北京市第二中学朝阳学校2025-2026学年高一下学期6月测试数学试卷

北京第二中学朝阳学校2025-2026学年下学期测试卷 一、单选题本大题共10道小题，每小题5分，共50分. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 这组数据的第50百分位数是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 3. 在中，已知，，，则角（ ） A. B. C. D. 4. 某班分成了A､B､C､D四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则组和组恰有一个组被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若存在实数，使得，则和的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ，2 D. ，2 6. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知直线，与平面，，，能使成立的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 8. 钝角三角形的面积是，，则=（ ） A. B. C. 7 D. 7或1 9. 如图，在直角梯形中，，，，若为的中点，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 10. 已知四边形为矩形，，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图），设的中点为. 在翻折过程中，有如下四个命题： ①平面； ②的长度为定值； ③三棱锥体积的最大值为； ④在翻折过程中，存在某个位置，使得. 其中真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题本大题共6道小题，每小题5分，共30分. 11. 已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为_________． 12. 已知的三条边长分别为，则此三角形的最大角与最小角之和为_______． 13. 某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅读名著的数量（单位：本），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则图中的值为__________；估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为__________. 14. 木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线，则满足______________（选出你认为正确的全部结论） ①；②；③与直线相交；④与直线相交． 15. 根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则__________. 16. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，且．给出下列结论： ①； ②三棱锥的体积为定值； ③点P在线段CE上(E为BB1的中点)； ④面积的最大值为2． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题本大题共70分，请将答案填在答题纸上. 17. 在中，． （1）求； （2）若，，求． 18. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 19. 如图，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且， （1）求正四棱锥的表面积； （2）求点到平面的距离； （3）侧棱上是否存在一点E，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 20. 如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕边旋转至. （1）求证：直线平面； （2）求证：直线平面； （3）当平面平面时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个，使平面与平面垂直.并证明你的结论. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（3）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求： ①，；②，； （2）若向量，求证：； （3）若A，B，C是以О为圆心的单位圆上不同的点，记，，． （i）当时，求的最大值； （ii）写出的最大值．（只需写出结果） 北京第二中学朝阳学校2025-2026学年下学期测试卷 一、单选题本大题共10道小题，每小题5分，共50分. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】C 二、填空题本大题共6道小题，每小题5分，共30分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ## ②. 【14题答案】 【答案】③④ 【15题答案】 【答案】##-0.5 【16题答案】 【答案】①②③ 三、解答题本大题共70分，请将答案填在答题纸上. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）20 （2）平均数32.25; 第80百分位数37.5 （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）存在，且 【20题答案】 【答案】（1） 证明：翻折前，在直角梯形中，， 将直角梯形绕边旋转至，则. 因为、平面，且，所以平面. （2） 证明：翻折前，， 将直角梯形绕边旋转至，则，所以，， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. （3） 证明：条件②：因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面. 因为平面，所以. 在梯形中，，， 所以，，且为等腰直角三角形， 又因为，则， 因为，由余弦定理可得， 所以，，故， 因为、平面，，所以，平面. 因为平面，所以平面平面； 条件③：因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面. 因为平面，所以，. 因为，、平面，，所以，平面. 因为平面，所以平面平面； 条件①不符合题目要求，理由如下： 若，且，则， 从而可得，则， 因为，则，所以，， 由余弦定理可得， 因为，则，即与不垂直， 过点在平面内作，垂直为点， 因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面. 因为平面，所以，. 又因为，，、平面，所以，平面， 若平面平面，根据面面垂直的性质定理可知， 在平面内且过点有且只有一条直线与平面垂直，即平面， 但平面，矛盾，故条件①不满足题意. 【21题答案】 【答案】（1） ①； ② ； （2） 因为向量，， 且向量， 则， 所以， 同理， 所以； （3）（i）；（ii） ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $