第05讲 平面上的距离（九大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

第05讲 平面上的距离（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 平面上两点间的距离 在平面直角坐标系中，我们建立了点与坐标、直线与方程的对应关系，并据此研究了点与直线、直线与直线之间的位置关系，那么， ●怎样借助点的坐标和直线的方程，来探求点与点、点与直线以及两平行直线之间的距离? 【知识点1 两点间的距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 【题型1 求平面两点间的距离】 【例1】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】应用两点的距离公式求距离即可. 【解答过程】由题意. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【解题思路】利用两点间的距离公式求解即可. 【解答过程】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解题思路】利用中点坐标公式求AB中点，再用两点间距离公式即可求解. 【解答过程】设AB中点为D，根据中点坐标公式可知AB中点坐标为， 则边上的中线长即为CD长度， 根据两点间距离公式可知：， 故边上的中线长为. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】先求出两条直线的定点，再根据两点之间的距离公式求解即可. 【解答过程】直线过定点， 直线过定点， 则 故选：A. 模块三 点到直线的距离 【知识点2 点到直线的距离】 1．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 2．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 3．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型2 点到直线的距离问题】 【例2】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据点到直线的距离公式计算即可. 【解答过程】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据直线垂直得出直线，再应用点到直线距离计算求解. 【解答过程】直线与直线相互垂直，所以直线的斜率为， 直线过点且斜率为，则直线， 则原点到直线的距离为. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【解答过程】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【解答过程】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 【题型3 两条平行直线间的距离问题】 【例3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将直线方程化为与方程形式相同的方程，再利用两平行直线间的距离公式计算. 【解答过程】直线的方程可化为，， 故直线与间的距离. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）若两直线与间的距离为，则（    ） A．1 B．7 C．1或 D．或7 【答案】C 【解题思路】根据两平行线直线之间的距离公式计算即可求解. 【解答过程】由题意知，， 所以两直线间的距离为，解得或. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·湖北·期中）若直线：与：（）平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由平行关系求出，再由平行线间的距离公式求解． 【解答过程】因为与平行，所以，得， 所以：， 所以与间的距离为． 故选：C． 【变式3-3】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直线平行求出，设出直线，根据直线l到的距离与l到的距离相等列出等式解出，进而求出答案. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，解得，故直线， 而直线可以写成，设直线， 因为直线l到的距离与l到的距离相等，所以，解得， 故直线，即直线l的方程为. 故选：D. 【题型4 与距离有关的最值问题】 【例4】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）点到动直线的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先分析直线经过定点，再利用两点间的距离求点到直线的距离的最大值. 【解答过程】对直线： ， 由 . 即直线经过定点. 所以点到点的距离就是点到动直线的最大值， 所以. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·湖南长沙·期中）、分别为与上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【解题思路】先判断两直线平行，再利用两平行直线的距离公式计算即得. 【解答过程】因直线与直线互相平行，、是两直线上的点， 故当且仅当为两直线的公垂线段时，取得最小值， 即的最小值为两直线之间的距离，为. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【答案】D 【解题思路】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【解答过程】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【解答过程】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 模块四 点、线间的对称关系 【知识点3 关于点的对称】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 【知识点4 关于直线对称】 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 2．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型5 直线关于点的对称问题】 【例5】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【解题思路】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【解答过程】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B. 【变式5-1】（25-26高三·全国·三轮复习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【解答过程】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【变式5-2】（25-26高二上·山东·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为________． 【答案】 【解题思路】在直线上取点、，求出这两点关于点的对称点的坐标，并求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【解答过程】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高二·全国·课后作业）已知直线与关于点对称，则_________. 【答案】 【解题思路】在直线上取点，，则M，N关于点对称的点分别为，再将这两点坐标代入直线中可求出的值. 【解答过程】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为. 点在直线上， ，解得， . 故答案为：. 【题型6 求点关于直线的对称点】 【例6】（25-26高二上·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用对称点思想列方程组求解坐标. 【解答过程】设点关于直线的对称点的坐标为， 则， 所以对称点的坐标为， 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设对称点为，由，即可求解. 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【解答过程】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 【变式6-3】（25-26高二上·福建·期中）点关于直线对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设对称点，根据线段中点在直线上，所在直线与直线垂直，即斜率相乘为，代入坐标即可求解. 【解答过程】设的对称点坐标为， 则对称点与已知点连线的中点为， 由题意可得，解得． 所以对称点坐标为． 故选：B. 【题型7 直线关于直线的对称问题】 【例7】（25-26高二上·北京·阶段检测）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据点关于y轴对称的点为，利用相关点法求直线方程. 【解答过程】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为， 可知点在直线上，可得，即， 所以所求直线方程为. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【解答过程】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为， 代入直线上，， 故选：D. 【变式7-2】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【解答过程】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 【变式7-3】（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【解答过程】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【题型8 光线反射问题】 【例8】（25-26高二上·海南·期末）一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设 ，根据题意，易判断点 在轴的同一侧，所以 ，则点 关于 轴的对称点为 ，根据对称及两点间的距离公式可求得的值，从而求得反射光线所在直线的方程. 【解答过程】设 ，根据题意，点在轴的同一侧， 所以 ，点关于轴的对称点为 . 因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 .    反射光线所在的直线即直线 ，由 ， 得直线 的斜率为， 所以其方程为，即 . 故选：D. 【变式8-1】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出入射点坐标，以及关于直线对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光线所在直线方程． 【解答过程】入射光线所在直线的方程为，即， 由解得，即入射点的坐标为， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选：B． 【变式8-2】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由反射光线所在直线与直线关于直线对称，利用对称性求出在反射光线上的两个点坐标，再由点斜式写出方程，即可得. 【解答过程】由题意，反射光线所在直线与直线关于直线对称， 联立，可得，则它们的交点为， 又点在直线上，令点关于的对称点为， 所以，可得，则点在反射光线所在直线上， 综上，点、均在反射光线所在直线上， 所以，所求直线为，即. 故选：A. 【变式8-3】（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【解答过程】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 【题型9 将军饮马问题】 【例9】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【解答过程】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C. 【变式9-1】（25-26高二上·湖南益阳·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【解答过程】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C. 【变式9-2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【解题思路】求出点关于直线对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【解答过程】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：.    【变式9-3】（25-26高二上·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【解题思路】首先利用点关于线的对称求出点,进一步利用两点间的距离公式的应用求出的长． 【解答过程】设军营所在位置为， 若将军从处出发，河岸线所在直线方程为， 故点关于对称点的坐标， 所以，解得；即． 设直线上任一点N，，即当且仅当Q，N，三点共线时取最小值， 即． 即“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用点到直线的距离公式计算即得. 【解答过程】点到直线的距离为. 故选：B. 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】 利用关于直线的对称点为求解. 【解答过程】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解题思路】利用平行的性质求解出，再结合平行线间距离公式求解即可. 【解答过程】因为直线与， 所以，解得， 则方程为，即， 由平行线间距离公式得距离为，故A正确. 故选：A. 4．（25-26高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【解答过程】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 5．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【解题思路】利用点到直线的距离公式求解. 【解答过程】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 6．（25-26高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【解答过程】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B. 7．（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【解答过程】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A. 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析可得直线恒过定点，记点为点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式，计算可得结果. 【解答过程】由得， 令，则，解得， 故直线恒过定点， 记点为点，当与直线垂直时， 点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】由点关于直线对称的性质，两点连线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上，先求出两点连线的中点，代入直线的方程，求出，再利用两直线垂直关系求出. 【解答过程】由题意知，的中点，即在直线上， 则可得，解得， 则直线，斜率为， 又直线与直线垂直， 则可得，解得， 故选：AC. 10．（2026高二上·浙江温州·专题练习）若两条平行直线与之间的距离是，则的值可能为（   ） A．7 B． C．13 D． 【答案】AD 【解题思路】先求出，再由两平行线间的距离公式求解． 【解答过程】因为两条平行直线与，所以，解得， 所以 ，而两平行直线间的距离是，则， 所以，得或，解得或. 故选：AD. 11．（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 【答案】AC 【解题思路】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】由解得，所以交点坐标为，A选项正确. 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为， 所以B选项错误. 由上述分析可知，直线关于原点O对称的直线过点， 所以直线关于原点O对称的直线方程为， 所以C选项正确. 点关于直线的对称点是； 点关于直线的对称点是， 所以直线关于直线对称的直线方程为， 即，所以D选项错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为__________. 【答案】 【解题思路】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【解答过程】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线的距离为__________． 【答案】 【解题思路】利用点到直线距离公式直接求解即可. 【解答过程】点到直线的距离. 故答案为：. 14．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【答案】 【解题思路】求出两直线的交点坐标，再求出直线上另外一点关于直线的对称点坐标，然后可得对称直线方程. 【解答过程】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为， 又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【解答过程】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 16．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将条件代入点斜式方程，化简变形，即可得答案. （2）将方程变形为，可得B点坐标，代入点到直线距离公式，即可得答案. 【解答过程】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，化为一般式方程为. （2）直线的方程可化为， 令，则，解得，即点， 所以点到直线的距离为. 17．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）借助两直线垂直性质计算即可得； （2）借助两直线平行性质计算可得，再利用两平行线间距离公式计算即可得. 【解答过程】（1）由直线与直线垂直，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为； （2）由直线与直线平行，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为， 设直线与直线间的距离为，由平行线间的距离公式可得： ， 即直线与直线间的距离为. 18．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1)： (2) 【解题思路】（1）设直线：，将点代入直线，即可解出答案； （2）先求出点关于直线的对称点，再由两点式写出反射光线. 【解答过程】（1）因为直线垂直于直线，直线 所以设直线：， 将点代入直线：， 所以直线：. （2）设点关于直线的对称点为，则 所以， 所以反射光线:， 化简得：. 19．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3) 【解题思路】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【解答过程】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 平面上的距离（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 平面上两点间的距离 在平面直角坐标系中，我们建立了点与坐标、直线与方程的对应关系，并据此研究了点与直线、直线与直线之间的位置关系，那么， ●怎样借助点的坐标和直线的方程，来探求点与点、点与直线以及两平行直线之间的距离? 【知识点1 两点间的距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 【题型1 求平面两点间的距离】 【例1】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【变式1-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 【变式1-3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 模块三 点到直线的距离 【知识点2 点到直线的距离】 1．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 2．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 3．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型2 点到直线的距离问题】 【例2】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【变式2-3】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型3 两条平行直线间的距离问题】 【例3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）若两直线与间的距离为，则（    ） A．1 B．7 C．1或 D．或7 【变式3-2】（25-26高二上·湖北·期中）若直线：与：（）平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型4 与距离有关的最值问题】 【例4】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）点到动直线的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·湖南长沙·期中）、分别为与上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 【变式4-2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【变式4-3】（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 模块四 点、线间的对称关系 【知识点3 关于点的对称】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 【知识点4 关于直线对称】 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 2．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型5 直线关于点的对称问题】 【例5】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【变式5-1】（25-26高三·全国·三轮复习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·山东·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为________． 【变式5-3】（25-26高二·全国·课后作业）已知直线与关于点对称，则_________. 【题型6 求点关于直线的对称点】 【例6】（25-26高二上·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·福建·期中）点关于直线对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型7 直线关于直线的对称问题】 【例7】（25-26高二上·北京·阶段检测）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型8 光线反射问题】 【例8】（25-26高二上·海南·期末）一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【题型9 将军饮马问题】 【例9】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·湖南益阳·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式9-2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【变式9-3】（25-26高二上·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为__________. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 4．（25-26高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 6．（25-26高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 10．（2026高二上·浙江温州·专题练习）若两条平行直线与之间的距离是，则的值可能为（   ） A．7 B． C．13 D． 11．（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 三、填空题 12．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为__________. 13．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线的距离为__________． 14．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 16．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 17．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 18．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 19．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $