所有满足的正整数组． 【答案】（1） （ⅱ） X 3 4 5 P （2） ，，． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用组合知识、古典概型直接求解即可； （ⅱ）X的可能取值为3，4，5，分别求出每个的概率即可求解； （2）X的可能取值为 ，，…， ，且（，，…， ）， 利用组合数的性质得到，进而得到，进而求解即可. 【小问1详解】 （1）（ⅰ）总数为， 当 ，另2个为中选2个，有种可能， 所以 （ⅱ）X的可能取值为3，4，5． ，，， 所以X的分布列为 X 3 4 5 P 数学期. 【小问2详解】 X的可能取值为 ，，…， ；（，，…， ）， ， 因为， 所以 ， 由，得， 又， ，，所以满足条件的数组为，，． 19. 已知函数，，其中，函数的导函数为． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）判断的零点个数，并说明理由； （3）若，且，求证：． 【答案】（1） （2）两个，理由如下： ，， 令，，可知，同号，， 当，；，， 所以在单调递增，在单调递减， 因为，，， 所以在上存在唯一零点，且， 由零点存在性定理， 则当，；，， 即，；，， 所以在单调递减，在单调递增， 则， 令，，， 则在单调递增，由， 所以时，，即， 因为，当，， 所以在和各存在一个零点， 故在存在两个零点． （3）由（2）知，b是在的零点，则， 且是的极小值点，，则只需证， 由，得：，， 又， 由（2）中，代入得：， 而，则只需证：， 即证：， 令，，则， 所以在单调递减， 由，得，即：， 故原不等式成立，即． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）利用导数分析函数单调性，结合单调性，由零点存在定理得两个单调区间内各存在1个零点； （3）由是的极小值点，把证明转化为证明，利用消元化简，最终把不等式转化为证明，构造函数并求导，分析函数单调性，由单调性证明不等式． 【小问1详解】 当时，，定义域为，则， 因为，则切线斜率， 切线方程：，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二 数学 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷．考试结束后，将答题卷上交． 2．试卷共4页，有4大题，19小题．满分150分，考试时间120分钟． 3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，集合，则( ) A. B. C. D. 2. 设复数，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（    ） A. B. C. D. 4. 设A，B是两个随机事件，为A的对立事件，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上不单调 D. 3是函数的极小值点 6. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 一排有6个座位，3个人随机入座，则恰有2人相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 样本数据2，3，4，6，7，8的中位数为6 B. 若，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为5 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量且，则 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱 ， 的中点，则（ ） A. 平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形 B. 平面 C. 异面直线与 所成角的余弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为 ，若函数和均为奇函数，则（ ） A. 函数的图象关于直线 对称 B. 函数的图象关于直线 对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的系数为______．（用数字作答） 13. 已知一个圆锥的底面半径，母线长，一只蚂蚁从底面圆周上的一点A出发，沿着圆锥的侧面绕轴爬行一周后又回到点A，则这只蚂蚁爬行的最短路程是______． 14. 在中，若，则面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，． （1）求角 的大小； （2）若，，点 在边 上，且 平分，求 的长． 16. 某企业为研究团队月度生产效益与员工技能培训的关系，开展调查分析，根据过往统计经验知，团队月度生产效益y（单位：万元）与员工技能培训投入x（单位：万元）满足一元线性回归模型，现连续统计了近10个月的数据，，…，，经计算得：，，，． （1）求y关于x的线性回归方程； （2）该企业计划下月拨付10万元专项资金用于团队发展建设，现拟定了两套方案： 方案一：将10万元全部用于员工技能培训； 方案二：将10万元中的一部分用于员工技能培训，剩余的部分用于发放员工绩效奖金． 根据长期运营经验，绩效奖金投入t万元可产生的额外效益为万元． 方案一和方案二中的员工技能培训所带来的生产效益仍满足（1）中的线性回归关系，试对比两套方案，如何分配资金可使团队月度生产效益最大，请说明理由． 参考公式：线性回归方程中，，． 17. 如图，在三棱锥中， ，，，．设二面角的大小为． （1）当时， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （2）当时，求点 到平面的距离． 18. 在一个不透明的袋子中装有分别标注数字1，2，…，n的n个小球，这些小球除标注的数字外，大小、质地完全相同，现从中一次性随机抽取m个，记这m个球上的数字的最大值为X，其中， ，． （1）当，时， （ⅰ）求的概率； （ⅱ）求X的分布列及数学期望； （2）求所有满足的正整数组． 19. 已知函数，，其中，函数的导函数为． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）判断的零点个数，并说明理由； （3）若，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $