专题1.2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像 （重难点突破+过关检测）2026-2027学年浙教版九年级数学上册

浙教版 九上数学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题1.2 二次函数y=ax²+bx+c(a)的图像 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 用配方法将一般式化为顶点式 题型2 用公式法确定图像特征 题型3 画二次函数图像 题型4 二次函数图像的平移 题型5 待定系数法 题型6 理解a,b,c对图像的影响 题型7 二次函数图像的轴对称性 · 能用配方法或公式法确定y=ax²+bx+c开口方向、对称轴、顶点坐标； · 能画出y=ax²+bx+c的图像，理解它与y=ax2图像的平移法则； · 能用待定系数法求y=ax²+bx+c的解析式。 知识点讲解 1. 二次函数(a)的顶点坐标、对称轴 （1）配方法： （2）公式法：对称轴是x=，最大（小）值为：， 2. 二次函数的图像 （1）二次函数的图像是抛物线，对称轴是x=，顶点是（）. （2）当 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数右最小值； 抛物线中对称轴左侧部分是下降的；在对称轴右侧部分是上升的. 当 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数右最大值； 抛物线中对称轴左侧部分是上升的；在对称轴右侧部分是下降的. 3. a、b、c对抛物线图像的影响 系数的符号 图像特征 a的符号 a>0. 抛物线开口向上 a<0 抛物线开口向下 b的符号 a,b同号 抛物线对称轴在y 轴的左侧 b=0 抛物线对称轴是y轴 a,b异号 抛物线对称轴在y 轴的右侧 c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于原点上方 c=0 抛物线与y轴交于原点 c<0 抛物线与y轴交于原点下方 题型归纳 题型1 用配方法将一般式化为顶点式 【例1】通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 【方法点睛】用配方法化一般式为顶点式的步骤： 1. 提取二次项系数a：y= 2. 配上“一次项系数一半的平方”： 3. 整理成顶点式+k的形式： 【变式练习】 1. 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)； (3)； (4)； 2. 已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是（   ） A．该函数图像有最低点 B．该函数图像对称轴为直线 C．该函数图像在轴的下方 D．该函数图像在对称轴左侧是下降的 3．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么二次函数图象的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型2 用公式法求二次函数的对称轴与顶点坐标 【例1】写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； 【变式练习】 1. 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)． 2．求二次函数的顶点坐标、对称轴及其最值． 3．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值； （2）求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标． 4. 若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 5．如果抛物线的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型3 画二次函数图像 【例1】已知二次函数的解析式为． (1)把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 【方法点睛】——画二次函数图像的一般步骤 1.先求出抛物线的对称轴和顶点坐标； 2.列表——要将顶点坐标的取值置于表格中间位置； 3.描点——一般用五点定型法； 4.连线——用平滑曲线自左向右连线； 【变式练习】 1．画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： (1)； (2)． (3)； (4)； 题型4 二次函数图象的平移 【例1】 将抛物线向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为________． 【例2】将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新抛物线的函数表达式是___ 【例3】将抛物线向左平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______． 【点睛】二次函数图像的平移关键步骤： （1）先化为一般式，再配方化为顶点式，然后写出函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【变式练习】 1．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是______． 2．若函数的图像过点，将该函数图像向右平移，当它再次经过点P时，所得的图像对应的函数表达式为__________． 3．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的表达式是________． 题型5 待定系数法 【例1】已知二次函数的图象经过点，，．求该二次函数的表达式． 【例2】如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 【变式练习】 1．已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 2．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中． (1)求二次函数的表达式，并求出点B的坐标． (2)连接，现将抛物线图象向下平移m个单位，使得顶点落在线段上，请求出m的值． 4．一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作抛物线的一部分，请结合图像，解答以下问题： (1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ 题型6 系数a,b,c对抛物线的影响 【例1】如图，二次函数的图象与x轴交于点，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【例2】若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式练习】 1．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型7 抛物线的轴对称性 【例1】已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 【例2】已知抛物线的对称轴为直线，且过点和，则这个二次函数的关系式是____________________ ． 【例3】已知二次函数的、部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为直线_____． 【变式练习】 1．已知，是抛物线上的两个点，则b的值为______． 2．已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线__________． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 3．抛物线的对称轴是直线，如果此抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么抛物线与轴的另一个交点的坐标是 ______． 4．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 5．已知抛物线的部分图象如图所示，当时，则的取值范围是________． 过关练习 一、单选题 1．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 2．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 4．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 6．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（  ） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 8．关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 9．知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 12．抛物线经过点，则________． 13．如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 14．一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 15．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 16．已知二次函数的图象如图所示，则点在第______象限． 17．如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 18．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)求这条抛物线的对称轴、顶点坐标． 20．二次函数的图象经过三点． (1)求这个二次函数的解析式，对称轴及顶点坐标； (2)若将此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，则 ． 21．某网店销售一种小商品，成本每件元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为元时，平均月销售量件；若每件商品的售价上涨元，则月销售量就减少件．设月销售利润为元，请问月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时商品的售价？ 22．设二次函数（，b，c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示． x … 0 1 2 … y … m 1 n 1 … (1)求二次函数的对称轴． (2)若当时，y有最小值，求a的值． (3)求证：． 23．如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 24．已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 m 0 3 … (1) _____；该抛物线的顶点坐标是_____； (2)在平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； (3)填空：当时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是_____． 25．如图，抛物线经过点，，． (1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $浙教版 九上数学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题1.2 二次函数y=ax²+bx+c(a)的图像 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 用配方法将一般式化为顶点式 题型2 用公式法确定图像特征 题型3 画二次函数图像 题型4 二次函数图像的平移 题型5 待定系数法 题型6 理解a,b,c对图像的影响 题型7 二次函数图像的轴对称性 · 能用配方法或公式法确定y=ax²+bx+c开口方向、对称轴、顶点坐标； · 能画出y=ax²+bx+c的图像，理解它与y=ax2图像的平移法则； · 能用待定系数法求y=ax²+bx+c的解析式。 知识点讲解 1. 二次函数(a)的顶点坐标、对称轴 （1）配方法 （2）公式法 对称轴是x=，最大（小）值为：， 2. 二次函数的图像 （1）二次函数的图像是抛物线，对称轴是x=，顶点是（）. （2）当 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数右最小值； 抛物线中对称轴左侧部分是下降的；在对称轴右侧部分是上升的. 当 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数右最大值； 抛物线中对称轴左侧部分是上升的；在对称轴右侧部分是下降的. 3. a,b,c对抛物线性质的影响 系数的符号 图像特征 a的符号 a>0. 抛物线开口向上 a<0 抛物线开口向下 b的符号 a,b同号 抛物线对称轴在y 轴的左侧 b=0 抛物线对称轴是y轴 a,b异号 抛物线对称轴在y 轴的右侧 c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于原点上方 c=0 抛物线与y轴交于原点 c<0 抛物线与y轴交于原点下方 题型归纳 题型1 用配方法将一般式化为顶点式 【例1】通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (3)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (4)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】通过配方，将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的性质写出开口方向、对称轴和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （4）解：， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 【方法点睛】用配方法化一般式为顶点式的步骤： 1. 提取二次项系数a：y= 2. 配上“一次项系数一半的平方”： 3. 整理成顶点式+k的形式： 【变式练习】 1. 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标； (2)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； (3)抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标； (4)抛物线的开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标； 【分析】将抛物线解析式化为顶点式即可解答． 【详解】（1）解：，且， 则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：，且， 则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （4）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为； 2. 已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是（   ） A．该函数图像有最低点 B．该函数图像对称轴为直线 C．该函数图像在轴的下方 D．该函数图像在对称轴左侧是下降的 【详解】解：二次函数，则顶点为， 该函数图象有最高点，故选项A错误， 该函数图像对称轴为直线，选项B错误； 该函数图象在轴下方，故选项C正确； 该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误； 故选：C． 3．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，通过配方法将二次函数化为顶点式，从而得到顶点坐标． 【详解】解： 故顶点坐标为， 故选：A． 4．已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么二次函数图象的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】解：∵ 反比例函数 的图象在第二、四象限， ∴ ， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴顶点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴ 顶点在第二象限， 故选：． 题型2 用公式法求二次函数的对称轴与顶点坐标 【例1】写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； (3)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 【分析】利用公式分别求出和的值从而写出对称轴和顶点坐标。 【详解】（1）解：∵ ∵ ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵ ∴ ∵2 ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：对 ∵ ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 【变式练习】 1. 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)． 【答案】 (1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (3)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【分析】利用公式分别求出和的值从而写出对称轴和顶点坐标。 【详解】 （1）解：对 ∵ ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：对 ∵ ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：对 ∵ ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 2．求二次函数的顶点坐标、对称轴及其最值． 【答案】顶点坐标是，对称轴：直线．当时，y最小值=－2 【分析】本题主要考查求二次函数的顶点坐标和对称轴、最值，利用公式分别求出和的值即可求出顶点坐标和对称轴、最值． 【详解】解： ∵ ∴， ∴顶点坐标是，对称轴：直线．当时，y最小值=－2 3．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值； （2）求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点坐标是（0，3）． 【分析】(1)本题主要考查求二次函数的顶点坐标和对称轴、最值，利用公式分别求出和的值即可求出顶点坐标和对称轴、最值． （2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解方程可求得与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝3，即求得与y轴的交点坐标为（0，3）． 【详解】(1)解：y＝﹣x2+2x+3． ∵ ∴， ∴开口方向向下，对称轴x＝1，顶点坐标是（1，4） 当x＝1时，y有最大值是4； （2）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3 当x＝0时，y＝3 ∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点坐标是（0，3）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是利用解析式求坐标轴的交点以及顶点坐标公式． 4. 若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为 ， ∴ 顶点横坐标， 代入得顶点纵坐标， ∴ 顶点坐标为 ． ∵ 顶点在第二象限， ∴ 且 ， 解得：． 故选：C． 5．如果抛物线的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线的顶点是最低点， ∴二次项系数， ∴ ． 故选：C． 6．关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：在中： ∵， ∴函数图象开口向下． ∵对称轴为， ∴函数对称轴在y轴右侧，C选项不正确， ∵ ∴顶点（，）在第一象限，B选项不正确， 令x=0代入二次函数得， ∵a<-1 ∴a+1<0 ∴抛物线与y轴交点位于原点下方， ∴只有D选项符合题意，A选项不正确， 故选：D． 题型3 画二次函数图像 【例1】已知二次函数的解析式为． (1)把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 【详解】（1）解： ， 答：该二次函数的顶点式为：． （2）解：该二次函数解析式为，则顶点坐标为， 令得：， 解得：或， 即该条抛物线与x轴的交点坐标为和， 当时，， 当时，， 列表如下： 根据列表中的数据，在坐标系中描点并用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象，如图： 【方法点睛】——画二次函数图像的一般步骤 1.先求出抛物线的对称轴和顶点坐标； 2.列表——要将顶点坐标的取值置于表格中间位置； 3.描点——一般用五点定型法； 4.连线——用平滑曲线自左向右连线； 【变式练习】 1．画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： (1)； (2)． (3)； (4)； 【答案】(1)解：列表如下： 描点画图： 由图象可得：函数最大值为， 无最小值. (2)解：列表如下： 描点画图： 由图象可得：函数最大值为, 无最小值. (3)解：列表如下： 描点画图： 由图象可得：函数最小值为, 无最大值. (4)解：列表如下： 描点画图： 由图象可得：函数最小值为, 无最大值. 【分析】先列表，再描点画图. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型4 二次函数图象的平移 【例1】 将抛物线向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的平移规律．根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线向下平移2个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． 故答案为：． 【例2】将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新抛物线的函数表达式是___ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，关键是熟练应用规律解题；根据二次函数图象平移的规律解答即可． 【详解】解：∵将抛物线 向左平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后得到：， 故答案为：． 【例3】将抛物线向左平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，准确计算是解题的关键． 根据函数图象平移规则，向左平移2个单位，将原函数解析式中的x替换为即可． 【详解】原抛物线解析式为，向左平移2个单位长度，将x替换为，得． 故答案为：． 【点睛】二次函数图像的平移关键步骤： （1）先化为一般式，再配方化为顶点式，然后写出函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【变式练习】 1．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的平移变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据二次函数的平移变换求解即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到；再向上平移2个单位长度，得到． 故答案为：． 2．若函数的图像过点，将该函数图像向右平移，当它再次经过点P时，所得的图像对应的函数表达式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图像的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先根据点P在原始函数上求出c的值，得到点P坐标；再设函数向右平移h个单位，新函数为，代入点P坐标求解h，排除的情况，得到，从而得出平移后的函数表达式． 【详解】解：由点在函数上，代入得：，故， 设函数图像向右平移h个单位后，函数表达式为， 因其经过点，代入得， 化简得： 解得或，即或 其中对应原始函数，不符合“再次经过”的条件，故取， 因此平移后的函数表达式为． 故答案为：． 3．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的表达式是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位，得；再向左平移1个单位，得． 故答案为． 题型5 待定系数法 【例1】已知二次函数的图象经过点，，．求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】设二次函数的解析式为，将代入解析式进一步求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴设二次函数的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【例2】如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解两函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把 代入，得， 解得， ∴该抛物线解析式是：， 把 代入，得， 解得， ∴该直线的解析式是； （2）解：由图象得到：当或时，二次函数的值大于一次函数的值． 【变式练习】 1．已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∴顶点式为：，顶点坐标为；对称轴为直线． 2．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中． (1)求二次函数的表达式，并求出点B的坐标． (2)连接，现将抛物线图象向下平移m个单位，使得顶点落在线段上，请求出m的值． 【答案】(1)；B点的坐标为 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，找到对称轴，根据对称求解即可． （2）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，则用待定系数法可得直线的解析式为，根据平移的性质解得即可． 【详解】（1）解：（1）将和代入中， 得， 解得， ∴函数解析式为； 对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知：B点的坐标为； （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由（1）可知：， 设直线的解析式为：， 代入B、C的坐标得：， 解得： ∴直线的解析式为， 由题意可知：平移后的顶点为：， 将平移后的顶点代入直线的解析式得：， 解得：． 4．一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作抛物线的一部分，请结合图像，解答以下问题： (1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)第7月的利润最大，最大利润是49万元 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，利用顶点式求最值，解题的关键是熟练掌握待定系数法和顶点式． （1）利用待定系数法进行求解析式即可； （2）将函数解析式化成顶点式，然后进行求最值即可． 【详解】（1）解：因图像过原点，则设函数解析式为， 将代入解析式，得 ， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：， 当时，利润最大，最大利润为（万元）． 题型6 系数a,b,c对抛物线的影响 【例1】如图，二次函数的图象与x轴交于点，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握好相关知识是关键． 根据二次函数的图象，判断系数、、的符号，并判断选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B错误，C正确； ∵抛物线过点， ∴，故D错误． 故选：C． 【例2】若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 【变式练习】 1．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与的关系确定a的正负，对称轴位置与的关系确定b的正负，与轴交点的位置与的关系确定c的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论． 【详解】解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 2．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 3．二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据函数图象可得各系数的关系：，，则点所在的象限即可判定． 【详解】解：观察图象得：开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴点位于第二象限． 4．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 5．二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】开口方向判断的符号，左同右异判断的符号，与轴的交点位置判断的符号，与轴的交点个数判断判别式的符号. 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于正半轴，与轴有2个交点， ∴，，，， 故选项B不正确，符合题意. 题型7 抛物线的轴对称性 【例1】已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】抛物线与x轴的两个交点纵坐标相等，可知两个交点关于抛物线对称轴对称，根据交点横坐标即可计算出对称轴． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 和 ， ∴ 两个交点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线对称轴为直线 ． 【例2】已知抛物线的对称轴为直线，且过点和，则这个二次函数的关系式是____________________ ． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴与已知点，利用二次函数的对称性得到另一个与x轴的交点，再设交点式代入求解即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴根据二次函数的对称性，可得抛物线经过点， 设抛物线的交点式 为， 将点 代入，得 ， 解得 ， ∴ ． 【例3】已知二次函数的、部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为直线_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，中点坐标公式，在表格中找到两个函数值相等的点是解题关键． 根据二次函数的对称性，由函数值相等的点确定对称轴的位置． 【详解】解：由表格数据可知，当和时，函数值均为， 则点和关于二次函数图象的对称轴对称， 故对称轴为直线． 故答案为：． 【变式练习】 1．已知，是抛物线上的两个点，则b的值为______． 【答案】 【分析】由于点与纵坐标相同，因此这两点关于抛物线的对称轴对称，由此可得抛物线的对称轴，结合二次函数对称轴公式求解b即可． 【详解】解：∵，是抛物线上的两个点， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得． 2．已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线__________． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；由表格可知点和关于对称轴对称，然后即可求解． 【详解】解：由题意可知，点和关于对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴为：直线； 故答案为：． 3．抛物线的对称轴是直线，如果此抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么抛物线与轴的另一个交点的坐标是 ______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称． 利用二次函数的对称性求解，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称． 【详解】解：设抛物线与x轴的另一个交点为 ． 由于对称轴为直线 ，且一个交点为 ， 则根据对称性，两个交点的横坐标的中点等于对称轴的横坐标， 即 ． 解方程得 ． ∴另一个交点的坐标为 ． 故答案为： ． 4．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．根据题意得出抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与轴相交于点，轴，求得点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴相交于点， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为：1． 5．已知抛物线的部分图象如图所示，当时，则的取值范围是________． 【答案】或 【分析】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出的取值范围是解答此题的关键． 先通过图像得出抛物线的对称轴为直线，再求出的对称点为，最后根据并结合图像求解即可． 【详解】解：∵由图可知抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵当，即抛物线在直线下方的部分， ∴由图可得：当或时，． 故答案为：或． 过关练习 一、单选题 1．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值． 【详解】将代入得 ． 2．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 3．抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 4．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，，． 根据二次函数顶点坐标公式，可得： ，． ∴二次函数的顶点坐标为． 5．二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】A，B两点纵坐标均为0，说明，是方程的两个根，解方程得到两个根后，即可计算的值． 【详解】解：∵点和在二次函数的图像上， ∴，是方程的两个根， 对方程变形得， 解得，， ∴． 6．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 7．在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（  ） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 【答案】D 【分析】先求出变换前后抛物线的顶点坐标，再根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的规律，即可判断平移方向和距离． 【详解】解：∵原抛物线， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵变换后抛物线为， ∴变换后抛物线的顶点坐标为， ∵顶点纵坐标不变，横坐标从变为， ∴原抛物线向左平移个单位即可得到变换后的抛物线． 8．关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 【答案】B 【分析】把代入计算，得出，故该抛物线一定经过点；对于选项，将抛物线解析式化为顶点式，求顶点纵坐标关于的表达式的最小值；对于选项，利用抛物线对称性，由点和求出对称轴，进而求的值；先得出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点的横坐标，再列式计算，即可作答． 【详解】解：将代入抛物线解析式，得， ∴该抛物线一定经过点， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴顶点纵坐标为， ∵， ∴顶点纵坐标的最小值为，不是， 故B选项符合题意； ∵点和纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为直线， 又抛物线对称轴为， ∴， 得， 故C选项不符合题意； 当时，抛物线解析式为， 令，得， 解得，， 即两个交点之间的距离为， 故D选项不符合题意． 9．知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入解析式可判断D正确；根据对称轴、开口方向、与y轴的交点可判断C正确；由得，结合可判断A正确；举反例可判断B错误． 【详解】解：把代入，得，故D正确； ∵抛物线开口向上， ∴． ∵， ∴． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故A正确； 取，满足， 此时， ∴不一定成立，故B错误． 10．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 11．已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，抛物线的开口方向由二次项系数决定：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得， 故答案为：． 12．抛物线经过点，则________． 【答案】/ 【分析】将已知点的坐标代入抛物线解析式，通过整理变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得， 移项得， 等式两边同时除以，得． 13．如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【答案】 【分析】首先确定抛物线的对称轴，再求出点A的坐标，最后根据对称点的性质求解即可. 【详解】解：抛物线中，，， ∴抛物线的对称轴为， 将代入抛物线解析式，得， 点的坐标为， 点和点关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点，点到对称轴的距离相等， 设点的横坐标为，可得， 解得， 点的坐标为. 14．一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】利用对称轴和最值确定抛物线顶点，用顶点式设出解析式，再根据两抛物线形状相同确定二次项系数的值，代入即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，的最大值为， 抛物线的顶点坐标为， 设这条抛物线的解析式为， 该抛物线与的形状相同，且抛物线有最大值，开口向下， ， 这条抛物线的解析式为． 15．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为，根据二次函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可． 【详解】解：设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为， ∵该点与点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为． 16．已知二次函数的图象如图所示，则点在第______象限． 【答案】二 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及判断点所在的象限，解题的关键在于熟练掌握开口方向，图象与y轴的交点情况与系数的关系． 先根据二次函数的图象及性质判断a与c的符号，从而即可得出点所在象限． 【详解】解：由图知，二次函数开口向下， ， 二次函数的图象与轴交于正半轴， ， 则点在第二象限； 故答案为：二． 17．如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 【答案】 【分析】根据图象上一次函数图象在二次函数图象上方部分对应的自变量取值范围即可得解． 【详解】解：由图象可知，当时，一次函数图象在二次函数图象上方， 则的解集是． 18．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)求这条抛物线的对称轴、顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点，    解得 这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：． （2）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 20．二次函数的图象经过三点． (1)求这个二次函数的解析式，对称轴及顶点坐标； (2)若将此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，则 ． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)2 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，顶点坐标，平移的规律： （1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解； （2）根据抛物线平移的性质可得平移后的图象的解析式，再把点代入，即可求解． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过三点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵将此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的二次函数的解析式为， ∵平移后的图象恰好经过点， ∴， 解得：． 故答案为：2 21．某网店销售一种小商品，成本每件元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为元时，平均月销售量件；若每件商品的售价上涨元，则月销售量就减少件．设月销售利润为元，请问月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时商品的售价？ 【答案】月销售利润存在最大值，这个最大值为元，此时商品的售价为元． 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售利润问题．掌握销售利润的公式应用是解题关键．根据总利润=商品单件的利润×销售件数及二次函数的图象与性质求最值即可． 【详解】解：存在，设每件商品的售价为元． 根据题意，得． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． ∴月销售利润存在最大值，这个最大值为元，此时商品的售价为元． 22．设二次函数（，b，c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示． x … 0 1 2 … y … m 1 n 1 … (1)求二次函数的对称轴． (2)若当时，y有最小值，求a的值． (3)求证：． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，增减性，最值的计算是关键． （1）根据表格信息得到对称轴直线为，即可； （2）根据题意得到，分类讨论：当时，二次函数图象开口象限，对称轴直线处取得最小值；当时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，当时，取得最小值；代入求值即可； （3）根据题意当时，，当时，，得，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴直线为； （2）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， 当时，二次函数图象开口向上，对称轴直线处取得最小值， ∴， 解得，； 当时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小， ∴当时，取得最小值， ∴， 解得，； （3）解：当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向下，函数的最大值为， ∴． 23．如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 【答案】(1)A的坐标是，点B的坐标是 (2) 【分析】本题考查二次函数与方程组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）联立两函数解析式，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得或， ∴A的坐标是，点B的坐标是； （2）解：根据图象，时，的图象在的图象上方， 此时． 24．已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 m 0 3 … (1) _____；该抛物线的顶点坐标是_____； (2)在平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； (3)填空：当时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是_____． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，把二次函数的解析式转化为顶点坐标式． （1）把代入二次函数的解析式即可求出的值；用配方法把二次函数的解析式转化为顶点坐标式； （2）利用列表、描点、连线的方法画出二次函数的图象； （3）由图象可知，当时，随的增大而减小，所以可得的取值范围是． 【详解】（1）解：当时， 可得：， ； ； ∴该抛物线的顶点坐标是； 故答案为：，； （2）解：画出函数图象，如下图所示， （3）解：由图象可知，当时，随的增大而减小， ， 故答案为：． 25．如图，抛物线经过点，，． (1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质等知识． （1）分两种情况，利用全等三角形的判定和性质即可求出答案； （2）分别求出直线的解析式和直线的解析式，分别与二次函数解析式联立，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：①在y轴正半轴上取一点P，使得，如解图， ∵，． ∴， ∵，， ∴， 点P的坐标为； ②在y轴负半轴上取一点，使得，如解图， 同理可证，， ， ∴.点的坐标为. 综上所述，点P的坐标为或； （2）如解图，设直线的解析式为， 由点B、P的坐标可得 则 解得 ∴直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为，， 当时， 解得（舍去）或， 当时，， 点D的坐标为， 当时， 解得（舍去）或， 则 点的坐标为. 综上所述，点D的坐标为或. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $