精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年高二下学期6月联合诊断性考试数学试题

高2027届高二（下）6月联合诊断性考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 某地区一次联考的数学成绩 近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为 A. 6 B. 4 C. 94 D. 96 4. 小明研究温差 （单位：℃）与本单位当天新增感冒人数 （单位：人）的关系，他记录了5天的数据：由表中数据求得温差 与新增感冒人数 满足经验回归方程，则下列结论正确的是（ ） 3 4 5 6 7 14 19 25 28 34 A. 与 负相关 B. 经验回归直线经过点 C. D. 当时，残差为 5. “春种一粒粟，秋收万颗子”说明春天是播种的好时节，玉米种子每粒发芽的概率都为0.9，现某实验小组播种了1000粒玉米种子，一段时间后对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为 ，则 的数学期望为（ ） A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 6. 已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 重庆市鲁能巴蜀中学校于今年4月底举办了第18届春季运动会，其中“100米”比赛项目是学生最喜欢的项目之一，现在选取预赛甲、乙、丙、丁、戊等前8名进入决赛阶段，8名选手分别站在8条跑道上，要求甲站最中间，乙、丙相邻，丁、戊站最边上的跑道，则这8名选手共有（ ）种站法． A. 132 B. 144 C. 156 D. 196 8. 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过 的最大整数，如，，已知方程，则方程的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数 的值越接近于 B. 命题 ：“，”的否定为“，” C. 已知随机变量 ，期望为，方差为，则 D. 已知，，，则 10. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 当， 时，函数的极大值为 B. 当， 时，函数存在零点 C. 当，不等式恒成立，则 的取值范围为 D. 若函数与的图象有交点，则 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______ 13. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，比欧洲早600年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图是“杨辉三角”，则其前 行（从第1行至第 行）所有数字之和______ 14. 甲盒中有3个红球、3个白球和2个绿球，乙盒中有2个红球、2个白球和1个绿球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球．记事件表示从甲盒中取出的小球是红球，事件表示从甲盒中取出的小球是白球，事件表示从甲盒中取出的小球是绿球，事件 表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，. （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 （2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为 ，求 的分布列与期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线为，求 、 的值； （2）若函数有两个极值点，求实数 的取值范围. 17. 已知. （1）求；（结果用指数形式表示） （2）甲同学进行投篮练习，一共投篮 次，每球投进的概率均为. （ⅰ）若 ，求甲同学进球次数 的分布列与期望； （ⅱ）若，求甲同学进球总数为奇数的概率.（结果用指数形式表示） 18. “石头剪刀布”是生活中常见的游戏，可以两人对局，也可以多人对局.每出拳一次称为一局，参与者每局随机等可能出一种手势.每局游戏中，石头克制剪刀，剪刀克制布，布克制石头，被克制一方为输家.甲、乙、丙三人进行“石头剪刀布”游戏，争夺唯一赢家.规则如下： ①若三人手势完全一致，或三人手势各不相同，本局判定为平局，全员继续对局； ②若仅有两人手势相同、第三人手势不同，则根据“石头剪刀布”的胜负关系判定：被克制的一方为输家，输家（1人或2人）淘汰出局； ③剩余玩家按同样规则继续对局，两人对局时，手势不同则分出胜负，手势相同则为平局，直到决出最后唯一赢家. （1）甲、乙、丙三人出拳1局，记被淘汰出局的玩家人数为，求的分布列； （2）从游戏开始到决出唯一赢家，恰好进行 局的概率为. （ⅰ）求； （ⅱ）求. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有三个不同的零点、、，且. （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届高二（下）6月联合诊断性考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据绝对值不等式性质得：， 不等式两边同时加1可得：， 即， 又因为集合， 所以. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义将所求极限转化为在处的导数值，结合余弦函数的导数公式代入计算即可. 【详解】已知函数，则， 根据导数的定义，  ， 因此，故D正确. 3. 某地区一次联考的数学成绩 近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为 A. 6 B. 4 C. 94 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】由已知根据正态分布的特点，可得，根据对称性，则，乘以样本个数得答案． 【详解】由题意，知，可得， 又由对称轴为，所以， 所以成绩小于分的样本个数为个． 故选B． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及考查正态分布中两个量和的应用，其中熟记正态分布的对称性是解答的关键，属于基础题． 4. 小明研究温差 （单位：℃）与本单位当天新增感冒人数 （单位：人）的关系，他记录了5天的数据：由表中数据求得温差 与新增感冒人数 满足经验回归方程，则下列结论正确的是（ ） 3 4 5 6 7 14 19 25 28 34 A. 与 负相关 B. 经验回归直线经过点 C. D. 当时，残差为 【答案】D 【解析】 【分析】观察数据或者求得，可知正相关，可判断A；利用样本中心点在回归直线上，可以判定B；将样本中心点坐标代入回归直线方程,可求出的估计值，可判断C；结合C，可求得预测值，进而计算残差，从而判断D. 【详解】对于A：观察数据， 增大时 也增大，说明 与 正相关，故A错误； 对于B： 易得，，样本中心点为，因为回归直线方程经过样本中心点， 所以不可能经过.故B错误； 对于C：将样本中心点坐标代入回归直线方程得，， 则，故C错误； 对于D：由C可知，计算预测值，实际值， 残差.故D正确. 5. “春种一粒粟，秋收万颗子”说明春天是播种的好时节，玉米种子每粒发芽的概率都为0.9，现某实验小组播种了1000粒玉米种子，一段时间后对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为 ，则 的数学期望为（ ） A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 【答案】B 【解析】 【分析】设没有发芽的种子数为 ，由二项分布的数学期望公式及数学期望的性质即可得解. 【详解】设没有发芽的种子数为 ，则有， 由题意可知 服从二项分布，即, 则，所以. 6. 已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，求导可得，再利用单调性解不等式即可． 【详解】设，， 则当时，单调递增， ，即，又， ，解得． 7. 重庆市鲁能巴蜀中学校于今年4月底举办了第18届春季运动会，其中“100米”比赛项目是学生最喜欢的项目之一，现在选取预赛甲、乙、丙、丁、戊等前8名进入决赛阶段，8名选手分别站在8条跑道上，要求甲站最中间，乙、丙相邻，丁、戊站最边上的跑道，则这8名选手共有（ ）种站法． A. 132 B. 144 C. 156 D. 196 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊元素优先法，结合捆绑法，再分步计算满足条件的站法数即可求解． 【详解】第一步：丁、戊站最边上的跑道（即第1和8跑道），有种站法； 第二步：甲站最中间（即第4或5跑道），有种站法； 第三步：乙、丙相邻， 若甲站第4跑道，则乙、丙只能站第2和3，或第5和6，或第6和7跑道， 若甲站第5跑道，则乙、丙只能站第2和3，或第3和4，或第6和7跑道， 即无论甲站第4或5跑道，都只有3组相邻位置可选，且乙、丙内部可排列，有种站法； 第四步：其余3人站剩余3条跑道，有种站法， 所以这8名选手共有种站法． 8. 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过 的最大整数，如，，已知方程，则方程的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用将方程转化为不等式，确定 的范围，然后分段讨论即可. 【详解】因为，所以， 即，解得或， 当时，，此时（舍去）； 当时，，此时， 解得或（舍去）； 当时，，此时，满足题意. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数 的值越接近于 B. 命题 ：“，”的否定为“，” C. 已知随机变量 ，期望为，方差为，则 D. 已知，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合样本相关系数的性质、特称命题的否定、期望与方差的关系、条件概率与事件独立性的知识逐项判断即可. 【详解】对于A，样本相关系数，成对样本数据的线性相关程度越强，则越接近于，负相关时 越接近，故A错误； 对于B，特称命题的否定为全称命题，需将存在量词改为全称量词并否定结论，因此命题 的否定为“，”，故B正确； 对于C，由方差计算公式，代入、，可得，故C正确； 对于D，由可得，即事件相互独立，因此，故D正确. 10. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项由及函数单调性判断；对于B,D两项由基本不等式进行求解；对于C项,举反例进行判断． 【详解】对于A，由，得，而，得，得， 则，故，故A项正确； 对于B，由及，得，得， 则， 得，故B项正确； 对于C项，取满足题意，则，得，故C项错误； 对于D项，， 等号成立时，，即，故D项正确． 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 当， 时，函数的极大值为 B. 当， 时，函数存在零点 C. 当，不等式恒成立，则 的取值范围为 D. 若函数与的图象有交点，则 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，利用导数研究函数单调性极值即可；对于C，根据恒成立，即，令，利用导数研究函数单调性极值即可；对于D，当 时函数与的图象有交点，等价于，令，利用导数求解. 【详解】对于A，当， 时，， 定义域为，则， 因为， 则，，函数单调递增， ，，函数单调递减， 所以函数的极大值点为 ，极大值为，A正确； 对于B，当， 时，， 则， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以，所以函数不存在零点，B错误； 对于C，当，， 因为不等式恒成立，即，也就是， 令，则， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即 的取值范围为，C正确； 对于D，当 时函数与的图象有交点， 即， 令，则有， 其中函数图象如下， 在单调递减，单调递增， 当 时，，，即：，则 ， 而在上单调递增，所以，即：， 所以由图可知： 当时，两个交点，， 当时一个交点，， 当时，没有交点，故不符合题意， 所以 的取值范围为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______ 【答案】 【解析】 【分析】求导得，再求得，然后可得并计算即可． 【详解】， ，解得，则， ． 13. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，比欧洲早600年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图是“杨辉三角”，则其前 行（从第1行至第 行）所有数字之和______ 【答案】 【解析】 【详解】第0行的和为：， 第1行的和为：， 第2行的和为：， 第3行的和为：， 第4行的和为：， 第5行的和为：， ， 第 行的和为：， 则其前 行（从第1行至第 行）所有数字之和为：， 数列是一个以2为首项，公比为2的等比数列， 其前 项和为. 14. 甲盒中有3个红球、3个白球和2个绿球，乙盒中有2个红球、2个白球和1个绿球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球．记事件表示从甲盒中取出的小球是红球，事件表示从甲盒中取出的小球是白球，事件表示从甲盒中取出的小球是绿球，事件 表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式，组合数的计算，及互斥事件的概率关系求解即可． 【详解】依题意可得甲盒共有8个小球， 则，，， 不妨设事件表示从乙盒中取出2个颜色相同的小球， 又第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中后，乙盒共有6个小球， 则，，， 所以， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，. （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 （2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为 ，求 的分布列与期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）补全列联表如下： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 依据小概率值的独立性检验，可以推断阅读习惯与学业成绩水平有关. （2） 的分布列为： 1 2 3 期望. 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式，结合已知数据计算可完成列联表，然后计算卡方，对照临界值表即可得出结论； （2）利用超几何分布概率公式求出概率和分布列，然后可得期望. 【小问1详解】 由题可知，，，所以，得， 又，所以，得， 结合已知可得列联表： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 零假设阅读习惯与学业成绩水平没有关系. 因为， 所以，依据小概率值的独立性检验，没有充足的证据证明假设成立， 即阅读习惯与学业成绩水平有关系，且该结论犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 有固定阅读习惯中成绩优良的有人，成绩一般的有人， 所以组建的6人宣传小组中，成绩优良的有人，成绩一般的有人， 则 的可能取值为：， ，， ， 所以 的分布列为： 1 2 3 期望. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线为，求 、 的值； （2）若函数有两个极值点，求实数 的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 则，， 曲线在点处的切线为， 即， 因为曲线在点处的切线为， 所以，解得. 【小问2详解】 由函数有两个极值点，得方程有两个不同的实数根， 即方程有两个不同的实数根， 则直线与函数的图象有两个不同的交点， ， 令，得 ；令，得 ；令，得 ， 所以函数 在上单调递增，在上单调递减，. 如图所示，当 时，， 当时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以实数 的取值范围为 . 17. 已知. （1）求；（结果用指数形式表示） （2）甲同学进行投篮练习，一共投篮 次，每球投进的概率均为. （ⅰ）若 ，求甲同学进球次数 的分布列与期望； （ⅱ）若，求甲同学进球总数为奇数的概率.（结果用指数形式表示） 【答案】（1） （2）（ⅰ）分布列如下： 0 1 2 3 4 期望为； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）应用赋值法求得、 ，作差即可得； （2）（i）由题意，结合二项分布对应概率的求法写出分布列，并求出期望； （ii）由题设且 ，结合二项分布的分布列与二项式的性质求甲同学进球总数为奇数的概率. 【小问1详解】 令 ，则， 令 ，则 ， 两式作差，得 ， 所以； 【小问2详解】 （i）由题意，则，， ，， ， 所以分布列如下， 0 1 2 3 4 ； （ii）由题设，则 ， 根据其展开式知，对应为 时二项式的值， 而甲同学进球总数为奇数，即， 结合二项式的性质知， 所以甲同学进球总数为奇数的概率为. 18. “石头剪刀布”是生活中常见的游戏，可以两人对局，也可以多人对局.每出拳一次称为一局，参与者每局随机等可能出一种手势.每局游戏中，石头克制剪刀，剪刀克制布，布克制石头，被克制一方为输家.甲、乙、丙三人进行“石头剪刀布”游戏，争夺唯一赢家.规则如下： ①若三人手势完全一致，或三人手势各不相同，本局判定为平局，全员继续对局； ②若仅有两人手势相同、第三人手势不同，则根据“石头剪刀布”的胜负关系判定：被克制的一方为输家，输家（1人或2人）淘汰出局； ③剩余玩家按同样规则继续对局，两人对局时，手势不同则分出胜负，手势相同则为平局，直到决出最后唯一赢家. （1）甲、乙、丙三人出拳1局，记被淘汰出局的玩家人数为，求的分布列； （2）从游戏开始到决出唯一赢家，恰好进行 局的概率为. （ⅰ）求； （ⅱ）求. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 P （2）（ⅰ）；（ⅱ）；【解析】 【分析】（1）利用古典概型，先得到总出拳情况数，再分别求得全同，全不同手势情况数得到平局的概率，两同一异，两人手势胜第三人的概率和第三人胜两人的概率求解； （2）（ⅰ）恰好2局结束有两者情况：第1局平局，第2局淘汰2人和第1局淘汰1人，第2局对局分出胜负求解； （ⅱ）设为3人开始恰n局结束概率，为2人开始恰n局结束概率，易得和求解. 【小问1详解】 总出拳情况数为： ，全同手势情况数为3，全不同手势情况数为 ， 故平局的情况数为3+6=9，概率为：, 两同一异情况数： ，其中两人手势胜第三人9种，则， 第三人胜两人有9种，则， 所以的分布列为： 0 1 2 P 【小问2详解】 （ⅰ）恰好2局结束有两者情况：一是第1局平局，第2局淘汰2人：概率为； 二是第1局淘汰1人，第2局对局分出胜负，概率为， 则； （ⅱ）设为3人开始恰n局结束概率，为2人开始恰n局结束概率， 则，，是等比数列，则， ，则，即， 所以为等差数列，则 ， 所以，即. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有三个不同的零点、、，且. （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：. 【答案】（1）当时，在单调递减， 当时，函数在和单调递减， 在单调递增 （2）（ⅰ）根据（1）可知，若函数有三个不同的零点，则， 因为，则是的一个零点， 设是函数的一个零点，即， 则， 所以也是函数的一个零点，设，则，， 所以； （ⅱ）由上可知不等式等价于， 即，也就是， 由于，则， 则只需证， 因为，所以上式化简为，即， 设， 则， 所以在上单调递减，则， 所以上述不等式成立，原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）由求导函数，分，和讨论函数单调性； （2）（ⅰ）设是函数的一个零点，则，且，可得证； （ⅱ）根据，不等式化简为，设，利用导数可得在上单调递减，则，从而得证. 【小问1详解】 定义域为， 求导得：， 令，即，则． 当时，，方程无解，即恒成立，则在单调递减， 当时，，方程有相等实数解，即恒成立，则在单调递减， 当时，则，有两个正数根． ， 所以函数在和单调递减， 在单调递增， 综上所述，当时，在单调递减， 当时，函数在和单调递减， 在单调递增； 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $