期末高频易错题专项训练（二十大类型）-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦八年级下册20类高频易错点，以题型为载体系统整合二次根式、几何图形、函数与统计知识，通过分层训练强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|3题型/9题|性质化简与运算技巧|概念→性质→四则运算递进| |几何图形|7题型/21题|辅助线构造与判定定理|三角形→四边形→特殊图形转化| |函数与统计|10题型/30题|数形结合与数据分析|函数概念→图像性质→统计应用|

2025-2026学年数学八年级下册人教版期末复习期末高频易错题专项训练（二十大类型） 目录 高频易错题型一二次根式及其性质 1 高频易错题型二二次根式的乘法与除法 2 高频易错题型三二次根式的加法与减法 2 高频易错题型四勾股定理及其应用 3 高频易错题型五勾股定理的逆定理及其应用 4 高频易错题型六多边形及其内角和 5 高频易错题型七平行四边形及性质 6 高频易错题型八平行四边形的判定 7 高频易错题型九三角形的中位线 8 高频易错题型十矩形的认识及应用 9 高频易错题型十一菱形的认识及应用 10 高频易错题型十二正方形的认识及应用 11 高频易错题型十三函数的概念 12 高频易错题型十四函数的表示 13 高频易错题型十五一次函数的概念 14 高频易错题型十六一次函数的图形和性质 15 高频易错题型十七一次函数与方程（组）、不等式 16 高频易错题型十八平均数、中位数及众数 17 高频易错题型十九离差平方和及方差 18 高频易错题型二十四分位数及箱线图 19 高频易错题型一二次根式及其性质 1．若的值是有理数，则a的最小偶数值是（     ） A．2 B．3 C．6 D．12 2．如果 ，那么 ________． 3．按要求完成各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 高频易错题型二二次根式的乘法与除法 4．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 5．人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“法”就应用了黄金比．设，，记，，…，则_______． 6．计算 （1） （2） 高频易错题型三二次根式的加法与减法 7．和相乘后得正有理数的是（     ） A． B． C． D． 8．计算：______． 9．计算： （1） （2） 高频易错题型四勾股定理及其应用 10．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若，，则点到点的距离是（     ） A． B．2.5 C． D． 11．如图，是的边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．若，，则与之间满足的数量关系为______． 12．如图，一艘轮船先从地出发行驶到地，又从地行驶到地，地在地南偏西的方向，距离地80海里，地在地北偏西的方向，距离地100海里． （1）表示出地相对于地的位置； （2）求，两地之间的距离． 高频易错题型五勾股定理的逆定理及其应用 13．若的三个内角分别为，三条边分别为a、b、c，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C．，， D． 14．如图，每个小正方形的边长均为都在格点上，则的边上的高为___________． 15．如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． （1）求点到点的距离； （2）根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 高频易错题型六多边形及其内角和 16．如图，以为边在正六边形的内部作正方形 ，则的度数为（     ） A． B． C． D． 17．如图，在中，，剪去得到一个四边形，则的度数为______． 18．如图，将一个边长为的正方形硬纸板剪去四个角，使它成为正八边形． （1）求正八边形的边长； （2）若另一个正多边形的每个外角的度数比正八边形的每个内角的度数小，求这个正多边形的边数． 高频易错题型七平行四边形及性质 19．如图，为平行四边形内任一点，，，面积分别为3，4，5，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则______． 21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． （1）如图1，E是格点，先作平行四边形，再在边上画点，使． （2）如图2，在延长线上找到一格点，使得，连接，为网格线上一点，在上找一点，使得． 高频易错题型八平行四边形的判定 22．下列给出的条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（     ）． A．， B．， C．， D．， 23．如图，剪两张对边平行且等宽的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，若点的坐标为，则四边形面积为______． 24．如图，在中，对角线、相交于点，点、在线段上，且，连接、、、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于，求的面积． 高频易错题型九三角形的中位线 25．如图，在 中，平分，点是的中点，，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 26．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 27．在四边形中，，分别是，的中点， （1）如图1，当时，求证： （2）如图2，当不平行于时，求证：． 高频易错题型十矩形的认识及应用 28．如图，延长矩形的边至点 ，使，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 29．如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为___________ ． 30．如图，在四边形 中，， ，，，．动点 从点 出发，以的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以的速度沿折线向终点 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． （1）填空：①__________；（用含 的代数式表示） ②__________； （2）直线 把四边形 分成两部分，当 为何值时，其中的一部分是平行四边形？ 高频易错题型十一菱形的认识及应用 31．如图，菱形的对角线、相交于O点，E、F分别是、边上的中点，连接．若，，则菱形的周长为（     ） A．5 B． C． D．20 32．如图，在菱形中，．连接，点为的中点．交于点E．交于点F．则图中的等边三角形分别为_________________． 33．如图，四边形是矩形，O是对角线的中点，连接，分别过点A，D作，，F是对角线延长线上的点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 高频易错题型十二正方形的认识及应用 34．如图，在正方形内侧作等边，连接，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 35．如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 36．如图，在正方形中，． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点D作的垂线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，求的长． 高频易错题型十三函数的概念 37．嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 38．等腰三角形周长为30，底边y与腰x的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______． 39．用长为的铁丝围成一个等腰三角形，底边长为，一腰长为． （1）写出表示y与x的函数关系的式子，指出自变量及其取值范围； （2）当等腰三角形的底边长为时，求出该等腰三角形的面积． 高频易错题型十四函数的表示 40．已知点、、在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（     ） A． B． C． D． 41．小琳选中某通讯公司的极速流量包．已知每月的流量费用（单位：元）与所用流量（单位：）的函数关系如图所示，则超过套餐内流量（）后，每流量的费用____________元． 42．如图①，在矩形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒，a秒时点P改变速度，变为每秒，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象． （1）参照图②，求a、b及图②中的c值； （2）设点P离开点A的路程为，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达中点时x的值； （3）当点P出发多少秒后，的面积是矩形面积的． 高频易错题型十五一次函数的概念 43．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 44．根据如图所示的程序计算函数 的值，若输出 的值是 ，则输入的值为__________． 45．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）画出关于轴对称的图形（点、分别对应、） （2）请在轴上找出一点，满足线段的值最小，并直接写出点坐标． 高频易错题型十六一次函数的图形和性质 46．在学习了物体质量与体积之间的关系后，老师给出了甲、乙、丙、丁四种液体，并让同学们根据物理学知识计算其密度，同学们用相关的物理仪器测量数据后，在如图所示的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象判断这四种液体中密度最大的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 47．若关于的不等式的解集为，则直线不经过第______象限． 48．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． （1）求点的坐标． （2）将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 高频易错题型十七一次函数与方程（组）、不等式 49．如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于x的方程的解为 C．y随x的增大而减小 D．不等式的解集是 50．如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为___________． 51．如图直线：经过点，．若直线：与直线相交于点M，与x轴相交于点D． （1）求直线的函数解析式； （2）连接，求的面积． 高频易错题型十八平均数、中位数及众数 52．数学期中测试后，李老师把全班50名同学的成绩输入计算机算平均分，由于不小心，把其中一个“100”输入时多打了一个零，成为“1000”分，却没有及时发现，最后计算机显示该班平均分为95分，那么你认为该班平均分正确的是（     ） A．77分 B．79分 C．81分 D．无法确定 53．八（1）班四个绿化小组植树的棵数如下：10，10，，8，已知这组数据的众数和中位数相等，那么这组数据的中位数是________棵． 54．面试是中小学教师资格考试的有机组成部分，属于标准参照性考试．面试时，考官根据考生面试过程中的表现，进行综合性评分，并填写面试评分表．如表是某位考生的面试评分表（已简化，评分为整数）．已知面试中考生得分不低于分为合格． 测试项目 职业认知 心理素质 仪表仪态 言语表达 思维品质 教学设计 教学实施 教学评价 总分 考官评分（分） 权重 考生得分 （1）考官对这位考生各项评分的众数一定是分吗？请说明理由． （2）若考官对这位考生各项评分的中位数是分，则_____________ ． （3）若这位考生面试合格，则的最小值是多少？ 高频易错题型十九离差平方和及方差 55．在2026年冬奥会短道速滑500米训练中，甲、乙两名运动员10次训练的平均成绩相同，甲运动员成绩的离差平方和是a；乙运动员成绩的离差平方和是b，且甲运动员的成绩比乙运动员的成绩更稳定，则下列判断一定正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 56．某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 57．情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产甲，乙两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品各进行了6轮情绪测试（满分10分）． 甲款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，6，4，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 4 b c 乙 5 5 5 0.3 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，_______． （2）计算c的值，并从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． 高频易错题型二十四分位数及箱线图 58．在统计学中，三个数值把一组数由小到大排列分成四等份，称这三个数值为这组数据的四分位数，张老师绘制了某次数学检测中1班，2班两个班级学生得分的箱线图，则下列说法正确的是（     ） A．1班中位数班中位数 B．1班方差班方差 C．1班得分低于105的人数多于2班得分低于105的人数 D．若每班都有50个学生，2班的第13名分数高于1班的第13名 59．甲、乙两支仪仗队队员（人数相同）的身高箱线图如图所示，则身高较为匀称的是___仪仗队．（填“甲”或“乙”） 60．在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． （1）在图2中，A反映 的成绩，B反映 的成绩；（填“甲”或“乙”） （2）图1中甲的众数为 环，乙的平均数为 环； （3）图2中，直接写出A的成绩和B的成绩，结合箱线图判断甲和乙谁的成绩分布比较集中 参考答案 1．D 【详解】A．当时，，不是有理数，不符合题意； B．当时，3不是偶数，不符合题意； C．当时，，不是有理数，不符合题意； D．当时，，是有理数，且12是偶数，符合题意． 2． 【分析】先根据二次根式的非负性求出的值，再代入式子求出的值，最后即可求解． 【详解】∵， ∴据题意可得，，解得：， ∴， ∴，解得：， ∴． 3．（1） （2）， 【分析】（1）根据二次根式的性质、零指数幂、负整数指数幂计算即可； （2）先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ， 当时，原式． 4．D 【分析】利用二次根式的性质和运算法则，逐个验证选项即可得到答案． 【详解】解：A、，A选项错误，不符合题意； B、，B选项错误，不符合题意； C、，C选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 5． 【分析】先利用二次根式的乘法运算可得，再运用分式的互化运算化简、并将代入求值，然后发现规律即可解答． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， …， ． 6．（1） （2） 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．D 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，利用平方差公式可简化计算，只需将各选项与相乘，判断结果是否为正有理数即可得到答案． 【详解】解：选项A∶ ，结果是无理数，不符合要求． 选项B∶ ，结果是无理数，不符合要求． 选项C∶ ，结果是负有理数，不符合要求． 选项D∶ ，是正有理数，符合要求． 8． 【分析】先通分化成同分母再利用平方差公式、完全平方公式相加化简即可． 【详解】解：， ， ， ． 9．（1） （2） 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 10．D 【分析】连接，设，由线段垂直平分线的性质得到，由勾股定理求出，得到，由勾股定理得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 设， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 点到点的距离是． 11． 【分析】先根据正方形面积公式得到边长与面积的关系，再在和中用勾股定理得，，最后将数据代入化简即可． 【详解】由题意可知，，，，． 是的边上的高， 在和中，由勾股定理得，， 即，， 可得，， ，， ，即． 12．（1）地在地南偏东的方向，距离地100海里 （2）海里 【分析】（1）结合图形观察即可求解； （2）判断，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里 ∴B地在C地南偏东的方向，距离C地100海里； （2）解：根据题意，得， ∴（海里）， 即A，C两地之间的距离海里． 13．B 【详解】解： A．∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； B．∵，，总份数为， ∴，，， ∴没有直角，不是直角三角形，此项符合题意； C．∵，，， ∴，，即， ∴是直角三角形，此项不符合题意； D．∵， ∴，符合勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，此项不符合题意． 14． 【分析】先根据勾股定理求出，，得出，则，设边上的高为h，再根据计算即可． 【详解】解：根据网格，可得，， ∴，， ∴， ∴． 设边上的高为h， 则， ， ∴． 15．（1） （2）这个零件合格． 【分析】（1）根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）先分别算出得出，满足勾股逆定理，得出是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，，． ∴ （2）解：这个零件是合格的，理由如下： 由（1）得， ∵，， ∴ 即 ∴是直角三角形， ∴这个零件是合格的． 16．B 【分析】根据正多边形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 17． 【分析】先根据三角形的内角和定理求得，再根据四边形的内角和为求解即可． 【详解】解：， ， ． 18．（1） （2）5 【分析】（1）根据正八边形的性质得到被剪掉的四个角是全等的等腰直角三角形，利用方程思想和等量代换求解； （2）根据“外角度数为”和正多边形内角的度数为“”进行求解． 【详解】（1）解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，同理可得是等腰直角三角形， ∵在和中，， ∴， ∴， 设，则， ∵，解得， ∴， 即正八边形的边长为； （2）解：设这个正多边形的边数为n， 依题意得 解得 ∴这个正多边形的边数为5． 19．B 【分析】过P作交于点E，交于点F，作交于点M，交于点N，根据平行四边形的性质得出，根据，，即可得出答案． 【详解】如图，过P作交于点E，交于点F，作交于点M，交于点N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 同理：， ∴． 20．/3厘米 【分析】利用平行四边形的对边相等且平行以及平行线的基本性质求解即可． 本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 21．（1）见解析 （2）见解析 【分析】（1）利用平移的性质将点向上平移2个单位，得到点，连接，即可得到平行四边形，取格点，连接，交于点，使得，，再根据平行四边形的性质可得，，进而得到，易证，即可得到； （2）连接，由勾股定理得到，将点向上平移5个单位，得到点，连接，可得，利用网格的特征取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，由等腰三角形三线合一可得垂直平分，可得，推出，结合，证明，推出，进而得到，再求出，得到，由三角形内角和定理可得，可得． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示为所求： 22．A 【分析】本题根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项，找出无法判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：选项：，，满足该条件的四边形可以是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 选项：，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 选项：，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 选项：， ， 又， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 23． 【分析】设交轴于点，作于点，容易证明四边形是平行四边形，由点的坐标可得，，由勾股定理可得，根据纸条等宽可得，最后利用平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，设交轴于点，作于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵点的坐标为， ∴，， 由勾股定理可得，， ∵两张纸条等宽， ∴， ∴． 24．（1）证明：的对角线，相交于点， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）12． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）由题意可知，根据等高三角形面积比等于底之比作答即可． 【详解】（1）略； （2）解：， ， ， ， ， 的面积． 25．A 【分析】延长交于点F，证明，可得，从而得到，再根据是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 26．4 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 27．（1）证明：连接并延长，交的延长线于点G，如图所示： ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． （2）证明：连接，取的中点G，连接，，如图所示： ∵，，G分别是，，的中点， ∴，，，， ∴， ∵与不平行， ∴B、G、F三个点一定不在同一直线上， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）连接并延长，交的延长线于点G，证明，得出，，根据中位线的性质得出，即可得出结论； （2）连接，取的中点G，连接，，根据三角形中位线的性质得出，，，，即可得出，根据两点之间线段最短得出，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 28．A 【分析】连接交于点，根据矩形和等腰三角形的性质，推出，，即可得解． 【详解】解：如图，连接交于点， 矩形， ，，，，， ，， ， ， ， ． 29． 【分析】连接，由矩形的性质可得四边形是矩形， 即得，可知要求的最小值，就是要求的最小值，当时，取最小值，由勾股定理得，再根据三角形的面积求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当有最小值时，取最小值， 当时，取最小值， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 30．（1）①；②13 （2）当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 【分析】（1）①由题意得；②过点B作于H，证明四边形是矩形，结合勾股定理即可求得； （2）只有Q点在 上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可． 【详解】（1）解：①由题意得； ②如图，过点B作于H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，； （2）解： Q在 上运动时间为， ∵， ∴Q运动时间最长为， 当点Q在 上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形， 当时，Q在 边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， ∴只需， 由题意得，，，， ∴， 解得； ②四边形是平行四边形，如图所示： ∵， ∴只需，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得． 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 31．C 【分析】先根据三角形的中位线定理求得，再根据菱形的性质证明，即可根据勾股定理求得，即可求得答案． 【详解】解：、F分别是、边上的中点， ， 四边形是菱形 ，，，， ， 菱形的周长为． 32． 【分析】由菱形的性质得到，，则可证明都是等边三角形，可得，再由平行线的性质得到，则可证明都是等边三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴都是等边三角形， ∴则图中的等边三角形为． 33．（1）见解析 （2）13 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可根据菱形的判定证明结论； （2）过点F作交的延长线于点G，先证明，得到，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：过点F作交的延长线于点G， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，． 34．C 【分析】先根据正方形的性质得到，，，，，则，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 35． 【分析】连接并延长交于点P，连接，根据正方形的性质得到，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，最后利用三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点P，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点，分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点H为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴. 36．（1）解：如图所示为所求： （2） 【分析】（1）以点为圆心画弧交线段于两点，再分别以这两点为圆心画弧交于一点，过点以该点作射线交于点即可； （2）利用正方形的性质结合作图结论证明，易求，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 37．B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 38． 【分析】根据等腰三角形周长公式列等式推导函数关系式，再结合底边为正和三角形三边关系，确定自变量的取值范围． 【详解】解：由周长公式可得， 整理得． 底边长度大于， ， 解得． 又三角形两边之和大于第三边， ， 即， 将代入不等式得， 解得． 综上可得，． 39．（1），自变量为，其取值范围是 （2） 【分析】（1）根据等腰三角形的周长腰长底边长，可得出y与x的函数关系式，根据，可求出自变量及其取值范围； （2）把自变量的值代入函数关系式，求出，根据三线合一和勾股定理求出底边上的高，然后利用三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：由已知，得，，． ∴， ， ∴， ∴ ∴y关于x的函数表达式是，自变量x的取值范围是； （2）解：当时，， 如图，，作于H， ∴， ∴， ∴等腰三角形的面积是． 40．B 【分析】根据题意可得当时的函数值与时的函数值相等，且时的函数值大于时的函数值，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵点、、在同一个函数的图象上， ∴当时的函数值与时的函数值相等，且时的函数值大于时的函数值， ∴四个函数图象中，只有B选项中的函数图象符合题意． 41． 【分析】观察函数图象，找出超过套餐流量后的起始点和终止点坐标，利用费用变化量除以流量变化量即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，当所用流量为时，费用为元，当所用流量为时，费用为元， 则超过套餐内流量后，每流量的费用为：（元）． 42．（1），， （2）， （3）当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的 【分析】本题主要考查了动点及相关的函数图象分析，运用函数图象解决动点问题． （1）根据，结合图象，得出当时，，由图象可知，8秒时，点P在B处，结合a的值求得b值，最后根据c表示的是运动总时间，求出c值； （2）由点P在6秒后开始变速，变速后速度为每秒，可求得动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式；当点P运动到中点时，可知点P离开点A的路程为，将代入y与x的关系式，即可求得x的值； （3）先求出矩形的面积以及的面积，再按照点P不同的运动阶段分类讨论，求出符合条件的值，具体分为三个阶段进行讨论，分别是：点P在上运动，点P在上运动，点P在上运动，其中：点P在上运动需要再分变速前和变速后两个阶段分别讨论． 【详解】（1）解：当P在边上时，由图得知：， 当时， ， ∴； 当，即动点P运动时间为6秒时，， ， ∴，； （2）解：由题意得：， P到达中点时，， 又∵， ∴， 即； （3）解：∵在矩形中，，， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴． ①P在段（）， 当时，P从A向B匀速运动，速度为1单位/秒， 此时， 若， 则，即，不符合题意，舍去； 当时，P的速度为2单位/秒， ， 若， 则，即，符合题意； ②P在段， 此时，不符合题意． ③P在CD段， 此时， 即， 若， 则，即，符合题意； 综上： 或． 当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的． 43．B 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【详解】∵是正比例函数， 根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 44．0或28 【分析】观察程序计算图，分情况讨论，根据输入的值，列出方程，即可求出答案． 【详解】解：当时，， 由题意得， 解得； 当时，， 由题意得， 解得； 综上，输入的值为0或28． 45．（1）见解析 （2） 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出的坐标，再顺次连接三点得到． （2）利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求点，再通过求直线的解析式得到点坐标． 【详解】（1）解：，关于轴对称的点的坐标特征为横坐标不变，纵坐标互为相反数， ． ， ． ， ． 顺次连接，得到． （2）解：作点关于轴的对称点，设直线的解析式为， 将，代入解析式： , 解得，， 直线的解析式为． 当时，， ． 46．B 【分析】由一次函数图象与性质判断即可． 【详解】解：根据正比例函数性质可知，图象越陡，值越大，在第一象限即值越大， 由可得，以体积为横坐标、质量为纵坐标，则就相当于正比例函数中的， 根据图象得知乙的图象最陡、其次是丙、丁和甲，即， 根据图象判断这四种液体中密度最大的是乙． 47． 一 【分析】本题考查一元一次不等式的性质，一次函数的图象性质，掌握由不等式解集确定的符号，结合一次函数图象性质判断象限是解题的关键，需要根据不等式解集条件确定与的正负，再根据一次函数图象性质判断直线不经过的象限． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为 ∴，且，即 ∴图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 48．（1）、 （2）①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 49．D 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴，，y随x的增大而增大，故A、C错误； 又∵图象与x轴交于， ∴的解为，不等式的解集是，故B错误，D正确； 故选：D． 50． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．一次函数的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程的解，据此求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴关于x的方程的解是． ∴关于的方程的解为． 故答案为：4． 51．（1）； （2）． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出和，根据进行解答即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得，， ∴直线的表达式为； （2）解：联立， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴． 52．A 【分析】先计算出错误输入得到的总分，减去多输入的分数得到正确总分，再除以总人数即可得到正确平均分． 【详解】解：∵全班共50名同学，错误计算得到的平均分为95分， ∴错误的总分为（分）， ∵错误输入比正确分数多算了（分）， ∴正确的总分为（分）， ∴正确的平均分为（分）． 53．10 【分析】分情况讨论的取值情况，利用众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：分情况讨论： 若，则数据为8，8，10，10，此时众数为8和10，中位数为，众数不等于中位数，不符合要求； 若，则数据为8，10，10，10，此时众数为10，中位数为，众数等于中位数，符合要求； 若不等于8和10，此时众数为10，要让中位数等于10，需中间两个数的平均数为10，只有当排序后中间两个数都是10时满足，此时中位数仍为10，符合要求； 综上，符合条件的中位数是10． 54．（1）考官对这位考生各项的评分的众数不一定是分．理由如下： 当时，考官对这位考生各项的评分的众数是分；当时，考官对这位考生各项的评分的众数是分，分，所以考官对这位考生各项的评分的众数不一定是分； （2）或或或 （3） 【分析】（1）根据众数的定义，当时，考官对这位考生各项的评分的众数是分；当时，考官对这位考生各项的评分的众数是分，分，即可判定； （2）根据题意和中位数的定义可得，且为整数，即可求解； （3）根据面试中考生得分不低于分为合格列不等式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：将考官对这位考生已知的评分（单位：分）按照从小到大的顺序排列为，，，，，，． 考官对这位考生各项评分的中位数是分， ， 又，且为整数， 的值为或或或； （3）解：由题意可得，， 解得， 又为整数， 的最小值是． 55．B 【分析】根据方差越小数据越稳定，结合方差公式和已知条件推导离差平方和的大小关系即可． 【详解】方差公式为 ，甲乙两人都进行了10次训练，即 相同，且两人平均成绩相同， 又甲运动员成绩比乙更稳定， 甲的方差小于乙的方差， ， ． 56． 【分析】先求出平均数，再运用公式直接求出离差平方和和方差，注意带单位，计算方差时，注意人数从5个变成了6个． 【详解】平均数为：， 离差平方和为：； 当新增一人的身高为时，与平均数相等，因此离差平方和不变还是； 方差为：． 57．（1）5，4 （2）， 从平均数来看，二者平均数结果相同，差异不大，但从方差来看，甲款情绪机器人明显大于乙款情绪机器人，而方差越小表明数据点集中在平均值附近，波动小，表现越稳定， 综合以上情况而言，乙款情绪机器人的表现更优秀． 【分析】（1）根据平均数和众数的定义即可求解； （2）先利用方差公式求出c的值，再结合平均数和方差的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：甲款情绪机器人的平均数为， 甲款情绪机器人的6轮测试结果中，4出现了3次，次数最多，则众数． （2）略 58．D 【分析】根据箱线图读取两个班级的中位数、四分位数及极差等统计量，结合方差的定义及百分位数的概念逐项判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：1班的中位数大于120，2班的中位数小于120， ∴1班中位数班中位数，故A错误； 由图可知，2班数据的极差（最大值减最小值）及四分位距（箱体长度）均大于1班，数据分布更分散， ∴1班方差班方差，故B错误； 虽然2班得分低于105分的比例大于，1班得分低于105分的比例小于， 但两个班级的总人数未知，无法比较具体人数，故C错误； 若每班都有50个学生，将成绩从高到低排列， ∵ 由图可知，1班的上四分位数小于2班的上四分位数， ∴2班的第13名分数高于1班的第13名，故D正确． 59．甲 【分析】根据图中四分位数及身高范围进行判断即可． 【详解】解：从箱线图数据可知，甲、乙两支仪仗队队员身高的四分位数相同，但乙队队员的身高范围更大，甲队队员的身高波动比乙队小，身高较为匀称． 60．（1）乙、甲 （2）7，8 （3）A的；B的；乙的成绩分布比较集中 【分析】（1）直接根据箱线图解答即可； （2）根据众数，平均数的定义解答即可； （3）根据下四分位数，中位数的定义即可求解，再由箱线图即可求解． 【详解】（1）解：由条形统计图可知，乙的成绩波动较小， 在图2中，A的数据比较集中，故A反映乙的成绩，B反映甲的成绩； （2）解：因为甲的成绩中7环出现的次数最多， 所以甲的众数为7环， 乙的平均数为环； （3）解：A的； B的， 从箱线图可得乙的成绩主要集中在环，甲的成绩主要集中在环，高分段更分散，故乙的成绩分布比较集中． 学科网（北京）股份有限公司 $