2026年四川省泸州市中考数学试卷

**基本信息** 2026年泸州市中考数学试卷结构完整，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过基础题、中档题、难题梯度设计，考查运算能力、推理意识及模型应用，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|实数（第1题）、科学记数法（第2题）、三视图（第3题）|结合2026高考人数考科学记数法，新定义“倒数点”（第12题）考函数综合| |填空题|5/20|因式分解（第13题）、概率（第16题）、四边形中点（第15题）|矩形中点四边形周长（第15题）体现几何直观，概率计算（第16题）培养数据意识| |解答题|8/72|统计分析（第20题）、方程应用（第21题）、函数与几何综合（第22-25题）|购物促销方案（第21题）建立模型意识，二次函数与等腰三角形（第25题）考查推理能力|

2026年四川省泸州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）·【较易】下列四个数中，是整数的是（　　） A．2026 B． C． D．2.026 2．（4分）·【易】据教育部网站消息，2026年全国高考报名人数为1290万人，将数据12900000用科学记数法表示为（　　） A．1.29×106 B．12.9×107 C．1.29×107 D．1.29×108 3．（4分）·【易】下列立体图形中，左视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）·【较易】下列运算正确的是（　　） A．2a+3a＝5a2 B．（a3）2＝a5 C．2a6÷a2＝2a3 D．a2•a4＝a6 5．（4分）·【易】如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，B，AB⊥BC，AE平分∠BAD，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 6．（4分）·【较易】▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．下列结论中一定成立的是（　　） A．OA＝OB＝OC＝OD B．AC⊥BD C．AC⊥BD，AC＝BD D．OA＝OC，OB＝OD 7．（4分）·【较易】不等式组的所有整数解的和为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 8．（4分）·【较易】若方程的解是关于x的方程ax＝1﹣x的解，则a的值为（　　） A． B． C． D．2 9．（4分）·【较易】如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，AD，BD，BC，若∠ACD＝40°，∠AEC＝65°，则∠CBD＝（　　） A．45° B．55° C．60° D．65° 10．（4分）·【较易】若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（　　） A． B． C． D． 11．（4分）·【较易】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，若AD＝BC＝BD，则的值为（　　） A． B． C． D． 12．（4分）·【中档】在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数y＝3x的图象上存在2个“倒数点”；②函数y＝|x﹣1|的图象上不存在“倒数点”； ③函数y＝2x2+1的图象上存在1个“倒数点”；④若函数y＝kx+2的图象上存在“倒数点”，则k≤﹣1． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 13．（4分）·【易】分解因式：x2﹣1＝　 　 ． 14．（4分）·【较易】函数y自变量x的取值范围是　 　 ． 15．（4分）·【较易】已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为　 　 ． 16．（4分）·【较易】4张形状、大小完全相同的卡片上分别写着数字1，2，3，4．从中随机抽取2张，抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率是 　 　 ． 17．（4分）·【中档】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点，AF与DE交于点M，BD与AF，MG分别交于点N，P．则NP的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 18．（8分）·【较易】计算：． 19．（8分）·【中档】化简：． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分） 20．（10分）·【较易】为了解甲、乙两名射击运动员射击训练的情况，随机抽取了他们10次射击训练成绩（单位：环）作为样本进行整理、描述和分析，并绘制成以下条形统计图和不完整的折线图、统计表格．根据题中已有信息，解答下列问题： 运动员 平均数 中位数 众数 甲 m n 8 乙 7.3 7.5 t （1）m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）求乙运动员第3次的射击成绩，并求出t的值； （3）若射击环数超过7环为优秀，试估计甲运动员射击80次的优秀次数为多少？ 21．（10分）·【较易】某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元． （1）购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？ （2）现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总金额超过180元的部分打8折．该手工社团计划购买B材料m份（m＞6），如何根据购买数量选择在哪家超市购买？ 22．（10分）·【中档】如图，一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到y轴的距离为4． （1）求反比例函数的解析式； （2）将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在y轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若CD＝3BC，求点D的坐标． 五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分） 23．（12分）·【较易】如图，某海岸线上有一观测点A，在点A的正东方向上有两个观测点C，D，且A，C相距20nmile．某日上午8点，测得一艘轮船位于点A的北偏西30°方向上的B处，且与A相距20nmile，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，且C，E相距60nmile，此时点D到E的距离是D到C的距离的2倍． （1）求该轮船的航行速度； （2）求点D，E间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 24．（12分）·【较难】如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，CE交AB于点F，连接AC，AE，BC． （1）求证：∠CAD＝∠BCD； （2）若AE∥CD，BD＝3，，求EF的长． 25．（12分）·【难】已知二次函数y＝ax2+bx+1． （1）若该二次函数的图象经过点（3，4），且关于直线x＝1对称，求二次函数的解析式； （2）当时，该二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，且△ABC是等腰三角形，求△ABC的面积； （3）当b＝1时，点D（1，y1），E（2，y2）在该二次函数的图象上，若y1＞y2，求二次函数在0≤x≤1上的最大值m的取值范围． 2026年四川省泸州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C． B D C D C A B A B B 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】A 【解析】解：∵2026不是平方数， ∴不是整数， ∵是分数，2.026是小数，2026是整数， ∴B，C，D选项不符合题意，A选项符合题意， 故选：A． 2．【答案】C． 【解析】解：12900000＝1.29×107． 故选：C． 3．【答案】B 【解析】解：A．该图形左视图是正方形，故此选项不符合题意； B．该图形左视图是三角形，故此选项符合题意； C．该图形左视图是矩形，故此选项不符合题意； D．该图形左视图是等腰梯形，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．【答案】D 【解析】解：2a+3a＝5a，则A不符合题意， （a3）2＝a6，则B不符合题意， 2a6÷a2＝2a4，则C不符合题意， a2•a4＝a6，则D符合题意， 故选：D． 5．【答案】C 【解析】解：∵直线a∥b， ∴∠1＝∠ACB， ∵∠1＝40°， ∴∠ACB＝40°， 又∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°， ∴∠2（180°﹣∠CAB）（180°﹣50°）＝65°． 故选：C． 6．【答案】D 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， 故选项D一定成立，符合题意； 对于选项A， ∵平行四边形的对角线不一定相等， ∴OA＝OB＝OC＝OD不一定成立， 故选项A不符合题意； 对于选项B， ∵平行四边形的对角线不一定垂直， ∴AC⊥BD不一定成立，故选项B不符合题意； 对于选项C， ∵平行四边形的对角线不一定垂直，也不一定相等， ∴AC⊥BD，AC＝BD不一定成立， 故选项C不符合题意． 故选：D． 7．【答案】C 【解析】解：解第一个不等式得x＞2， 解第二个不等式得x＜4.5， 故原不等式组的解集为2＜x＜4.5， 其整数解为3，4， 则3+4＝7， 故选：C． 8．【答案】A 【解析】解：将分式方程去分母得：2x﹣2＝x， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是分式方程的解， ∵方程的解是关于x的方程ax＝1﹣x的解， ∴2a＝1﹣2， 解得：a， 故选：A． 9．【答案】B 【解析】解：∵∠ACD＝40°， ∴∠ACD＝∠ABD＝40°， ∵∠AEC＝65°， ∴∠CAE＝180°﹣∠AEC﹣∠ACD＝75°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAE＝15°， ∴∠CBD＝∠ABD+∠ABC＝55°， 故选：B． 10．【答案】A 【解析】解：设该直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c， ∵a，b是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两个实数根， ∴a+b＝6，ab＝2，由勾股定理得： ， ∵三角形的面积， ∴直角三角形的内切圆半径公式为，代入得：， 故选：A． 11．【答案】B 【解析】解：由题知， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C． ∵BC＝BD， ∴∠C＝∠BDC， ∴∠A＝∠CBD＝180°﹣2∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴． 又∵AD＝BD， ∴． 令AC＝k， 则k（k﹣AD）＝AD2， 解得AD（舍负）， ∴， ∴（）2． 故选：B． 12．【答案】B 【解析】解：由定义得，倒数点满足xy＝1，x≠0，即， ①联立，则， 整理得3x2＝1， 解得， ∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ②联立， ∵y＝|x﹣1|≥0， ∴x＞0， 当x≥1时，，整理得x2﹣x﹣1＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5≥0， 解得，， 正根x，存在解， ∴图象上存在倒数点，故②错误； ③联立， ∴， 画出函数和y＝2x2+1图象的草图如图所示： ∴由图象知：函数和y＝2x2+1图象有唯一的交点， ∴有唯一的解， ∴存在1个倒数点，故③正确； ④联立， 整理得kx2+2x﹣1＝0， 当k＝0时，方程为2x﹣1＝0，解得，y＝2，满足，是倒数点， 此时k＝0＞﹣1，故④错误； 综上，正确的结论共2个， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 13．【答案】（x+1）（x﹣1）． 【解析】解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）． 故答案为：（x+1）（x﹣1）． 14．【答案】x≥5 【解析】解：根据题意得，x﹣5≥0， 解得x≥5． 故答案为：x≥5 15．【答案】12． 【解析】解：已知矩形的对角线长为6，如图， ∴AC＝BD＝6， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点， ∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD是中位线，EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线， ∴EH＝GFBD6＝3，EF＝GHAC6＝3， ∴顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为：EH+GF+EF+GH＝3+3+3+3＝12． 故答案为：12． 16．【答案】． 【解析】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的结果数为4， 所以抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率． 故答案为：． 17．【答案】． 【解析】解∵四边形ABCD是正方形，边长为4， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AD∥BC， ∵E、F、G分别是AB、BC、CD的中点， ∴AE＝EB＝BF＝FC＝CG＝GD＝2， 在△ADE和△BAF 中， ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF，DE＝AF， ∴∠ADE+∠DAF＝90° ∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝90°，即AF⊥DE， 在Rt△ADE中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠NAD＝∠NFB，∠NDA＝∠NBF， ∴△AND∽△FNB， ∴， ∴， 连接BG， ∵AB∥CD，BE＝DG＝2， ∴四边形DEBG为平行四边形， ∴BG∥DE，， ∴∠PDM＝∠PBG，∠PMD＝∠PGB， ∴△DMP∽△BGP， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ABD 中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 18．【答案】3． 【解析】解：原式＝41 ＝21 ＝3． 19．【答案】c+1． 【解析】解：原式• • ＝c+1． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分） 20．【答案】（1）7.4，7.5； （2）乙的设第三次成绩为6环，t的值为9； （3）40次． 【解析】解：（1）根据题意可得：（环）， ∵第5个，第6个数据为7，8， ∴（环）， 故答案为：7.4，7.5； （2）设第三次成绩为x， ∴乙的成绩为4，6，x，8，9，7，7，9，8，9， ∴， 解得x＝6， ∴乙的设第三次成绩为6环， ∵9出现的次数最多，为3次， ∴t＝9 （环）； （3）∵射击环数超过7环为优秀，甲射击环数超过7环有5次， ∴（次）， ∴甲运动员射击80次的优秀次数为40次． 21．【答案】（1）购买1份A材料的费用是20元，1份B材料的费用是30元； （2）当6＜m＜12时，应选择甲超市购买；当m＝12时，选择甲、乙两家超市购买所需费用相同；当m＞12时，应选择乙超市购买． 【解析】解：（1）设购买1份A材料的费用是x元，1份B材料的费用是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买1份A材料的费用是20元，1份B材料的费用是30元； （2）180÷30＝6（份）． 当该手工社团购买B材料m份（m＞6）时，选择甲超市所需费用为30×0.9m＝27m元，选择乙超市所需费用为180+0.8×30（m﹣6）＝（24m+36）元， 若27m＜24m+36，则m＜12， ∴当6＜m＜12时，应选择甲超市购买； 若27m＝24m+36，则m＝12， ∴当m＝12时，选择甲、乙两家超市购买所需费用相同； 若27m＞24m+36，则m＞12， ∴当m＞12时，应选择乙超市购买． 答：当6＜m＜12时，应选择甲超市购买；当m＝12时，选择甲、乙两家超市购买所需费用相同；当m＞12时，应选择乙超市购买． 22．【答案】（1）y； （2）D（0，2）． 【解析】解：（1）由题意，∵一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到y轴的距离为4， ∴当x＝4时，y＝3×4﹣6＝6． ∴A（4，6）． 将A代入反比例函数解析式可得，m＝4×6＝24， ∴反比例函数的解析式为y； （2）过B作BE⊥y轴于E，过C作CF⊥y轴于F， ∴BE∥CF， ∴△DCF∽△DBE， ∴． ∵点A（4，6）向上平移4个单位长度得到点B， ∴B（4，10），则BE＝4， ∴CF＝3， ∴C（3，8）． 设OD＝x， ∴DF＝8﹣x，DE＝10﹣x， ∴3（10﹣x）＝4（8﹣x）． ∴x＝2． ∴D（0，2）． 五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分） 23．【答案】（1）； （2）． 【解析】解：（1）由题意，得AB＝AC＝20 nmile， CE＝60 nmile， ∠BAC＝90°+30°＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∵上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处， ∴∠BCE＝90°﹣∠ACB+30°＝90°， 作AF⊥BC于点F， 则BC＝2BF，在Rt△ABF中， nmile， nmile， 在Rt△ECB中，由勾股定理，得 nmile， 故该轮船的航行速度为， 答：该轮船的航行速度为； （2）作DH⊥CE于点H， ∵点D到E的距离是D到C的距离的2倍， ∴设CD＝2x nmile，则DE＝4x nmile， 在Rt△CDH中，∠DCH＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∴CH＝CD•cos60°＝x nmile， nmile， ∴EH＝CE﹣CH＝（60﹣x） nmile， 在Rt△EHD中，由勾股定理，得DE2＝EH2+DH2， ∴， 解得5或（舍去）； ）nmile； 故点D，E间的距离为． 24．【答案】（1）证明：连结OC，如图， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BCD+∠BCO＝90°，∠OCA+∠BCO＝90°， ∴∠BCD＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠BCD； （2）． 【解析】（1）证明：连结OC，如图， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BCD+∠BCO＝90°，∠OCA+∠BCO＝90°， ∴∠BCD＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠BCD； （2）解：过C点作CH⊥AB于H点，如图， 在Rt△OCD中，∵sinD， ∴设OC＝2x，OD＝3x， ∵OD＝OB+BD， ∴3x＝2x+3， 解得x＝3， ∴OC＝6，OD＝9， ∴CD3， ∵CH•ODOC•CD， ∴CH2， ∴DH5， ∴BH＝DH﹣BD＝5﹣3＝2， ∵AE∥CD， ∴∠E＝∠DCE， ∵∠E＝∠ABC， ∴∠DCE＝∠ABC， ∵∠CFB＝∠DFC， ∴△FCB∽△FDC， ∴FC：FD＝FB：FC， 即FC2＝FB•FD， ∴FC2＝（FH+2）（FH+5）， ∵FC2＝FH2+CH2＝FH2+（2）2， ∴（FH+2）（FH+5）＝FH2+（2）2， 解得FH， ∴DF＝DH+FH， ∴AF＝AD﹣DF＝6+9， 在Rt△CFH中，CF， ∵AE∥CD， ∴△AEF∽△DCF， ∴EF：CF＝AF：DF， 即EF：：， 解得EF． 25．【答案】（1）y＝x2﹣2x+1； （2）； （3）． 【解析】解：（1）∵该二次函数y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝1， ∴，即b＝﹣2a， ∵该二次函数的图象经过点（3，4）， ∴9a+3b+1＝4， 把b＝﹣2a代入得：9a+3×（﹣2a）+1＝4， 解得：a＝1， ∴b＝﹣2， ∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+1； （2）当时，则有， 令x＝0，则有y＝1，即C（0，1）， ∴OC＝1， 设该二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0）， 不妨设x1＜x2， 当y＝0时，则有， 那么x1，x2是该方程的两个不等实数根， ∴根据根与系数的关系可得：， ∴根据两点间距离公式可得：， BC2， 当该二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，且在y轴的右侧， ∵△ABC是等腰三角形， ∴AC＝AB， ∴， 解得：x2＝2（负根舍去）， ∴把x2＝2代入bx+1＝0得：2b+1＝0， 解得：b， ∴x+1＝0， 解得：x1，x2＝2， ∴AB＝2， ∴S△ABC， 当该二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，且在y轴的左侧， ∵△ABC是等腰三角形， ∴BC＝AB， 同理可得：S△ABC； 综上所述：△ABC的面积为． （3）当b＝1时，则有y＝ax2+x+1， ∵点D（1，y1）E（2，y2）在该二次函数的图象上， ∴y1＝a+2，y2＝4a+3， ∵y1＞y2， ∴a+2＞4a+3， 解得：， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴，即， ∴当时，即， 此时二次函数在0≤x≤1上，y随x的增大而增大， ∴二次函数在0≤x≤1上的最大值为m＝a+2， ∵， ∴m， 当1时，即， ∴二次函数在0≤x≤1上的最大值为， ∵， ∴﹣4a＞2，即， ∴1＜m； 综上所述：最大值m的取值范围为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $