第2章 圆与方程（暑假预习举一反三单元自测·提高篇）高二数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 苏教版高二上第2章“圆与方程”单元自测提高篇，120分钟150分，19题覆盖圆的方程、公切线、轨迹问题等核心知识，结合宁洛桥拱高问题等现实情境，培养数学眼光与应用意识，适合暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|圆的方程条件、公共弦长|基础巩固，如第1题方程表示圆的条件| |多选|3/18|两圆位置关系、切线判断|能力辨析，如第10题公共弦方程推导| |填空|3/15|直径圆方程、最值问题|简洁应用，如第12题AB为直径的圆方程| |解答|5/77|外接圆、切线方程、公共弦长|综合探究，如第16题两圆公共弦长度计算，体现推理能力|

第2章 圆与方程（单元自测·提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【解答过程】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 2．（5分）（25-26高二上·广东广州·期中）两圆与的公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程作差可得其公共弦所在直线的方程，利用点到直线的距离，由几何法求得弦长. 【解答过程】由，得两圆公共弦所在直线方程为. 圆心到直线的距离为. 所以公共弦长为. 故选：A. 3．（5分）（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆与圆的公切线有3条，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据圆的标准方程得出圆心及半径，再根据公切线条数得出圆与圆的位置关系，进而得出圆心间距离等于半径和列式计算求参. 【解答过程】圆圆心坐标为，半径为2； 圆圆心坐标为，半径为. 因为圆与圆有3条公切线，所以两圆外切，所以. 故选：C. 4．（5分）（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，，根据线段的中点坐标得到与和与的关系式，再代入圆的方程即可求得结果. 【解答过程】设，，则线段的中点坐标为， 即，所以. 因为点在圆上，所以满足. 化简得. 故选：C. 5．（5分）（25-26高二上·河北·阶段检测）若圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可知，圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【解答过程】由题意得圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为圆上到直线的距离为的点有且仅有个，所以，即， 解得或， 故选：B. 6．（5分）（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】建立直角坐标系，利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可． 【解答过程】以为原点，建立平面直角坐标系，如图： 设该圆弧所在圆为圆． 将的坐标代入圆的方程，得，解得， ∴圆． 当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7． 故选：C． 7．（5分）（25-26高二上·河北·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出直线的定点，然后结合图像，确定临界条件，进而求出结果. 【解答过程】直线可转化为，所以直线过定点，斜率为， 又曲线可转化为：，. 画出直线与曲线图象如图所示. 数形结合可得直线在，处产生临界条件， 设直线，的斜率分别为，. 点，则，设直线的方程为， 即，圆心到直线的距离为，解得， 所以要使直线和曲线有两个不同的交点，则. 故选：D. 8．（5分）（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【解题思路】求圆心到直线的距离，可得切线长，即可得四边形周长的最小值. 【解答过程】圆：的圆心为，半径， 圆心到直线：的距离，    因为，且， 则四边形周长， 所以四边形周长的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026高二上·全国·专题练习）下列方程中，哪些表示一个圆？（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解题思路】对于方程表示圆，当且仅当，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于选项A：，则，不表示一个圆，表示一个点，即选项A错误； 对于选项B：，则，不表示一个圆，表示一个点，即选项B错误； 对于选项C：，则，表示一个圆（圆心为，半径为3），即选项C正确； 对于选项D：，则，表示一个圆（圆心为，半径为1），即选项D正确； 故选：CD． 10．（6分）（25-26高二上·安徽六安·期中）圆和圆的交点为，，则（    ） A．两圆圆心距 B．公共弦所在直线的方程为 C．圆和圆的公切线有3条 D．公共弦的长为 【答案】AD 【解题思路】把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，求出圆心距即可判断A；把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可判断B；判断两圆的位置关系，即可判断C；因为公共弦所在直线过圆心，所以公共弦的长等于，即可判断D． 【解答过程】圆化成标准方程， 则圆心，半径， 圆化成标准方程， 则圆心，半径， 故两圆圆心距，故A正确； 圆和圆， 将两方程相减得，即， 即公共弦所在直线的方程为，故B错误； 因为， 所以，则两圆相交， 所以圆和圆的公切线有2条，故C错误； 因为公共弦所在直线过圆心， 所以公共弦的长等于，故D正确． 故选：AD． 11．（6分）（25-26高二上·黑龙江鸡西·期中）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A． B．直线与圆相离 C．从点向圆引切线，切线长的最小值是 D．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】ABC 【解题思路】对A，先求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质，即可判断A；对B，根据直线与圆的位置关系的判断方法，即可求解；对C，利用切线长为，从而求出的最小值，即可求解；对D，根据条件得点在圆内，从而可得当过点的直线与垂直时，该直线被圆截得的弦长最短，即可求解. 【解答过程】由，得到，所以圆心为，半径为， 对于A，因为圆心到直线的距离为， 所以，故A正确， 对于B，由选项A知圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，故B正确， 对于C，从点向圆引切线，切线长为， 所以当时，切线长最小，最小值是，故C正确， 对于D，因为，所以在圆内， 当过点的直线与垂直时，该直线被圆截得的弦长最短， 又因为和圆心的距离为， 所以最短弦长为，故D错误. 故选：ABC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·河南新乡·期中）已知点，，则以AB为直径的圆的标准方程为__________. 【答案】 【解题思路】利用中点坐标公式求解圆心，利用两点距离公式求解半径，即可求解圆的标准方程. 【解答过程】设线段AB的中点为C，则所求圆的圆心为点C，半径为， 因为，，所以，， 所以圆C的标准方程为. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】由题可得两圆相交，据此可得答案. 【解答过程】得的圆心，半径． 将化为标准方程得， 易知的圆心，半径． 又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然， 则，即， 解得． 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知实数满足的方程为，则的最大值为__________． 【答案】 【解题思路】根据的几何意义并结合图象求解出最大值. 【解答过程】，其表示圆上的点与点连线的斜率， 如图所示，显然当直线与圆相切时，切点与原点的连线斜率有最值，即有最值，    当与圆相切时，则，解得， 所以的最大值为，即的最大值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·江苏·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出直线BC的斜率k，代入点斜式方程，整理即可得答案. （2）设出圆的一般方程，将A、B、C点坐标代入，待定系数，即可得答案. 【解答过程】（1）直线BC的斜率，则方程为，变形为. （2）设外接圆的一般方程为， 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程， 所以，即，解得， 故所求圆的一般方程为. 16．（15分）（25-26高二上·山西·阶段检测）已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求公共弦的长度． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆的一般方程为，将点的坐标代入方程求解方程组，再化为标准方程即可； （2）两圆相减得直线的方程，然后利用垂径定理求解弦长即可. 【解答过程】（1）设圆的一般方程为， 由题意得，，解得， 所以圆的一般方程为， 故圆的标准方程为. （2）由圆与圆， 两式相减得， 即直线的方程为， 则圆心到直线的距离， 又圆的半径为5，故. 17．（15分）（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知圆，点. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求该直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【解题思路】（1）求出圆的圆心及半径，再利用切线的性质，并按切线的斜率是否存在分类求解. （2）根据给定条件，求出圆心到直线的距离，再设出方程，利用点到直线的距离公式列式求解. 【解答过程】（1）圆的圆心，半径， 点到直线的距离为3，则直线可为过点与圆相切的直线； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，得，即， 解得，切线方程为，所以切线方程为或. （2）由过点的直线与圆相交于两点，且，得点到直线的距离， 由（1）知，直线的斜率存在，设其方程为，即， 于是，即，整理得，解得或， 所以所求直线的方程为或. 18．（17分）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）根据直线与圆相切时的性质，对斜率的存在进行分类讨论，根据点到直线距离公式，求出参数值，求出方程； （2）根据圆的内切和外切时的性质，判定半径之间的关系，进而列出方程，求出参数值. 【解答过程】（1）若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． （2）因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 19．（17分）（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，. (1)求经过，，三点的圆的方程，并判断点是否在该圆上 (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)设（1）中圆的圆心为，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】(1)（或）；点在该圆上； (2)或； (3)25 【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入三点坐标求得方程，即可判断； （2）通过斜率存在和不存在两类情况讨论即可求解； （3）由与直线垂直时，四边形面积最小，结合点到线的距离公式即可求解. 【解答过程】（1）设经过，，三点的圆的方程为， 则， 解方程组可得，，， 所以圆的方程为（或）； 又点的坐标满足上述圆的方程， 点在圆上； （2）由（1）知，圆的方程为，圆心为，半径为5， 当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立； 当斜率存在时，设过点的直线方程为，即， 所以可得，可得， 所以直线为， 所以所求切线方程为或； （3） 由（1）知，圆的方程为，圆心为，半径为5， 四边形面积等于2倍三角形的面积，， ， 又，即最小时，最小，此时三角形的面积最小， 即四边形面积最小， 当最小时，即与直线垂直时，四边形面积最小， 此时圆心到直线的距离， 四边形EMTN面积最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆与方程（单元自测·提高篇） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高二上·广东广州·期中）两圆与的公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆与圆的公切线有3条，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5分）（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·河北·阶段检测）若圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 7．（5分）（25-26高二上·河北·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为（   ） A． B． C． D．16 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026高二上·全国·专题练习）下列方程中，哪些表示一个圆？（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高二上·安徽六安·期中）圆和圆的交点为，，则（    ） A．两圆圆心距 B．公共弦所在直线的方程为 C．圆和圆的公切线有3条 D．公共弦的长为 11．（6分）（25-26高二上·黑龙江鸡西·期中）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A． B．直线与圆相离 C．从点向圆引切线，切线长的最小值是 D．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·河南新乡·期中）已知点，，则以AB为直径的圆的标准方程为__________. 13．（5分）（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是__________． 14．（5分）（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知实数满足的方程为，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·江苏·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 16．（15分）（25-26高二上·山西·阶段检测）已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求公共弦的长度． 17．（15分）（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知圆，点. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求该直线的方程. 18．（17分）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 19．（17分）（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，. (1)求经过，，三点的圆的方程，并判断点是否在该圆上 (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)设（1）中圆的圆心为，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $