第5章 函数概念与性质测试卷（暑假单元自测）新高一年级数学苏教版

**基本信息** 高中数学第5章函数概念与性质单元卷，满分150分，覆盖函数定义、性质及应用，通过基础题与综合题梯度设计，适配暑假巩固，培养数学抽象、逻辑推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|函数定义（1题）、单调性（4题）、奇偶性（10题）|结合必要不充分条件考查思维严谨性（7题）| |填空题|3/15|定义域（13题）、单调性参数范围（14题）|通过分段函数表考查数学语言转化（5题）| |解答题|5/77|二次函数最值（17题）、抽象函数证明（19题）|新能源储物室建设情境体现模型应用（18题）|

第5章 函数概念与性质单元测试卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 5．设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（   ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（  ） A. 已知函数，则函数的定义域为 B. 对应，其中，，，则对应是函数 C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数 D. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数 10．若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 11．已知函数满足：对任意实数都有，且，，则（   ） A． B．是偶函数 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数满足，则实数 ． 13．若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 14．已知函数，对于且，都有 成立，则 的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若，用定义法证明函数在上单调递增． 17．（本小题满分15分）已知二次函数且. (1)若函数的最小值为，求的解析式； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围. 18．（本小题满分17分）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），面积为64平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元， (1)求的函数解析式，并求报价的最小值. (2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 19．（本小题满分17分）函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数概念与性质单元测试卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，当时，，当时，， 故的值域为.故选B. 3．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数. 【解答过程】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 4．已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【解答过程】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C. 5．设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（   ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得或或， 当时，，当时，，当时，， 综上所述，不等式的解集为，故选：A. 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值的正负即可判断得解. 【解答过程】函数中，，解得，函数的定义域为， 由，得函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除AD； 当时，，排除选项C，选项B符合要求. 故选：B. 7．函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性，确定若函数在区间上单调递增等价于，再根据必要不充分条件的定义，逐项判断即可求解. 【解析】二次函数的对称轴为， 函数在区间上单调递增，所以，解得， 选项为函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件， 则是选项的真子集，所以符合题意. 故选：C 8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质，求解不等式. 【解析】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（  ） A. 已知函数，则函数的定义域为 B. 对应，其中，，，则对应是函数 C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数 D. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数 【答案】AC 【分析】结合函数解析式，由函数有意义的条件，求函数定义域可求解A，根据函数的定义即可求解B，根据偶函数的定义即可求解C，举反例即可求解D. 【解析】对于A，函数，则， 有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为，故A正确， 对于B, 对应，其中，，，则对应不是函数，比如，则可取，故不符合函数定义，B错误， 对于C，若为偶函数，则需要对定义域内任意的都有，因此对于定义在上的函数，若，则不是偶函数，C正确， 对于D, 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上不一定是增函数，比如，但在上不是增函数，故D错误， 故选：AC 10．若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【解析】函数的定义域都为， 对于A，因为，所以是偶函数，故A正确； 对于B，因为为奇函数，所以，则是偶函数，故B正确； 对于C，因为偶函数，则，即是偶函数，故C错误； 对于D，因，则为偶函数，又因为为奇函数，则是奇函数，故D正确. 故选：ABD. 11．已知函数满足：对任意实数都有，且，，则（   ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】BCD 【解题思路】对A，令，得解；对B，令，结合求解判断；对C，令，可得，再令，可判断；对D，由B、C的解析可得函数的周期为2，从而可判断D. 【解答过程】对于A，令，可得，又，则，故A错误； 对于B，令，得，即， 所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，得，故， 令，得，即，故C正确； 对于D，因为为偶函数，所以，又由C选项得，得，即， 所以，可得，故函数的周期为2， 因为，所以，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数满足，则实数 ． 【答案】1 【解析】因为函数满足， 则，即，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 13．若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【解题思路】由求解即可. 【解答过程】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为：. 14．已知函数，对于且，都有 成立，则 的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】根据题中条件，将问题转化为为递减函数，即可根据分段函数的单调性求解. 【解答过程】由，可得， 故为单调递减函数， 又， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【解】（1）由可得： （i）（舍去）； （ii）. 综上，或； ………………………………………………5分 （2）由可得： （i）； …………………………………8分 （ii）. ……………………………………………11分 综上可得． ………………………………………………13分 16．（本小题满分15分）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若，用定义法证明函数在上单调递增． 【答案】(1)实数的值为 (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由偶函数的性质可得，代入化简后即可求解. （2）由函数单调性的定义，设，通过作差证明，即可得证. 【解答过程】（1）由已知函数在上是偶函数， 则有，即， 即，即， 又时均成立，解得. 于是实数的值为. …………………………………………………..7分 （2）由已知得，解出，则. ………9分 证明如下： 任取， 则有， 因为，所以， 所以，即. 故函数在上单调递增………………………………………….15分 17．（本小题满分15分）已知二次函数且. (1)若函数的最小值为，求的解析式； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据函数的最小值为，可得，且，可得的值，从而得到的解析式； （2）分离参数，求解二次函数在区间上的最小值，即可得的范围． 【解析】（1）由题意知，且， ∴，∴…………………..6分 （2）在区间上恒成立， 转化为在上恒成立．………………..8分 设，且对称轴为， 则在取得最小值， ∴． ∴，即的取值范围为…………………..15分 18．（本小题满分17分）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），面积为64平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元， (1)求的函数解析式，并求报价的最小值. (2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)，报价的最小值为元 (2) 【解题思路】（1）根据题意抽象出的函数，再利用基本不等式即可得解； （2）根据题意得到恒成立，利用参变分离法，结合对勾函数的性质即可得解. 【解答过程】（1）依题意，储物室的长为米， 则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，报价的最小值为元……….7分 （2）依题意，得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，所以，即，……….10分 令，则， 则，……………………………..12分 由对勾函数的性质可知，在上单调递增，……………..14分 所以，又，即， 所以的取值范围是…………………………………………………17分 19．（本小题满分17分）函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集． 【解】（1）设，且， 则，， 因为， 所以， 即为减函数. ………………………………………………5分 （2）因为， 所以， 令，则，即， 所以， ……………………………………………10分 又因为在上单调递减， 所以，解得， 所以不等式的解集为. ………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $