精品解析：2026年北京市北京师范大学附属实验中学初三数学统一练习10

2026年北京市北京师范大学附属实验中学初三数学统一练习10 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 长江干流上的葛洲坝、三峡向家坝、溪洛渡、白鹤滩、乌东德6座巨型梯级水电站，共同构成目前世界上最大的清洁能源走廊，总装机容量71695000千瓦，将71695000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解∶ ． 故选∶A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点在数轴上的位置，判断实数的大小，进行判断式子的符号即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，； 综上，只有选项D正确． 3. 如图，在 中， ，，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，得到两弧的交点，过这两个交点的直线分别交， 于点D，E，连接 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得出 垂直平分，则，再得出，则可得的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 由作图可知， 垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、图中是等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形； B、图中是平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形； C、图中是矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形； D、图中是正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形． 5. 如图，点A，B分别在射线上，以A为圆心，长为半径画弧，以O为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C（点C，B不重合），连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，进而得到 是的垂直平分线，再利用直角三角形的性质即可解答. 【详解】解：如图，连接， 根据题意可得：， ∴ 是的垂直平分线， 即， ∵， ∴. 6. 如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接 ；②分别以点B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线 ，交于点G，若，，则 的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由作图方法可得， 垂直平分 ，则；由矩形的性质和勾股定理得到，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可得， 垂直平分 ， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数，其中． ①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值； ②若 时，随的增大而减小，则必有； ③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或； ④若方程有一根为，且，则必有． 上述四个结论中：所有正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括最值、单调性、不等式解集及根的范围，灵活运用反例或结合性质找到a，b的范围，从而判断选项是否错误是解题关键． 结合条件，利用二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】对于①：若经过点，则有，结合，可得，，∴ ，故函数必有最大值，选项正确； 对于②：可取反例，当时，，，此时当 时，y随x的增大而减小，故原选项错误； 对于③：若经过点，则有，结合，可得，，∴， 令，解得 ，或 ，∵，结合图象可知，不等式的解集为或，选项正确； 对于④：由，即，可知二次函数经过定点，∴方程的其中一根为 ， 若，则有，，即，，解得，，故原选项错误， ∴①③正确，正确的个数为2个， 故选：B． 8. 已知如图，二次函数顶点为 ，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点E，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据抛物线的解析式即可判定；②求得、的长进行比较即可判定，③过点作，交抛物线于，如果，则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得为直角三角形即可进行判定； 【详解】解：如图，过点作，交抛物线于，连接，，， 二次函数的顶点为 ，最大值为， 抛物线过点， 抛物线的对称轴为直线，故①正确，符合题意； 解得， 抛物线的解析式为， 当时， 解得或， ， ， ， ， ， ， ， 点在上，故②正确，符合题意； ， 解得 或， ， ， 四边形不是平行四边形，故③错误，不符合题意； 由抛物线可知，， ， ， ， 为直角三角形， ， ， ， 直线与相切，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有①②④． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式． 根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为： ． 10. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： 故答案为: ． 【点睛】本题主要考查了因式分解．能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】解分式方程的步骤为：（1）去分母；（2）求出整式方程的解；（3）检验；（4）得出结论，按照解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解． 12. 已知，是反比例函数 图象上的两个点，则___________0（用“>”“<”或“=”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出和，再计算二者的差，结合判断差与的大小关系． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ∴， ， ， 即． 13. 每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____； 【答案】240 【解析】 【分析】先计算样本中视力在范围内的频数，再计算该范围频数占样本容量的比例，最后用八年级总人数乘以该比例，即可得到估计的人数． 【详解】解：由题意可得，样本中视力在范围内的频数为， 估计名八年级学生中视力在该范围的人数为：（人）． 14. 反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数横纵坐标满足，找出所有使横纵坐标均为整数的的取值，计算对应后统计点的个数即可. 【详解】解：由可得, 因为点的横纵坐标均为整数，所以为的整数因数，的所有可能取值为. 分别计算对应的值： 当 时，，符合要求； 当 时，，符合要求； 当 时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时， ，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时， ，符合要求。 综上，符合要求的点共有 个. 15. 如图，在矩形中，，，点为延长线上一点，且．连接 交边于点 ，过点作于点，则线段 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出的长，得到 的长，再利用勾股定理求出 的长，最后利用三角形的面积解答即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴． 16. 某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元；加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_________； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_________． 【答案】 ①. 8 ②. 24 【解析】 【详解】解：设安排加工A零件的工人人数为人，因为加工A零件和C零件总数相等，且每名工人只能加工A零件3件或C零件1件，所以加工C零件的工人人数为人， 由题意得，解得， 所以安排加工A零件的工人人数为8人； 设加工B零件的工人人数为y人，加工A零件的工人人数为x人，则加工C零件的工人人数为人， 满足：，即且， 即， 解得， 同时x为正整数； 利润计算：A零件利润：， B零件利润：，代入，得：， C零件利润：， 总利润W为：， 展开并整理得， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为：， 此时，且，符合条件； 所以加工B零件的人数为24人． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简特殊角的三角函数值、二次根式、绝对值、负整数指数幂与零指数幂，再从左到右依次计算． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 解不等式①得， 解不等式②得； ∴原不等式组的解集为． 19. 已知：，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再约分化简，接着求出的值，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ， ∴原式． 20. 如图，在 中， ， 为 边上的高，为边的中点，，垂足为 ，点在线段上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）因为 是等腰三角形， 是 边上的高，所以是 中点，结合是中点，利用三角形中位线定理可得 与平行．因为，所以 和 垂直，又已知，且在上，所以 与平行且相等，可先证四边形是平行四边形，再结合有一个内角为直角，即可证明是矩形． （2）先推出，得到，由得，再根据勾股定理求得，再得，最后由勾股定理得的长． 【小问1详解】 证明： ， 为 边上的高， ． 为边的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ． ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解： ， ． ． ． ， ． 在中，由勾股定理，得． ． ∵四边形是矩形， ，． 在中，由勾股定理，得． 21. 在平面直角坐标系 中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当 时，对于x的每一个值，函数的值大于且小于函数 的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 且 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将点和代入一次函数解析式，解方程组即可求出函数表达式； （2）根据题意是的解集的一部分，再根据，，，四种情况分别求出不等式组的解集，再列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点和． ∴， 解得， ∴该函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于且小于函数 的值， ∴是的解集的一部分， 当，即时，解不等式得；解不等式得；此时不等式组的解集为， ∴， 解得， 此时； 当时，解不等式得；解不等式恒成立；此时不等式组的解集为，都是的一部分，符合条件； 当，即时，解不等式得；解不等式得； ∵，， ∴都是，的一部分，此时都符合条件； 当，解不等式得；解不等式得；此时不等式组的解集为， ∴， 解得， 此时； 综上所述，m的取值范围 且． 22. 列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 【答案】所走高速公路的路程为550公里 【解析】 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键 设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里，根据题意列出方程求解即可，注意单位换算． 【详解】解：设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里， 根据题意得：， 解得， ∴所走高速公路的路程为550公里． 23. 为了解某年级400名学生物理，数学两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息． a．物理课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．物理课程成绩在这一组的是： 85 85 83 85 84 81 80 c．物理，数学两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 物理 80 n 85 数学 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中n的值； （2）在此次测试中，学生甲的物理课程成绩为83分，数学课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是___________（填“物理”或“数学”）； （3）在此次测试中，学生乙的物理课程成绩为84分，数学课程成绩为85分，下面有两个推断： ①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数； ②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名； 其中所有正确推断的序号是___________； （4）假设该年级400名学生都参加此次测试，估计物理课程成绩不低于80分的学生有___________人． 【答案】（1）82 （2）物理 （3）① （4）240 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义进行解答即可； （2）根据中位数进行判断即可； （3）根据两组的平均分和最高分分别进行判断即可； （4）根据样本估计总体的方法计算即可． 【小问1详解】 解：∵物理课程总人数为20， ∴中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均在这一组， ∴中位数在这一组， ∵这一组从小到大的排序为：80，81，83，84，85，85，85，前三组共个数据， ∴物理课程的中位数为，即． 【小问2详解】 解：∵该学生的成绩大于物理课程的中位数，小于数学课程的中位数， ∴这名学生成绩排名更靠前的课程是物理． 【小问3详解】 解：①两门课程总成绩的平均数为，学生乙的总成绩为，， ∴①正确； ②总成绩高于平均数的人数不一定只有10人，可能有更多人总成绩高于平均数， ∴乙不一定排在前10名， ∴②错误． 【小问4详解】 解：由题意可得，（人）， 即估计物理课程成绩不低于80分的学生有240人． 24. 如图，为半圆O的直径，点C，D在半圆O上，直线与半圆O相切于点C，且， （1）若，求的大小（用含α的式子表示）； （2）过点O作交于点E，交于点F，若，，求 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得，结合圆周角定理，得到求解即可； （2）根据得，结合圆周角定理，得到，根据特殊角的三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵所对圆周角相等， ∴， ∵是圆心角，是圆周角， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∵，， ∴， ∵直线与半圆O相切于点C， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ． 25. 某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出7L水所用的时间t（单位：）与孔径d（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … （1）甲测试组放水时放出的水量为___________； （2）通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为___________（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）14 （2）① ②；③ 【解析】 【分析】（1）根据同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系，设，代入一组数据求出k即可； （2）①根据乙测试组的实验数据，描点连线，即可画出乙测试组实验的函数图象； ②由乙测试组实验图象，即可得出孔径为6.5mm的水龙头放出7L水所用的时间； ③在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的值，即可推断出甲组同学实验中所用水龙头的孔径． 【小问1详解】 解：∵同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系， ∴设， 当时，， 将其代入中， 即， 解得， 故， 当时，， 故甲测试组放水时放出的水量为； 【小问2详解】 ①乙测试组实验的函数图象如下： ②由乙测试组实验图象可知，孔径为的水龙头放出水所用的时间约为； ③当时，将其代入中，可得．在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的值，推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径约为． 26. 在平面直角坐标系 中，二次函数的图象经过点和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b （2）在（1）的条件下，取．将该抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的图象与原抛物线在直线上方的部分共同组成图形G．若点（其中 ）和点都在图形G上，且存在点P、Q使得，求m的取值范围 （3）过点作x轴的垂线，交（1）中抛物线于点N．过点N作平行于x轴的直线，交一条过原点的直线L于点H．已知直线L与该抛物线（除原点外）的另一个交点的横坐标为4．若点M从点O运动到点的过程中，线段的长随 的长增大而增大，求a的取值范围 【答案】（1）， （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）将A、B两点代入二次函数解析式，整理因式分解后求得和的表达式； （2）代入得到原抛物线，求出翻折后图形的分段解析式，分情况讨论P、Q的位置，通过比较和的大小得到m的取值范围； （3）先求出直线的解析式，再表示出线段的长度，利用二次函数的性质得到的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入 中， 得 ， 将代入 中， 得 ， 得， 解得 或， 当 时，此时无法求出b和c，故舍去； 将代入①得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得，抛物线解析式为， 当时，则抛物线解析式为， 此时顶点为， 令， 解得， ∴与的交点为， 沿翻折后，新抛物线的顶点为， 设新抛物线解析式为， 将代入得， 解得 ， ∴新抛物线解析式为， ∴图形的解析式为：当时，； 当或时，， 如下图， 当，即，点P，Q都在原抛物线左段， 由图可得，此时恒成立，符合题意； 当，即， 在原抛物线左段，在翻折段， ∴，， ∴．， ∴该二次式开口向上， ∵， ∴恒成立，即恒条件； 当，即且，此时 在原抛物线左段，在原抛物线右段， ∴，， 令，则 解得， ∴此时时满足条件； 当，此时 在翻折段，在原抛物线右段， ∴，， ∴， ∴该二次式开口向下， ∵， ∴恒成立，即，不符合题意，舍去； 综上所述，存在点P，Q使时，m的取值范围为； 【小问3详解】 解：令，则， ∵直线过原点， ∴设其解析式为， 由题意得与抛物线的交点为， ∴ 解得， ∴， ∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点N，且， ∴， ∵过点N作平行于x轴的直线，交直线L于点H， ∴的纵坐标与 相同， 代入得， 解得， ∴， ∵点M从点O运动到点的过程中，线段的长随 的长增大而增大， 当时，，即， 此时 随t增大而减小， ∴， ∴该函数开口向上，对称轴为， ∴此时t在对称轴左侧，随 增大而减小， ∴随 增大而增大，满足条件； 当时，，即， 此时 随t增大而增大， ∴， ∴该函数开口向下，对称轴为， 要使随 增大而增大，需 解得， ∴； 综上所述，且． 27. 已知，在 中， ，，D为边上一动点（不与B，C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段 ，连接 ． （1）如图1，当，且点E在边上时，连接 ，判断线段 与 之间的关系，并证明； （2）如图2，当点E在 内部时，在射线上有一点F，连接 ，使，依据题意补全图形，并用等式表示线段 与 的数量关系，并证明． 【答案】（1），，证明见解析 （2）图见解析，，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识． （1）先根据三角形外角的性质得出，再由等角对等边可得结论； （2）①根据题意补全图形即可；②连接 ，取 中点H，连接，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论． 【小问1详解】 解： ，； 证明：由题意得，，， ， ， 是等边三角形， ， ，即， ，即； 【小问2详解】 解：依据题意补全图形如解图， ． 证明：如图，连接 ，取 中点H，连接， ，H是 的中点， ． ，， ， ， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系 中，将中心为 的正方形记作正方形 ．对于正方形 和点 （不与重合），给出如下定义：若正方形 的边上存在点 ，使得以为直径的圆与直线相交于点 ，则称点 为正方形 的关联点． （1）已知正方形 的顶点分别为，，，． ①在点，，中，正方形 的关联点是___________； ②若直线上存在正方形 的关联点，直接写出的取值范围； （2）已知点，正方形 的边长为 ．若存在正方形 的两个关联点、 ，使得为等边三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据新定义，正方形 的关联点的轨迹是在以为直径的圆上运动， 为正方形 的边上的点，根据坐标可得，进而计算 到 的距离，进行判断，即可求解． ②结合图形分别求得直线与正方形 的关联点组成的圆相切时的解析式，进而求得的取值范围； （2）根据正方形的边长为 ，则正方形 的关联点所构成的图形是以为半径的圆，当 是的角平分线时，此时存在唯一的两个关联点、 ，使得为等边三角形，进而求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①正方形 的顶点分别为点，，， ∴， 则正方形 的边长为 ，对角线长为 ∴， ∴正方形 的关联点到 点的距离小于， ∵，， ∴都在以为直径的圆上，即正方形 的关联点是． ②解：当时，如图，设与 轴分别交于点， 当时，，当 时， ∴， ∴ ， 取 的中点 ， 过点 作直线 ，使得 平行于，作 交于点 ，当与相切时，过点 ， ，过点作与点， ∵，， 为 的中点， ∴， 过点 作直线 代入 ∴， ∴直线 的解析式为 当 时，， ∴ ∴中， ∴ ∴，即 当时，当与相切时，过点， 如图，是的中点， 设，与直线相切于点，， ∵，，是的中点， ∴，， 同理可得 同上可得 ∴ ∴，则 综上所述， 【小问2详解】 解：∵是正方形 的中心，正方形 的边长为 ． ∴， 在直线上， ∴ 组成的图形是以 为圆心为半径的圆， 若存在正方形 的两个关联点、 ，使得为等边三角形，则与有交点， 如图，当 同时为切点时，则， 当 平分，， ∵直线与坐标轴的交点分别为，， ∴， ∴点到的距离为 ∴此时， ∴ 为的中点，即，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市北京师范大学附属实验中学初三数学统一练习10 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 长江干流上的葛洲坝、三峡向家坝、溪洛渡、白鹤滩、乌东德6座巨型梯级水电站，共同构成目前世界上最大的清洁能源走廊，总装机容量71695000千瓦，将71695000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中， ，，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，得到两弧的交点，过这两个交点的直线分别交，于点D，E，连接 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A，B分别在射线上，以A为圆心，长为半径画弧，以O为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点C（点C，B不重合），连接 ，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，交 于点E，连接 ；②分别以点B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线，交 于点G，若，，则 的长为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数，其中． ①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值； ②若 时， 随 的增大而减小，则必有； ③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或； ④若方程有一根为，且，则必有． 上述四个结论中：所有正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知如图，二次函数顶点为 ，最大值为，与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点 在上； ③在抛物线上存在一点E，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是______． 10. 分解因式：_________． 11. 方程的解为______． 12. 已知，是反比例函数 图象上的两个点，则___________0（用“>”“<”或“=”填空）． 13. 每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____； 14. 反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 15. 如图，在矩形中，，，点 为 延长线上一点，且．连接 交边 于点 ，过点 作于点，则线段 的长为______． 16. 某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元；加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_________； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_________． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知：，求代数式的值． 20. 如图，在中， ， 为边上的高， 为边的中点，，垂足为 ，点在线段上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求 的长． 21. 在平面直角坐标系 中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当 时，对于x的每一个值，函数的值大于 且小于函数 的值，直接写出m的取值范围． 22. 列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 23. 为了解某年级400名学生物理，数学两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息． a．物理课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．物理课程成绩在这一组的是： 85 85 83 85 84 81 80 c．物理，数学两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 物理 80 n 85 数学 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中n的值； （2）在此次测试中，学生甲的物理课程成绩为83分，数学课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是___________（填“物理”或“数学”）； （3）在此次测试中，学生乙的物理课程成绩为84分，数学课程成绩为85分，下面有两个推断： ①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数； ②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名； 其中所有正确推断的序号是___________； （4）假设该年级400名学生都参加此次测试，估计物理课程成绩不低于80分的学生有___________人． 24. 如图，为半圆O的直径，点C，D在半圆O上，直线与半圆O相切于点C，且， （1）若，求的大小（用含α的式子表示）； （2）过点O作交于点E，交 于点F，若，，求 的长． 25. 某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出7L水所用的时间t（单位：）与孔径d（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … （1）甲测试组放水时放出的水量为___________； （2）通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为___________（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为___________（结果保留小数点后一位）． 26. 在平面直角坐标系 中，二次函数的图象经过点和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b （2）在（1）的条件下，取．将该抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的图象与原抛物线在直线上方的部分共同组成图形G．若点（其中 ）和点都在图形G上，且存在点P、Q使得，求m的取值范围 （3）过点作x轴的垂线，交（1）中抛物线于点N．过点N作平行于x轴的直线，交一条过原点的直线L于点H．已知直线L与该抛物线（除原点外）的另一个交点的横坐标为4．若点M从点O运动到点的过程中，线段的长随 的长增大而增大，求a的取值范围 27. 已知，在 中， ，，D为 边上一动点（不与B，C重合），将线段 绕点D顺时针旋转，得到线段 ，连接 ． （1）如图1，当 ，且点E在边上时，连接 ，判断线段 与 之间的关系，并证明； （2）如图2，当点E在内部时，在射线 上有一点F，连接 ，使，依据题意补全图形，并用等式表示线段与 的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系 中，将中心为 的正方形记作正方形 ．对于正方形 和点 （不与 重合），给出如下定义：若正方形 的边上存在点 ，使得以 为直径的圆与直线相交于点 ，则称点 为正方形 的关联点． （1）已知正方形 的顶点分别为，，，． ①在点，，中，正方形 的关联点是___________； ②若直线上存在正方形 的关联点，直接写出的取值范围； （2）已知点，正方形 的边长为 ．若存在正方形 的两个关联点 、 ，使得为等边三角形，直接写出 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $