精品解析：2026年黑龙江大庆第一中学中考数学学科模拟训练（二）

数学学科模拟训练（二） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的倒数是． 2. 下列新能源汽车的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念可知A符合题意． 3. 某种新型环保运动场地的表面涂层厚度仅为0.00007米．这个厚度用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，确定时，原数绝对值小于1时，的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位上的零）. 【详解】解：. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于A选项：与不是同类项，不能合并，错误． 对于B选项：，错误． 对于C选项：与不是同类项，不能合并，错误． 对于D选项：，正确． 5. 如图为某几何体的三种视图，这个几何体可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、该几何体的俯视图是一个“L”型，不符合题意； B、该几何体的主视图是一个长方形，中间有两条竖直的实线，不符合题意； C、该几何体的主视图是一个长方形，不符合题意； D、该几何体的三视图符合题干中所给三视图，符合题意； 故选：D． 6. 为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学八年级（1）班的美术老师特地给学生们上了一节手工课，教同学们编织“中国结”．为了了解同学们的编织情况，随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如下表： 编织数量/个 2 3 4 5 6 人数 3 6 5 4 2 请根据上表，判断下列说法正确的是（ ） A. 样本为20名学生 B. 平均数是4 C. 中位数是4 D. 众数是6 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本（总体中抽取的一部分个体的某一数量指标的集合）、平均数（一组数据中所有数据之和再除以数据的个数）、中位数（一组数据的中位数要先把这组数据按照从小到大排序，找到中间的一个数或中间两个数的平均数即为这组数据的中位数）、众数（一组数据中出现次数最多的数据），对各选项逐一分析判断即可． 【详解】A、样本是指从总体中抽取的部分个体的观测值，该样本为20名学生的编织数量，故选项错误． B、平均数为，故选项错误． C、将20个数据从小到大排列后，第10、11个数据均为4，中位数为，故选项正确． D、编织数量为3个的人数最多（6人），众数是3，故选项错误． 7. 下列说法正确的有（ ） ①如果，那么； ②相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． ③如果，那么； ④如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个多边形是位似多边形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题为概念辨析题，需结合分式性质，圆的相关定理，等比性质，位似多边形的定义，逐一判断四个说法的正误，统计正确说法的个数得到答案． 【详解】解：① 由可知分式有意义，因此，等式两边同时乘可得，因此①正确； ② 定理“相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等”必须满足“在同圆或等圆中”的前提，题干未给出该条件，因此②错误； ③ 等比性质成立的前提是，题干未给出该条件，当时式子无意义，因此③错误； ④ 根据位似多边形的定义，相似且对应顶点连线经过同一点，符合定义，因此④正确； 综上，正确的说法共2个． 8. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线分别交，于点，，若是的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形性质可得，，，证明，则有，，根据题意可得，，，可得垂直平分，所以，，推出，通过等角对等边得，设，则，，勾股定理得：，即，求出即可． 【详解】解：∵四边形和是正方形， ∴，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴的长为． 9. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 10. 如图1，在四边形中，， 平分，，（为常数），记长为，长为，关于的函数图象如图2所示，最高点的纵坐标为，当时，四边形的面积为（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，得到，进而可得，结合图2知，，求出（负值舍去），当时，求出或，过点作于点，分和两种情况讨论即可，利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵， 平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵（a为常数），长为x，长为y， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 由图2知，， ∴（负值舍去）， ∴， 当时，则，即， 解得或， 过点作于点， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形的面积为； 当时，则， ∴， 同理，得， ∴四边形的面积为； 综上，四边形的面积为或． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于零，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为： 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 圆锥底面半径，高，则圆锥的体积为________立方厘米（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥体积的计算，解题思路为先根据圆锥底面半径求出底面积，再代入圆锥体积公式计算即可. 【详解】解：已知圆锥底面半径，高， 圆锥的底面积， 圆锥体积公式为， 代入得． 14. 如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，确定正方形A、B、C、D面积的数量关系是解题的关键． 根据勾股定理推出中间空白正方形的面积，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12， 结合勾股定理可知，中间空白正方形的面积为：， 则正方形的面积为； 故答案为：． 15. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论，分别根据方程有实数根求解，再综合得到的取值范围即可． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，方程有实数根，符合题意； 当时，方程是一元二次方程， ∵一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得且； 综上所述：的取值范围是． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点 在 轴的正半轴上，且，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过作交于，设，解直角三角形得，进而得到，再利用解出，得到，然后利用等面积法求出 即可得到点的坐标． 【详解】解：过作交于，设， 由题可知，，则，， 又，即， ， ，即， ， ，解得， ， ， ，解得， ，即． 17. 如图，在矩形纸片中，点E是边上一点，将纸片沿直线折叠，使点A落在点F处，连接并延长，交边于点G，若点F为线段的中点，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意设，则，再根据勾股定理求出，进而得出，然后设，则，作，可得，再表示出，接下来根据勾股定理求出，根据折叠性质表示出，再根据勾股定理可得，即可得，进而得出，则此题可解． 【详解】解：在中，， 设，则， 由勾股定理，得， ∴． ∵点F为线段的中点， ∴． 设，则，连接，过点F作，交于点H， ∴， ∴． 根据勾股定理，得． 根据折叠的性质得， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 18. 定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“和睦函数”，函数和的图象交点叫做“和睦点”． 例如：函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”为．下列说法正确的序号为________． ①函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为； ②函数关于直线的“和睦点”的纵坐标为，当时，则的取值范围是； ③函数关于直线的“和睦点”纵坐标满足：，的取值范围是或； ④已知，，函数：关于直线的“和睦函数”为，将函数与的图象组成的图形记为，若与线段只有个公共点，则的取值范围是或． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①根据和睦函数与和睦点的定义计算并判断；②结合和睦函数与和睦点的定义，通过作出函数及其和睦函数的图象，可发现和睦点为抛物线顶点时，有最小值，当时，有最大值，进而计算；③通过作出函数及其和睦函数的图象，计算时对应的四个点、、、的坐标，可发现当时，和睦点在点和点之间（包含端点）或者点和点之间（包含端点），即可得到的取值范围；④推出的解析式为，结合图象分析与线段的位置关系，讨论得解． 【详解】解：函数，对称轴为，顶点为， 设其关于直线对称的二次函数顶点坐标为，则有，解得， ∴该二次函数的解析式为，顶点坐标为， 如图， 由图可知两个函数的交点在直线上，此时， 即交点坐标为， 即函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为，故①正确； 函数，对称轴为，顶点为， 如图，和睦点为图中的点， 由图可知，当，即点为抛物线顶点时，有最小值；当时，有最大值； ∴，故②错误； 函数，对称轴为，顶点为， 如图，当时，解得或，即，， 当时，解得或，即，， 由图可知，当“和睦点”纵坐标，即时，和睦点在抛物线上的点和点之间（包含端点）或者点和点之间（包含端点）， ∴或，故③正确； 由题意知，函数：，关于直线的“和睦函数”为的解析式为， 如图，当时，与线段没有交点； 当的顶点为时，与线段只有个公共点，此时，解得； 当经过点时，，解得； 当时，与线段有个公共点； 当时，和睦点的纵坐标为，即，此时与线段只有个公共点； 当时，与线段也只有个公共点； ∴或，故④错误； 综上所述，正确的序号为①③． 三、解答题 19. 计算：； 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 先化简：，再从，，中选取一个合适的数作为的值，代入求值． 【答案】；当时，原式． 【解析】 【详解】解： ， ，， ，， 当时，原式． 21. 为营造良好的体育运动氛围，某学校用600元购买了一批跳绳，又用1000元加购了第二批跳绳，且第二批购买数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，则该学校两批共购买了多少根跳绳？ 【答案】该学校两批共购买了150根 【解析】 【分析】设第一批购买跳绳根，则第二批购买跳绳根，根据第二批购买数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元建立方程求解即可． 【详解】解：设第一批购买跳绳根，则第二批购买跳绳根， 由题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ∴该学校两批共购买了150根跳绳． 答：该学校两批共购买了150根． 22. 为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．足球，B．引体向上，C．篮球，D．排球，E．羽毛球．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据图中信息，完成下列问题： （1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ②扇形统计图中的圆心角的度数为_______． （2）若该校有4800名学生，估计该校参加C组（篮球）的学生人数； （3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）①补全图形如下： ② （2）1120名 （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识，注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比； （1）①先根据小组人数及其所对应的百分比可得被调查的总人数，再根据5个兴趣小组人数之和等于总人数求出小组人数，从而补全图形； ②用乘以小组人数占被调查人数的比例即可； （2）用总人数乘以样本中小组人数占被调查人数的比例即可； （3）画树状图列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，被调查的总人数为（人）， 所以小组人数为（人）； ②扇形统计图中的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问2详解】 （名）， 答：估计该校参加组（篮球）的学生有1120名； 【小问3详解】 画树状图为： 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 23. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为32米 【解析】 【分析】过点P作于点F，延长交 延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】解：过点P作于点F，延长交 延长线于点E， 根据题意可得：、垂直于水平面，，，， ∴， ∵米， ∴（米）， 设米，则米， ∵，， ∴米， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：该风力发电机塔杆的高度为32米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 24. 如图，在中，，，分别为， 中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，分别为， 中点， ， ，为 中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 为 中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一与三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再结合是 的中点，证明四边形是平行四边形，结合证明其为矩形； （2）过点作于点，结合锐角三角函数定义，先求出相关线段长度，再结合矩形的性质，转化为求对应边的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点． 在中，， 设，则， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，． 25. 党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件元，平时以单价元的价格售出一天可卖件．根据调查单价每降低元，每天可多售出件；设商品售价 元（售价不低于进价， 为正整数），这批商品的日利润为元（单件利润售价成本），请解决以下问题： （1）设商品售价 元，则一天可以卖出 件 （2）当商品的售价 为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ （3）若商店每卖一件就捐 元（）给希望小学，该店发现售价为元时可获得最大日利润，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“单价每降低元，每天可多售出件”可知数量是原来的数量加上新增的数量，直接套用“新增数量降低的价格”即可； （2）根据“单件利润售价进价”，“总利润单件利润数量”列出这批商品得日利润关于售价的二次函数，再利用二次函数的顶点式求出当售价为多少时，日利润最大； （3）利用“总利润单件利润数量”列出这批商品得日利润关于售价的二次函数，因为为正整数，且当时取得最大值，所以二次函数的对称轴在和之间，将对称轴代入求出的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意知，降低了元， 卖出件； 【小问2详解】 解：设这批商品的日利润为元， 由题意得； ∴当时，取得最大值元， 即当售价为元时，这批商品的日利润最大为元； 【小问3详解】 解：由题意知， ∵二次函数开口向下，离对称轴越近，函数值越大， 又∵在售价为元时可获得最大日利润， ∴， 解得． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点在该反比例函数的图象上，且它到轴的距离小于，则的取值范围是 ； （3）点在第二象限的反比例函数图象上，当面积为时，求点坐标； 【答案】（1） （2） 或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后把A的坐标代入求解即可； （2）根据到到轴的距离小于，得出，把代入，得出，然后解不等式即可； （3）联立一次函数与反比例函数表达式，求出点B的坐标，分点D在点A的左侧和右侧讨论，过点D作轴交于E，设，则，然后根据面积为构建关于x的方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， 代入，得， 解得， ∴ 【小问2详解】 解：∵点在该反比例函数的图象上，且它到轴的距离小于， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或； 【小问3详解】 解：联立方程组， 解得或， ∴， 当点D在点A的左侧时， 过点D作轴交于E， 设，则， ∵面积为 ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴； 当点D在点A的右侧时， 过点D作轴交于E， 设，则， ∵面积为 ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴； 综上，点D的坐标为或． 27. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD． （1）求证：AF为⊙O的切线； （2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO•AE； （3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长． 【答案】（1）证明：连接． 是直径， ， ， ，， ， ， ， 为 的切线． （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）BF＝8． 【解析】 【分析】（1）欲证明是 的切线，只要证明即可． （2）证明，可得结论． （3）过点作于．由题意，可以假设，，证明，可得，推出，，再证明，推出，推出，，由，推出，可得，利用勾股定理求出，，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作于． 是直径， ， ， 可以假设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ，， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题． 28. 已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，D为第一象限抛物线上一点，连接交于点T，若，求点D的横坐标； （3）平移抛物线使它的顶点在原点，如图2，过点P的两直线，（均不与y轴平行）分别与抛物线有唯一公共点E，F，交y轴于点G，连接交抛物线于另一点Q，若轴，试探究线段与的数量关系． 【答案】（1） （2）点D的横坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）在上取点H，连接，使，过点D作轴于G，可证得∽，利用相似三角形性质建立方程求解即可； （3）设E、F的横坐标分别为m，n，分别得出直线、的解析式，可得点G的坐标，联立求得点P的横坐标，进而得出点Q的坐标，再运用待定系数法可得出直线的解析式，求得点G的坐标，建立方程求解可得，过点P、E分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N，利用相似三角形性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得：， 抛物线经过点， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， ，， ，， ， 在上取点H，连接，使，过点D作轴于G，如图1， 则， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， ，即， ， ， 设，则，， ， 解得：舍去或， 点D的横坐标为； 【小问3详解】 解：平移抛物线使它的顶点在原点， 新抛物线的解析式为， 设E、F的横坐标分别为m，n，直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， 直线与抛物线有唯一公共点E， ，， ，， 直线的解析式为， 当时，， ， 同理可得：直线的解析式为， 联立得：， 解得：， 即点P的横坐标为， 轴， 点Q的横坐标为， ， 又， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 点P的横坐标为， 如图2，过点P、E分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N， 则，， ， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系的应用，平移变换的性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科模拟训练（二） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列新能源汽车的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某种新型环保运动场地的表面涂层厚度仅为0.00007米．这个厚度用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图为某几何体的三种视图，这个几何体可以是（　　） A. B. C. D. 6. 为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学八年级（1）班的美术老师特地给学生们上了一节手工课，教同学们编织“中国结”．为了了解同学们的编织情况，随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如下表： 编织数量/个 2 3 4 5 6 人数 3 6 5 4 2 请根据上表，判断下列说法正确的是（ ） A. 样本为20名学生 B. 平均数是4 C. 中位数是4 D. 众数是6 7. 下列说法正确的有（ ） ①如果，那么； ②相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． ③如果，那么； ④如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个多边形是位似多边形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形 ．直线分别交，于点 ， ，若 是的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点 为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，在四边形 中，，平分，，（ 为常数），记长为 ，长为 ， 关于 的函数图象如图2所示，最高点 的纵坐标为，当时，四边形 的面积为（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量 的取值范围是______． 12. 分解因式：________． 13. 圆锥底面半径，高，则圆锥的体积为________立方厘米（结果保留）． 14. 如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且 、 、 三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形 的面积为_____________． 15. 若关于 的方程有实数根，则的取值范围是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点 在 轴的正半轴上，且，则点 的坐标为________． 17. 如图，在矩形纸片 中，点E是边上一点，将纸片沿直线折叠，使点A落在点F处，连接并延长，交边 于点G，若点F为线段的中点，，则_____． 18. 定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“和睦函数”，函数和的图象交点叫做“和睦点”． 例如：函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”为．下列说法正确的序号为________． ①函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为； ②函数关于直线的“和睦点”的纵坐标为，当时，则的取值范围是； ③函数关于直线的“和睦点”纵坐标满足：，的取值范围是或； ④已知，，函数：关于直线 的“和睦函数”为，将函数与的图象组成的图形记为，若与线段只有个公共点，则 的取值范围是或． 三、解答题 19. 计算：； 20. 先化简：，再从，， 中选取一个合适的数作为 的值，代入求值． 21. 为营造良好的体育运动氛围，某学校用600元购买了一批跳绳，又用1000元加购了第二批跳绳，且第二批购买数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，则该学校两批共购买了多少根跳绳？ 22. 为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．足球，B．引体向上，C．篮球，D．排球，E．羽毛球．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据图中信息，完成下列问题： （1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ②扇形统计图中的圆心角的度数为_______． （2）若该校有4800名学生，估计该校参加C组（篮球）的学生人数； （3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率． 23. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点 处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点 的正上方53米的点 处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 24. 如图，在中，， ， 分别为 ，中点，连接，过点 作的垂线，与直线交于点 ，连接 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求 的长． 25. 党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件元，平时以单价元的价格售出一天可卖件．根据调查单价每降低元，每天可多售出件；设商品售价 元（售价不低于进价， 为正整数），这批商品的日利润为元（单件利润售价 成本），请解决以下问题： （1）设商品售价 元，则一天可以卖出 件 （2）当商品的售价 为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ （3）若商店每卖一件就捐 元（）给希望小学，该店发现售价为元时可获得最大日利润，直接写出 的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于， 两点，交 轴于点 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点在该反比例函数的图象上，且它到 轴的距离小于，则的取值范围是 ； （3）点 在第二象限的反比例函数图象上，当面积为时，求点 坐标； 27. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD． （1）求证：AF为⊙O的切线； （2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO•AE； （3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长． 28. 已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，D为第一象限抛物线上一点，连接交于点T，若，求点D的横坐标； （3）平移抛物线使它的顶点在原点，如图2，过点P的两直线，（均不与y轴平行）分别与抛物线有唯一公共点E，F，交y轴于点G，连接交抛物线于另一点Q，若轴，试探究线段与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $