江苏徐州市第一中学2025-2026学年第一学期高三年级1月检测数学试题

徐州一中2025—2026学年度第一学期高三年级1月检测 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 或3 B. 0或 C. 3 D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 10 5. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ） A. 7.6 B. 7.4 C. 7.2 D. 7 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，平面，，且，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（ ） A. 该学生的眼睛近视的概率为0.69 B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8 C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3 D. 如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 10. 已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，为上任意一点，且原点为的对称中心，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 线段的中垂线不可能经过的顶点 11. 已知定义在上的奇函数满足当时，，若存在等差数列，其中，使得成等比数列，则a的取值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，若，则__________. 13. 随机变量，正实数，满足，则的最小值为______. 14. 现有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各4张，有放回地抽取4次，每次抽一张，则4次抽取的卡片颜色种数X的数学期望为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求a； （2）若，求AB边上的高h. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面，且，，. （1）证明：平面平面. （2）若二面角的余弦值为，求棱AB的长. 17. 已知函数，． （1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； （2）证明：有且仅有一个极值点． 18. 已知椭圆的短轴长为2，与双曲线有相同的左右焦点，点是椭圆上的动点，的延长线的交点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若点的纵坐标为，求内切圆的方程； （3）设分别为的内切圆半径，证明：. 19. 请阅读以下材料并完成以下问题： 【材料一】范数是定义在向量空间上的一个函数，它为向量空间中的每个向量赋予一个非负的实数值，直观上可以理解为向量的“长度”或“大小”. -范数：在维向量空间中，向量的-范数定义为，其中.如当时，得到1-范数，即，它表示向量各个分量绝对值之和，例如. 再以常见的二维欧几里得空间为例，对于向量，其欧几里得范数（也称为2-范数）定义为，这正是我们熟悉的从原点到向量终点的直线距离，符合我们对向量长度的直观认知. 【材料二】桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果.这一现象就是我们所说的“抽屉原理”. 抽屉原理是德国数学家狄利克雷（P.G.T.Dirichlet，1805~1859）首先提出来的，也称狄利克雷原理.抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有个元素放到个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素. 【材料三】在维向量空间中，对，其中，，定义. （1）若，且，其中，；记为奇数的向量个数为. ①求； ②求（用含的式子表示，其中）； （2）若正整数，若定义集合，其中，，，且；请求出的元素个数；若已知，满足对任意，都有，求的最大值. 徐州一中2025—2026学年度第一学期高三年级1月检测 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】或 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）5 （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：∵平面，平面，∴； ∵，，，∴，∴； ∵平面，，∴平面， ∵，∴ 平面， ∵平面，∴平面平面. （2）1 【17题答案】 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知：， 当时，，在上单调递增； 当时，令，则， 在上单调递减，又，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：在上单调递增，在上单调递减， 有且仅有一个极值点. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 因为， 直线的方程为， 由，消可得， 整理得， 所以，得， 所以. 同理可得， 所以 ，当且仅当，取等号； 则，则当为时可取等.所以的最大值为. 又因为，所以. 【19题答案】 【答案】（1）①，；② （2）的元素个数为.的最大值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $