第05讲 待定系数法求解析式、二次函数与一元二次方程（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第05讲 待定系数法求解析式、二次函数与一元二次方程 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 用“一般式”求二次函数解析式（重点） 题型2 用“顶点式”求二次函数解析式（重点） 题型3 用“交点式”求二次函数解析式 题型4 二次函数图像的平移（难点） 题型5 求抛物线与x轴的交点坐标 题型6 求抛物线与y轴的交点坐标 题型7 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型8 抛物线与x轴的交点问题（难点） 题型9 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型10 求x轴与抛物线的截线长 题型11 图像法确定一元二次方程的近似根 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 待定系数法；一般式；顶点式；交点式；抛物线与轴交点；判别式；数形结合；图象法解方程；二次函数与一元二次不等式；抛物线平移；截线长 1. 掌握待定系数法求二次函数解析式的三类形式，能根据题目条件灵活选用一般式、顶点式、交点式列式求解. 2. 理解二次函数与一元二次方程的内在关联，能借助判别式判断抛物线与轴交点个数，利用交点横坐标求解方程根. 3. 掌握图象法求一元二次方程近似根的步骤，能结合抛物线图象写出一元二次不等式的解集. 4. 会处理抛物线平移、坐标轴交点、两交点截线长、含参数综合题型，建立数形结合解题思维. 学习重点：1. 依据已知条件选择合适解析式，用待定系数法求解二次函数表达式. 2. 取值、抛物线与轴交点数量、一元二次方程根的三种情况对应关系. 3. 求抛物线与坐标轴交点坐标、两交点间线段长度的通用方法. 4. 借助二次函数图象解一元二次方程、确定一元二次不等式解集. 学习难点：1. 复杂条件下最优解析式形式的选取，含参数二次函数分类讨论. 2. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者数形综合转化应用. 3. 结合抛物线对称性、平移变换、面积计算的多考点综合题型求解. 4. 区分不等式有无等号对应的图象边界，准确书写解集范围. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 用待定系数法求二次函数的解析式 1.一般式 若知道函数图象上三个点的坐标（或任意三对值），即可设该二次函数的解析式为一般形式.由已知条件列出关于的方程组，求出待定字母系数的值，再回代到中． 二次函数的图象经过三点，求该二次函数的解析式. 求二次函数的解析式，即求解析式中的待定字母系数，一般地，有几个待定系数，就要根据题目中的条件列出几个关于待定系数的方程. 2. 顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，则设函数解析式为顶点式，再把已知的另外一个点或两点的坐标代入，即可求出待定字母系数的值. 已知二次函数的图象以为顶点，且过点. (1)求该二次函数的解析式； (2)求该二次函数的图象与坐标轴的交点坐标. 3.交点式 若已知抛物线与轴的两交点或已知抛物线与轴的一个交点和对称轴，可设函数解析式为交点式，其中是抛物线与轴交点的横坐标. 已知抛物线与轴的交点是，且抛物线经过点，求该抛物线的解析式. 求出二次函数的解析式后，最后的结果往往要化为的形式. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式. 设二次函数解析式形式的方法 (1)若已知抛物线的顶点在原点，则可设函数解析式为； (2)若已知对称轴是轴，则可设函数解析式为； (3)若已知抛物线的顶点在轴上(或抛物线与轴只有一个交点)，则可设函数解析式为. (4)若抛物线过原点，可直接设函数解析式为. 知识点02 二次函数与一元二次函数的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象与轴交点的横坐标就是一元二次方程的解. 2.二次函数的图象与轴的交点的情况和对应的一元二次方程的根的情况的关系 的取值 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 一元二次方程 的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 求抛物线与x轴的交点坐标的方法 1.已知抛物线的解析式时,转化为解一元二次方程的问题; 2.已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解. 已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 在平面直角坐标系中，已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 知识点03 图象法求解一元二次方程 1.方法一 通过求二次函数与轴的交点标从而求出一元二次方程的解. 具体步骤如下： (1)画:在平面直角坐标系中画出二次函数的图象; (2)看:观察图象确定抛物线与轴的交点坐标: (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 2.方法二 通过求抛物线与直线的交点坐标求得一元二次方程的解. 具体步骤如下: (1)画:在平面直角坐标系中画出函数与[或与或与]的图象; (2)看：观察图象，确定抛物线与直线的交点标； (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，可类比用一次函数的图象解一元一次方程的方法,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，由图象与x轴交点的横坐标求一元二次方程的解.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的. 小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 知识点04 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等及之间的关系如下: 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 或 （或） 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 或 （或） 全体实数 （1）二次函数的图象在轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集;在轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集. （2）像、此类不等式中带有等号，那么其解集也相应带有等号. 已知是关于的二次函数，当时，的取值范围是：____________． 不等式对于一切实数都成立，则的最大值为____． 题型1 用“一般式”求二次函数解析式 【例1】若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数表达式是( ) x －1 0 1 ax2 1 ax2＋bx＋c 8 3 A．y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4 C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8 【例2】设二次函数（，b是实数）已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示，则该二次函数的表达式为（    ） x … 0 1 2 3 … y … 5 m n 2 p … A． B． C． D． 【技巧归纳】 1．设解析式： 2．代入三个点坐标，列三元一次方程组 3．解方程组求出 a , b , c 4．解析式子写出解析式，检查验证 【变式1-1】根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 【变式1-2】已知，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【变式1-3】已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 3 4 8 … … 7 0 0 40 … 则二次函数的解析式为___________． 题型2 用“顶点式”求二次函数解析式 【例3】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 4 … … 10 1 1 25 … 这个二次函数的表达式为____________________________． 【技巧归纳】 1．已知顶点 ，设 2．代入图像上任意一点，解出 3．展开整理可化为一般式，按需转换 4．代入坐标验算，避免计算失误 【变式2-1】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于点，顶点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，函数的最小值为，则的取值范围是______． 【变式2-3】一个二次函数，当时，函数的最小值为2，图象经过点，则这个二次函数的表达式为______． 【变式2-4】二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x和函数值y的部分对应值如下表所示： x 0 … y 5 4 5 … （1）根据以上信息可知，______． （2）此二次函数的解析式为_______________． 【变式2-5】有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：开口向下；乙：对称轴是直线；丙：与轴的交点到原点的距离为2，满足上述全部特点的二次函数的解析式为______． 题型3 用“交点式”求二次函数解析式 【例5】若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【例6】已知二次函数图象经过原点和点，且图象与轴的另一个交点到原点的距离是，则这个二次函数的解析式为_________． 【技巧归纳】 1．已知与 x 轴两交点 ，设 2．代入图像上第三个点，求出系数 3．按需展开化为一般式或顶点式 4．代入坐标验算结果 【变式3-1】抛物线经过点，且与轴交于点．若，则该抛物线解析式为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式3-2】已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相同，且经过和，则这条抛物线的解析式为______． 题型4 二次函数图像的平移 【例7】将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 【例8】在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1．先化成顶点式 ，只看顶点 平移 2．平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 3．只动 h , k, a 保持不变 4．逆向平移反向操作，最后可整理为一般式 【变式4-1】将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 题型5 求抛物线与x轴的交点坐标 【例9】二次函数与轴交于，则的值为______． 【例10】若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 【技巧归纳】 1．令 ，得到一元二次方程 2．解方程，两根 ，交点为 3．判别式判断交点个数： 两个、 一个、 无交点 4．有交点可直接写交点式 【变式5-1】已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 4 5 7 0 则关于的一元二次方程的解为_____． 【变式5-2】已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【变式5-3】已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 【变式5-4】如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 题型6 求抛物线与y轴的交点坐标 【例11】抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【例12】在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【技巧归纳】 1．令 ，代入函数解析式 2．算出 ，交点固定为 3．直接看一般式常数项快速写出坐标 【变式6-1】抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是_______． 【变式6-3】已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 题型7 已知二次函数的函数值求自变量的值 【例13】若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【例14】已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【技巧归纳】 1.将已知函数值代入解析式，得到一元二次方程 2.解方程得到自变量取值 3.结合题目定义域舍去不符合题意的解 4.检验结果代入原式验证 【变式7-1】二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【变式7-2】已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 【变式7-3】如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标． 题型8 抛物线与x轴的交点问题 【例15】函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【例16】已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【技巧归纳】 1．判别式 定交点数量： 两个交点， 一个交点， 无交点 2．求交点：令 ，解一元二次方程，根为交点横坐标 3．两根关系用韦达定理快速算横坐标和、积 4．线段长度用两根差绝对值求解 5．含参数题型结合 列不等式求参数范围 【变式8-1】二次函数的图象与x轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式8-2】若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式8-4】二次函数与x轴的交点个数为________． 【变式8-5】已知二次函数（为常数）的图象与轴的两个交点为，，若，则的值是__________ 题型9 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例17】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【例18】如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______． 【技巧归纳】 1.看抛物线与x轴交点个数:2个交点两不等实根，1个交点两相等实根，无交点无实数根 2.交点横坐标就是方程的实数根 3.有参数题结合图像转化为判别式列式求解 4.交点在坐标轴左右可判断根正负 【变式9-1】二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【变式9-2】抛物线经过点，对称轴为直线，则一元二次方程的解是______． 【变式9-3】抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 【变式9-4】如图是函数的图像．则方程的解是___________． 题型10 求x轴与抛物线的截线长 【例19】二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例20】将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【技巧归纳】 1．设方程 两根 ，截线长 2．公式： 3．先算判别式 ，代入公式直接求值 4．无交点时截线不存在，舍去 【变式10-1】在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【变式10-2】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【变式10-3】已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【变式10-4】抛物线与轴两交点间的距离为___________． 【变式10-5】已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 题型11 图像法确定一元二次方程的近似根 【例21】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【例22】在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于________（结果保留小数点后一位）． 【技巧归纳】 1.画出对应二次函数图像，标记与x轴交点 2.交点横坐标即为方程近似根 3.取交点附近整数、小数代入试值，缩小范围逼近精确值 4.按题目要求保留对应精度 【变式11-1】根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【变式11-2】设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A． B． C． D． 【变式11-4】如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个负解的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-5】二次函数部分x和y的值如表：则方程的较大的根范围是（   ） x y 0.61 0.24 A． B． C． D． 【变式11-6】下表给出了二次函数中的部分对应值，估计方程的一个解的取值范围是____________． … 1 … … 3 … 1．已知二次函数（其中x是自变量），当时，，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．±1 D．±2 2．已知抛物线，与x轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 3．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 4．若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 5．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________． 6．二次函数的图像与x轴的公共点的个数为______． 7．一个二次函数，当时，函数的最小值为2，它的图象经过点，求这个二次函数的解析式． 8．如图，四边形是矩形，、两点在轴的正半轴上，、两点在抛物线上．设，矩形的周长为． (1)求与的函数解析式； (2)求当为何值时，周长最大，最大值是多少． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 待定系数法求解析式、二次函数与一元二次方程 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 用“一般式”求二次函数解析式（重点） 题型2 用“顶点式”求二次函数解析式（重点） 题型3 用“交点式”求二次函数解析式 题型4 二次函数图像的平移（难点） 题型5 求抛物线与x轴的交点坐标 题型6 求抛物线与y轴的交点坐标 题型7 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型8 抛物线与x轴的交点问题（难点） 题型9 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型10 求x轴与抛物线的截线长 题型11 图像法确定一元二次方程的近似根 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 待定系数法；一般式；顶点式；交点式；抛物线与轴交点；判别式；数形结合；图象法解方程；二次函数与一元二次不等式；抛物线平移；截线长 1. 掌握待定系数法求二次函数解析式的三类形式，能根据题目条件灵活选用一般式、顶点式、交点式列式求解. 2. 理解二次函数与一元二次方程的内在关联，能借助判别式判断抛物线与轴交点个数，利用交点横坐标求解方程根. 3. 掌握图象法求一元二次方程近似根的步骤，能结合抛物线图象写出一元二次不等式的解集. 4. 会处理抛物线平移、坐标轴交点、两交点截线长、含参数综合题型，建立数形结合解题思维. 学习重点：1. 依据已知条件选择合适解析式，用待定系数法求解二次函数表达式. 2. 取值、抛物线与轴交点数量、一元二次方程根的三种情况对应关系. 3. 求抛物线与坐标轴交点坐标、两交点间线段长度的通用方法. 4. 借助二次函数图象解一元二次方程、确定一元二次不等式解集. 学习难点：1. 复杂条件下最优解析式形式的选取，含参数二次函数分类讨论. 2. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者数形综合转化应用. 3. 结合抛物线对称性、平移变换、面积计算的多考点综合题型求解. 4. 区分不等式有无等号对应的图象边界，准确书写解集范围. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 用待定系数法求二次函数的解析式 1.一般式 若知道函数图象上三个点的坐标（或任意三对值），即可设该二次函数的解析式为一般形式.由已知条件列出关于的方程组，求出待定字母系数的值，再回代到中． 二次函数的图象经过三点，求该二次函数的解析式. 解:设该二次函数的解析式为. 将三点坐标分别代入，得 解得故该二次函数的解析式为. 求二次函数的解析式，即求解析式中的待定字母系数，一般地，有几个待定系数，就要根据题目中的条件列出几个关于待定系数的方程. 2. 顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，则设函数解析式为顶点式，再把已知的另外一个点或两点的坐标代入，即可求出待定字母系数的值. 已知二次函数的图象以为顶点，且过点. (1)求该二次函数的解析式； (2)求该二次函数的图象与坐标轴的交点坐标. 解:(1)设二次函数的解析式为. 将点的坐标代入，解得. 所以二次函数的解析式为. (2)当时，求得与轴的交点坐标为； 当时，，解得. 所以与轴的交点坐标为. 综上所述，二次函数的图象与坐标轴的交点坐标为. 3.交点式 若已知抛物线与轴的两交点或已知抛物线与轴的一个交点和对称轴，可设函数解析式为交点式，其中是抛物线与轴交点的横坐标. 已知抛物线与轴的交点是，且抛物线经过点，求该抛物线的解析式. 解:设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入，解得. 所以抛物线的解析式为. 求出二次函数的解析式后，最后的结果往往要化为的形式. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式. 分析:点是抛物线与轴的一个交点，利用抛物线的对称性可求出另一交点，利用交点式可求出抛物线的解析式. 解: 点关于直线的对称点是， 设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入解析式，得 ，解得. 抛物线的解析式为. 设二次函数解析式形式的方法 (1)若已知抛物线的顶点在原点，则可设函数解析式为； (2)若已知对称轴是轴，则可设函数解析式为； (3)若已知抛物线的顶点在轴上(或抛物线与轴只有一个交点)，则可设函数解析式为. (4)若抛物线过原点，可直接设函数解析式为. 知识点02 二次函数与一元二次函数的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象与轴交点的横坐标就是一元二次方程的解. 2.二次函数的图象与轴的交点的情况和对应的一元二次方程的根的情况的关系 的取值 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 一元二次方程 的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 求抛物线与x轴的交点坐标的方法 1.已知抛物线的解析式时,转化为解一元二次方程的问题; 2.已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解. 已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴它与轴的另一个交点的坐标为． 在平面直角坐标系中，已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】， 【详解】解：当抛物线与x轴相交时，， ∴，即， ∴， 解得，， ∴该抛物线与x轴的交点坐标为，． 知识点03 图象法求解一元二次方程 1.方法一 通过求二次函数与轴的交点标从而求出一元二次方程的解. 具体步骤如下： (1)画:在平面直角坐标系中画出二次函数的图象; (2)看:观察图象确定抛物线与轴的交点坐标: (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 2.方法二 通过求抛物线与直线的交点坐标求得一元二次方程的解. 具体步骤如下: (1)画:在平面直角坐标系中画出函数与[或与或与]的图象; (2)看：观察图象，确定抛物线与直线的交点标； (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，可类比用一次函数的图象解一元一次方程的方法,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，由图象与x轴交点的横坐标求一元二次方程的解.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的. 小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． 二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过求二次函数与x轴的交点坐标，结合抛物线开口方向，确定函数值小于零时自变量的取值范围 【详解】解：由可知，函数图象与x轴交点为和， ∵二次项系数为正，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 知识点04 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等及之间的关系如下: 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 或 （或） 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 或 （或） 全体实数 （1）二次函数的图象在轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集;在轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集. （2）像、此类不等式中带有等号，那么其解集也相应带有等号. 已知是关于的二次函数，当时，的取值范围是：____________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值为， ∴的取值范围为， 故答案为：． 不等式对于一切实数都成立，则的最大值为____． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得要使不等式对于一切实数都成立，则需满足，进而根据二次函数的最值问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴当时，函数的最小值是当时取得，即为9； 当时，函数的最小值是当时取得，即为5； ∴， ∴， 即a的最大值为5． 题型1 用“一般式”求二次函数解析式 【例1】若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数表达式是( ) x －1 0 1 ax2 1 ax2＋bx＋c 8 3 A．y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4 C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8 【答案】A 【详解】把表格中所给的的三对对应值代入对应的式子可得： ，解得： ， ∴与之间的函数表达式为：. 故选A. 【例2】设二次函数（，b是实数）已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示，则该二次函数的表达式为（    ） x … 0 1 2 3 … y … 5 m n 2 p … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查待定系数法求解函数解析式，所以此题可根据表格代入两组数据进行求解函数解析式即可． 【详解】解：由表格可得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 故选B． 【技巧归纳】 1．设解析式： 2．代入三个点坐标，列三元一次方程组 3．解方程组求出 a , b , c 4．解析式子写出解析式，检查验证 【变式1-1】根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确列出方程组求解是关键． 将点，，代入解析式解方程组即可确定答案． 【详解】解：将点，，代入， 得， 解得， ， 故选：B． 【变式1-2】已知，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数表达式的方法以及二次函数的性质是解题关键． （1）把，，代入列出方程组求得、、的值，即可得出二次函数表达式； （2）首先把求出的二次函数表达式进行配方，由此得出抛物线的对称轴和顶点坐标即可. 【详解】（1）解：把，，代入得： ，解得， ∴抛物线对应的函数表达式为； （2）解： ， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． 【变式1-3】已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 3 4 8 … … 7 0 0 40 … 则二次函数的解析式为__． 【答案】 【分析】从表格中选三组数代入，求出即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将、、代入得：， 解得 ． ∴二次函数的解析式为； 故答案为：． 【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式．掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解答本题的关键． 题型2 用“顶点式”求二次函数解析式 【例3】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，求二次函数的解析式； 由于抛物线的形状和开口方向相同，二次项系数相同；根据顶点坐标，直接写出顶点式． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与相同， ∴． ∵顶点为， ∴抛物线的解析式为． 故选：C． 【例4】已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 4 … … 10 1 1 25 … 这个二次函数的表达式为____________________________． 【答案】（或） 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，准确计算是解题的关键．根据待定系数法求解即可． 【详解】解：由表可知，二次函数顶点坐标为，设解析式为（）， 将点代入得： ， ， ， 解得， 故二次函数解析式为， 验证其他点均符合表格数据， 故答案为：（或）． 【技巧归纳】 1．已知顶点 ，设 2．代入图像上任意一点，解出 3．展开整理可化为一般式，按需转换 4．代入坐标验算，避免计算失误 【变式2-1】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是确定抛物线的解析式，已知抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定，顶点坐标确定顶点式；原抛物线的二次项系数为，故新抛物线的二次项系数也为；顶点为，代入顶点式即可求解. 【详解】解：原抛物线的二次项系数为，因此新抛物线的解析式可设为顶点式： 其中顶点为，代入得： ； 故选C 【变式2-2】如图，平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于点，顶点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，函数的最小值为，则的取值范围是______． 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分三种情况：所给范围在对称轴左侧，右侧及包含对称轴，分别利用二次函数的性质讨论即可． 【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， ． 解得． ． 抛物线的解析式为． （2）由顶点坐标可知抛物线的对称轴为， 当时，位于对称轴右侧，y随着x的增大而增大，此时当时，取最小值，即， 解得； 当时，即时，位于对称轴左侧，y随着x的增大而减小，此时当时，取最小值，即， 解得； 当时，即时，此时当时，取最小值，即，符合题意， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查二次函数，掌握待定系数法及二次函数的性质并分情况讨论是关键． 【变式2-3】一个二次函数，当时，函数的最小值为2，图象经过点，则这个二次函数的表达式为______． 【答案】 【分析】设抛物线顶点式，然后将点代入解析式求解． 【详解】解：根据题意设， 把代入得， 解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 【变式2-4】二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x和函数值y的部分对应值如下表所示： x 0 … y 5 4 5 … （1）根据以上信息可知，______． （2）此二次函数的解析式为_______________． 【答案】 5 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据表格中对应值可知抛物线与轴的交点，即可求解； （2）根据表格中对应值可知对称轴的值，即可得到顶点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【小题1】解：由表可知，当时，． 故答案为：5． 【小题2】解：二次函数的图象过和， 对称轴为直线， 顶点为 故设二次函数的解析式为． 将代入，得， ， 二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 【变式2-5】有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：开口向下；乙：对称轴是直线；丙：与轴的交点到原点的距离为2，满足上述全部特点的二次函数的解析式为______． 【答案】 【分析】由开口向下，可知a＜0，对称轴是直线x=2，可得k=2，与y轴的交点到原点的距离为2，可得与y轴的交点的坐标为（0，±2），利用待定系数法求出解析式． 【详解】解：∵二次函数y=a（x-k）2的图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x=2， ∴k=2， ∴二次函数y=a（x-k）2的解析式为y=a（x-2）2， ∵与y轴的交点到原点的距离为2， ∴与y轴交于点（0，2）或（0，-2）， 把（0，2）代入得，2=4a， ∴（舍去）， 把（0，-2）代入得，-2=4a， ∴， ∴解析式为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，此题是开放题，解题的关键理解题意．注意利用待定系数法求函数解析式． 题型3 用“交点式”求二次函数解析式 【例5】若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求解抛物线的解析式，由题意设抛物线为，结合抛物线与x轴相交于点，，可得答案． 【详解】解：∵抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴设这样的抛物线为， ∵抛物线与x轴相交于点，， ∴，， ∴抛物线为； 故选：A 【例6】已知二次函数图象经过原点和点，且图象与轴的另一个交点到原点的距离是，则这个二次函数的解析式为_________． 【答案】或 【分析】根据图象与轴的另一个交点到原点的距离是3得出这个交点可能是(3,0)或者是(-3,0)，再根据两点式去计算即可． 【详解】∵图象与轴的另一个交点到原点的距离是3 ∴坐标可能是(3,0)或者(-3,0) 设函数解析式为 ①图象过(3,0)、(0,0)、(2,4)时代入计算得： ②图象过(-3,0)、(0,0)、(2,4)时代入计算得： 综上所述：或． 【点睛】注意考虑全面，用两点式或顶点式算二次函数解析式时，最后的结果通常要化为一般式． 【技巧归纳】 1．已知与 x 轴两交点 ，设 2．代入图像上第三个点，求出系数 3．按需展开化为一般式或顶点式 4．代入坐标验算结果 【变式3-1】抛物线经过点，且与轴交于点．若，则该抛物线解析式为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，-2），根据A、B两点坐标设出抛物线解析式为，代入C点坐标即可求解． 【详解】设抛物线的解析式为 ∵ ∴抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，-2） ①当抛物线和y轴交点的为（0,2）时，得 解得 ∴抛物线解析式为，即 ②当抛物线和y轴交点的为（0，-2）时， 解得 ∴抛物线解析式为，即 故选D． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是设出合适的解析式形式，本题选用两点式（又叫双根式）较为合适． 【变式3-2】已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相同，且经过和，则这条抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，利用两点式设出函数解析式，根据两条抛物线的形状、开口方向相同，得到，即可． 【详解】解：∵抛物线经过和， ∴设抛物线的解析式为：， ∵一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可， ∴， ∴． 故答案为： 题型4 二次函数图像的平移 【例7】将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． 【例8】在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线平移的左加右减规律得到平移后的解析式，再利用已知交点坐标求出参数的值，最后通过配方法求出平移后抛物线顶点的纵坐标． 【详解】解：抛物线向左平移个单位长度， 平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线过点， 将，代入解析式，得， 整理得， 解得或， ， ， 将代入平移后的解析式，得， 整理得， 配方得， 平移后抛物线顶点的纵坐标为． 【技巧归纳】 1．先化成顶点式 ，只看顶点 平移 2．平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 3．只动 h , k, a 保持不变 4．逆向平移反向操作，最后可整理为一般式 【变式4-1】将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为． 【变式4-2】将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先求出抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出和的值． 【详解】解：∵抛物线关于轴对称时，只需将原解析式中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线向下平移2个单位， ∴平移后解析式为， 又∵平移后抛物线与上述关于轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴，， 解得，， 【变式4-3】将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“左加右减”的平移法则求出平移后新抛物线的解析式，再代入验证即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，可得新抛物线为： 即， 当时，， ∴抛物线不经过点与， 当时， ∴点在新抛物线上，点不在新抛物线上． 【变式4-4】抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，对原抛物线解析式进行变换即可． 【详解】解：∵抛物线平移遵循规律：左右平移改变自变量，左加右减，上下平移改变常数项，上加下减 原抛物线解析式为， 向左平移个单位长度，自变量加，得：， 再向下平移个单位长度，常数项减，得：． 【变式4-5】如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 【答案】3 【分析】先根据抛物线平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入解析式，求解得到的值． 【详解】解：根据抛物线平移的“上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为 平移后的抛物线经过原点， ， 解得，． 题型5 求抛物线与x轴的交点坐标 【例9】二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 【例10】若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数与轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标，是一元二次方程的两个根， ∴． 【技巧归纳】 1．令 ，得到一元二次方程 2．解方程，两根 ，交点为 3．判别式判断交点个数： 两个、 一个、 无交点 4．有交点可直接写交点式 【变式5-1】已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 4 5 7 0 则关于的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【分析】先根据表格中y值相等的点求出二次函数的对称轴，再利用对称性得到对应的另一个的值，即可得到一元二次方程的解 【详解】解：根据表格可得，点，都在二次函数的图象上， 二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得，当时，， 点关于对称轴的对称点为， 关于的一元二次方程的解是. 【变式5-2】已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【答案】 ， 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 【变式5-3】已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴它与轴的另一个交点的坐标为． 【变式5-4】如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． 题型6 求抛物线与y轴的交点坐标 【例11】抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为，将代入抛物线解析式计算出的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：当时， ， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 【例12】在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【答案】C 【分析】先根据二次函数与y轴交点位置得到a的取值范围，判断二次函数开口方向，再对二次函数配方得到顶点纵坐标，即可求出函数最值． 【详解】解：将代入，得， ∵二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴， 解得， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∴该二次函数的最大值为． 【技巧归纳】 1．令 ，代入函数解析式 2．算出 ，交点固定为 3．直接看一般式常数项快速写出坐标 【变式6-1】抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴上的点横坐标为，代入抛物线解析式计算值即可得到交点坐标． 【详解】解：∵轴上所有点的横坐标都为， ∴在抛物线中，令， 得， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 【变式6-2】将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是_______． 【答案】 【分析】先根据平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位， 根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 抛物线与轴交点的横坐标为，令，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 【变式6-3】已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先判断一元二次方程根的情况，再结合二次函数与一元二次方程的关系即可得证； （2）令，求出、两点的横坐标及；令，得与轴交点的纵坐标，即高，根据的面积为推得，求解即可． 【详解】（1）证明：一元二次方程中，，， ， 该二次函数图象与轴总有两个不同交点； （2）解：令，解方程， ， 解得，， ， 令，得与轴交点的纵坐标为， 即高为， 三角形面积， ①时，； ②时，（无实数解）． 故． 题型7 已知二次函数的函数值求自变量的值 【例13】若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性．先根据二次函数的对称性求出二次函数图象与直线的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵方程的解是二次函数与直线交点的横坐标， 已知其中一个交点为， 二次函数的对称轴为， 设另一个交点横坐标为， 由二次函数的对称性得， 解得， ∴方程的解为或， 故选：D． 【例14】已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将变形为，则该方程的解即为抛物线与直线交点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线与直线交于点和点， ∴当或时，成立， 即方程的解为或， 故选：D 【技巧归纳】 1.将已知函数值代入解析式，得到一元二次方程 2.解方程得到自变量取值 3.结合题目定义域舍去不符合题意的解 4.检验结果代入原式验证 【变式7-1】二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【答案】5 【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入函数解析式得到关于x的二次方程，解方程求得两个点的横坐标，再计算两点间的水平距离． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴， ∴二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为5． 故答案为：5． 【变式7-2】已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟悉掌握待定系数法是解题的关键． （1）依据题意，将点坐标代入即可得到的值； （2）依据题意，将点坐标代入即可得到的值． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， ； （2）解：由（1）得，二次函数解析式为， 点在这个图象上， ，即， 则， 解得或． 【变式7-3】如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合，已知二次函数的函数值求自变量的值，解题关键是用待定系数法求出二次函数解析式． （1）将、两点坐标代入抛物线即可求解； （2）由、两点坐标得出，结合三角形面积公式、点在轴下方得，代入抛物线解析式即可得对应的自变量的值，从而得到符合题意的点坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：，， ， ， ， ， 点在轴下方， ， 在中，当时，， 解得，， 点坐标为或． 题型8 抛物线与x轴的交点问题 【例15】函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 【例16】已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 【技巧归纳】 1．判别式 定交点数量： 两个交点， 一个交点， 无交点 2．求交点：令 ，解一元二次方程，根为交点横坐标 3．两根关系用韦达定理快速算横坐标和、积 4．线段长度用两根差绝对值求解 5．含参数题型结合 列不等式求参数范围 【变式8-1】二次函数的图象与x轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】令，求出的值即可． 【详解】解：令，得， 解得，， ∴与x轴有2个交点． 【变式8-2】若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴没有交点等价于对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 根据一元二次方程根的判别式性质，得， 即， 解得． 【变式8-3】若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】联立两函数解析式得到，根据两函数只有一个交点可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：联立得，即， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 【变式8-4】二次函数与x轴的交点个数为________． 【答案】2个 【分析】根据根的判别式计算判断即可． 【详解】解：令， 因为， 所以二次函数与x轴的交点个数是2个． 【变式8-5】已知二次函数（为常数）的图象与轴的两个交点为，，若，则的值是__________ 【答案】2 【分析】先把代入得，则抛物线解析式为，然后解方程即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 当时，， 解得，． 故答案为：2． 题型9 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例17】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：∵的图象与只有一个交点，且方程即的根就是抛物线的图象与的交点的横坐标， ∴关于x的方程有两个相等实数根． 故选：B． 【例18】如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______． 【答案】， 【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴， ∵与x轴的一个交点横坐标是， ∴设与x轴的另外一个交点横坐标是， ∴对称轴， 解得：， ∴方程的解是：，． 【技巧归纳】 1.看抛物线与x轴交点个数:2个交点两不等实根，1个交点两相等实根，无交点无实数根 2.交点横坐标就是方程的实数根 3.有参数题结合图像转化为判别式列式求解 4.交点在坐标轴左右可判断根正负 【变式9-1】二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 【变式9-2】抛物线经过点，对称轴为直线，则一元二次方程的解是______． 【答案】 ， 【分析】根据二次函数的对称性求出已知点关于对称轴的对称点，结合二次函数与一元二次方程的关系，即可得到一元二次方程的解． 【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴由抛物线对称性可得：对称轴： ∴， 解得：， ∴点关于直线的对称点坐标为， 一元二次方程的解即为抛物线中，当时对应的的值. ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 【变式9-3】抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， 设另一个交点为， ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 【变式9-4】如图是函数的图像．则方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据函数图象可得函数与x轴的两个交点坐标为，可推出函数与函数关于y轴对称，则函数与x轴的两个交点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，函数与x轴的两个交点坐标为， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴函数与函数关于y轴对称， ∴函数与x轴的两个交点坐标为， ∴方程的解是， 故答案为：． 题型10 求x轴与抛物线的截线长 【例19】二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 【例20】将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 【技巧归纳】 1．设方程 两根 ，截线长 2．公式： 3．先算判别式 ，代入公式直接求值 4．无交点时截线不存在，舍去 【变式10-1】在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线与轴的交点坐标，根据平移规则，将二次函数的图象向下平移5个单位得，再求出与x轴的交点坐标即可得解． 【详解】解：把函数，向下平移5个单位得， 令，得， 解得：，， 图象与x轴的两个交点为， ∴两交点距离为2，满足要求． 故选：． 【变式10-2】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 【变式10-3】已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标，可得，求解和，再进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴ 解得：，； ∴， ∴ 故答案为： 【变式10-4】抛物线与轴两交点间的距离为___________． 【答案】3 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为和， 抛物线与轴的两交点间的距离是． 故答案为：3． 【变式10-5】已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 题型11 图像法确定一元二次方程的近似根 【例21】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 【例22】在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于________（结果保留小数点后一位）． 【答案】3.1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，通过观察函数值符号变化确定根所在区间，并比较函数值的绝对值得到近似根. 【详解】解：从表中数据可知，当时，；当时，，因此方程的一个根在和之间， 由于， 所以根更接近， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于， 故答案为：（答案不唯一）． 【技巧归纳】 1.画出对应二次函数图像，标记与x轴交点 2.交点横坐标即为方程近似根 3.取交点附近整数、小数代入试值，缩小范围逼近精确值 4.按题目要求保留对应精度 【变式11-1】根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 【变式11-2】设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：B 【变式11-3】下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可知二次函数值在之间由负变为正，那么对应的一元二次方程的一个解也属于这个范围，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在之间，二次函数的函数值由负变正， ∴方程的一个解x的范围是， 故选：C． 【变式11-4】如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个负解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格中函数值的变化，确定时的取值范围，再结合负解得出答案即可，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在与之间，存在使， ∵是方程的负解， ∴， 故选：． 【变式11-5】二次函数部分x和y的值如表：则方程的较大的根范围是（   ） x y 0.61 0.24 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、利用表格确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，， ∴的较小的根的范围为， 设较小根为，较大根为， ∵函数的对称轴为直线， ∴， 当时，； 当时，， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 【变式11-6】下表给出了二次函数中的部分对应值，估计方程的一个解的取值范围是____________． … 1 … … 3 … 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【详解】解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，；当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． 1．已知二次函数（其中x是自变量），当时，，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：当时，；时，，则，解得：， 当时，；时，，则，解得：， ∴a的值为±1． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题时需分两种情况计算，注意自变量和函数值得对应关系． 2．已知抛物线，与x轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解∶抛物线与轴的一个交点为， ∴， ∴， ． 3．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点， ． 解得 ． 4．若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由抛物线与轴无交点，可知方程无实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得，， 实数的值可以是（答案不唯一）． 5．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解. 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，根据平移规律可得： 再将所得图象向下平移3个单位长度，可得： ，即 6．二次函数的图像与x轴的公共点的个数为______． 【答案】1 【分析】令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∴二次函数的图像与轴的公共点的个数为1． 7．一个二次函数，当时，函数的最小值为2，它的图象经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】设抛物线顶点式，然后将代入解析式求解． 【详解】解：根据题意设， 把代入得， 解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 8．如图，四边形是矩形，、两点在轴的正半轴上，、两点在抛物线上．设，矩形的周长为． (1)求与的函数解析式； (2)求当为何值时，周长最大，最大值是多少． 【答案】(1)l与m的函数解析式：； (2)1的最大值为20． 【分析】（1）先求出的长，根据对称性得出，表示出的长，再用周长公式表示出l与m的函数解析式； （2）根据二函数的性质求出l的最大值． 【详解】（1） 解：令， 得， 或， ， ， ， 根据对称性得出， ， 把代入， 得， ， ；， ∴l与m的函数解析式：； （2），， ， 时，l有最大值：20， ∴1的最大值为20． 【点睛】此题考查了结合特殊四边形求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、矩形的性质，掌握这几个知识点的综合应用，其中根据表示出的长是解题关键． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点M的坐标为 【分析】（1）解方程，即可求解； （2）求得，再利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况求解，即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∵抛物线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：∵，，， ∴， 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点在抛物线上； 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点不在抛物线上，不符合题意； 综上，点M的坐标为． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $