第三章　第22课时　导数与函数的单调性课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的单调性”核心考点，依据高考评价体系明确考查要求，系统梳理单调性与导数关系、判断步骤等基础知识点，分析近五年真题中含参函数单调性讨论、导函数图象识别等高频题型，占比约30%，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题演练+分类突破+素养提升”策略，如以2023新高考Ⅰ卷含参函数单调性题为例，详解分类讨论步骤，培养学生逻辑推理的数学思维，强调定义域优先等易错点，帮助学生掌握符号表达的数学语言。教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺。

第三章　一元函数的导数及其应用 第22课时　导数与函数的单调性 [考试要求]　1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 第22课时　导数与函数的单调性 理法先行·题练固本 知识点1　函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)内可导 f '(x)>0 f (x)在(a，b)内________ f '(x)<0 f (x)在(a，b)内________ f '(x)＝0 f (x)在(a，b)内是________ 单调递增 单调递减 常数函数 第22课时　导数与函数的单调性 3 知识点2　利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的______； 第2步，求出导数f '(x)的____； 第3步，用f '(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f '(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性． 定义域 零点 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 [常用结论] 1．若函数f (x)在(a，b)内单调递增，则x∈(a，b)时，f '(x)≥0 恒成立；若函数f (x)在(a，b)内单调递减，则x∈(a，b)时，f '(x)≤0恒成立． 2．若函数f (x)在(a，b)内存在单调递增区间，则x∈(a，b)时， f '(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)内存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f '(x)<0有解． 3．f '(x)>0在(a，b)内恒成立是f (x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件，举例：f (x)＝x3在R上单调递增，但f '(0)＝0． 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 1．(人教B版选择性必修第三册P95练习AT1)已知函数f (x)的定义域为[0，2]，且y＝f '(x)的图象如图所示，则f (x)的单调递增区间是______________，单调递减区间是______________．  (0，1)　 (1，2) 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 (0，1)　(1，2)　[由题图知，当x∈(0，1)时，f '(x)>0，当x∈(1，2)时，f '(x)<0，故f (x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，2)．] 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 2．(人教A版选择性必修第二册P97 习题5.3T2(4))函数f (x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为__________________________．  (－∞，－1)，　[ f '(x)＝3x2＋2x－1，令f '(x)>0，解得x>或x<－1，所以f (x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为(－∞，－1)和．] (－∞，－1)，　 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 3．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f '(x)是f (x)的导函数，若f '(x)的图象如图所示，则f (x)的图象可能是(　　) √ A　　　　B　　　　　C　 　　　D 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 C　[由题图知，当x∈(－∞，0)时，f '(x)>0， ∴f (x)在(－∞，0)上单调递增； 当x∈(0，x1)时，f '(x)<0，∴f (x)在(0，x1)内单调递减； 当x∈(x1，＋∞)时，f '(x)>0， ∴f (x)在(x1，＋∞)上单调递增． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 考点深研·题型突破 考点一　利用导函数的图象研究函数的单调性 [典例1]　(1)(2025·天津西青区期末)设函数y＝f (x)可导，y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f '(x)的图象可能为(　　) √ 第22课时　导数与函数的单调性 11 (2)(多选)(人教A版选择性必修第二册P89练习T3改编)已知函数y＝f '(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f (x)的判断正确的是(　　) A．在区间(0，a)内，f (x)为定值 B．函数y＝f (x)在区间(a，b)内单调递增 C．函数y＝f (x)在区间(c，e)内单调递增 D．函数y＝f (x)在区间(b，d)内单调递减 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 (1)D　(2)BD　[(1)由函数的图象可知，当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D． (2)由题图知，当0<x<a时，f '(x)>0且为定值；当a<x<c时，f '(x)单调递减，且在x∈(a，b)内，f '(x)>0，在x∈(b，c)内，f '(x)<0；当c<x<e时，f '(x)单调递增，且在x∈(c，d)内，f '(x)<0，在x∈(d，e)内，f '(x)>0，所以当0<x<a时，f (x)单调递增且图象为斜率大于0的直线，当a<x<b时，f (x)单调递增，当b<x<c时，f (x)单调递减，当c<x<d时，f (x) 单调递减，当d<x<e时，f (x)单调递增，其大致图象如图． 故选BD．] 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 通性通法：(1)由原函数图象识别导函数图象的依据：若f (x)单调递增，则f '(x)的图象一定在x轴的上方；若f (x)单调递减，则f '(x)的图象一定在x轴的下方；若f (x)是常函数，则f '(x)＝0． (2)由导函数图象识别原函数图象的依据：若f '(x)>0，则f (x)单调递增，若f '(x)<0，则f (x)单调递减． 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 考点二　不含参数的函数的单调性问题 [典例2]　(1)(多选)(2025·自贡期末)下列函数在定义域上为增函数的有(　　) A．f (x)＝x＋ B．f (x)＝x＋sin x C．f (x)＝xex D．f (x)＝ex－e-x (2)(2025·深圳期末)函数f (x)＝ln x－x2的单调递增区间为(　　) A．(－∞，－1)和(1，＋∞) B．(0，1)∪(1，＋∞)　 C．(0，1) D．(1，＋∞) √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 (1)BD　(2)C　[(1)对于A，f (x)＝x＋，其定义域为{x|x≠0}， 其导数f '(x)＝1－，在(－1，0)和(0，1)内，f '(x)<0，f (x)不符合题意； 对于B，f (x)＝x＋sin x，其定义域为R， 其导数f '(x)＝1＋cos x，有f '(x)≥0恒成立，则f (x)在定义域上为增函数，符合题意； 对于C，f (x)＝xex，其定义域为R， 其导数f '(x)＝xex＋ex＝(1＋x)ex，在区间(－∞，－1)上，f '(x)<0，f (x)不符合题意； 对于D，f (x)＝ex－e-x，其定义域为R， 其导数f '(x)＝ex＋e-x，易得f '(x)≥2>0恒成立，则f (x)在定义域上为增函数，符合题意． 故选BD． 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 (2)∵f (x)＝ln x－x2， ∴函数f (x)的定义域为(0，＋∞)， ∴f '(x)＝－x＝， 当f '(x)>0时，解得0<x<1， ∴函数f (x)＝ln x－x2的单调递增区间为(0，1)． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 易错提醒：确定不含参数的函数的单调性应注意两点，一是不能漏掉函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 考点三　含参函数的单调性 [典例3]　(2025·鄂尔多斯期末节选)已知函数f (x)＝x2－(a＋1)x＋aln x(a>0)，讨论函数f (x)的单调性． [解]　因为f (x)＝x2－(a＋1)x＋aln x，定义域为(0，＋∞)， 所以f '(x)＝x－(a＋1)＋． 当0<a<1时，令f '(x)>0，得0<x<a或x>1，令f '(x)<0，得a<x<1， 所以函数f (x)在(0，a)内单调递增，在(a，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 当a＝1时，f '(x)＝≥0恒成立，所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a>1时，令f '(x)>0，得0<x<1或x>a，令f '(x)<0，得1<x<a， 所以函数f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，a)内单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 综上，当0<a<1时，f (x)在(0，a)内单调递增，在(a，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当a＝1时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，a)内单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． [多维变迁] 1．(2023·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f (x)＝a(ex＋a)－x，讨论f (x)的单调性． [解]　函数f (x)的定义域为R，f '(x)＝aex－1， 当a≤0时，f '(x)≤－1<0， 所以函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a>0时，令f '(x)>0，得x>－ln a，令f '(x)<0，得x<－ln a， 所以函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上可得，当a≤0时，函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a>0时，函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 2． (2021·全国乙卷节选)讨论函数f (x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性． [解]　由题意知f (x)的定义域为R， f '(x)＝3x2－2x＋a， 对于f '(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)． ①当a≥时，f '(x)≥0，f (x)在R上单调递增； ②当a<时，令f '(x)＝0， 即3x2－2x＋a＝0， 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 解得x1＝，x2＝， 令f '(x)>0，则x<x1或x>x2； 令f '(x)<0，则x1<x<x2． 所以f (x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)内单调递减． 综上，当a≥时，f (x)在R上单调递增； 当a<时，f (x)在， 上单调递增， 在内单调递减． 1．(链接考点二)(2025·松原期中)函数f (x)＝xe-x的单调递增区间是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞) √ B　[ f (x)＝xe-x的定义域为R，导函数f '(x)＝(1－x)e-x， 由f '(x)>0，得x<1，因此f (x)＝xe-x的单调递增区间是(－∞，1)． 故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 2．(链接考点一)(2025·合肥期末)已知函数f (x)的导函数为f '(x)，且函数f (x)的图象如图所示，则函 数y＝xf '(x)的图象可能是(　　) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 C　[根据题意，由f (x)的图象，f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增， 得当x∈(－∞，－1)时，f '(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，f '(x)>0． 对于函数y＝xf '(x)，在(－∞，－1)上，必有xf '(x)>0， 在(－1，0)上，必有xf '(x)<0， 在(0，＋∞)上，必有xf '(x)>0， 分析可知选项C符合． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 3．(链接考点三)(2025·北京期末节选)已知函数f (x)＝ex－ax，讨论f (x)的单调性． [解]　函数f (x)＝ex－ax的定义域为R，f '(x)＝ex－a， 当a≤0时，f '(x)＝ex－a>0恒成立，f (x)在R上单调递增； 当a>0时，由f '(x)>0，解得x>ln a；由f '(x)<0，解得x<ln a， ∴f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 综上所述，当a≤0时，f (x)在R上单调递增； 当a>0时，f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 一、单项选择题　 1．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f (x)＝cos x－x在(0，π)内的单调性是(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 √ 课时作业(二十二)　导数与函数的单调性 第22课时　导数与函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 D　[因为f '(x)＝－sin x－1<0在(0，π)内恒成立，所以f (x)在(0，π)内单调递减，故选D．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 2．(2025·吉安期末)函数f (x)＝x2－4ln x的单调递减区间为(　　) A．(－，) B．(，＋∞) C．(－∞，) D．(0，) 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 D　[由题意可得函数的定义域为(0，＋∞)，导函数f '(x)＝2x－， 令f '(x)<0，可得0<x<， 因此f (x)的单调递减区间为(0，)． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 3．(2025·深圳期末)下列在同一坐标系中的图象，有可能是三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数图象的是(　　) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 C　[根据题意，f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则其导数f '(x)＝3ax2＋2bx＋c， 则f '(x)为二次函数，其图象为抛物线，设f '(x)与x轴的两个交点为x1，x2，x1<x2． 依次分析选项： 对于A，如图所示： 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 当x<x1或x>x2时，f '(x)<0，则函数f (x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上均单调递减， 与f (x)的图象不符合，A错误； 对于B，由选项图可知，∀x∈R，f '(x)>0，则函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 与f (x)的图象不符合，B错误； 对于C，由选项图可知，∀x∈R，f '(x)>0，则函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 与f (x)的图象符合，C正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 对于D，如图所示： 当x<x1或x>x2时，f '(x)<0，则函数f (x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上均单调递减， 与f (x)的图象不符合，D错误． 故选C．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 4．(2025·重庆北碚区期末)设f (x)＝2x2－x3，则f (x)的单调递减区间是(　　) A． B． C．(－∞，0) D．(－∞，0)和 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 D　[由f (x)＝2x2－x3， 得f '(x)＝4x－3x2＝x(4－3x)， 令f '(x)＝0，得x＝0或x＝， f '(x)，f (x)的变化情况如表所示． x (－∞，0) 0 f '(x) － 0 ＋ 0 － f (x) 单调递减   单调递增   单调递减 所以f (x)的单调递减区间是(－∞，0)和．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 二、多项选择题　 5．(2025·新余期末)下列函数在(－∞，＋∞)上是单调函数的是 (　　) A．y＝x3＋x－1 B．y＝sin x－x C．y＝xex＋1 D．y＝ex－x √ 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 AB　[对于选项A，导函数y'＝3x2＋1>0，y＝x3＋x－1在(－∞，＋∞)上单调递增，因此选项A正确； 对于选项B，导函数y'＝cos x－1≤0，y＝sin x－x在(－∞，＋∞)上单调递减，因此选项B正确； 对于选项C，导函数y'＝(x＋1)ex，令y'<0⇒x<－1，令y' >0⇒x>－1， 因此函数y＝xex＋1在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，因此选项C错误； 对于选项D，导函数y'＝ex－1，令y'<0⇒x<0，令y'>0⇒x>0， y＝ex－x在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故D错误． 故选AB．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 6．(2025·潮州期末)如果函数f (x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f (x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　) A．f (x)＝ex B．f (x)＝x2 C．f (x)＝ln x D．f (x)＝sin x √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 ACD　[依题意知，函数g(x)＝xf (x)为定义域上的增函数． 对于A，g(x)＝xex，g'(x)＝(x＋1)ex， 当x∈(－∞，－1)时，g'(x)<0， ∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”； 对于C，g(x)＝xln x，x>0，g'(x)＝1＋ln x， 当x∈时，g'(x)<0， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 ∴g(x)在内单调递减， 故C中函数不是“F函数”； 对于D，g(x)＝xsin x，g'(x)＝sin x＋xcos x， 当x∈时，g'(x)<0，∴g(x)在内单调递减， 故D中函数不是“F函数”． 故选ACD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 三、填空题 7．(2025·天津西青区期末改编)已知函数f (x)＝x3－3x2－9x＋a．则函数f (x)的单调递增区间是____________________________；单调递减区间是______________．  (－∞，－1)，(3，＋∞)　 (－1，3) 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 (－∞，－1)，(3，＋∞)　(－1，3)　[因为函数f (x)的定义域为R，且f '(x)＝3x2－6x－9， 令f '(x)>0⇒x<－1或x>3； 令f '(x)<0⇒－1<x<3； 所以函数f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－1，3)．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 8．(2025·扬州期末)已知函数f (x)满足下列条件：①f (x)的导函数 f '(x)为偶函数；②f (x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，则f (x)的一个解析式为f (x)＝______________________．  x3－4x(答案不唯一) 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 x3－4x(答案不唯一)　[因为f (x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增， 所以当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f '(x)>0． 又f (x)的导函数f '(x)为偶函数， 所以令f '(x)＝x2－4，满足题意， 所以f (x)＝x3－4x，答案不唯一．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 四、解答题 9．(人教A版选择性必修第二册P89练习T2改编)已知函数f (x)＝ln x＋e1-x－1，证明f (x)在(0，＋∞)上单调递增． 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 [证明]　由题意知，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝－e1-x＝． 令g(x)＝ex-1－x(x>0)，则g'(x)＝ex-1－1， 由g'(x)＝0，可得x＝1． ∴当x∈(0，1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝0，即g(x)≥0， ∴f '(x)≥0， 则f (x)在(0，＋∞)上单调递增． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 10．(2025·长沙期末节选)设函数f (x)＝ax2－(a－2)x－ln x(a∈R)，讨论函数f (x)的单调性． [解]　f (x)＝ax2－(a－2)x－ln x的定义域为(0，＋∞)， f '(x)＝2ax－(a－2)－． 当a≥0时，由f '(x)>0，得x>，由f '(x)<0，得0<x<， 函数f (x)在上单调递增； 理法先行 考点深研 课时作业 第22课时　导数与函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 当－2<a<0时，由f '(x)>0，得<x<－，由f '(x)<0，得0<x<或x>－， f (x)在内单调递增； 当a＝－2时，f '(x)≤0，且当x＝时取等号，f (x)在(0，＋∞)上单调递减； 当a<－2时，由f '(x)>0，得－<x<， 由f '(x)<0，得0<x<－或x>， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 函数f (x)在内单调递增． 综上，当a≥0时，函数f (x)在上单调递增； 当a＝－2时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减； 当－2<a<0时，函数f (x)在内单调递增； 当a<－2时，函数f (x)在内单调递增． 谢谢！ $