浙江杭州市2025-2026学年第二学期高一6月教学质量检测数学试题

2025学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，请核对考生条码信息，确认无误后，将条码贴在答题卡上的“条码粘贴处”，并将自 己的学校、姓名、试场号、座位号填写在答题卡相应的位置上。 3.回答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色水笔将答案写在答题卡相应的答题 区内。答案写在试题卷上一律无效。 4.考试结束，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知i为虚数单位，若z=4+2i,则|z|=（) A.√6 B.2√3 C.2√5 D.2√6 2.已知tana=2,则sin2a=() A号 B是 c D号 3,在机器学习中，常用J(A,B)=card(A来衡量两个集合A,B之间的相似度，其中 card(AUB) card(A)表示集合A的元素的个数.已知M={1,2,3,4},N={2,4,6},则J(M,N)=() A号 B号 c是 D方 4.已知一组数据的平均数和方差分别为20,26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新 数据的平均数和方差分别为x,52,则() A.x>20 B.x<20 C.s2>26 D.s2<26 5.设a,P是两个不同的平面，m是一条直线，且mCa,则“m∥是“a∥的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知函数f(x)=x2+ax+b,且f(-1)>f(2),则( ) A.1b+4|<b-2 B.a+4<a-2 C.b+4|>|b-21 D.a+4>a-2 7.若单位向量a,b,c满足a+b+√2c=0,则向量a一c与b-c夹角的正弦值为() A号 B③ 2 C.3 5 D号 8.已知a>1,点A,B和C分别在函数y=a,y=a和y=}a的图象上，BC平行于x轴。 1 AB=BC=2,且A范·BC=0,则点A的横坐标约为() (参考数据：lg2≈0.3010,1g3≈0.4771) A.8.8 B.7.8 C.6.8 D.5.8 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知函数f(x)=二ax+1(a∈R)为奇函数，则( x-a A.a=0 B.f(x)≥2 C.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在区间(0,1)上单调递减 10.函数f(x)=Asin(wx十p)(A>0,w>0,0<|p|<)的部分图象如图所示，则() A.w=2 B.f(gp)=√3 C.VzER,f(z)-f(-52-z) D.函数y=f(x)-1在区间[0,9习]上有7个零点 11.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,PA=2,则( A.直线PB与AC所成角的最大值为90° B.若∠PCA=30°，∠PBA=45°，则∠PCB=45 C.若∠PCA=30°，∠PCB=45°，则二面角A-PC-B的正切值为√2 D,若△ABC的面积为4，则直线PC与平面ABC所成角的正切值的最大值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,4),则a·b的最大值为 13.设随机事件M,N相互独立，且P(D=0.5,P(N)=0.4,则P(M+N)= 14.用maxM表示数集M中最大的数.若x=1是函数y=ax2+bx+c的零点，且abc=16, 则max{a,b,c}的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分) 某校全体学生参加体能测试，现用简单随机抽样的方法从中抽取100人的测试分数作为 样本，将样本数据分为5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制出频 率分布直方图，如图所示. 频率组距 0.035 e 0.010 0.005 05060708090100得分 (第15题图) (1)估计该校学生的体能测试分数的第25百分位数（精确到0.1）； (2)采用比例分配的分层随机抽样方法，在分数段为[50,60)和[80,90)的学生中抽取5 人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人分数均小于60的概率， 16.(15分) a-c -=a-b 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bc.已知inA干inBn& (1)求B; (2)设b=3,2AD=D心，且BD为∠ABC的平分线，求BD. 17.(15分) 已知函数f(x)=1og21+x2 (1)设a=2, (i)求f(1)的值； (i)解不等式f(x+1)>f(ax); (2)若3x∈(0，+∞)，f(x+1)=f(x)+f(1),求a的取值范围. 18.（17分) 如图，在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=4,A1B1=AA1=2. (1)求证：AA1⊥BC; (2)求棱台ABC-A1B1C1的体积； (3)若棱台ABC一A1B1C1内有一个正方体，且此正方体在该棱台内能任意转动，求此正 方体棱长的取值范围. 19.(17分) 已知函数f()=士己云 (第18题图) (1)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并用定义证明； (2)令g(x)=f(x)-x+k, ()证明：函数y=g(x)的图象是中心对称图形； (i)设函数y=g(x)有三个零点a,b,c(a<b<c),证明：c>b+1. 2025学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 2 3 6 7 8 C D 0 B B C 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.ACD 10.AD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.513.0.7 14.4 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.解：(1)由题得：10×(0.005+0.010+a+0.035+0.035)=1,解得a=0.015.3分 设第25百分位数为x,则 10×0.015+(x-60)×0.035=0.25,解得x≈62.9， 用样本估计总体，所以估计总体的第25百分位数为62.9 .7分 (2)按照分层随机抽样，分数位于[50,60)内有3人，记为x,y,:分数位于[80,90)内 有2人，记为m,n,则样本空间2={x,),(c,),(x,m),(x,n),y,),,m,0y, n),(2,m),e,n),(m,n)},共10个样本点， .10分 记两人分数均小于60为事件A,则A={x,),(x,=,0y,=},有3个样本点， 所以P最 ..13分 16,解：（1)由正弦定理得6=即a2+2-b2=ac, 由余弦定理，可得cosB=“=总=克 又BE(0,),所以B= .6分 (2)因为2AD=DC,由角平分线性质得=2能=京所以-20， 由余弦定理得9=6=(2c}+c2-2(2 c)ccos2=3c2,解得c=V5,a=2W5, 由S△MBc=S△MBD+S△cBD可得， 2×V3×2V3×sin60°=2×V3×BD×sin30°+2×BD×2V3×sin30, 解得BD=2. ..15分 17.解：（1)当a=2时， (i)=lo2·所以Hog21=0: …4分 2 (i)由题知lo82a++>1og22产+ 所以3x2-2x-1>0,解得x<-域x>1 4分 （3)设xo>0,使得1o82a+0=log2+log22且a>0. a 即a+=z6t 所以Q=21+ 2x6+2 4x0+2 F1+0241=6+2o+2 2(6+2x0+2)-4x0-2=2- x6+2x0+2 6+2x0+21 设4x0+2=t>2,所以0=2 4 16t 所以a=2-2+420=2-16 +0+4 因为t+20+4≥26.29+4=4V5+4,当且仅当t=2V5时等号成立， 即3-V5≤a<2. .15分 18.解：（1)延长AA1,BB1,CC1交于点P, 因为AB=4,A1B1=AA1=2,所以PA1=2 所以三棱锥PABC是边长为4的正四面体， 设下底面的中心分别为H,BC中点为D,连AD, 则PH⊥平面ABC,所以PH⊥BC, 又AF⊥BC,所以BC⊥平面PAD, 所以AA1⊥BC ..5分 (2)由(1)知PH=5,所以棱台的高h=26, 31 所以正三枝台的体积为 V=S+5+V5网)=x25x(3+4W3+VWx4W同)=4 3 .5分 (3)正方体在棱台内能任意转动，问题等价于正方体的外接球能放置在棱台内， 由于正三棱锥PABC的表面积S=16V3,体积v=16运 3 所以三棱锥PABC的内切球O半径R=号=写 3 又因为棱台ABC-AB1C的高h=S,而三校锥PABC的内切球0的直径恰为9， 因此半径为的三校锥PABC的内切球，恰好是枝台ABC-41B,C内切球， 即正方体枝校长能取到的最大值为 所以正方体棱长取值范围为0,2]， ..17分 19.解：(1)证明：设0<x1<x2<1,则 111, 1=X2-X+ X2-X1 f0x)-f0x2）=方1-x石+1-x2x1x1-1= =62-x4+a--） 1 ① 因为0<x1<x2<1 所以x2-x1>0,x2x1>0,(1-x1)(1-x2)>0 所以式①>0，即f(x1)>f(x2) f(x)在区间(0,1)上单调递减： .5分 2)0g(+g1-习=生-x+k+-+x-1+k=2k-1, 又g(x)定义域为(-0,0)U(0,1)U(1,+),关于(2，k-)对称， 故曲线y=g(x)关于点（分，k-)对称： ..10分 (i)由结合(1)中式①知g(x)在(-0,0)，(0,1)，(1，+∞)上单调递减， 函数g(x)有三个零点，则a∈(-0,0)，b∈(0,1)，c∈(1，+∞)， 由g()=名六6-b+k=0,可得k=-8+己6+b, 而6+1e(1,2gb+1)=+片b-1+k 所以g0+1)=六+片-b-1-片+六+b=品-1， 由be(0,1),则1-b2∈(0,1)， 则g6+1)=品-1>0=g@, 又c∈(1，+o),g(x)在(1，+o)上单调递减， 故c>b+1. .17分