2.1.2 有理数的减法（第2课时 有理数加减混合运算）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数加减混合运算，通过“深海探险”“哈尔滨温差”情境导入，承接有理数减法法则，以转化思想为支架，将混合运算统一为加法，构建从单一运算到综合运算的学习路径。 其亮点是用“减变加·省括号·巧分组·算结果”口诀提炼方法，结合情境（数学眼光）、数轴距离公式（数学语言）及分层训练（数学思维）。学生能直观理解转化思想，教师可借助系统流程和丰富例题提升教学效率。

人教版 七年级上册 2.1.2有理数的减法 第2课时有理数加减混合运算 第2章有理数的运算 1.7.2013 同学们好！欢迎来到今天的数学课堂。在前面的学习中，我们已经掌握了有理数的加法和减法法则。今天，我们将把这两个知识点结合起来，挑战一个更有趣的内容——有理数的加减混合运算。这节课结束后，大家将能够解决更复杂的数学问题，甚至能轻松计算生活中的收支和温差。让我们一起开启今天的智慧之旅吧！ ‹#› 学习目标 1.学会转化：理解并掌握如何将加减混合运算统一成加法运算，掌握运算转化的核心逻辑。 2.掌握技巧：通过练习巩固方法，能够快速、准确地完成有理数的加减混合运算过程。 3.理解应用：明晰减法运算在数轴上表示两点间的距离，切实感受数学知识的实际应用价值。 1.7.2013 这节课我们有三个小目标。第一，我们要学会一个非常重要的“转化大法”，把复杂的加减混合运算，变成我们熟悉的加法。第二，通过练习，让大家都能又快又准地算出答案。第三，我们会发现，数学不只是纸上谈兵，它还能帮助我们理解数轴上点的距离，非常有用哦！大家有信心完成这些目标吗？ ‹#› 目录 趣味引入 典例分析 针对训练 典例分析 当堂巩固 拓展探究 针对训练 能力提升 布置作业 感受中考 课堂小结 归纳总结 1.7.2013 这是我们今天的学习路线图。我们会先通过一个有趣的故事进入主题，然后通过例题和练习来掌握方法，接着进行拓展和巩固，最后还会看看中考题是什么样的。大家跟着这个节奏，一步一步来，相信每个人都能收获满满！ ‹#› 导入新课 故事中的数学：深海探险 用正负数表示实际情境中的位置变化，探索有理数运算的奥秘。 情境：“探索号”潜水艇的深海任务 规定海平面为0，海平面以上记为“+”，以下记为“-”。潜水艇执行任务时遭遇海底山脉，需紧急调整位置。 行动过程 位置记法 下潜至海平面下50米 -50 米 紧急向上浮起20米 +20 米 最终稳定位置 -30 米 问题1：紧急上浮后，潜水艇的当前位置是多少？ 分析：初始位置 -50 米，上浮 20 米即加上 20。算式：(-50) + 20 = -30 (米)，即海平面下30米。 反向思考：如果已知起点和终点，如何求上升距离？ 若潜水艇从 -50 米出发，最终停在 -30 米，它上升了多少米？我们可以列出算式：(-30) - (-50) = ? 这就需要探索有理数的减法法则。 1.7.2013 同学们，想象一下，我们是“探索号”潜水艇的船长！我们下潜到了海平面以下50米，也就是-50米。突然，声呐发现前方有危险，我们需要紧急上浮20米。大家算一算，我们现在的位置是哪里？没错，是-30米。现在，我们换个角度思考，如果我们只知道一开始在-50米，最后到了-30米，怎么计算我们到底上升了多少米呢？这就需要用到减法了，算式是(-30) - (-50)。结果是多少呢？ ‹#› 导入新课：探索有理数减法的运算规律 情境一：算式对比的奇妙发现 (-30) - (-50) = 20 (-30) + 50 = 20 结论：减去-50，竟然和加上+50的结果完全一致！ 情境二：冬日哈尔滨的温差挑战 某天哈尔滨最高气温-2℃，最低气温-10℃，求温差？ 算式：(-2) - (-10) = 8（℃），而 (-2) + 10 = 8（℃） 发现：生活中的计算也印证了同样的运算现象！ 核心规律大揭秘：减法变加法的法则 减去一个负数，等于加上这个数的正数（相反数），符号由“-”变“+”，减数变其相反数。 数学表达式：a - (-b) = a + b（其中a、b为有理数），减法运算成功转化为加法运算。 导入新课 1.7.2013 大家看，(-30) - (-50)的结果是20。那大家再算一下(-30) + 50等于多少？也是20！这太神奇了，减去一个负数，竟然和加上它的正数结果一样。我们再来看一个例子，计算哈尔滨的温差，最高温度-2℃，最低-10℃，温差就是(-2) - (-10)，结果是8℃。而(-2) + 10也是8℃。通过这两个例子，我们是不是发现了一个普遍的规律？那就是：减去一个数，等于加上这个数的相反数！ ‹#› 典例分析：统一成加法 核心法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a - b = a + (-b) 关键： 抓住“两个变”：1. 运算符号变：减号“-”变为加号“+”；2. 减数本身变：减数变为它的相反数。 例题示范：将 (-20) + (+3) - (-5) - (+7) 转化为加法算式，需把减法统一为加法。 转化思路：原式中 -(-5) 变为 +(+5)，-(+7) 变为 +(-7)，从而将混合运算转为纯加法运算。 最终改写：(-20) + (+3) + (+5) + (-7) 转化后可利用加法法则和运算律进行简便计算。 1.7.2013 刚刚我们发现的规律，就是有理数减法的核心法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。这个法则非常强大，它能把所有的减法都变成加法。我们怎么记呢？记住“两个变”：第一，减号要变成加号；第二，减号后面的那个数，要变成它的相反数。比如看这个例题，(-20) + (+3) - (-5) - (+7)，我们把- (-5)变成+ (+5)，把- (+7)变成+ (-7)，整个算式就变成了一个纯加法算式。 ‹#› “减号”的魔法变身术 减号就像拥有魔力的魔法师，它一出现，会让紧跟其后的数“变身”为自己的相反数（影子），随后自己则悄悄变成加号参与运算。如 -(-5) 就会变成 +5。 理解一：魔法法则具象化 在代数运算中，符号的变化是核心。减号的本质是“求反后相加”，这一规则打破了单纯的减法概念，让运算逻辑更统一。例如计算 3 - (-2)，就是 3 + (+2)，结果为 5。 “敌人的敌人就是朋友” 减去一个负数，相当于加上它的相反数（正数），化敌为友，运算更简单。 运算的核心本质 减法是加法的逆运算，引入相反数后，所有的减法都可以转化为加法，实现运算规则的大一统。 趣味验证示例 气温从 -3℃ 上升了 5℃，实际是计算 -3 - (-5)，转化为加法 -3 + 5 = 2℃，直观验证了法则的正确性。 要点归纳：引入相反数的概念后，有理数的加减混合运算可以统一为加法运算，即 a - b = a + (-b)，这为复杂的有理数运算提供了统一、简洁的解题路径。 典例分析：通俗理解 1.7.2013 这个法则听起来可能有点抽象，我们可以用一些有趣的方式来理解。大家可以把减号想象成一个“魔法师”，它有魔力，能让后面的数“变身”成自己的相反数，然后它自己就变成了加号。或者用一句俗语来记：“敌人的敌人就是朋友”，减去一个负数，就等于加上一个正数。这样是不是就好记多了？记住这个法则，所有的加减混合运算，我们都能把它变成加法来做。 ‹#› 核心法则 + (+a) = a + (-a) = -a ▍省略规则解析 当算式统一成加法后，可省略所有括号及括号前的加号，让表达式更简洁。即将代数和的形式简化为省略加号的和的形式，便于书写与计算。 ▍原式简化演示 原式：(-20) + (+3) + (+5) + (-7) 省略后：-20 + 3 + 5 - 7 01. 按运算符号读（常规读法） 读作：“负20加3加5减7”。这种读法符合我们日常的运算习惯，侧重于计算的先后顺序与操作步骤。 02. 按代数和读（推荐理解） 读作：“负20、正3、正5、负7的和”。此读法能更清晰地体现每个数的正负属性，有助于理解有理数加法的本质是各数的累加。 典例分析 1.7.2013 现在我们的算式已经全是加法了，但看起来还是有点乱，有很多括号和加号。为了让它更清爽，我们可以把括号和前面的加号都省略掉。比如+ (+5)就直接写成5，+ (-7)就直接写成-7。这样，刚才的算式就变成了 -20 + 3 + 5 - 7。这个式子怎么读呢？我们可以按运算读，也可以把它看成是几个带符号的数的和，读作“负20、正3、正5、负7的和”。第二种读法更有助于我们理解每个数字的正负属性。 ‹#› 有理数加减运算 核心法则：减法变加法，省略括号，同号结合 例1的运算过程规范书写： (-20) + (+3) - (-5) - (+7) = -20 + 3 + 5 - 7（第一步：减法变加法，统一为代数和形式，省略括号） = -20 - 7 + 3 + 5（第二步：运用加法交换律，将同号数结合在一起） = -27 + 8（第三步：分别计算负数与正数的和，简化运算） = -19（第四步：异号两数相加，得出最终结果） 典例分析 1.7.2013 好，现在我们来看完整的计算过程。第一步，根据我们刚才学的法则，把减法变加法，省略括号，得到 -20 + 3 + 5 - 7。第二步，为了计算方便，我们可以运用加法交换律，把正数和正数放在一起，负数和负数放在一起，也就是 -20 - 7 + 3 + 5。第三步，分别计算，负20减7等于负27，3加5等于8。最后，-27加8，结果就是-19。大家看，是不是很清晰？ ‹#› 针对训练 动动脑筋 Try to find the trick! 大胆探究： 在符号简写这个环节，你发现数字前负号的个数和最终符号有什么小窍门么？ (1) (-40)-(+27)+19-24-(-32) 把下列算式改写为省略括号和加号的形式： (2) (-9)-(-2)+(-3)-4 =-40 - 27 + 19 - 24 + 32 =-9 + 2 - 3 - 4 规律：数字前“-”号是奇数个取“-”；数字前“-”号是偶数个取“+”。 1.7.2013 现在轮到大家动手试一试了！请把这两个算式改写成省略括号和加号的形式。大家在做的时候可以想一想，有没有什么小窍门？其实有一个规律：一个数字前面如果有奇数个负号，那它最终就是负数；如果有偶数个负号，它最终就是正数。比如-(-2)，负号有两个，是偶数，所以结果就是+2。掌握了这个规律，我们处理符号就更快了！ ‹#› 有理数加减混合运算 掌握减法变加法的核心技巧 例2：计算：14 - 25 + 12 - 17 方法一：减法变加法 解：原式＝14 + (-25) + 12 + (-17) 第一步：统一成加法形式 ＝(14 + 12) + [(-25) + (-17)] 第二步：运用运算律结合 ＝26 + (-42) 第三步：分别计算正负和 ＝-16 第四步：得出最终结果 典例分析 1.7.2013 我们再来看一个例子：14 - 25 + 12 - 17。我们用第一种方法，先把所有减法都变成加法，得到 14 + (-25) + 12 + (-17)。然后，我们运用加法交换律和结合律，把正数14和12结合，负数-25和-17结合。14加12等于26，-25加-17等于-42。最后，26加上-42，结果就是-16。 ‹#› 简便运算技巧 将数字与符号看作整体 利用交换律重组计算 解：原式＝14＋12－25－17 ＝26－42 ＝－16 核心思路：运用加法交换律，将正数与负数分别归类组合，简化运算步骤。 计算法则：先分别计算同号数的和，再按有理数减法法则计算最终结果。 方法二：去括号法（更简便） 例2：计算有理数的加减混合运算：14 - 25 + 12 - 17 典例分析 1.7.2013 刚才的方法是标准步骤，但熟练之后，我们可以更直接一些。观察原式 14 - 25 + 12 - 17，我们可以直接把数字和它前面的符号看作一个整体，进行“搬家”。把正数+14和+12搬到一起，负数-25和-17搬到一起，就变成了 14 + 12 - 25 - 17。这样计算是不是更快捷？先算14加12等于26，再算25加17等于42，最后26减42，结果同样是-16。 ‹#› 归纳总结 核心口诀 减变加 · 省括号 巧分组 · 算结果 有理数加减混合运算“四字诀”详解： 01. 减变加：将减法运算统一转化为加法运算，把算式中的减号都变为加号，减数变为它的相反数。 02. 省括号：省略算式中的加号和括号，把式子写成代数和的形式，让算式结构更简洁清晰。 03. 巧分组：灵活运用加法交换律和结合律，将正数与正数、负数与负数分别结合相加，简化计算过程。 04. 算结果：按照有理数的加法法则，依次计算各组结果，最后合并得出最终的运算答案。 1.7.2013 好了，我们来总结一下有理数加减混合运算的步骤，我把它编成了“四字诀”，方便大家记忆。第一步，“减变加”，把所有减法都变成加法。第二步，“省括号”，把算式简化。第三步，“巧分组”，聪明地运用运算律，把好算的数先算。最后一步，“算结果”，得出最终答案。记住这四步，所有加减混合运算都能迎刃而解！ ‹#› 针对训练 分析：先把减法化成加法，再依据加法法则进行计算。 (3) (-7) - (+5) + (-4) - (-10)；(4) 2/3 - 1/2 - 3/4 + 1/3 (1) 1 - 4 + 3 - 0.5；(2) -2.4 + 3.5 - 4.6 + 3.5 计算： 解：(1) -0.5；(2) 0；(3) -6；(4) -1/4 1.7.2013 现在，检验大家学习成果的时候到了！这里有四道计算题，请大家拿出笔和纸，按照我们刚学的“四字诀”来完成。注意观察数字的特点，看看能不能找到简便的方法。做完的同学可以和同桌互相检查一下答案。 ‹#› 拓展探究 | a - b | 核心公式速记 数轴上两点之间的距离 在数轴上，点A、B分别表示有理数a和b，我们可以通过绝对值来刻画这两个点之间的空间关系。 ▌ 核心结论：数轴上两点之间的距离等于这两个数之差的绝对值，即距离 = |a - b|。 ▌ 实例演示：求表示-3和5的两点之间的距离。 方法一：|5 - (-3)| = |8| = 8； 方法二：|-3 - 5| = |-8| = 8。 ▌ 解题技巧：距离是一个非负数，因此在实际计算中，无需纠结顺序，直接用“较大的数减去较小的数”，即可快速得到两点间的距离。 1.7.2013 我们学的减法还有一个非常重要的几何意义，那就是可以表示数轴上两点之间的距离。结论很简单：数轴上表示数a和数b的两点之间的距离，就是a减b的绝对值。比如，求-3和5之间的距离，我们可以用5减去-3，再取绝对值，得到8。或者用-3减去5，再取绝对值，也是8。因为距离不可能是负数，所以我们只需要用大的数减去小的数，就能直接得到距离了。 ‹#› 答案：(1)-6；(2)0；(3)4；(4)0；(5)10 3.计算： 有理数加减法混合运算常用方法： (1)正负数归类法； (2)相反数结合法； (3)凑整数法； (4)同分母分数结合法。 (1) (-7)-(+5)+(-4)-(-10) (2) -2.4+3.5-4.6+3.5 (3) 0-(-2.5)-(+1.5)-(-3) (4) (-1/3)-(-2/5)+(-2/3)+3/5 (5) (-8)-(-15)+(-9)-(-12) 当堂巩固 1.7.2013 接下来是当堂巩固环节，我们来做几道综合题。大家在做的时候，可以尝试使用我们刚才提到的一些简便方法，比如把正数和负数分开，或者找找有没有互为相反数的数，或者能凑成整数的数。这些方法能让你的计算速度大大提高！ ‹#› 有理数加减混合运算 注意符号变化与运算顺序 4.计算： （1）(-2) - (-5) + (-9) + (-3) （2）(-3/4) + (-1/4) - (-2) （3）(-0.5) - (-3 1/4) + 2.75 - (+7 1/2) 答案：（1）-9； （2）1； （3）-2 当堂巩固 1.7.2013 继续挑战！这里有三道题，包含了整数、分数和小数。大家在计算含有小数和分数的题目时，要注意观察，看看是统一化成分数计算方便，还是统一化成小数计算方便。做完后核对一下答案。 ‹#› 5. 在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，-9，+8，-7，13，-6，+12，-5。 （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 答案：(1)B地在A地的东边20千米； (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处25千米； (3)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油。 当堂巩固 1.7.2013 数学来源于生活，也要应用于生活。这是一道和实际生活紧密相关的应用题。大家仔细读题，把每一段路程用正负数表示出来，然后通过计算来回答这三个问题。这不仅考察我们的计算能力，还考察我们分析问题的能力。 ‹#› 能力提升 挑战进阶计算，掌握符号变化与运算规律，提升数学思维能力。 -50 18 2.计算 -4，-5，+7 这三个数的和比这三个数的绝对值的和小多少？结果为______. 3.观察规律计算：1 - 2 + 3 - 4 + 5 - … + 99 - 100 的结果是_______. 1.若 a = -2，b = 3，c = -4，则代数式 a - (b - c) 的值为______. -9 思路点拨：第1题先去括号再代入求值，注意符号变化；第2题分别计算“和”与“绝对值的和”再作差；第3题可将相邻两项结合，每两项的结果为 -1，共50组，快速得出答案。 1.7.2013 做得不错！现在我们来挑战一些更有难度的题目，提升一下我们的能力。第一题需要先算括号里的。第二题要注意区分“和”与“绝对值的和”。第三题看起来很长，但其实有规律可循，大家仔细观察数字和符号的变化，看看能不能找到简便算法。 ‹#› 规律探究 · 裂项相消 寻找等式共性，简化复杂运算 4. 观察下列等式，寻找拆分规律： 1/(1×2) = 1 - 1/2； 1/(2×3) = 1/2 - 1/3； 1/(3×4) = 1/3 - 1/4 …… （1）计算：1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + ... + 1/(99×100) （2）拓展：计算 1/(1×3) + 1/(3×5) + 1/(5×7) + ... + 1/(99×101) 【思路提示】：利用“裂项相消法”，将每一项拆分为两个分数的差，中间项相互抵消，简化计算。第二题需先构造出分母差为2的拆分形式。 答案（1）：99/100 （中间项抵消后，剩余首项1与末项-1/100） 答案（2）：50/101 （拆分后提取1/2，剩余(1-1/101)×1/2） 能力提升 1.7.2013 这是一道找规律的题目，非常有趣。我们先观察给出的等式，发现一个分数可以拆成两个分数的差。利用这个规律，第一题的很多项可以相互抵消，从而简化计算。第二题是一个变式，需要我们先找到类似的拆分规律，然后再进行计算。大家动动脑筋，挑战一下！ ‹#› 5. 一辆货车从超市出发，先向东走了3千米到达小彬家，继续走了1.5千米到达小颖家，然后向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。 (1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请在数轴上表示出小明家、小彬家和小颖家的位置； (2)根据数轴，计算小明家距小彬家有多远？ (3)若货车每千米耗油0.2升，计算货车从出发到回到超市共耗油多少升（先求总路程）？ 解： 0 -5 4.5 3 超市 小彬家 小颖家 小明家 (1) (3) 总路程：3 + 1.5 + 9.5 + 5 = 19 (千米)；总耗油量：19×0.2 = 3.8 (升) (2) 距离计算：3 - (-5) = 8 (千米)，即小明家距小彬家8千米 能力提升 1.7.2013 最后一道能力提升题，又是一个结合数轴和行程的问题。大家先根据描述，画出数轴，确定各个位置。然后利用我们前面学的数轴上两点间距离的公式来解决第二个问题。第三个问题要注意，行驶的总路程是所有路程的绝对值之和，因为距离没有方向。 ‹#› 感受中考 L = 40 ± 0.01 （3分）（2024•通辽）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度L的合格尺寸（L的取值范围）。 【分析】从图上可以看出：合格尺寸最小应是40 - 0.01 = 39.99；最大应是40 + 0.01 = 40.01。 【解答】解：根据题意，得39.99 ≤ L ≤ 40.01。 故答案为：39.99 ≤ L ≤ 40.01。 1.7.2013 ‹#› 课堂小结 1.本节课掌握了哪些核心内容？其中蕴含了哪些关键的数学思想方法？ 2.解决有理数加减混合运算有哪些核心步骤？运算过程中需要重点关注的注意事项是什么？ ▌ 核心内容与思想提炼 01.关键内容：熟练掌握有理数加减混合运算的法则，明确从减法到加法转化的完整步骤，是运算的基础。 02.数学思想：运用“转化思想”将减法统一为加法；借助数轴理解运算意义，体现“数形结合思想”，让抽象运算直观化。 ▌ 步骤与避坑指南 01.标准步骤：减变加 → 省括号 → 巧分组 → 算结果，按序操作不易出错。 02.核心注意：精准处理符号，“符号搬家”时要带数字整体移动，避免符号遗漏或错误。 1.7.2013 ‹#› 布置作业 基础巩固：完成教材 P35 习题2.1 第5题，熟练掌握有理数加减混合运算的基本步骤与符号处理。 能力提升：挑战教材 P35 习题2.1 第8、9、10题，尝试运用运算律简化复杂的混合运算过程。 拓展探究：选做教材 P36 习题2.1 第12、13题，结合实际情境分析有理数运算的应用价值。 1.7.2013 今天的课就到这里。课后请大家完成作业，巩固今天所学的知识。作业分为基础、提高和拓展三个层次，大家可以根据自己的情况选择完成。希望大家课后多加练习，真正掌握有理数加减混合运算的技巧。 ‹#› 人教版 七年级上册 谢谢观看 一套在手，备课无忧！ 1.7.2013 同学们，今天的数学课就到这里。感谢大家的积极参与和认真思考！希望大家课后能多加练习，把今天学到的知识融会贯通。我们下节课再见！ ‹#› $