5.1 平面向量-【高考密码】备战2026年高考数学十年高考真题分类汇编

专题五 平面向量与复数 5.1　平面向量 考点1 平面向量的概念及运算 1.(2023北京,3,4分,易)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2= (　　) A.-2　　B.-1　　C.0　　D.1 【答案】　B 【解析】　由题知则 所以|a|2-|b|2=4-5=-1. 2.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= (　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 【答案】　D　 【解析】由题意知a-b=(4,-3), 所以|a-b|==5,故选D. 3.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　　) A.3m-2n　　　　B.-2m+3n C.3m+2n　　　　D.2m+3n 【答案】　B　 【解析】由题意可知,=m-n,又BD=2DA,所以=2(m-n),所以=n-2(m-n)=3n-2m,故选B. 4.（2025全国一卷，6,5分）帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为(　　) 级数 名称 风速大小(单位:m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 图1 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 【答案】A 【解析】设真风风速为v1,船行风风速为v2,视风风速为v, 依题意得v=(-3,-1),v2=(-1,-3)(注:船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反),且v=v1+v2,∴v1=v-v2=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2). 因此|v1|==2<3.3, ∴该时刻的真风为轻风,故选A. 5.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则(　　) A.=-+　　　　　B.=- C.=+　　　　　D.=- 【答案】　A 【解析】　=+=++=+=+(-)=-+.故选A. 6.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【答案】　A　 【解析】设=a,=b,则=-b+a,=-a+b,从而+=+=(a+b)=,故选A. 7.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=(　　) A.(-7,-4)　　　B.(7,4)　　　C.(-1,4)　　　D.(1,4) 【答案】　A　 【解析】根据题意得=(3,1),∴=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 8.(2014北京文,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=(　　) A.(5,7)　　　　　B.(5,9) C.(3,7)　　　　　D.(3,9) 【答案】　A　 【解析】由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 9.(2014广东文,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=(　　) A.(-2,1)　　　B.(2,-1)　　　C.(2,0)　　　D.(4,3) 【答案】　B　 【解析】b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B. 10.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(　　) A.e1=(0,0),e2=(1,2)　　　　　B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10)　　　　　D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 【答案】　B　 【解析】设a=k1e1+k2e2, A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴无解. B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2), ∴解之得 故B中的e1,e2可把a表示出来. 同理,C、D选项同A选项,无解. 11.(2024天津,14,5分,难)在正方形ABCD中,AB=1,点E为线段CD的三等分点,CE=DE,设=λ+μ,则λ+μ=　　　　;若F为线段BE上的动点,G为AF的中点,则·的最小值为　　　　.  【答案】 ;- 【解析】 解法一:因为CE=DE,即==, 所以=+=+, 可得λ=,μ=1,所以λ+μ=. 由题意可知||=||=1,·=0, 因为F为线段BE上的动点,所以设=k=k+k,k∈[0,1], 则=+=+k=+k, 又因为G为AF的中点,所以=+=-+=+, 所以·=+k·+ =+k=k2-k+=-, 又k∈[0,1],所以当k=1时,·取到最小值-. 解法二:如图所示,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E,则=λ+μ可表示为=λ(-1,0)+μ(0,1), ∴∴λ=,μ=1,∴λ+μ=. 设=k=k=,k∈[0,1],则F,∴=,由G为AF的中点,得G,则=, ∴·=·+k·=[k2-6k+9+9k(k-2)]=k2-k+=-, ∵k∈[0,1],∴·的最小值在k=1时取到,为-. 12.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　.  【答案】　 【解析】　由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是λa+b与a+2b平行等价于=,即λ=. 13.(2015北京理,13,5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　　,y=　　　　.  【答案】　;- 【解析】　由=2知M为AC上靠近C的三等分点,由=知N为BC的中点,作出草图如下: 则有=(+),所以=-=(+)-·=-, 又因为=x+y,所以x=,y=-. 14.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　.  【答案】　 【解析】　=+=+=+(-)=-+, ∵=λ1+λ2,∴λ1=-,λ2=,故λ1+λ2=. 15.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　.  【答案】　 解题指导:利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2=x2y1”解题. 【解析】　由已知a∥b得2×4=5λ,∴λ=. 解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键. 16.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=　　　　.  【答案】　-3 【解析】　本题考查向量平行的条件. ∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b, ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3. 17.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=　　　　.  【答案】　-6 【解析】　因为a∥b,所以=,解得m=-6. 易错警示　容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 评析　本题考查了两个向量平行的充要条件. 18.(2014陕西,13,5分)设0<θ<,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则tan θ=　　　　.  【答案】　 【解析】　∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ<,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ=. 考点2 平面向量的夹角与模 1.(2024新课标Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=(　　) A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】∵(b-2a)⊥b,∴b2-2a·b=0,即b2=2a·b. 又∵|a+2b|=,∴a2+4a·b+4b2=4, ∴a2+6b2=4.又∵|a|=1,∴b2=,∴|b|=,故选B. 2.（2023全国甲文，3）已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以， 则，， 所以，故选：B. 3.（2025北京，10,4分）在平面直角坐标系xOy中,||=||=,||=2.设C(3,4),则|2+|的取值范围是(　　) A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 【答案】D 【解析】如图,由||=||=,||=2,可得OA2+OB2=AB2, 所以△OAB为直角三角形,取AB的中点D,连接OD,CD, 则OD=1,故点D的轨迹是以O为圆心,1为半径的圆. |2+|=|++-|=|+|=2||, 因为CO==5,所以CD∈[4,6], 故|2+|=2||∈[8,12],故选D. 4.（2023全国乙文，6）正方形的边长是2，是的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 5.(2022全国乙理,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2 【答案】　C　 【解析】由|a-2b|=3,可得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|=,所以a·b=1,故选C. 6.(2015山东理,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=(　　) A.-a2　　　B.-a2　　　C.a2　　　D.a2 【答案】　D 【解析】　·=(+)·=·+=a2+a2=a2. 7.(2015重庆理,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D.π 【答案】　A　 【解析】∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a|2-a·b-2|b|2=0⇒3|a|2-|a|·|b|· cos <a,b>-2|b|2=0. 又∵|a|=|b|,∴|b|2-|b|2·cos <a,b>-2|b|2=0.∴cos <a,b>=.∵<a,b>∈[0,π], ∴<a,b>=.选A. 8.(2015重庆文,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【答案】　C　 【解析】因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0, 得到a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cos θ===-,又0≤θ≤π,所以θ=,故选C. 9.(2015课标Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　) A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2 【答案】　C 【解析】　因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)· a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C. 10.(2015四川理,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=(　　) A.20　　　B.15　　　C.9　　　D.6 【答案】　C　 【解析】依题意有=+=+,=+=-=-,所以·=·=-=9.故选C. 11.(2015广东文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=(　　) A.5　　　B.4　　　C.3　　　D.2 【答案】　A 【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形,∴=+=(3,-1),∴·=2×3+1×(-1)=5.选A. 12.(2014课标Ⅱ,理3,文4,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.5 【答案】　A 【解析】　∵|a+b|=,∴a2+2a·b+b2=10.① 又|a-b|=,∴a2-2a·b+b2=6.② ①-②,得4a·b=4,即a·b=1,故选A. 13.(2014大纲全国文,6,5分)已知a、b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=(　　) A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2 【答案】　B 【解析】　(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0,故选B. 14.(2014大纲全国理,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=(　　) A.2　　　B.　　　C.1　　　D. 【答案】　B　 【解析】由题意得⇒-2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,∴|b|=.故选B. 15.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量=,=,则∠ABC=(　　) A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.120° 【答案】　A　 【解析】cos∠ABC==,所以∠ABC=30°,故选A. 思路分析　由向量的夹角公式可求得cos∠ABC的值,进而得∠ABC的大小. 16.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t= (　　) A.-6　　　　B.-5　　　　C.5　　　　D.6 【答案】　C 【解析】　由题意可得c=(3+t,4), 由<a,c>=<b,c>得cos<a,c>=cos<b,c>, 即,解得t=5,故选C. 17.(2022北京,10,4分)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是 (　　) A.[-5,3]　　　　B.[-3,5] C.[-6,4]　　　　D.[-4,6] 【答案】　D　 【解析】解法一:取AB的中点D,=()·()=+()·=1+5×1×cos θ=1+5cos θ(θ为的夹角),因为θ∈[0,π],所以∈[-4,6]. 解法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,3),B(-4,0),设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π), 则=(-cos θ,3-sin θ)·(-4-cos θ,-sin θ) =cos2θ+4cos θ+sin2θ-3sin θ=1+4cos θ-3sin θ=1+5cos(θ+φ),其中tan φ=, 因为θ∈[0,2π),所以∈[-4,6].故选D. 18.(2019课标Ⅱ文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=(　　) A.　　　B.2　　　C.5　　　D.50 【答案】　A　 【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养. ∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|==,故选A. 一题多解　∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a·b=12,则|a-b|===.故选A. 19.（2025全国二卷，12,5分）已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.  【答案】 【解析】解法一由a⊥(a-b),得a·(a-b)=0,即a2-a·b=0, 所以x2+1-[x(x-1)+1·2x]=0,解得x=1,则a=(1,1), 所以|a|==. 解法二由a=(x,1),b=(x-1,2x),得a-b=(1,1-2x).因为a⊥(a-b), 所以x+1-2x=0,解得x=1,则a=(1,1), 所以|a|==. 20.（2025上海，12,5分）已知函数f(x)=a,b,c是平面内三个不同的单位向量.若f(a·b)+f(b·c)+f(c·a)=0,则|a+b+c|的取值范围是　　　　　　.  【答案】(1,) 【解析】若f(a·b)=f(b·c)=f(c·a)=0,则a·b=b·c=c·a=0, 又三个向量均为平面内的单位向量,故向量a,b,c两两垂直显然不成立. 故{f(a·b), f(b·c), f(c·a)}={-1,0,1}. 不妨设则a·b>0,b·c=0,c·a<0, 令b=(1,0),c=(0,1),a=(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π), 则则θ∈, 则|a+b+c|=|(1+cos θ,1+sin θ)|== =, 由θ∈,得θ+∈, 则sin∈,2sin∈(-2,2), 故|a+b+c|∈(1,). 21.（2025天津，14,5分）在△ABC中,D为AB中点,=.记=a,=b,则用a,b表示=　　　　　　;若||=5,且AE⊥CB,则·=　　　　.  【答案】a+b;-15 【解析】第一空:=+ =b+=b+(-) =b+=a+b. 第二空:解法一因为||=5,AE⊥CB, ∴==a2+a·b+b2=25, ·=·(a-b)=a2+a·b-b2=0, ∴a2+3a·b=4b2,∴a2+4a·b=180, ∴·=·=a2+a·b-b2 =(a2+2a·b-8b2)=(a2+2a·b-2a2-6a·b)=(-a2-4a·b)=-15. 解法二 延长AE交BC于点F,则 ·=·(+) =·+·=0+· =-·=-×5×||, 设=λ=λ=λ+, 由于B,F,C三点共线,∴λ+=1, ∴λ=,∴=,∴||=6, ∴·=-×5×6=-15. 22.（2023课标II，13）已知向量，满足，，则______． 【答案】 【解析】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即，则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 23.(2021全国甲文,13,5分)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|=　　　　.  【答案】　3 【解析】　依题意可得|a-b|==5,解得|b|=3. 20.(2017课标Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　　　　.  【答案】　2 【解析】　本题考查向量数量积的计算. 由题意知a·b=|a|·|b|cos 60°=2×1×=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12. 所以|a+2b|=2. 24.(2014重庆文,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=,则a·b=　　　　.  【答案】　10 【解析】　由a=(-2,-6),得|a|==2, ∴a·b=|a||b|cos<a,b>=2××cos 60°=10. 25.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为　　　　.  【答案】　 【解析】　∵cos<a,b>===, ∴a与b夹角的大小为. 26.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=　　　　.  【答案】　 【解析】　令e1与e2的夹角为θ,∴e1·e2=|e1|·|e2|cos θ=cos θ=,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.因为b·(e1-e2)=0,所以b与e1、e2的夹角均为30°,从而|b|==. 27.(2014课标Ⅰ理,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为　　　　.  【答案】　90° 【解析】　由=(+)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC=90°,所以与的夹角为90°. 28.(2014湖北文,12,5分)若向量=(1,-3),||=||,·=0,则||=　　　　.  【答案】　2 【解析】　||=|-|=, ∵||=||==,·=0, ∴||==2,故【答案】为2. 29.(2019课标Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>=　　　　.  【答案】　- 【解析】　本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运算法则与运算方法的素养要素. 由题意知cos<a,b>===-. 考点3 平面向量数量积及其应用 1.(2024全国甲理,9,5分,中)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则(　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=1+是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 【答案】C 【解析】由a⊥b得a·b=x2+3x=0,解得x=0或x=-3, 因此,选项A错误,选项C正确; 由a∥b得x2-2(x+1)=0,即x2-2x-2=0, 解得x=1±,因此,选项B、D错误,故选C. 2.(2024新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 【解析】因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则b2-4a·b=22+x2-4(0×2+1×x)=0,即x2-4x+4=(x-2)2=0,解得x=2,故选D. 一题多解 　因为b-4a=(2,x-4),又b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x(x-4)=0,解得x=2,故选D. 3.（2023课标I，3）已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 4.（2023全国甲理，4） 向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为,所以,即,即, 所以.如图,设, 由题知,是等腰直角三角形，AB边上的高, 所以，, . 故选:D. 5.(2015福建文,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于(　　) A.-　　　B.-　　　C.　　　D. 【答案】　A 【解析】　c=a+kb=(1+k,2+k).由b⊥c,得b·c=0,即1+k+2+k=0,解得k=-.故选A. 6.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　) A.4　　　B.-4　　　C.　　　D.- 【答案】　B　 【解析】因为n⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=-,又4|m|=3|n|, 所以cos<m,n>===-=,所以t=-4.故选B. 7.(2017课标Ⅱ理,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(　　) A.-2　　　B.-　　　C.-　　　D.-1 【答案】　B 【解析】　设BC的中点为D,AD的中点为E,则有+=2, 则·(+)=2·=2(+)·(-)=2(-). 而==, 当P与E重合时,有最小值0,故此时·(+)取最小值, 最小值为-2=-2×=-. 方法总结　在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用·=-可快速求出最值. 一题多解　以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图, 则A(-1,0),B(1,0),C(0,),设P(x,y),取BC的中点D,则D.·(+)=2·=2(-1-x,-y)·=2=2. 因此,当x=-,y=时,·(+)取得最小值,为2×=-,故选B. 8.(2016四川文,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是(　　) A.　　　　 　B. C.　　　　　D. 【答案】　B 【解析】　以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),C(2,0),B(,3). 设P(x,y),∵||=1,∴x2+y2=1, ∵=,∴M为PC的中点, ∴M, ∴||2=+=+-3y+9=-3y+9=-3y, 又∵-1≤y≤1,∴当y=-1时,||2取得最大值,且最大值为. 思路分析　由△ABC为正三角形,||=1,考虑到用建立平面直角坐标系的方法来解决向量问题. 评析　本题考查了向量的坐标运算,运用了转化与化归思想. 9(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是 (　　) A.(-2,6)　　　　B.(-6,2)　　　　 C.(-2,4)　　　　D.(-4,6) 【答案】　A　 【解析】解法一:如图,过点P作PP1⊥直线AB于P1,过点C作CC1⊥直线AB于C1,过点F作FF1⊥直线AB于F1,|·cos∠PAB,当∠PAB为锐角时,||,当∠PAB为钝角时,||,所以当点P与C重合时,最大,此时|=6,当点P与F重合时,最小,此时|=-2,又因为点P是正六边形ABCDEF内的一点,所以-2<<6.故选A. 解法二:连接AE,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(2,0),设P(x0,y0),则-1<x0<3.=(2,0),=(x0,y0),则=2x0∈(-2,6),故选A. 解后反思　解决以平面多边形为载体,有关平面向量数量积的复杂计算问题时,可以建立恰当的坐标系,将复杂的运算转化为简单的坐标运算,会大大降低难度. 10.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 (　　) A.|| C. 【答案】　AC　 【解析】A项,∵|=1,|=1,∴||,A选项正确.；B项,易知|, |,由于α,β的大小关系不确定,从而不能确定||是否成立,B选项不正确. C选项,∵=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(α+β), =(cos α,sin α)·(cos β,-sin β)=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β), ∴,C选项正确. D选项,∵=(1,0)·(cos α,sin α)=cos α, =(cos β,-sin β)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos β·cos(α+β)-sin β·sin(α+β)=cos(β+α+β)=cos(α+2β), ∴不一定成立. D选项不正确.故选AC. 11.(2022全国甲文,13,5分)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=　　　　.  【答案】　 - 【解析】　因为a⊥b,所以a·b=0,即m×1+3(m+1)=0,解得m=-. 12.(2021全国乙理,14,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=　　　　.  【答案】　 解题指导:根据(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0,再转化为坐标运算,得到关于λ的方程求解即可. 【解析】　解法一:由a=(1,3),b=(3,4), 得a-λb=(1-3λ,3-4λ), 由(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0, 故3(1-3λ)+4(3-4λ)=0⇒15-25λ=0⇒λ=. 解法二:由(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0, 即a·b-λb2=0, a·b=1×3+3×4=15,b2=3×3+4×4=25, 则15-25λ=0,∴λ=. 13.(2021全国甲理,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=　　　　.  【答案】　- 解题指导:首先确定c的坐标表示,然后依据向量垂直的条件建立等式,进而确定k的值. 【解析】　由题意知c=a+kb=(3,1)+k(1,0)=(3+k,1), 结合a⊥c得3(3+k)+1×1=0,解得k=-. 易错警示　在利用a,b的坐标表示c时,易出现运算错误. 14.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则·的最小值为　　　　.  【答案】　-3 【解析】　本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题.设E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B(2,0), ∴=(1,m),=(-2,n). ∴·=-2+mn,又知||=2,∴|m-n|=2. ①当m=n+2时,·=mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3. ∴当n=-1,即E(0,1),F(0,-1)时,·取得最小值-3. ②当m=n-2时,·=mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3. ∴当n=1,即E(0,-1),F(0,1)时,·取得最小值-3. 综上可知,·的最小值为-3. 15.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　.  【答案】　-2 【解析】　由|a+b|2=|a|2+|b|2可得a·b=0,∴a·b=m+2=0,∴m=-2. 思路分析　由|a+b|2=|a|2+|b|2得a·b=0,然后利用数量积的坐标表示得到关于m的方程,解方程求得m. 16.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=　　　　.  【答案】　-1 【解析】　本题主要考查平面向量数量积的坐标运算. ∵a=(1,0),b=(-1,m),∴a2=1,a·b=-1, 由a⊥(ma-b)得a·(ma-b)=0, 即ma2-a·b=0, 即m-(-1)=0,∴m=-1. 17.(2017课标Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=　　　　.  【答案】　7 【解析】　本题考查向量数量积的坐标运算. ∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m-1,3),又(a+b)⊥a, ∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 18.(2016课标Ⅰ文,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=　　　　.  【答案】　- 【解析】　因为a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-. 易错警示　混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因. 19.(2016山东文,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为　　　　.  【答案】　-5 【解析】　因为a⊥(ta+b),所以a·(ta+b)=0,即ta2+a·b=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5. 评析　本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的运算求解能力以及方程思想的应用. 20.(2014湖北理,11,5分)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=　　　　.  【答案】　±3 【解析】　|a|=3,|b|=,a·b=3×1+3×(-1)=0.因为(a+λb)⊥(a-λb),所以(a+λb)·(a-λb)=|a|2- λ2|b|2=18-2λ2=0.故λ=±3. 21.(2013课标Ⅰ,理13,文13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=　　　　.  【答案】　2 【解析】　解法一:∵b·c=0, ∴b·[ta+(1-t)b]=0,ta·b+(1-t)·b2=0, 又∵|a|=|b|=1,<a,b>=60°, ∴t+1-t=0,t=2. 解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=, 则c=. 把a、b、c的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2. 评析　本题考查了向量的运算,利用三点共线的条件得到c的坐标是解题关键. 22.(2012课标,理13,文13,5分)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=　　　　.  【答案】　3 【解析】　|2a-b|=两边平方得 4|a|2-4|a|·|b|cos 45°+|b|2=10. ∵|a|=1,∴|b|2-2|b|-6=0. ∴|b|=3或|b|=-(舍去). 评析　本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量转化为向量的数量积是求解的关键. 23.(2012安徽文,11,5分)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|=　　　　.  【答案】　 【解析】　a+c=(3,3m), ∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)·b=0, ∴3m+3+3m=0, ∴m=-, ∴a=(1,-1), ∴|a|==. 评析　本题主要考查向量的基本运算,考查了向量垂直的充要条件. 24.(2011课标,文13,5分)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=　　　.  【答案】　1 【解析】　由题意知|a|=1,|b|=1,<a,b>≠0且<a,b>≠π. 由a+b与向量ka-b垂直,得(a+b)·(ka-b)=0, 即k|a|2+(k-1)|a||b|·cos<a,b>-|b|2=0, (k-1)(1+cos<a,b>)=0.又1+cos<a,b>≠0, ∴k-1=0,k=1. 评析　本题考查向量的模、向量的数量积等相关知识,考查学生的运算求解能力,属中等难度试题. 25.(2015福建理,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于(　　) A.13　　　B.15　　　C.19　　　D.21 【答案】　A　 【解析】以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(t>0),C(0,t),P(1,4),·=·(-1,t-4)=17-≤17-2×2=13,故·的最大值为13,故选A. 26.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是　　　　,最大值是　　　　.  【答案】　0;2 【解析】　本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以此来考查学生的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养. 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), ∴=(1,0),=(0,1),=(-1,0),=(0,-1),=(1,1),=(-1,1), 故|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6| =|(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6)| =.(*) 显然(*)式中第一个括号中的λ1,λ3与第二个括号中的λ2,λ4的取值互不影响,∴只需讨论λ5与λ6的取值情况即可, 当λ5与λ6同号时,不妨取λ5=1,λ6=1, 则(*)式即为, ∵λ1,λ2,λ3,λ4∈{-1,1},∴λ1=λ3,λ2-λ4=-2(λ2=-1,λ4=1)时,(*)式取最小值0,当|λ1-λ3|=2(如λ1=1,λ3=-1),λ2-λ4=2(λ2=1,λ4=-1)时,(*)式取最大值2, 当λ5与λ6异号时,不妨取λ5=1,λ6=-1,则(*)式即为. 同理可得最小值仍为0,最大值仍为2, 综上,最小值为0,最大值为2. 解题关键　本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正方形, λi(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1或-1),这就给建系及讨论λi的值创造了条件,也是求解本题的突破口. 27.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　　　.  【答案】　8 【解析】　本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0, ∴m=8. 易错警示　容易把两向量平行与垂直的条件混淆. 28.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为　　　　.  【答案】　6 【解析】　解法一:·表示在方向上的投影与||的乘积,当P在B点时,·有最大值,此时·=2×3=6. 解法二:设P(x,y),则·=(2,0)·(x+2,y)=2x+4,由题意知-1≤x≤1,∴x=1时,·取最大值6,∴·的最大值为6. 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