四川省广安市加德学校2025-2026学年高二上学期期末模拟(1月月考)数学试题

广安加德学校2025一2026学年度上期高2024级期末模拟考试1gg 数学试卷 第1卷（选择题共58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个 体α“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( A品0 B品吉 c台品 D品是 2.从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡 片上的数字之积是5的倍数的概率为( A司 B. c D. 3已知四棱锥p-ABCD,底面ABCD为平行四边形，MN分别为棱BC,PD上的点，器-司 PN=ND,设AB=d,AD=b,AP=,则向量M用a,,为基底表示为( A.-a-iB+jd B.-a+3+ C.a-gB+id D.a+五+ 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上， 且D1F=λD1C1,若B1F//平面A1BE,则1=() A B吉 c D 5.直线L1经过A(0,0),B(√3,1)两点，直线U2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则L2的斜率 为( ) A罗 B.23 C.1 3 D.V3 6.在平面直角坐标系中，已知点0(0,0)，A(2,0),B(5,0),且动点M满足lMA=2,则10M -IMBI 的取值范围是( A.(4,6) B.[4,6] C.(4,8) D.[4,8] 7.已知抛物线C:y2=8x的焦点是F,过点F的直线与抛物线C交于A,B两点，分别过A,B 两点作直线x=一2的垂线，垂足分别为E,H若AE=2BH,则直线的斜率k=( A.±2W2 B.±2 C.2W2 D.2 8.已知异面直线a、b成60°角，其公垂线段为EF,|EF=2,长为4的线段AB的两端 点分别在直线a、b上运动，则AB中点的轨迹为( A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4，连续抛掷这个正 四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件A为“两次记录的数 字之和为奇数”；事件B为“第一次记录的数字为奇数”；事件C为“第二次记录的数字为偶 数”，则下列结论正确的是( ) A.事件A与事件B是相互独立事件 B.事件B与事件C是互斥事件 C.P(AP(B)P(G=日 D.P(ABO=日 10.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四 个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马P一ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD, 且PD=CD=AD=2,M,N,G分别为PA,PC,PB的中点，则( A.四面体N-BCD是鳖臑 p B.CG与MN所成角的余弦值是 C.点G到平面PAC的距离为3 4 D.点M到直线AC的距离为G 2 A B 1已知点P为双曲线c:若-号-1右支上一点，14,5为双曲线G的两条渐近线，点4，M 在l1上，点B,N在L2上，且PA1l1,PB1L2,PM//L2,PN/L1,O为坐标原点，记△PAB, △PMN的面积分别为S1,S2,则下列结论正确的是() A.IPAlIPBI- B.OPI>ABI C.3S1=2S2 D.MNI>V2 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线l1:ax-y-1=0,l2:ax-(a-2)y-1=0,若两直线垂直，则a=」 13.如图，已知二面角a-1-B的大小为60°，A∈a,B∈B,C,D∈L,AC1L,BD1且AC= BD=2,CD=4,则AB= 第13题图 第14题图 14如图，在直角坐标系x0y中，已知椭圆C号+y2=1的左、右焦点分别为P1、R2,点M、 N为椭圆上位于x轴上方的两点，且F1M/F2N,则F1N|+IF2M川的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 己知点A(-1,2)和直线：6x-4y+1=0.点B是点A关于直线的对称点. (1)求点B的坐标； (2)0为坐标原点，且点P满足IPO=V3PB|.若点P的轨迹与直线x+y-1=0有公共点， 求m的取值范围， 16.(本小题15分) 如图，己知正三棱柱ABC-A1B1C1,AB=V2AA1,D,E分别为棱A1B1,BC的中点. (1)求证：A1B1平面AC1D: (2)求二面角A-C1D-E的正弦值. 17.(本小题15分) 从广安加德学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，， 第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，己知第一组与 第八组人数相同，第六组的人数为4人， 个身高/组距 0.06 (1)求第七组的频率： (2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； 0.04 (③)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生， 记他们的身高分别为x,y,事件E=x-y≤5}，求P(E). 0.016 0.008 0155160165170175180185190195身高(cm) 18.(本小题17分) 已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，且SD L AD,SD=AD,二面角S一AD-C的 大小为60°，M,N分别是SC,CD的中点， (1)求直线BN与平面SCD所成角的正弦值； (2)在棱SB上是否存在点G,使得CG/平面AMW?若存在，求SG的值；若不存在，请说明理由. 19.(本小题17分) 已知抛物线T:y2=2px>0),斜率为号的直线交T于A,B两点，且线段AB中点纵坐标为4. (1)求抛物线T的方程； (2)若直线I不过点P(2,4),且直线PA交于另一点C,记直线PA,PB的斜率为k1,k2, @求证：后+片=出 ()求证：直线BC过定点. 广安加德学校2025-2026学年度高2024级上学期期末模拟数学答案 1--4:AAAC 5-8:DDAB 9:AC 10:ABD 11:ABD 1.【答案】A解：在抽样的过程中，个体a每一次被抽中的概率都是相等的，因为总体容量 是10，所以个体Q第一次被抽到的可能性与第二次被抽到的可能性均为品故选A。 2.【答案】A解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，有(2,2引，(1,3引，(1,4)，(1,5， (1,6,(2,3引(2,4)，(2,5，(2,6，(3,4)，3,5，(3,6)，45)，(4,6)，(5,6，共15种取法， 其中抽到的2张卡片上的数字之积是5的倍数有1,5)，2,5)，3,5)，4,5)，(5,6)，共5种情 况，则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率P=品=会故选A 3.【答案】A解：根据题意，得MN=MC+CD+DN=AD-AB+号DP=AD-AB+AP AD)=-A丽-AD+AP即MN:-a-五+2 4.【答案】C解：以A为原点，AB,AD,AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，如下图所示，设正方体的棱长为1，则B(1,0,0,EO,1) D0,1,1C11,1,A0,0,1,可得BA=(-1,0BE=(-1,1,2 4 设元=（化，y,z是平面ABE的法向量，则 i:BA1=-X+z=0 i,BE=-x+y+号=0 令z=2,则x=2, B 2 y=1,即元=(2,1,2引，由DC=(1,0,0),且D1F=DC,可得F2,1,110≤1≤1)： 又因为B(1,0,1,所以B1F=(八-1,1,0，由B1F/平面A1BE, 可得元，B,F=2-1)+1×1+0×2=0,解得入=行故选：C. x 5【答案】D解：直线L经过AD0,8NE两点，直线的率为品=得 直线，的倾斜角为石直线，的倾斜角是直线L,的倾斜角的2倍，则L,的倾斜角为好，☑的斜 率为V3,故选：D. 6.【答案】D解：设动点M的坐标为化，以，由题意得MA=2,即MA1=2IMB1, 'IMBI 则√(x-2y+y2=2√(x-5P+y2,化简整理，得(x-6+2=4,因此，点M的轨迹是以圆 心C6,0叭、半径r=2的圆，则/0C/=√(6-02+0-2=6，因为/0C/-r≤10M/≤/0C1+r, 即4≤/OM1≤8，故/0M/的取值范围是[4,81.故选D. 7.【答案】A解：根据题意可得直线斜率一定存在，设直线的方程为y=k(化-2引，A(x,y, B(x2,y2,因为/AE/=2/BH/,所以x1+2=2(x2+2),/AF/=2/BF/,作AA1垂直x 轴，垂足为A1,作BB,垂直x轴，垂足为B1,则△AA,F~△BB,E,从而8=BA=号 IA1FIIAFI2 即2(2-x2)=x1-2,解得x1=4,因为Ax1,y1在抛物线C上， 所以y,=士4W2,则k=±4=士22，故选4. 4-2 8.【答案】B解：如图所示：设EF的中点为O,过O作EF的垂面，则AB的 中点P必在平面C内，设A,B在平面内的射影点为M,N,因为AP=BP=2, AM=BN=1,所以MN=2√5，以∠MON的角平分线为x轴，O为坐标原点建 立平面直角坐标系如图所示：设OM=,OW=n,由余弦定理可知： MN2=12=m2+n2-2mc0s60°，所以2+n2-nm=12,又因为 2 MOx=NOx=30°，设P(x,y),所以{ 2(m+n) m=25 ,所以 3x+2y _2V n 3-2 将上述结果代入等式m2+n-1=12中化简可得：。+y2=1, 故轨迹是椭圆，故选：B 9.【答案】AC解：连续抛掷正四面体两次，样本点总数为4×4=16，每个样本点等可能发 生，事件8第一次数字为奇数：第一次取1、3，共2种，故P®)异= 事件C第二次数字为偶数：第二次取2、4，共2种，故P1C)=- 事件A两次和为奇数：需“奇+偶”或“偶+奇”，共2×2+2×2=8种，故P4)=品-分 选项A:对于事件A与事件B,P(A)=P(B)=P(AB)=子事件A与事件B是相互独立事 件，A正确.选项B:事件B与C可同时发生，故不互斥，B错误.选项C:PAP(B)P1C)=方×× 言日C正确，选项D:事件ABC表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数， 锁P(4B0=器-子故D债误.故远：AC 10.【答案】ABD解：如图，以点D为原点，DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直 角坐标系，则A(2,0,0,B(2,2,0,C10,2,0,D(0,0,0),P(0,0,2,M(1,0,1), N(0,1,1,G(1,1,1,对于A,DN=(0,1,1,BN=（-2,-1,1,CN=(0,-1,1) DC=0,2,0,CB=(2,0,0.DN.BN=0,DN·CN=0,DC.CB=0,CB.CN=0, ∴DN L BN,DN⊥CN,DC⊥CB,CB⊥CN,即DN⊥BN,DN⊥CN,DC⊥CB, CB 1 CN,四面体N-BCD的四个面都为直角三角形，即四面体N一BCD是鳖 臑，故A正确；对于B,CC=(1,-1,1),MN=(-1,1,0),则CG与MN所成角的 D 余弦值为 1os<G,N>1=/品/=5，故B正确：对于C,pi=20-2. PG-a2水设面PaG的法同里为三化x水由民股2经 ,取z=1, 得7=2,1则点G到平面PAC的距离为.L-号放C错误！ √3 对于D,元=1-220，丽=(-10，以直线AC方向上的单位向量是成=1-号，号，0以， 则M到AC的距离d=√IAMP-(AM·=5,则D正确.故选：ABD. 11.【答案】ABD解：如图，由PA1L,PB12,则O,P,A,B四点在以OP为直径的圆上， 则0P川≥A1,故B正确：由双曲线C若-号=1，则南近线方程为y=土号 t, 不纺设y=号x,y=号x,则∠40B=60, 由PML:PNW/M,则∠PNB=∠PMA=∠AOB=60°，则PM=PA sin 60' PN=8o则S,-PA-Pnsn120-号PA,PBS,-PM,PNsn60-号PA-PB 则451=3S2,故C错误；设Pxoy,满足马_5=，则后-3y%=6, 62 则由点到直线距离知PA-竖d:过，同理有PD:V过 1+号 2 2 则PAPB=品通-号放A正确：故PM:PN-恩=2，在△PMN中，由余弦定理知， 4 MN2=PM2+PN2-2PM·PNcos60°=PM2+PN2-2>2PM·PN-2=2, 故/MN/>V2,当且仅当PM=PN=V2时，等号成立，故D正确.故选：ABD. 12.【答案】1或-2【解析】解：直线L1:ax-y-1=0,l2:ax-(a-2y-1=0垂直， 可得a2+(a-2)=0,解得a=1或a=-2.故答案为：1或-2. 13.【答案】2V5解：因为二面角a-l-B的大小为60°，所以AC与DB的夹角为120°， 又AB=AC+CD+DB,所以AB2=AC+CD+DEP=AC2+CD2+DB2+2AC.CD+2CD·DB+ 2DB·AC=4+16+4+0+0+2×2×2×(-)=20,所以1AB1=25. 14【答案】4刀解：作点N关于原点的对称点E,连接EREF,、EN,因为椭圆C:号+y=1, 则点F(-√3，O)、F(√3，O),由椭圆的对称性可知点E也在椭圆C上，因为0为EN、F,F2 的中点，所以，四边形EFNF2为平行四边形，所以，EF/F2N且IEF引=|F2N, 因为MF/∥F2N,故M、F1、E三点共线，则|MF+INF2=IMFI+IEF|=IME, 所以，1FN+lF2M川=2a-lFM+2a-lF2N=4a-(IF1M+|F2NI)=8-IlEM 因为点M、N为椭圆上位于x轴上方的两点，则直线ME不与x轴重合， 设直线ME的方程为x=my-V3,设点M(x1,y1)、E(x2,y2), 径+y2=1可得m+40y2-2V3my-1=0. (x=my-3 联立x2 则4=12m2+4(m+4)=16(mr2+1)>0,+2=23 m2+4y2-m2+4 所以，/ME/=√x1-x2P+(y1-y22=V1+m2·Vy1+y2P-4yy2 -=4-异∈4所以.E,+F,M:8EMe4刀.故答案为：8孔 m2+4 15.解：①)设点8x儿由题线段AB的中点M(号，牛号在直线上， 故：6分)-4)+1=0①， 又直线4B垂直于直线，赦器-号②， 联立①@式解得：C日成点B的坐标为20 (2)设点Px,yW,由题/P01=V3引PB1,则/P012=31PB/2,故x2+y2=30x-22+y2], 化简得x-32+y2=3,又~直线x+my-1=0与圆x-32+y2=3有公共点， 故器≤万，解得mE(-0-1u号+) 16.(1)证明：取AB的中点F,由正三棱柱的性质可得，A1B1,DC1,DF两两互相垂直，以D 为原点，分别以DB1,DC1,DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.不 妨设AA1=2,则AB1=2√2，则A(-√2,0,0，A(-V2,0,2引，BN2,0,2引，C10,√6,0， r竖2.B=2W2,02.i=1-厄.0,2，DG=0V6,,正=92办 由A1B·DA=(2V2,0,2·(-V2,0,2)=-4+0+4=0,得AB1AD, 由AB·DC=(2√2,0,2)·(0，V6,0)=0+0+0=0,得A1B1DC1, AD,DC1C平面AC1D,AD∩DC1=D,∴AB1平面AC1D. (2)解：由(1)可知AB=(2V2,0,2)为平面AC,D的一个法向量，设元=(x,y,z为 平面C,0的法向量，则：-0，和停x+9)+2=0 i.DC1=0,(√6y=0, 令z=1,得平面C1DE的一个法向量为沉=(-2V2,0,1, 设=面角Ac0E的大小为0，期co:片需-停可物sn0: 3 所以，二面角A-C,D一E的正弦值为5， 31 B 17解：（①第六组的频率为=0.08第七组的频率为： 1-0.08-5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06. (2)由直方图得，身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5=0.04， 身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5=0.08， 身高在第三组[165,170的频率为0.04×5=0.2， 身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5=0.2， 由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5， 设这所学校的800名男生的身高中位数为m,则170<m<175, 由0.04+0.08+0.2+(m-170)×0.04=0.5得m=174.5, 所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm, 平均数为157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2+172.5×0.2+177.5×0.06×5+182.5× 0.08+187.5×0.06+192.5×0.008×5=174.1. (3)第六组[180,185)的抽取人数为4，设所抽取的人为a,b,c,d, 第八组[190,1951的抽取人数为0.008×5×50=2，设所抽取的人为A,B, 则从中随机抽取两名男生有ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA, dB,AB共15种情况，因事件E=/x-y/≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 所以事件E包含的基本事件为ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB共7种情况.所以P(E)=5 18.解：因为SD L AD,且AD1DC,SD∩DC=D,SD,DCc平面SDC,所以ADI平面SCD, 所以∠SDC=60°，且平面SCDI平面ABCD,又SD=AD,所以△SCD为正三角形，过S作CD 的垂线，交CD于N,以N为坐标原点，过N作AB的垂线为x轴，NC,NS所在直线为y,z轴， 建立空间直角坐标系，设SD=2,则A(2,-1,0),B(2,1,0),C0,1,0,D0,-1,0,S0,0,√3)， M N.0,0), (1)因为NB=(2,1,0),又DA=(2,0,0)为平面SCD的一个法向量，所以 cos<WG.点-S,所以直线BN与平面3CD所成角的正法值为25， 5 5 (2)假设存在点G,使得CG∥平面AMN,设G化，y,z,SG=SB(0≤1≤1)， 因为sG=(xyz-√3)，sB=21,-√3到，所以x=21,y=1,z=V31-), 即G(22,2,√31-，所以cG=(2λ1-1，V31-) 设平面AMN的法向量为5=ky2因为A=(2,-1,0),MM=(0,号)， 由NA正0得，+32=0令=2，则y,2有，为V3, 所以万=(-V3,-2√3,2)为平面AMN的一个法向量，因为CG/平面AMW,所以CC1, 所以CG·b=21×(-V3)+(几-1)×(-2√3)+V31-)×2=0, 解得A-子所以存在点C,使得CG/平面AMN,且=2. 19.解：(1)设直线的方程为x=2y+n,代入y2=2px,得y2-4py-2pm=0,设点Ax,y, Bx,y,则y1+2=4印，又2=4，p=2,抛物线r的方程为y2=4x: 2 手友好是则呢+号-2tm222n-2 、(2)①证明：由2,2且是=二名1=22m k1 k2 y1-4 y2-4 yw2801t2tm-20y1t21-8n-2=4y2+n-1001+y2-8n-2=16二6t=4, y1y2-401+y2)+16 所以1+1.2 (画证明：由片+方=4，设直线BC方程：X=my+t,B以小Cy 联立my*t y2=4x ，可得y2-4my-4t=0,y2+ya=4m,y2yg=4t,k,三号32=2二 x2-2 方片2特2：6228t-. y2-4 y2y3-40y2+y3)+16 整理得：4m2-2t-14m+mt+12=0,即(m-2t+4m-6)=0, 当m=2时，直线AB与直线BC重合，舍去，.t+4m=6,直线BC方程：x=my+6-4m, ∴直线BC过定点(6,4)，故直线BC过定点.