2.3圆与圆的位置关系（八大题型）（题型专练）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

2.3 圆与圆的位置关系 题型一：判断圆与圆的位置关系 1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 2．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 题型二：求两圆的交点坐标 5.圆与的交点坐标为 . 6.已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 7．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 题型三：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 8．（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 9.圆关于点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·上海·课后作业）求与圆内切于点，且半径为1的圆的方程． 题型四：圆的公切线条数 11．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知圆，圆，则两圆的公切线有（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 12．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）两圆与的公切线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．0 13．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆和圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的公切线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 题型五：由圆的位置关系确定参数或范围 16．（22-23高二上·江苏苏州·期中）圆与圆内切，则实数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 17．（24-25高二上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）圆与圆外切，则实数 . 19．（23-24高二上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，设命题直线与平行；命题：圆与圆相交.若命题､命题中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 20．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆：，圆：（），直线：，：． (1)若圆与圆相内切，求实数m的值； (2)若，被圆所截得的弦的长度之比为，求实数的值． 21．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知点，是圆上的一动点，点是线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知、是直线上两个动点，且．若恒为锐角，求线段中点的横坐标取值范围． 22．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知，为坐标原点，是平面内的一个动点，且. (1)求动点的轨迹方程； (2)若圆与只有一个公共点，求的值. 题型六：相交圆的公共弦方程 23.已知两圆和相交于两点，则直线的直线方程为（     ） A． B． C． D． 24．（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）设两圆与圆的公共弦所在的直线方程是 25．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ． 26．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 27．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，直线，点在直线上. (1)求的取值范围； (2)过点引圆的两条切线，切点为. （i）求四边形面积的最小值： （ii）设中点为，是否存在定点使得为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 28．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆，点M是直线上的动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A、B. (1)求四边形ACBM面积的最小值； (2)若PQ是圆C的一条直径，求的最小值； (3)证明：直线AB恒过定点. 29．（23-24高二上·江苏常州·期中）如图，已知圆：，点为直线上一点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N.    (1)已知，求切线的方程； (2)直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由. 题型七：两圆的公共弦长 30．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（    ） A． B． C．2 D．1 31．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）圆：与圆：相交于、两点，则 ． 32．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 33．（23-24高二上·江苏·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知四点，，，. (1)求过，，三点的圆方程，并判断点与圆的位置关系； (2)求圆与圆的公共弦长. 34．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，圆的方程为． (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程． 35．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知圆，圆，，分别为两圆的圆心. (1)求圆和圆的公共弦长； (2)过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程. 题型八：圆的公切线方程 36．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是 ． 37.圆与圆，则圆A与圆B的公切线方程为 . 38．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 39．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若点为原点，且圆与圆没有公共点，则圆的半径可以是（   ） A．1 B．3 C．8 D．9 3．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）圆与圆的公切线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知圆，圆，（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 三、填空题 5．（22-23高二上·江苏南京·开学考试）已知圆C1：与圆C2：，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a的值为 . 四、解答题 6．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. (1)若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； (2)若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围. 7．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为． (1)求实数a的取值范围以及直线l的方程； (2)已知，若圆C上存在两个不同的点P，使，求实数a的取值范围． 8．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆，直线. (1)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为，求证：过点的圆过定点，并求出所有定点的坐标； (2)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为,求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标. 9．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知点的坐标为，且以点为圆心的圆与y轴相切． (1)过点作圆的切线l，求l的方程； (2)圆上是否存在点P，使得点P到距离之比为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（24-25高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，已知圆及点，． (1)若直线过点，与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (2)圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． 11．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆，点. (1)过的直线截所得的弦长为，求的方程； (2)经过点和的圆与外切，过作的两条切线，切点分别为，，求直线的方程. 12．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知圆，点． (1)过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆相切于点，求圆的方程． 13．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，，为坐标原点. (1)若为圆上的动点，当最大时，求直线的斜率； (2)若圆过点及点，且与圆外切，求圆的方程. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 圆与圆的位置关系 题型一：判断圆与圆的位置关系 1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2， 两圆的圆心距为， 即两圆的圆心距等于半径和，所以两圆外切. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】D 【详解】由题意知，， 所以，则， 所以两圆内切. 故选：D 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 【答案】A 【详解】圆：的圆心，半径，圆：圆心，半径， 而，所以两圆相交. 故选：A 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 【答案】相交 【详解】由题意圆的标准方程为， 所以圆的圆心、半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 题型二：求两圆的交点坐标 5.圆与的交点坐标为 . 【答案】和 【详解】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或， 所以交点坐标为 故答案为：和 6.已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 7．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆与圆的交点为A，B 联立两圆方程，得，解得，或． 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得的垂直平分线方程为 ，即， 联立与，得解得， 即圆心坐标为． 故选：D． 题型三：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 8．（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A 9.圆关于点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于点的对称点为， 所以对称圆的方程为. 故选：A 10．（23-24高二上·上海·课后作业）求与圆内切于点，且半径为1的圆的方程． 【答案】 【详解】设所求圆的圆心为， 圆的的半径为，圆心为坐标原点， 因为圆和圆相内切， 所以， 又因为两圆内切于点， 所以三点共线，因此有， 由可解或， 因为点在第四象限，    所以点也在第四象限，所以， 因此所求圆的方程为. 题型四：圆的公切线条数 11．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知圆，圆，则两圆的公切线有（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【详解】由，圆心，半径， ，圆心，半径， 则， 所以两圆外切，有条公切线， 故选：C. 12．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）两圆与的公切线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【详解】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 则圆心距，故两圆外切， 故公切线有3条. 故选：C 13．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以，， 所以，两圆相交，故两圆的公切线条数为. 故选：B. 14．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆和圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】已知圆，圆心，半径. 圆，即， 圆心，半径. 所以圆心距，， 所以, 所以两圆相交，故公切线的条数为. 故选：B.    15．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的公切线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】A 【详解】圆的圆心坐标为半径为1，圆的圆心坐标为半径为7， 两圆圆心距离为，小于两圆半径之差， 圆与圆的位置关系为内含，没有公切线. 故选：A. 题型五：由圆的位置关系确定参数或范围 16．（22-23高二上·江苏苏州·期中）圆与圆内切，则实数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由题知， 所以， 因为圆与圆内切， 所以，即， 因为， 所以， 故选：C. 17．（24-25高二上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，如需圆上的点关于轴的对称点在圆上， 只需圆关于轴的对称圆与圆有交点即可. 圆和圆的圆心分别为，半径分别为和2， 所以圆心距为，因为两圆有交点， 所以有， 即：，又因为，所以. 故选：A. 18．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）圆与圆外切，则实数 . 【答案】±4 【详解】两圆的圆心为，，半径为1和4， 因为两圆外切，则，解得. 故答案为：±4 19．（23-24高二上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，设命题直线与平行；命题：圆与圆相交.若命题､命题中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】解：命题为真：由题意得，或，检验符合， 命题为真：，圆相交， 所以或， 因为命题、命题中有且只有一个为真命题， 若真假，则：，解得， 若假真，则：， 解得：， 综上：实数的取值范围是. 20．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆：，圆：（），直线：，：． (1)若圆与圆相内切，求实数m的值； (2)若，被圆所截得的弦的长度之比为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题设可得，， 因为圆与圆相内切，故，其中， 解得. （2）到的距离为，到的距离为， 故，解得. 21．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知点，是圆上的一动点，点是线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知、是直线上两个动点，且．若恒为锐角，求线段中点的横坐标取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——圆 【详解】（1）解：设，因为点是线段的中点，则，可得， 因为点在圆上，则，即， 整理可得， 所以点的轨迹方程为. （2）解：设，则， 当在圆上运动时，恒为锐角， 等价于以中点为圆心，为半径的圆与圆外离． 且圆的圆心坐标为，半径为， 所以，解得或， 所以线段中点的横坐标取值范围为． 22．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知，为坐标原点，是平面内的一个动点，且. (1)求动点的轨迹方程； (2)若圆与只有一个公共点，求的值. 【答案】(1) (2)或3 【详解】（1）设，则，， 则， 整理得动点的轨迹方程为； （2）圆与只有一个公共点 则圆与圆内切或外切， 又圆的圆心在圆内， 所以圆与圆内切， 所以， 解得或3. 题型六：相交圆的公共弦方程 23.已知两圆和相交于两点，则直线的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】把两圆与的方程相减，可得， 此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程. 故选：D. 24．（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）设两圆与圆的公共弦所在的直线方程是 【答案】 【详解】由题意， 因为圆，圆， 由得，， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为. 故答案为：. 25．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、相交圆的公共弦方程 【分析】两圆方程相减可得公共弦的方程，再利用直线的倾斜角求出斜率即可求解. 【详解】因为圆，即与圆相交于两点， 所以两圆方程相减可得公共弦的方程，即， 因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率，解得， 故答案为： 26．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【详解】（1）设，， 当直线的斜率不存在时，：， 联立，解得，，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设：， 由，得，则， 联立，可得， 则，解得， 所以，解得， 故直线的方程为或． （2）设，圆为，圆心为， 则以线段为直径的圆的方程为， 化简可得， 上述方程与圆的方程相减得， 因为直线过点，则，所以， 所以点在直线上． 27．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，直线，点在直线上. (1)求的取值范围； (2)过点引圆的两条切线，切点为. （i）求四边形面积的最小值： （ii）设中点为，是否存在定点使得为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【详解】（1）因为点在直线上，直线的方程为， 故可设点的坐标为， 圆的圆心的坐标为，半径为， 所以 所以的取值范围为 （2）（i）因为为圆的两条切线，所以， 又， 所以 圆心到直线的距离为 所以当时，四边形的面积取最小值，最小值为，    （ii）由（i）得四点共圆，且以为直径， 因为，， 所以该圆方程为， 在圆上 又在圆上 两式作差可得直线为， 即， 所以直线过定点， 因为，所以点在以为直径的圆上， 取的中点为， 恒有为定值.    28．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆，点M是直线上的动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A、B. (1)求四边形ACBM面积的最小值； (2)若PQ是圆C的一条直径，求的最小值； (3)证明：直线AB恒过定点. 【答案】(1) (2)6 (3)证明见解析 【详解】（1）如图， 由圆可知，圆心为，半径为， 由圆的几何性质可知，，， 所以， 四边形面积， 当时，取最小值，且， 则四边形面积的最小值为. （2）因为PQ是圆C的一条直径，所以C为的中点，， 由，得的最小值为6. （3）设点，则， 线段的中点为， 所以，以为直径的圆E的方程为， 即圆E的方程为， 将圆E的方程与圆C的方程作差可得， 即， 故直线的方程为， 变形可得， 由，可得，所以直线恒过定点. 29．（23-24高二上·江苏常州·期中）如图，已知圆：，点为直线上一点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N.    (1)已知，求切线的方程； (2)直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由. 【答案】(1)或 (2)直线MN恒过定点，定点坐标为 【详解】（1）由题意知，当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为， 即，由圆心到切线的距离等于半径， 得，解得，则切线方程为. 综上，切线方程为或. （2）连接，则，连接，    则四点共圆，为圆的直径，设为圆， 连接，则为两圆的公共弦. 又，半径为， 所以，又， 两圆的方程相减，得， 即直线MN的方程为，即， 所以直线MN恒过定点. 题型七：两圆的公共弦长 30．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】由圆，圆， 两式相减得相交弦所在直线方程：. 由圆可得圆， 所以圆心、半径. 所以圆心到直线的距离， 所以相交弦长为. 故选：C 31．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）圆：与圆：相交于、两点，则 ． 【答案】4 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 32．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，两圆的公共弦所在直线方程为 整理得， 圆心到直线的距离， 所以所求弦长为； （2）由题设可知直线l的方程为， 设，， 将代入方程， 整理得， 所以，， ， 因为， 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线l的方程为， 故圆心C在直线l上，所以 33．（23-24高二上·江苏·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知四点，，，. (1)求过，，三点的圆方程，并判断点与圆的位置关系； (2)求圆与圆的公共弦长. 【答案】(1)，在圆上 (2). 【详解】（1）设圆方程为， 把，，三点坐标代入可得：， 解得，，，所以圆方程是； 把点坐标代入可得：，故在圆上. （2）两圆方程相减得两圆公共弦所在的直线方程为：， 又圆的圆心，半径为2，则圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 34．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，圆的方程为． (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程． 【答案】(1)1或 (2) 【详解】（1）由题知两圆相交， 将圆与圆相减可得， 即两圆公共弦所在直线方程， 圆心到直线的距离为， 所以，解得或， 所以实数的值为或. （2）将点代入圆，可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆的圆心为，半径为， 设圆的标准方程为， 因为圆与圆相切于点，所以、、三点共线， 所以直线的方程为，即， 将点代入得①，又点在圆上， 则，即②， 由①②两式解得，，， 所以圆的标准方程为. 35．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知圆，圆，，分别为两圆的圆心. (1)求圆和圆的公共弦长； (2)过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1） 如图所示， 联立圆与， 即，得， 即直线的方程为， 由，可化为， 则， 圆心到直线的距离， 弦长； （2） 如图所示， 将化为， 可得，半径， 设为中点，易知， 则， 解得， 即，得， 过作直线，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到直线距离为不成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 此时点到直线的距离， 解得或， 即直线方程为或. 题型八：圆的公切线方程 36．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是 ． 【答案】 【详解】圆，即，圆心为，半径. 圆，即，圆心为，半径. 圆心角，所以两圆相内切. 由解得， 所以两圆切点的坐标为， ，所以公切线的斜率为， 所以公切线的方程为. 故答案为： 37.圆与圆，则圆A与圆B的公切线方程为 . 【答案】，，或 【详解】，圆心，半径； ，圆心，半径， 因为两圆的圆心距， 所以两圆相离，即圆A与圆B的公切线有条， 当直线的斜率不存在时，与两圆均相切； 当直线的斜率存在时，设，即， 所以，解得 ，或， 所以圆A与圆B的公切线方程有， 或 ， 故答案为：，，或 38．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 39．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)； (3)，，. 【详解】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为4， 由圆与圆有两个不同的交点，得，而， 因此，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，圆，此时圆与圆相交，两圆方程相减得直线方程， 点到直线的距离， 所以. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：或， 所以实数的取值范围是． 故选：A． 二、多选题 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若点为原点，且圆与圆没有公共点，则圆的半径可以是（   ） A．1 B．3 C．8 D．9 【答案】AD 【详解】由得的圆心，半径， 又，显然点O在圆C外， 由于圆O与圆C无公共点，则圆O与圆C可以外离，也可以内含，且圆C在圆O内， 设圆O的半径为R，于是或，即或， 解得或，所以圆O的半径可以是1或9，即AD满足，BC不满足. 故选：AD 3．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）圆与圆的公切线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径， 由题意得，圆与圆的半径之和为，半径之差为0， 因为，所以圆与圆的位置关系为相交． 由题意得，因为圆与圆的半径相等，所以公切线的斜率为2． 设公切线的方程为，即，由，得， 所以公切线的方程为或． 故选：CD 4．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知圆，圆，（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】圆和圆交于不同的两点，， ∴两圆方程相减可得直线的方程为：， 即，分别把点，两点坐标代入 得：，， 上面两式相减得：， 即，所以选项A正确； 由上得：，所以选项B正确； ∵两圆的半径相等，∴由圆的性质可知，线段与线段互相平分， 则有，， 变形可得，，故C正确，D错误. 故选：ABC 三、填空题 5．（22-23高二上·江苏南京·开学考试）已知圆C1：与圆C2：，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a的值为 . 【答案】6或 【详解】C1：的圆心为，半径为，圆C2：的圆心为，半径为，由于两圆只有一个公共点，则两圆外切或者内切，因此或，解得或， 故答案为：6或 四、解答题 6．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. (1)若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； (2)若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）联立可得圆心， 所以，圆的方程为. 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到的距离，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为， 切线方程为，即. 因为与圆相切， 所以有到的距离， 即，整理可得，解得， 所以，切线方程为，整理可得. 综上所述，切线方程为或. （2）设圆心，， 则，. 由可得，， 整理可得，，即， 所以，点在以为圆心，为半径的圆上. 由已知可得，圆与圆有公共点， 所以，，即， 平方整理可得，，解得或. 7．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为． (1)求实数a的取值范围以及直线l的方程； (2)已知，若圆C上存在两个不同的点P，使，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由圆可得，则圆心，半径. 因为直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为． 所以点在圆内，则，即，解得 故实数a的取值范围为. 因为弦AB的中点为，所以 由圆的性质可得，则，所以直线l的方程为：，即. （2）设点P坐标为 由，，可得，即. 所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆 因为圆C上存在两个不同的点P 所以两圆相交，则，解得 故实数a的取值范围为：. 8．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆，直线. (1)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为，求证：过点的圆过定点，并求出所有定点的坐标； (2)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为,求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)证明见解析；和 (2)证明见解析； 【详解】（1）是圆O的切线切点为 所以. 所以点在以为直径的圆上， 点P在直线l上运动，所以设点， 则以为直径的圆方程为：， 即：， 令，解得或 所以圆过定点和 （2）由（1）知，过的圆方程为：， 同时点在圆上， 所以直线AB即两个圆的公共弦方程所在的直线方程， 两个圆的方程相减得：，即两个圆的公共弦方程所在的直线方程； 令，解得. 故直线过定点      9．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知点的坐标为，且以点为圆心的圆与y轴相切． (1)过点作圆的切线l，求l的方程； (2)圆上是否存在点P，使得点P到距离之比为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)不存在点P，理由见解析. 【详解】（1）因为，且以点为圆心的圆与y轴相切， 所以圆的方程为． 因为， 当直线l的斜率不存在时，l的方程为， 设l的方程为，则到l的距离为， 所以，故，所以l的方程为， 综上，l的方程为或． （2）设，由点P到距离之比为， 得，即， 所以点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆N， 由，则圆内含于圆N， 所以不存在点P，使得点P到距离之比为. 10．（24-25高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，已知圆及点，． (1)若直线过点，与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (2)圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，点有2个，理由见解析 【详解】（1）圆可化为，圆心为，， 若的斜率不存在时，，此时符合要求． 当的斜率存在时，设的斜率为，则令， 因为，由垂径定理可得，圆心到直线的距离， ， 直线的方程为， 所以直线的方程为或． （2）假设圆上存在点，设， 则，， 即，即，其圆心坐标为，半径为， 因为圆圆心为，，则圆心距为， 则， 与相交，则点有两个． 11．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆，点. (1)过的直线截所得的弦长为，求的方程； (2)经过点和的圆与外切，过作的两条切线，切点分别为，，求直线的方程. 【答案】(1)或者. (2) 【详解】（1） 易知知直线斜率存在，设的方程为：， 因为截圆所得的弦长为，所以到的距离为， 所以，解得或者， 所以的方程为或者. （2）因为圆经过点和，所以设，又圆与圆外切于点， 所以，，与点共线，则，得， 则圆半径为，圆方程为，           又，与圆相切，所以四点在以为直径的圆上， 圆的方程为，即，   直线为圆与圆的公共点所在的直线，则由， 两式相减得直线的方程为. 12．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知圆，点． (1)过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆相切于点，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）圆即， 圆心为，半径， 若直线的斜率不存在，则的方程为， 将代入圆的方程，解得或， 所以，符合条件； 若直线的斜率存在，设的方程为， 即． 因为，所以圆心到直线的距离为， 所以， 解得，所以直线的方程为， 综上，直线的方程为或. （2）设圆的方程为． 因为圆经过点，且与圆相切于点， 所以圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆的方程为． 13．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，，为坐标原点. (1)若为圆上的动点，当最大时，求直线的斜率； (2)若圆过点及点，且与圆外切，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在圆中， ，圆心，半径， 当最大时，与圆相切，, 此时点为的中点， 点恰好是以为圆心，为直径的圆与的交点， 此时, ∴, （2）由题意及（1）得， 在圆中， 圆心，半径， 圆过点及点， ∴圆的圆心在直线上， 设，半径为， 因为圆与圆外切， 所以，即， 又，即， ∴联立解得：或(舍)， 所以， 故所求圆的标准方程为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$