精品解析：北京市八一学校2025-2026学年高一第二学期6月月考数学试题

北京市八一学校2025-2026学年第二学期6月月考 高一数学 2026.06 本试卷共4页，100分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，最小正周期是的奇函数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知角A为△ABC的内角，cos A＝－，则sin 2A＝（ ） A. － B. － C. D. 5. 的三个内角､､满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知在中，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 9. 某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线，互相平行，桥DE与河岸所在直线垂直．休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A，B，C处，其中入口A点（定点）在桥DE上，且A到直线，的距离分别为，（为定值），入口B，C分别在直线，上，公园的一边AB与直线所成的锐角为，另一边AC与AB垂直．设该休闲公园的面积为，当变化时，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 若，且则 D. 若，且，则 10. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，那么___________． 12. 已知⊙中弦，则________． 13. 在平面直角坐标系中，点，则的面积为__________． 14. 在中，，.若，则______；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是______. 15. 设函数（），若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为_____． 16. 已知函数，任取，定义集合： ，点，满足 设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， 则 （1）函数的最大值是______； （2）函数的单调递增区间为______． 三、解答题：本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断是否为钝角三角形，并说明理由.①；②. 18. 是 斜边 上一点，，记，． （1）求证：； （2）若，求的值． 19. 已知函数． （1）求在上的取值范围； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，的面积为，求的值． 20. 设，对定义在上的函数，若存在常数，使得对任意恒成立，则称函数满足性质. （1）判断下列函数是否具有性质？ ①，②，③. （2）若函数具有性质，，其中，求证：函数具有性质 （3）设函数具有性质，其中是奇函数，是偶函数.若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市八一学校2025-2026学年第二学期6月月考 高一数学 2026.06 本试卷共4页，100分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式直接计算. 【详解】. 2. 下列函数中，最小正周期是的奇函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期公式结合周期定义求各函数的周期，再根据奇函数的定义判断即可. 【详解】函数的周期为， 设，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以函数为奇函数，A正确； 函数的周期为， 设，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，B错误； 函数的周期为，C错误； 设，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 则，故函数的周期为， 又，所以函数为偶函数， D错误； 故选：A. 3. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出的坐标，再由可求得参数. 【详解】∵向量． ∴， ∵， ∴，解得． 故选：C． 4. 已知角A为△ABC的内角，cos A＝－，则sin 2A＝（ ） A. － B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系由余弦求得正弦，借助正弦的倍角公式，即可求得结果. 【详解】∵角A为△ABC的内角，∴0＜A＜π， ∴sin A＝ ＝， ∴sin 2A＝2sin Acos A＝2××＝－. 故选：. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，以及正弦的倍角公式，属基础题. 5. 的三个内角､､满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理即得. 【详解】因为， 可设， 由余弦定理可得. 故选：B. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件利用向量模的意义，向量数量积的运算法则计算作答. 【详解】因，，，则， 所以. 故选：C 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数图象得到周期求出，然后代入特殊点求值即可. 【详解】由题图可知函数的周期，又， 则， 所以， 将，代入解析式中得， 则，， 解得，， 因为，则. 故选：A. 8. 已知在中，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可得，再根据结合余弦定理即可得出结论. 【详解】解：因为， 所以，所以， 则， 即，所以， 所以， 所以为等腰三角形， 又，所以为等边三角形. 故选：D. 9. 某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线，互相平行，桥DE与河岸所在直线垂直．休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A，B，C处，其中入口A点（定点）在桥DE上，且A到直线，的距离分别为，（为定值），入口B，C分别在直线，上，公园的一边AB与直线所成的锐角为，另一边AC与AB垂直．设该休闲公园的面积为，当变化时，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 若，且则 D. 若，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】主要涉及三角函数以及三角形面积公式的应用.首先根据直角三角形中的三角函数关系，分别求出AB和AC的长度表达式，再根据三角形面积公式得到的表达式，最后对该表达式进行分析，判断各个选项的正确性. 【详解】在中，，，根据正弦函数的定义，可得.  因为，，所以，在中，，根据余弦函数的定义，可得.  对于，，将，代入可得： ，进一步化简为，.  对于选项A，因为，所以，.当取最小值（取不到），最大值时，没有最大值，所以A错误.  对于选项B，由，，当，即，时，取得最小值，所以B错误.  对于选项C，当时，，单调递增，单调递减；当时，，单调递减，单调递增. 所以若且，不一定有，C错误.  对于选项D，若且，则，.因为，，所以，D正确.  故选：D. 10. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】对已知式子平方，结合同角三角函数平方关系与正弦二倍角公式即可求出的值. 【详解】已知，等式两边同时平方得， 所以，解得. 12. 已知⊙中弦，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解. 【详解】 过点作于点，则点为的中点，， 所以， 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，点，则的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，得，计算，，再利用三角形的面积公式代入计算即可. 【详解】由题意，可得，，， 所以. 故答案为：. 14. 在中，，.若，则______；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是______. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理， 代入条件得：， 解得：，所以， 所以若时，为直角三角形， 所以. （2）由正弦定理， 代入条件化简得：， 因为，所以， 所以， 即， 又，所以为锐角，所以，故可取 . 故答案为：2；. 15. 设函数（），若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由辅助角公式将函数化为，再由函数的周期性可得，再由函数在区间上有零点得，从而可得结果. 【详解】因为函数，由辅助角公式得 ， 又因为恒成立，是的一个周期， 因为正弦函数的周期满足： ，整理得，即是正偶数，可能取值为. 若在上存在零点，即存在使得： ， 当时，，要使区间内存在，最小的整数， 需满足： ，得.  结合是正偶数且，得的最小值为. 16. 已知函数，任取，定义集合： ，点，满足 设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， 则 （1）函数的最大值是______； （2）函数的单调递增区间为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】作出函数的图象，分当点P在A点时，当点P在曲线上从A接近B时，当点P在B点时，当点P在曲线上从B接近C时，当点P在C点时，当点P在曲线上从C接近D时，当点P在D点时，当点P在曲线上从D接近E时，分析的值和变化，从而得出的值和变化，可得答案. 【详解】函数，函数的最小正周期为T=4，点P(),Q()，如图所示： 当点P在A点时，点Q在曲线OAB上，,； 当点P在曲线上从A接近B时，减小，所以逐渐增大； 当点P在B点时，,， 当点P在曲线上从B接近C时，减小，所以逐渐减小； 当点P在C点时，，； 当点P在曲线上从C接近D时，增大，所以逐渐增大； 当点P在D点时，，； 当点P在曲线上从D接近E时，增大,逐渐减小， 依次类推，得函数的最大值是， 的单调递增区间为， 故答案为：2；. 【点睛】本题考查正弦函数的周期性，最值，单调性，关键在于理解题目所给的条件，属于较难题. 三、解答题：本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断是否为钝角三角形，并说明理由.①；②. 【答案】若选①：钝角三角形，理由见解析；若选②：不是钝角三角形，是锐角三角形，理由见解析. 【解析】 【分析】利用余弦定理求出边，利用三边即可判断. 【详解】若选①，由余弦定理得，， 所以， 所以， 故为钝角三角形； 若选②，由余弦定理得，， 所以（舍），， 又， 故为锐角三角形，不是钝角三角形. 18. 是 斜边 上一点，，记，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）由于，可知即, ，即， 又是直角三角形，所以， 故，证毕. （2） 【解析】 【分析】（1）利用，可知即,,再利用是直角三角形，即可证明； （2）在中，利用正弦定理结合已知条件可得，再由可求得，从而可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，即， 又因为，可知即， 所以，化简可得，， 由（1）可得，， 所以，即， 解得 ，或， 又在中，，故. 19. 已知函数． （1）求在上的取值范围； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的余弦公式、降幂公式、辅助角公式把原函数的解析式化成正弦型函数解析式形式，再结合正弦型函数的最值性质进行求解即可； （2）利用特殊角的三角函数值、三角形面积公式、正弦定理和余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 因此， ， 所以在上的取值范围为； 【小问2详解】 由， 因为角A是的内角， 所以， 于是有， 因为的面积为， 所以， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得 . 20. 设，对定义在上的函数，若存在常数，使得对任意恒成立，则称函数满足性质. （1）判断下列函数是否具有性质？ ①，②，③. （2）若函数具有性质，，其中，求证：函数具有性质 （3）设函数具有性质，其中是奇函数，是偶函数.若，求的值. 【答案】（1）①具有性质；②不具有性质；③具有性质 （2）因为函数具有性质，则存在常数，使得 对任意恒成立． 因为函数具有性质，则存在常数，使得 ，对任意恒成立， 故，即也对任意恒成立， 因此对任意恒成立． 又因为 所以函数具有性质． （3）2023 【解析】 【分析】（1）利用性质的定义判断； （2）利用性质的定义证明； （3）根据函数具有性质，得到，从而有，分别令，，再结合是奇函数，是偶函数，得到，然后令，得到，从而得到，然后利用求解. 【小问1详解】 ①因为，所以具有性质； ②因为，所以 不具有性质； ③，所以具有性质． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知存在满足，即， 令，则①， 令，则②， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， ①+②，整理得， 令，则，即， 又因为，所以， 所以 【点睛】关键点点睛：新定义题关键是读懂题意，结合已学函数性质，函数奇偶性和周期性计算解题即可.理解能力要求高，综合性较强，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $