广东惠州市光正实验学校2025-2026学年高一下学期期末数学复习卷4

**基本信息** 涵盖高一数学统计、向量、立体几何等核心内容，解答题融入费马点等数学文化情境，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|分位数、分层抽样、向量线性运算、复数概念|基础概念与运算结合，如分层抽样实际应用| |多选题|3|统计图表分析、向量夹角与投影、立体几何折叠|选项分层设计，如向量命题综合考查推理能力| |填空题|3|单位向量、圆内接四边形、圆锥外接球|跨知识综合，如圆锥外接球结合体积计算| |解答题|5|概率计算、向量数量积、解三角形、立体几何证明、费马点应用|融入数学文化（费马点），如第19题探究距离和最值，体现创新意识与应用能力|

2026年6月惠州光正高一下学期期末复习试卷4 一、单选题 1．给定一组数据：，则其分位数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 2．某学校高一年级有男生480人，女生660人，现按性别采用分层随机抽样的方法从中选出19人，则男生比女生少选（    ）． A．1人 B．2人 C．3人 D．4人 3．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．2 5．若一个三棱锥的底面是边长为3的正三角形，高为，所有侧棱均相等，则侧棱长为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．3 B． C．7 D． 7．一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 8．在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（    ） A．该校高一学生总数为 B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为 C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多80 D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人 10．下列命题中，正确的是(    ) A．若向量，则与的夹角为 B．若非零向量与的夹角为，则” “是”为锐角”的充分不必要条件 C．若平面向量，，，若，则的最小值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 11．如图，DE是正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE折起，构成四棱锥，F为的中点，则下列各选项正确的是（    ） A．面 B．面 C．若面面ABC，则与CD所成角的余弦值为 D．若，则二面角的余弦值为 三、填空题 12．已知点，点，则与同向的单位向量坐标为_________ 13．已知四边形是圆O的内接四边形，且，，的长是方程的两根，记四边形的面积为，圆O的面积为，则______． 14．已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______． 四、解答题 15．不透明的袋子中装有4个红球，m个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次绿球被取出的概率为． (1)求袋子中绿球的个数； (2)若进行2次取球，求这2次取出的球的颜色不同的概率． 16．设． (1)若，求实数的值； (2)若，且，与的夹角为，求实数的值． 17．已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)若，且 边上的中线长为，求的面积． (3)若角的平分线长为，求的面积的最小值． 18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点P为的费马点. (1)求A； (2)若，求的值； (3)若，求的最大值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 《2026年6月惠州光正高一下学期期末复习试卷4》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B C B A C AC ACD 题号 11 答案 BCD 1．D【详解】这组数从小到大已排列好，因为，所以分位数为第6个数20， 2．C【详解】由题可知，选出的男生有人，则选出的女生有11人， 所以男生比女生少选3人． 3．A【详解】解：因为为平行四边形，故，故易知，又因为为的中点，所以，故， 4．B【详解】由为纯虚数，则，可得. 5．C【详解】如图所示三棱锥中，由题可得， 设在平面的投影为，则， 则是的重心，， 则在中，. 6．B【详解】 7．A【详解】该直棱柱的底面 则该直棱柱的底面为长2宽1的矩形，其面积为， 则该直棱柱的体积为 8．C【详解】如图所示，连接对角线交于点，连接. 因为正四棱锥的底面是正方形，所以是的中点. 因为平面，⊂平面，且平面平面，由线面平行的性质得.因此是的中位线，故是的中点，即. 设正四棱锥的底面积为，高为h，则总体积， 因为 的面积是正方形面积的一半，即 ，因为是中点，所以到底面的距离为.所以，所以 . 9．AC【详解】对于A，选科为政史地的人数为人，占比为，该校高一学生共有人，A正确；对于B，选科为物化生的人数为人， 选科为物化政的人数为，B错误； 对于C，选考历史的人数有人，选考物理的人数有人， 选考物理的人数比选考历史的人数多，C正确； 对于D，选科为生史地的学生人数占比为， 采用分层抽样抽取人，生史地组合应抽取人，D错误. 10．ACD 【详解】选项A，由，，则， ，， 设与的夹角为，所以，而，则，命题A正确； 选项B，时，，即， 当时，同向共线，满足，但不是锐角. 因此“”是“为锐角”的必要不充分条件，命题B错误； 选项C，由，，，则，化简得， 而，则， 令，二次函数开口向上，对称轴， 则，即，命题C正确； 选项D，由，，则，， 则在上的投影向量为，命题D正确. 11．BCD【详解】若面,因为，平面，平面， 所以面，又因为，所以平面面，但平面与面相交，所以假设不成立，所以不平行面，所以A不正确；对于B，因为，所以，又因为，所以面，所以B正确对于C，将沿折起，使到，且面面ABC，以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设三角形的边长为2，所以， ， 设与CD所成角的为，则，所以与CD所成角的余弦值为，所以C正确；对于D，设，因为，所以， 所以，，因为，所以，所以,， 设平面，所以故， 设平面，所以故， 设二面角所成角为，， 因为为钝二面角，所以二面角的余弦值为.所以D正确. 12．【详解】由点，，可得，则 则与向量同向的单位向量的坐标为. 13．/【详解】解方程，可得，， 不妨令，． 因为四边形是圆O的内接四边形，所以， 则在与中，由余弦定理可得 ， 整理得， 则，则，，． 设圆O的半径为R，则，则， ，则． 14．【详解】设该圆锥的底面半径为r．因为该圆锥的轴截面为正三角形，所以该圆锥的高为， 则该圆锥的体积，解得．画出圆锥及其外接球的轴截面如图所示， 设该球体的半径为R，则，解得，则该球体的表面积为． 15．(1)2(2) 【详解】（1）袋子中装有4个红球，m个绿球，从中有放回地随机取出1个球， 则绿球被取出的概率为．由题可知，解得， 故袋子中绿球的个数为2． （2）由题可知，每次绿球被取出的概率为，则每次红球被取出的概率为， 且2次取出的球的颜色相互独立． 第一次取出红球，第二次取出绿球的概率为；第一次取出绿球，第二次取出红球的概率为．故2次取出的球的颜色不同的概率为． 16．(1)(2)或 【详解】（1）已知，计算得：， 由两向量垂直则数量积为0，得：，解得； （2）已知，根据条件列方程：由，对模长平方得：①； 由向量夹角公式，时， 代入，得：，化简得：②； 将②代入①，得，解得，即或； 当时，代入②得；当时，代入②得； 因此最终解为：或. 17．(1)(2)(3) 【详解】（1）由余弦定理，又， 代入可得： ， 又，故 （2）记边上的中线为，则， 在中，由余弦定理得， 化简可得：，解得或（舍）， 所以. （3）设角平分线交于，， 由得： ， 化简得 ，由基本不等式得， 解得： ，当且仅当 时等号成立， 故面积最小值. 18．【详解】（1）证明：连接交于，连接，   是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. （2）证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）如图，取中点为，连接， 在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 19．【详解】（1）法一：因为， 所以， 即， 整理得：， 所以由正弦定理可得，所以； 法二：因为，且， 所以， 所以，整理得， 因为，所以，所以. （2）由（1）可得，，所以三个内角都小于， 则由费马点的定义可知：， 设，由， 得，整理得：， 所以； （3）由费马点的定义可知：， 设，则，又，所以由平面向量基本定理有.由余弦定理可得：， ，， 因为，所以， 所以有，化简可得：， 将代入上式，化简得. 因为，当且仅当结合解得时等号成立， 设，所以，解得或， 因为，所以，所以，即的最大值为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $