精品解析：浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一下学期数学期末统测模拟试题一

高一数学期末统测模拟试卷一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则计算即可. 【详解】因为 ， 所以. 故选：A 2. 记 的内角的对边分别为，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理计算即可. 【详解】由余弦定理可得， 所以. 故选：B 3. 在中，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件确定点的位置然后利用向量的线性运算用表示即可. 【详解】因为，所以为线段的三等分点，如图所示， . 故选：A 4. 一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用列举法及古典概型的概率求法求概率即可. 【详解】由设红球为A, B，黄球为1, 2, 从袋中不放回地随机摸出2个球，共有6种结果：{A,B}, {A,1}, {A,2}, {B,1}, {B,2}, {1,2} 这2个球颜色相同的有2种结果：{A,B}与{1,2} 2个球颜色相同的概率为. 故选：B 5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线面关系逐一判断即可. 【详解】对于A，若 ，则或 ，故A错误； 对于B，若 ，则，故B错误； 对于C，若，则或 或，故C错误； 对于D，由线面平行的性质定理可知 D正确. 故选：D 6. 一个盒子中装有标号为 的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件 “两张标签标号之积大于15”，事件 “第一张标签标号小于3”，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出所有样本点，然后根据古典概型概率公式计算的值，然后利用互斥事件与相互独立事件的定义去判断C D选项即可. 【详解】根据题意可知所有的样本点共有： ， ， ， ， 共个， 事件 包含的样本点有：，共 个，所以，故A错误； 事件包含的样本点有： ，共个，所以，故B错误； 因为，所以 与互斥，故C正确； 因为，，所以，所以 与不相互独立，D错误. 故选：C 7. 在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】设，若 分别为的中点，连接，根据已知及线面垂直的判定、性质定理证明 、，结合二面角的定义找到其平面角，进而求其正切值. 【详解】设，易知为等腰梯形，故， 所以，故， 若 分别为的中点，连接，则，即 ， 由 是以为直角顶点的等腰直角三角形，则 ， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，故， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则， 综上，二面角的平面角为，且为直角三角形， 由，，所以. 故选：D 8. 若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数 ，不等式恒成立． 只需求出当 为正数时，的最大值． 因为 为正实数， 所以 当且仅当，即 时，等号成立， 所以 ， 所以， 又当 时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（ ） A. 该组数据的极差为6 B. 该组数据的众数为26 C. 该组数据的中位数为25.5 D. 该组数据的第70百分位数为26 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极差、众数、中位数和百分位数的定义求解即可. 【详解】将这组数据按照从小到大的顺排列得， 则该组数据的极差为，故A正确； 该组数据的众数为 ，故B正确； 该组数据的中位数为26，故C错误； 因为， 所以该组数据的第70百分位数为第个数据，即 ，故D正确. 故选：ABD. 10. 记 的内角的对边分别为，点是边 上的一个动点，点 是边 的中点，且，则（ ） A. B. 若 的面积为，则 C. 若平分 ，则 D. 若，当最大时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理结合求出，通过 的范围确定 值判断A选项；利用正弦定理面积公式求得，再根据相邻数量积的运算判断B选项；利用角平分线定理确定，再利用平面向量基本定理得，通过平方计算判断C；建立平面直角坐标系，利用坐标求得关于的表达式，在利用基本定理求解判断D. 【详解】对于A，因为， 由余弦定理有：， 整理得：，即， 所以，又因为，所以，所以A正确； 对于B，因为，解得， 所以，所以B正确； 对于C，根据角平分线定理有：，所以， 所以， 且，， 所以 ， 所以，所以C错误； 对于D，因为，， 所以， 所以，所以 为为直角三角形，， 建立如图所示平面直角坐标系，设，， ，，， 所以，，令， ，所以为锐角， 则 ，即 因为，所以在上单调递减， 所以越小值越大， 因为， 当且仅当，因为，所以当时等号成立， 所以当最大时，，D正确. 故选：ABD 11. 如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为，则以下结论正确的是（ ） A. 点到平面的距离等于1 B. 点到直线的距离等于1 C. 球在正八面体外部的体积小于 D. 球在正八面体外部的面积大于 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，先确定球的中心，然后利用正八面体的性质计算即可；对于B，直接利用三角形面积公式即可；对于C，计算在正八面体外部的球冠对应的圆锥的体积，然后估计出球在正八面体外部的体积的上界即可；对于D，利用旋转体体积公式求得球冠体积，并得到球冠与圆锥的总体积占整个球的比例，即可得到球冠的表面积，然后进行放缩即可. 【详解】对于A，由对称性可知棱切球球心就是正八面体的中心，而， 所以. 设点到平面的距离为，则有 ， 故，故A错误； 对于B，由于，故在平面上的投影就是正方形的中心， 故平面，而在平面内，故. 又因为，知点到直线的距离，故B正确； 对于C，根据上面的分析，球的半径等于点到直线的距离，即 . 从而平面截棱切球所得圆的半径，设这个圆为圆. 设球的体积为，而以为顶点、圆为底面的圆锥的体积为， 则棱切球在正八面体内部的体积大于. 从而球在正八面体外部的体积小于 ，故C正确； 对于D，球在正八面体外部的面积等于正八面体外8个球冠的表面积. 而对于一个球冠而言，由其顶点和底面可以确定一个圆锥，而该圆锥的侧面积一定小于球冠的表面积. 从而，每个球冠的表面积都大于由该球冠顶点和底面圆确定的圆锥的侧面积. 该圆锥的底面半径，高，故母线长. 所以每个球冠的表面积都大于该圆锥的侧面积. 所以8个球冠的表面积之和大于，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用恰当的方式对球冠的表面积和体积进行估计. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法化简可得复数 ，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 记 的内角的对边分别为，已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦边角关系及已知得，进而有，代入已知关系式即可求. 【详解】由正弦边角关系及已知有，又均为三角形内角， 所以，即，，易知， 所以，则. 故答案为： 14. 已知函数，______；的最小值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求得，直接运算可得，所以，由基本不等式求得其最小值，结合的最小值为 ，可得的最小值. 【详解】由，得，解得，或 . 所以函数的定义域为. . 所以. 所以，. 所以. 因为与同号， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 因为，所以当且仅当时， 取得最小值，最小值是 . 故答案为：①；② . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明步骤或者演算过程． 15. 已知向量满足. （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，由向量平行及模长的坐标运算列方程求参数值，即可得； （2）由向量垂直及数量积的运算律、定义列方程求夹角余弦值. 【小问1详解】 设， 因为，所以， 因为 ，所以，解得或， 所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，代入得，， 所以，所以与的夹角的余弦值为. 16. 如图，平面四边形中， 是边长为2的等边三角形，且，为 的中点，将 沿翻折至. （1）证明：； （2）若，求直线 与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； (2)根据勾股定理证明，从而求出的长度，再根据面面垂直的判定以及性质可得即直线 与平面所成角，最后利用余弦定理即可得解. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， 因为 为等边三角形，所以， 因为，所以， 又因为分别是的中点，所以，所以， 因为，平面所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 在 中，，，， 所以， 在中，， 由可得， 在中，，则， 因为平面平面， 所以平面平面， 又因为平面平面， 所以为直线 与平面所成角， 在中，，，， 所以， 所以直线 与平面所成角的余弦值为. 17. 随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值，并估计评分数据的第75百分位数； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ， 解得． 因为的频率为，且为最后一组， 所以评分数据的第75百分位数位于区间中， 所以上四分位数为：． 【小问2详解】 评分在与两组的频率分别为， ， 采用分层随机抽样的方法，在内抽取人数为，在内抽取人数为， 故4人中评分等级不良好的有1人（记为），评分等级良好的有3人（记为，，），试验的样本空间， 设事件 “选取2人的评分等级都为良好”， 则， 所以． 18. 记 的内角的对边分别为，已知. （1）若，求； （2）若是 的中点，且，求 ； （3）若，求 的面积. 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理求角的大小； （2）由及余弦定理得，法一：应用正余弦定理得，即可求边长；法二：延长至点 ，使得，连接，易得，利用等比例性质求边长； （3）在 内作，再由正弦定理、三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 在 中，由正弦定理，即，解得， 所以或. 【小问2详解】 因为，即，化简得①. 法一：在中，由正弦定理，， 在 中，由正弦定理，， 又，所以， 在中，由余弦定理可得，所以，则②. 联立①②得，即，解得或（舍）或（舍）. 所以. 法二： 延长至点 ，使得，连接， 由题意，则，即，整理得③. 联立①③，，解得或（舍）. 所以. 【小问3详解】 在 内作，所以，设， 在中，由正弦定理知，即，知， 所以， 所以. 19. 已知函数 （1）若 ，判断函数在上的单调性（无需证明），并求在上的值域； （2）若关于的方程恰有三个不等实根，且. （i）求的值； （ii）求的最大值.（参考公式：） 【答案】（1）在上单调递减， （2）（i）4（ii）7 【解析】 【分析】（1）先判断函数的单调性，进而求出值域. （2）（i）构造函数，判断该函数的对称轴，从而证明结论；（ii）根据（i）中的结论列出的表达式，进而可化简所求式子，最后根据二次函数的性质求出最大值即可. 【小问1详解】 若， 因为函数和均在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故，值域为. 【小问2详解】 （i）证明：， 显然：当时，， 由于方程有三个不等实根，所以必有， 令，则，即. 显然有，由 得到，所以函数关于直线 对称， 由，可得：， （ii）由得：，由（i）得：， 于是，令 当且仅当时等号成立，故的最大值为7. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期末统测模拟试卷一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 记 的内角的对边分别为，若，则 （ ） A. 2 B. C. D. 3. 在中，，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 一个盒子中装有标号为 的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件 “两张标签标号之积大于15”，事件 “第一张标签标号小于3”，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 7. 在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（ ） A. 该组数据的极差为6 B. 该组数据的众数为26 C. 该组数据的中位数为25.5 D. 该组数据的第70百分位数为26 10. 记 的内角的对边分别为，点 是边 上的一个动点，点 是边 的中点，且，则（ ） A. B. 若 的面积为，则 C. 若平分 ，则 D. 若，当最大时， 11. 如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为，则以下结论正确的是（ ） A. 点到平面的距离等于1 B. 点到直线的距离等于1 C. 球在正八面体外部的体积小于 D. 球在正八面体外部的面积大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则__________. 13. 记 的内角的对边分别为，已知，则__________. 14. 已知函数，______；的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明步骤或者演算过程． 15. 已知向量满足. （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角的余弦值. 16. 如图，平面四边形中， 是边长为2的等边三角形，且，为 的中点，将 沿翻折至. （1）证明：； （2）若，求直线 与平面所成角的余弦值. 17. 随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中 的值，并估计评分数据的第75百分位数； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 18. 记 的内角的对边分别为，已知. （1）若，求； （2）若 是 的中点，且，求； （3）若，求 的面积. 19. 已知函数 （1）若 ，判断函数在上的单调性（无需证明），并求在上的值域； （2）若关于 的方程恰有三个不等实根，且. （i）求的值； （ii）求的最大值.（参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $