第三章　第23课时　函数单调性的应用课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数单调性的应用”专题，依据高考评价体系梳理了求参数范围、解不等式、比较大小三大核心考点，通过近五年高考真题分析明确三类题型占比达65%，归纳典例变式与通性通法，体现备考针对性。 课件亮点在于“母题探究+真题实战+素养提升”策略，如典例1通过导数符号判断参数范围，培养逻辑推理思维，含2025年潮州期末等真题训练，总结定义域优先等技巧，帮助学生掌握得分方法，教师可据此精准指导高效复习。

第三章　一元函数的导数及其应用 第23课时　函数单调性的应用 [考试要求]　1．会根据函数的单调性求参数的范围．2．会利用函数的单调性解不等式，比较函数值的大小． 第23课时　函数单调性的应用 考点深研·题型突破 考点一　利用单调性求参数范围　 [典例1]　若函数f (x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) √ 第23课时　函数单调性的应用 3 D　[法一：因为f (x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以f '(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立， 因为f (x)＝kx－ln x， 所以f '(x)＝k－≥0，即k≥． 因为x>1，所以0<<1， 所以k≥1．故选D． 法二：f '(x)＝k－(x>0)， 当k≤0时，f '(x)＝k－<0，f (x)在其定义域内单调递减，不合题意， 当k>0时，由f '(x)>0知x>是f (x)的单调递增区间．由题意可知≤1，即k≥1，故选D．] 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 [母题探究] 1．(变条件)本例中若f (x)的单调递增区间为(1，＋∞)，则实数k＝______________．  1　[由本例法二知＝1，∴k＝1．] 1　 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 2．(变条件)本例中若f (x)在(1，＋∞)上单调递减，则实数k的取值范围是______________．  (－∞，0]　[由题意知f '(x)＝≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k≤，又x>1，∴0<<1，∴k≤0，即k的取值范围是(－∞，0]．] (－∞，0]　 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 3．(变条件)本例中若f (x)在(1，＋∞)上不单调，则实数k的取值范围是______________．  (0，1)　[法一：由本例及母题探究2知，f (x)在(1，＋∞)上单调，则k≤0或k≥1，∴f (x)在(1，＋∞)上不单调，则0<k<1．即k的取值范围是(0，1)． 法二：因为f (x)＝kx－ln x， 所以f '(x)＝k－＝0在(1，＋∞)上有解，即y＝k和y＝的图象在(1，＋∞)内有交点．因为当x∈(1，＋∞)时，∈(0，1)，所以k的取值范围是(0，1)．] (0，1)　 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 4．(变条件)本例中若f (x)在(1，＋∞)上存在单调递减区间，则实数k的取值范围是______________．  (－∞，1)　[由题意可知f '(x)＝<0在(1，＋∞)内有解，即k<，x∈(1，＋∞)有解，由0<<1可知k<1，即k的取值范围是(－∞，1)．] (－∞，1)　 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 5．(变条件)本例中若f (x)在(1，2)内单调，则实数k的取值范围是__________________________．  ∪[1，＋∞)　[∵x∈(1，2)，∴<1， 若f (x)在(1，2)内单调递增，则f '(x)＝≥0恒成立，即k≥，∴k≥1； 若f (x)在(1，2)内单调递减，则f '(x)＝≤0恒成立，即k≤，∴k≤． ∴f (x)在(1，2)内单调，则k的取值范围是∪[1，＋∞)．] ∪[1，＋∞)　 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 通性通法：根据函数单调性求参数的方法 (1)f (x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f '(x)≥0( f '(x) ≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f '(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解． (2)函数在区间(a，b)内存在单调区间，实际上就是f '(x)>0(或f '(x)<0)在该区间内存在解集． (3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内不单调，则转化为f '(x)＝0在(a，b)内有解(需验证解的两侧导数是否异号)． 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 【教用·备选题】 1．(2025·莆田期中)函数g(x)＝＋x2－2mx在R上单调递增的充分条件是(　　) A．m∈ B．m∈ C．m∈ D．m∈R √ 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 B　[因为g(x)＝＋x2－2mx， 所以g'(x)＝x2＋2x－2m． 因为函数g(x)在R上单调递增， 所以g'(x)≥0恒成立， 即g'(x)＝x2＋2x－2m＝(x＋1)2－1－2m≥0恒成立， 即(x＋1)2≥1＋2m恒成立． 因为(x＋1)2≥0， 所以1＋2m≤0， 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 解得m≤－， 即函数g(x)＝＋x2－2mx在R上单调递增的充要条件为m∈， 即函数g(x)＝＋x2－mx在R上单调递增的充分条件是的非空子集． 故选B．] 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 2．(2025·仙桃期末)已知函数f (x)＝aln x＋x2－6x＋4在定义域内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，6) C．(－∞，9) D．(－∞，12) √ 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 C　[由已知，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝＋x－6， 题意等价于f '(x)<0在(0，＋∞)上有解，即a<(－x2＋6x)max， 设g(x)＝－x2＋6x，则g(x)的图象是开口向下的抛物线，所以g(x)max＝g(3)＝9， 所以a<9，a的取值范围是(－∞，9)． 故选C．] 考点二　利用单调性解不等式 [典例2]　(2025·上饶期末)已知函数f (x)＝x－sin x，且f (log2m)＋ f (－1)<0，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(0，2) C．(1，2) D．(2，＋∞) √ 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 B　[因为f (x)＝x－sin x的定义域为R， 所以f '(x)＝1－cos x≥0恒成立， 故f (x)在R上单调递增， 又根据f (－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f (x)， 因此f (x)为奇函数， 又f (log2m)＋f (－1)<0⇒f (log2m)<－f (－1)＝f (1)， 则log2m<1，解得m∈(0，2)． 故选B．] 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 通性通法：利用函数的单调性解不等式的关键是判断函数的单调性，易错之处是忽视函数的定义域． 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 [多维变迁] (2025·潮州期末)已知f '(x)是函数f (x)(x∈R)的导数，且∀x∈R， f '(x)>2，f (2)＝3，则不等式f (x)>2x－1的解集为(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，3) D．(3，＋∞) √ 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 B　[设g(x)＝f (x)－2x＋1，因为f (2)＝3， 所以g(2)＝f (2)－3＝0， g'(x)＝f '(x)－2，因为f '(x)>2， 所以g'(x)>0， 所以函数g(x)＝f (x)－2x＋1为R上的增函数， 因此由f (x)>2x－1⇒g(x)>0＝g(2)⇒x>2． 故选B．] 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 考点三　利用单调性比较大小 [典例3]　(2025·北京延庆区期末)已知函数f (x)的导函数f '(x)＝(x2＋1)ex，则下列选项正确的是(　　) A．f (2)<f (e)<f (π) B．f (π)<f (e)<f (2) C．f (e)<f (2)<f (π) D．f (2)<f (π)<f (e) √ 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 A　[已知函数f (x)的导函数f '(x)＝(x2＋1)ex，x∈R， 则x∈R⇒f '(x)>0， 所以函数f (x)在R上单调递增， 选项中x＝2，x＝e，x＝π大小顺序为2<e<π． 所以f (2)<f (e)<f (π)． 故选A．] 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 通性通法：利用导数比较大小，其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小． 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 [多维变迁] 已知函数f (x)＝xsin x，x∈R，则f，f (1)，f的大小关系为(　　) A．f>f (1)>f B．f (1)>f>f C．f>f (1)>f D．f>f>f (1) √ 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 A　[当x∈时，f '(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f (x)在内单调递增， 由题知f (－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f (x)，则函数f (x)是偶函数，故f＝f． 因为0<<1<， 所以f<f (1)<f，即f>f (1)>f．故选A．] 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 1．(链接考点三)(2025·南阳期末)已知函数f (x)＝x－sin x，则f (1)，f (2)，f (3)的大小关系是(　　) A．f (1)>f (2)>f (3) B．f (1)>f (3)>f (2)　 C．f (3)>f (1)>f (2) D．f (3)>f (2)>f (1) √ D　[因为f '(x)＝1－cos x≥0， 所以f (x)在R上单调递增， 因此f (3)>f (2)>f (1)． 故选D．] 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 2．(链接考点一)(2025·三明期末)若函数f (x)＝x2＋2x＋aln x在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[－4，＋∞) D．(－∞，－4] √ D　[∵函数f (x)＝x2＋2x＋aln x在(0，1)内单调递减，∴当x∈(0，1)时，f '(x)＝2x＋2＋≤0， ∴g(x)＝2x2＋2x＋a≤0在x∈(0，1)时恒成立， ∴g(0)≤0，g(1)≤0，即a≤－4． 故选D．] 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 3．(链接考点二)已知函数f (x)＝2ln x＋－x，则不等式f (2x－1)<f (1－x)的解集为(　　) A． B． C． D． √ 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 B　[由题意可知f (x)的定义域为(0，＋∞)． 因为f '(x)＝－1＝－≤0恒成立， 所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减． 由f (2x－1)<f (1－x)，可得 解得<x<1，即原不等式的解集为．故选B．] 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 4．(链接考点一)若函数f (x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是______________．  [－3，0]　[ f '(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0．] [－3，0] 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 一、单项选择题 1．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)已知函数f (x)＝2x－sin x，则下列结论正确的是(　　) A．f (2.7)<f (π)<f (e) B．f (π)<f (e)<f (2.7) C．f (e)<f (2.7)<f (π) D．f (2.7)<f (e)<f (π) 课时作业(二十三)　函数单调性的应用 第23课时　函数单调性的应用 31 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[ f '(x)＝2－cos x，因为cos x∈[－1，1]，所以f '(x)>0恒成立，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，因为2.7<e<π，所以f (2.7)<f (e)<f (π)． 故选D．] 32 √ 2．(人教B版选择性必修第三册P95练习BT1改编)对于R上可导的任意函数f (x)，若满足(x－1)f '(x)≥0，则必有(　　) A．f (0)＋f (2)<2f (1) B．f (0)＋f (2)≤2f (1) C．f (0)＋f (2)≥2f (1) D．f (0)＋f (2)>2f (1) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 33 C　[由(x－1)f '(x)≥0，得①函数y＝f (x)在(－∞，1]上单调递减，f (0)>f (1)；函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，f (2) >f (1)，所以f (0)＋f (2)>2f (1)．②若函数y＝f (x)为常数函数，则f (0)＋f (2)＝2f (1)．综合①②得f (0)＋f (2)≥2f (1)．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 34 √ 3．(人教B版选择性必修第三册P113复习题B组T4改编)若函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3) C．(－∞，0)∪(0，3) D．(－∞，0) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 35 C　[由题意，函数f (x)的定义域为R，f '(x)＝3ax2－6x＋1，要使函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1恰有三个单调区间，则f '(x)＝0有两个不相等的实数根，∴得a<3且a≠0，故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 36 √ 4．(2025·眉山期末)已知f (x)＝x3－ax在[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(12，＋∞) B．[12，＋∞) C．(－∞，12) D．(－∞，12] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[ f '(x)＝3x2－a，若f (x)在[2，3]上单调递增，则f '(x)≥0恒成立，即a≤3x2恒成立， 当x∈[2，3]时，12≤3x2≤27，所以只需a≤12即可．故选D．] 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 37 √ 5．(2025·济南期末)定义在R上的函数f (x)的导函数为f '(x)，若f '(x) >3，f (2)＝6，则f (x)>3x的解集为(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，2) C．(0，＋∞) D．(2，＋∞) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 38 D　[令g(x)＝f (x)－3x， 因为f '(x)>3， 所以g'(x)＝f '(x)－3>0， 所以g(x)在R上单调递增， 因为f (2)＝6，所以g(2)＝f (2)－6＝0， 由f (x)>3x可得f (x)－3x>0， 即g(x)>g(2)， 所以x>2． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 39 √ 6．(2025·景德镇期末)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则不等式x·f '(x)<0的解集为(　　) A．(－1，0)∪(2，5) B．(－1，2)∪(5，＋∞) C．(－∞，0)∪(2，5) D．(－∞，－1)∪(0，5) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 40 A　[根据题意，由函数f (x)的图象可知，在区间(－∞，－1)上，f (x)单调递减，必有f '(x)<0， 在区间(－1，2)内，f (x)单调递增，必有f '(x)>0， 在区间(2，5)内，f (x)单调递减，必有f '(x)<0， 在区间(5，＋∞)上，f (x)单调递增，必有f '(x)>0， 若x·f '(x)<0，即解得2<x<5或－1<x<0， 即不等式的解集为(－1，0)∪(2，5)． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 41 √ 二、多项选择题　 7．(2025·钦州期末)若函数f (x)＝x2－9ln x在区间(m－1，m＋1)内单调，则实数m的值可以是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 42 ABD　[f '(x)＝x－(x>0)， 令f '(x)>0，得x>3，令f '(x)<0，得0<x<3， 所以函数f (x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(0，3)， 因为函数f (x)在区间(m－1，m＋1)内单调， 所以或m－1≥3， 解得1≤m≤2或m≥4．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 43 √ 8．(2025·泸州期末)已知函数f (x)＝ln x－，设a＝f，b＝f (2)，c＝f，则(　　) A．a>b B．b>a C．c>a D．c>b 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 44 BCD　[因为f (x)＝ln x－(x>0)， 所以f '(x)＝， 又x∈(0，＋∞)时，ex>1，≥－， 所以f '(x)>0， 即f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 故f >f (2)>f，即c>b>a．故选BCD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 45 √ 9．(2025·德州期末)已知函数f (x)的定义域为R，其导函数f '(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)．下列结论正确的是(　　) A．f (x)<0恒成立 B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0 C．f D．f 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 46 BD　[由题图可知，导函数f '(x)的图象在x轴 下方，即f '(x)<0，故函数f (x)为减函数， 并且递减的速度是先快后慢，所以f (x)的 大致图象如图所示． A中，f (x)<0恒成立，没有依据，故A不正确； B表示(x1－x2)与[f (x1)－f (x2)]异号，即f (x)为减函数，故B正确； C，D中不等式的左边为x1，x2的平均值对应的函数值，即图中点B的纵坐标， 右边为x1，x2对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然左边的值小于右边的值，故C不正确，D正确．故选BD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 47 三、填空题 10．(2025·深圳期中)已知函数f (x)＝x－－aln x在(2，3)内单调递减，则实数a的取值范围是______________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 48 　[由已知得，f '(x)＝1＋， 题意等价于1＋≤0在(2，3)内恒成立，即a≥x＋在(2，3)内恒成立． 设h(x)＝x＋(x>0)， 由对勾函数性质知，h(x)在(2，3)内单调递增， 所以h(x)<h(3)＝， 故得a≥，即实数a的取值范围是．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 49 11．已知函数f (x)为偶函数，且当x≥0时，f (x)＝ex＋x2－cos x，则不等式f (x－3)－f (2x－1)<0的解集为 ________________________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 50 　[当x≥0时，导函数f '(x)＝ex＋2x＋sin x， 因为x≥0，因此ex≥1，因此导函数f '(x)＝ex＋2x＋sin x>0， 因此当x≥0时，函数f (x)＝ex＋x2－cos x单调递增． 又f (x)为偶函数，因此当x<0时，函数单调递减， 因此f (x－3)－f (2x－1)<0， 等价于f (x－3)<f (2x－1)， 等价于|x－3|<|2x－1|，平方化简可得3x2＋2x－8>0， 解得x>或x<－2，因此解集为．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 51 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．(2026·渭南模拟)已知函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)内不单调，则实数t的取值范围是______________．  (0，1)　[∵函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x(x>0)， ∴f '(x)＝－x－3＋，∵函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)内不单调， ∴f '(x)＝－x－3＋在(t，t＋1)内有变号零点， (0，1)　 考点深研 课时作业 第23课时　函数单调性的应用 52 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 ∴＝0在(t，t＋1)内有解， ∴x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)内有解， 由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)． ∴1∈(t，t＋1)，∴t∈(0，1)， 故实数t的取值范围是(0，1)．] 53 谢谢！ $