第三章　第26课时　导数与函数的最值课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的最值”专题，依据高考评价体系明确理解最值与极值关系、求闭区间最值、实际应用三大考查要求，通过梳理近五年真题归纳出不含参数、含参分类讨论等四大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+通性通法+素养提升”，如以2022全国乙卷题为例，详解导数零点分析与函数值比较的解题步骤，培养数学思维与运算能力，特设易错点警示帮助学生掌握得分技巧，教师可借此实现高效复习指导。

第三章　一元函数的导数及其应用 第26课时　导数与函数的最值 [考试要求]　1．理解函数最值与极值的关系．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值．3．了解最值在现实生活中的应用． 第26课时　导数与函数的最值 理法先行·题练固本 知识点1　函数的最大(小)值 (1)函数f (x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值． f (a) 　f (b) f (a) f (b) 第26课时　导数与函数的最值 3 知识点2　求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤 (1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的____； (2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是____值，最小的一个是____值． [常用结论] 1．若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点． 2．若函数在闭区间[a，b]上的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点． 极值 最大 最小 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 1．(湘教版选择性必修第二册P49复习题一T7改编)已知f (x)＝x3－12x＋1，x∈，则f (x)的最大值为______________，最小值为______________．  　－10　[ f '(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)， 因为x∈，所以f '(x)<0，故f (x)在上单调递减，所以f (x)的最大值为f ，最小值为f (1)＝－10．] 　 －10　 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 2．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T14)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5 m，那么高为______________m时，容器的容积最大，最大容积为______________m3．  1.2 1.8　 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 1.2　1.8　[设该容器底面矩形短边的长为x m，则另一边的长为(x＋0.5) m，此容器的高为y＝－x－(x＋0.5)＝3.2－2x，则此容器的容积为V(x)＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，其中0<x<1.6．令V'(x)＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，得x1＝1，x2＝－(舍去)．因为V(x)在(0，1.6)内只有一个极值点，当x∈(0，1)时，V'(x)>0，函数V(x)单调递增；当x∈(1，1.6)时，V'(x)<0，函数V(x)单调递减，所以V(x)max＝V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m3)，即当高为1.2 m时，长方体容器的容积最大，且最大容积为1.8 m3．] 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 3．(用结论)函数f (x)＝xln x在上的最大值是_________．  2e2　[由题意得，f '(x)＝ln x＋1，令f '(x)＝0，解得x＝<x≤e2时，f '(x)>0，f (x)在上单调递增，故f (x)在上的最大值为f (e2)＝e2ln e2＝2e2．] 2e2　 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 考点深研·题型突破 考点一　求已知函数的最值 考向1　不含参数的函数的最值 [典例1]　(人教A版选择性必修第二册P93例6改编)求函数f (x)＝x3－x2－x＋1在区间上的最大值和最小值． 第26课时　导数与函数的最值 9 [解]　因为f (x)＝x3－x2－x＋1，所以f '(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)， 令f '(x)＝0，即(3x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－或x＝1， 列表如下： x － 1 (1，2] f '(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 单调递增   单调递减   单调递增 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 当x∈时，f '(x)>0，f (x)单调递增， 当x∈时，f '(x)<0，f (x)单调递减， 当x∈(1，2]时，f '(x)>0，f (x)单调递增， 所以f (x)的极大值为f，f (x)的极小值为f (1)＝0， 又f，f (2)＝3， 所以函数y＝f (x)在区间上的最大值为3，最小值为0． 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 通性通法：求函数f (x)在[a，b]上的最值时： (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f (a)，f (b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 【教用·备选题】 (2022·全国乙卷)函数f (x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为(　　) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 D　[ f '(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，令f '(x)＝0，解得x＝，x＝或x＝－1(舍去)，所以在区间内f '(x)>0，f (x)单调递增；在区间内f '(x)<0，f (x)单调递减． 又f (0)＝f (2π)＝2，f＋2， f＝－＋1＝－， 所以f (x)在区间[0，2π]上的最小值为－＋2．故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 考向2　含参函数的最值 [典例2]　求函数f (x)＝x3－ax2－a2x在[0，＋∞)上的最小值． [解]　f '(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)， 令f '(x)＝0，得x1＝－，x2＝a． ①当a>0时，3x＋a>0，令f '(x)>0，则x>a，令f '(x)<0，则0≤x<a，所以f (x)在[0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．所以f (x)min＝f (a)＝－a3； 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 ②当a＝0时，f '(x)＝3x2≥0，f (x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x)min＝f (0)＝0； ③当a<0时，x－a>0，令f '(x)>0，则x>－，令f '(x)<0，则0≤x<－，所以f (x)在上单调递增， 所以f (x)min＝fa3． 综上所述，当a>0时，f (x)的最小值为－a3； 当a＝0时，f (x)的最小值为0； 当a<0时，f (x)的最小值为a3． 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 [母题探究] (综合变式)当a>0时，求函数f (x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值． [解]　f '(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)， 令f '(x)＝0，得x1＝－，x2＝a． 所以f (x)在上单调递增， 在内单调递减，在(a，2a]上单调递增． 因为f (－a)＝－a3，fa3， f (a)＝－a3，f (2a)＝2a3． 所以f (x)max＝f (2a)＝2a3， f (x)min＝f (－a)＝f (a)＝－a3． 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 通性通法：求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x)的最值． 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 【教用·备选题】 (2026·抚州模拟节选)已知函数f (x)＝aln x－2x－(a≠0)．求f (x)在区间(0，1]上的最大值． [解]　由题意，得f '(x)＝－2＋＝－＝－，x>0． 若a≥1，当x∈(0，1]时，f '(x)≥0，f (x)在区间(0，1]上单调递增， 此时f (x)的最大值为f (1)＝－2－a2； 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 若0<a<1，当x∈(0，a)时，f '(x)>0，f (x)单调递增， 当x∈(a，1]时，f '(x)<0，f (x)单调递减， 此时f (x)的最大值为f (a)＝aln a－3a； 若－2<a<0，则0<－<1，当x∈时，f '(x)>0，f (x)单调递增， 当x∈时，f '(x)<0，f (x)单调递减， 此时f (x)的最大值为f＝aln＋3a； 若a≤－2，则－≥1，当x∈(0，1]时，f '(x)≥0，f (x)在区间(0，1]上单调递增， 此时f (x)的最大值为f (1)＝－2－a2． 综上，f (x)max＝ 考点二　由函数的最值求参数(范围) [典例3]　(2025·莆田期中)已知函数f (x)＝(x>1)有最大值－8，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－4 C．－8 D．－12 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 A　[ f '(x)＝，且x∈(1，＋∞)， 当a＝0时，不符合题意； 当a>0时，若x∈(1，2)，则f '(x)<0，此时函数f (x)在(1，2)内单调递减， 若x∈(2，＋∞)，则f '(x)>0，此时函数f (x)在(2，＋∞)上单调递增， 此时f (x)无最大值，不符合题意； 当a<0时，若x∈(1，2)，则f '(x)>0，此时函数f (x)在(1，2)内单调递增， 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 若x∈(2，＋∞)，则f '(x)<0，此时函数f (x)在(2，＋∞)上单调递减， 所以f (x)在x＝2处取得极大值，也是最大值，即f (2)＝4a＝－8， 解得a＝－2，符合题意． 综上可知，a＝－2． 故选A．] 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 通性通法：已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题． 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 [多维变迁] (2025·湘豫名校联考)已知函数f (x)＝x3－3x2＋3在区间(a，a＋6)内存在最小值，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1，2) B． C． D．[－1，1) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 A　[由题意得f '(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)． 当f '(x)>0时，得x<0或x>2， 当f '(x)<0时，得0<x<2， 故函数f (x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)， 即x＝2时，函数f (x)取得极小值f (2)＝－1， 画出f (x)的图象如图． 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 当x3－3x2＋3＝－1时，(x＋1)(x－2)2＝0， 解得x＝－1或x＝2， 故要使函数f (x)＝x3－3x2＋3在区间(a，a＋6)内存在最小值， 需有解得－1≤a<2， 即实数a的取值范围为[－1，2)．故选A．] 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 考点三　生活中的优化问题 [典例4]　(2025·日照月考)某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植x万千克莲藕的销售额(单位：万元)是f (x)＝－x3＋x2＋x，则要使利润最大，每年需种植莲藕______________万千克．  5　 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 5　[由题意，利润g(x)＝f (x)－2－x，且0≤x≤10， 所以g(x)＝－x3＋x2－2， 则g'(x)＝－x2＋x＝(5－x)， 当0≤x<5时，g'(x)≥0，即g(x)在[0，5)上单调递增； 当5<x≤10时，g'(x)<0，即g(x)在(5，10]上单调递减， 所以当x＝5时，利润最大．] 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 通性通法：解决最优化问题，应从以下几个方面入手： (1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域； (2)在实际应用问题中，若函数f (x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 [多维变迁] (2025·吉安月考)已知某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1 200＋x2(单位： 万元)，产品单价的平方与产品件数x成反比．若生产100件这样的产品，单价为50万元，则产量定为______________ 件时总利润最大．  225　 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 225　[设产品单价为m万元，则m2＝(其中k为非零常数)， 所以502＝，故k＝250 000． 记生产x件产品时，总利润为f (x)，则 f (x)＝mx－C(x)＝500－1 200－x2，x>0，f '(x)＝x． 由f '(x)>0，得0<x<225；由f '(x)<0，得x>225． 故函数f (x)在(0，225)内单调递增，在(225，＋∞)上单调递减． 因此，当x＝225时，f (x)取最大值，即产量定为225件时，总利润最大．] 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 【教用·微点突破】 与三次函数有关的问题 三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独有的结论和技巧．常用结论如下： 结论1：三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象关于点中心对称． 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 结论2：已知三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)中心对称点的横坐标为x0，两个极值点分别为x1，x2，则 ＝ f '(x0)＝－(x1－x2)2． 结论3：三次函数的零点：(1)若三次函数f (x)没有极值点，则f (x)有1个零点． (2)若三次函数f (x)有2个极值点x1，x2， 则f (x1) f (x2)>0时f (x)有1个零点； f (x1) f (x2)＝0时f (x)有2个零点； f (x1) f (x2)<0时f (x)有3个零点． 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 [典例]　(多选)(2026·昆明模拟)已知f (x)＝x3－3x2＋1，则(　　) A．x＝2是f (x)的极大值点 B．f (x)有且仅有三个零点　 C．当且仅当x<－1时有f (x)<－3 D．点(1，－1)是曲线y＝f (x)的对称中心 √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 BCD　[对于A，因为f (x)＝x3－3x2＋1的定义域为R， 所以f '(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)， 所以在(－∞，0)上f '(x)>0，f (x)单调递增， 在(0，2)内f '(x)<0，f (x)单调递减， 在(2，＋∞)上f '(x)>0，f (x)单调递增， 所以x＝2是函数f (x)的极小值点，故A错误； 对于B，由上可得f (x)极大值＝f (0)＝1，f (x)极小值＝f (2)＝－3， 所以函数f (x)有且仅有三个零点，故B正确； 对于C，由上可知f (x)的单调性和极值， 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 当x<－1时，f (x)单调递增， 又f (－1)＝－3， 所以当x<－1时，f (x)<－3， 当x≥－1时，f (x)≥f (2)＝－3， 所以当且仅当x<－1时，f (x)<－3，故C正确； 对于D，f (1＋x)＋f (1－x)＝(1＋x)3－3(1＋x)2＋1＋(1－x)3－3(1－x)2＋1＝－2， 所以点(1，－1)是曲线y＝f (x)的对称中心，故D正确．故选BCD．] 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 1．(链接考向1)(2025·乌鲁木齐天山区期中)函数f (x)＝xex的最小值为(　　) A． B．1 C．－ D．e2 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 C　[根据函数f (x)＝xex，得f '(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f '(x)＝0，解得x＝－1， 因此当x∈(－1，＋∞)时，f '(x)>0，函数f (x)单调递增， 当x∈(－∞，－1)时，f '(x)<0，函数f (x)单调递减， 所以当x＝－1时，函数f (x)有最小值， 即f (－1)＝－1·e-1＝－． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 2．(链接考点二)(2025·天津期中)若函数f (x)＝x3＋x2在区间(a－1，a＋5)内存在最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．[－5，1) B．(－5，1) C．[－2，1) D．(－2，1) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 C　[由f '(x)＝x2＋2x，令f '(x)＝0，可得x＝－2或x＝0， 由f '(x)>0得x<－2或x>0，由f '(x)<0得－2<x<0， 所以函数f (x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)内单调递减， 所以函数f (x)在x＝0处取得极小值f (0)＝0， 令f (x)＝x3＋x2＝0，解得x＝0或x＝－3， 若函数f (x)在(a－1，a＋5)内存在最小值，则－3≤a－1<0<a＋5，解得－2≤a<1， 即实数a的取值范围是[－2，1)． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 3．(链接考向2)(多选)(2025·鹤壁二模)已知函数g(x)＝＋ln x，x∈(0，e]，则(　　) A．当a≤0时，g(x)有最大值 B．当0<a<e时，g(x)可以取得最小值－1 C．当0<a<e时，g(x)可以取得最小值2 D．当a≥e时，g(x)可以取得最小值3 √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 ABD　[g'(x)＝－． 对于选项A，当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递增，此时g(x)有最大值，故A选项正确． 对于选项B，C，当0<a<e时，若0<x<a， 则g'(x)<0，故g(x)在(0，a)内单调递减； 若a<x≤e，则g'(x)>0，故g(x)在(a，e]上单调递增． 令g(x)min＝g(a)＝＋ln a＝－1，得a＝，满足条件， 令g(x)min＝g(a)＝＋ln a＝2，得a＝e，不满足条件，故B选项正确，C选项错误． 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 对于选项D，当a≥e时，若0<x≤e，则g'(x)≤0，所以g(x)在(0，e]上单调递减， 令g(x)min＝g(e)＝＋ln e＝3，得a＝2e，所以此时g(x)有最小值3，故D选项正确． 故选ABD．] 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 4．(链接考点三)(2026·榆林模拟)滑县木版画是河南安阳传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量f (x)(单位：套)与销售价格x(单位：元/套)近似满足关系式f (x)＝(x－90)2，其中30<x<90，则当A系列木版画销售价格定为 __________元/套时，月利润最大．  50　 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 50　[设A系列木版画的月利润为g(x)，则g(x)＝f (x)(x－30)＝(x－90)2(x－30)，30<x<90， 可得g'(x)＝2(x－90)(x－30)＋(x－90)2＝3(x－90)(x－50)， 令g'(x)＝0，则x＝50， 当x∈(30，50)时，g'(x)>0，当x∈(50，90)时，g'(x)<0，故g(x)在(30，50)内单调递增，在(50，90)内单调递减， 所以当x＝50时，利润g(x)取到极大值，也是最大值，即当A系列木版画销售价格定为50元/套时，月利润最大．] 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 一、单项选择题　 1．(2025·开封期中)已知函数f (x)＝(x＋2)ex，x∈[－5，5]，则f (x)的最小值为(　　) A．－3e-3 B．－3e-5 C．7e5 D．－e-3 √ 课时作业(二十六)　导数与函数的最值 第26课时　导数与函数的最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 D　[由f (x)＝(x＋2)ex，得f '(x)＝ex＋(x＋2)ex＝(x＋3)ex． 当x∈[－5，－3)时，f '(x)<0，f (x)单调递减， 当x∈(－3，5]时，f '(x)>0，f (x)单调递增， 所以函数f (x)在x＝－3处取得极小值，也是最小值． f (－3)＝(－3＋2)e-3＝－e-3，即f (x)的最小值为－e-3， 故选D．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 2．(2026·济宁模拟)已知x>0，y>0，且xy＋2y2－36＝0，则xy2的最大值为(　　) A．12 B．6 C．36 D．24 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 D　[因为x>0，y>0，且xy＋2y2－36＝0， 所以x＝>0，即0<y<3， 则xy2＝(36－2y2)y， 令g(y)＝(36－2y2)y＝36y－2y3，0<y<3， 则g'(y)＝36－6y2＝6(－y)(＋y)， 当0<y<时，g'(y)>0，g(y)单调递增，当<y<3时，g'(y)<0，g(y)单调递减， 故y＝时，g(y)取得最大值24． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 3．函数f (x)＝x2＋(a－1)x－3ln x在(1，2)内有最小值，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 A　[f '(x)＝2x＋(a－1)－， 设g(x)＝2x2＋(a－1)x－3，因为Δ＝(a－1)2＋24>0，因此g(x)＝0有两个不同的实数根， 又g(0)＝－3<0，因此g(x)＝0的两根一正一负， 由题意可知正根在(1，2)内， 所以 解得－<a<2． 故选A．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 4．已知函数f (x)＝mln x＋的最小值为－m，则实数m＝(　　) A． B． C．e D．e2 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 D　[∵函数f (x)＝mln x＋的定义域为(0，＋∞)， ∴f '(x)＝． 当m≤0时，f '(x)<0，∴f (x)单调递减，无最值，舍去； 当m>0时， 令f '(x)>0，得x>，∴f (x)单调递增， 令f '(x)<0，得0<x<，f (x)单调递减， ∴f (x)min＝f＝mln＋m＝－m， ∴m＝e2>0成立， 故选D．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 二、多项选择题　 5．(2026·重庆模拟)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f (x)在点P(1，f (1))处的切线方程为y＝3x＋1．则下列结论正确的有(　　) A．a＝2　 B．b＝－2　 C．f (x)在[－3，1]上的最大值为13　 D．f (x)在[－3，1]上的最小值为4 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 AC　[根据题意可知，点P(1，f (1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得， f (1)＝3×1＋1＝4，因此f (1)＝1＋a＋b＋5＝4，所以a＋b＝－2， 又根据函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋5，得导函数f '(x)＝3x2＋2ax＋b， 而根据切线y＝3x＋1的斜率可知，f '(1)＝3，所以3＋2a＋b＝3，所以2a＋b＝0， 根据因此选项A正确，选项B错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 根据函数f (x)＝x3＋2x2－4x＋5，可得f '(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)， 令f '(x)＝0，得x＝或x＝－2， 当x变化时，函数f (x)，导函数f '(x)的变化情况如表， x －3 (－3， －2) －2 1 f '(x)   ＋ 0 － 0 ＋   f (x) 8 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 4 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 所以f (x)的极大值为f (－2)＝13，又f (1)＝4， 所以f (x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值不为4，故C正确，D错误． 故选AC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 6．(2026·邢台模拟)已知函数f (x)＝x2＋aln x，则下列结论正确的是 (　　) A．当a＝时，曲线y＝f (x)的切线斜率的最小值为2 B．当a＝时，f (x)有最大值 C．当a＝－时，f (x)有两个零点　 D．当a＝－时，f (x)有最小值 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 AD　[f (x)＝x2＋aln x的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝2x＋， 当a＝时，f '(x)＝2x＋≥2＝2， 当且仅当2x＝(x>0)，即当x＝时，等号成立， 因此当a＝时，曲线y＝f (x)的切线斜率的最小值为2，所以选项A正确； 当a＝时，f '(x)＝2x＋>0对任意的x>0恒成立， 因此当a＝时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，那么函数f (x)无最大值，所以选项B错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 当a＝－时，函数f (x)＝x2－ln x，f '(x)＝2x－， 由f '(x)<0，可得0<x<，由f '(x)>0，可得x>， 所以此时f (x)的单调递增区间为， 则f (x)min＝fln ln 2，所以f (x)≥f>0， 所以当a＝－时，函数f (x)有最小值，且最小值大于0，函数f (x)无零点，C错误，D正确． 故选AD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 三、填空题 7．(2026·临沂模拟)已知函数f (x)＝x2－4x＋(x－2)cos x－sin x在x＝a处取得最小值m，则m＋a＝______________．  －2－sin 2 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 －2－sin 2　[函数f (x)＝x2－4x＋(x－2)cos x－sin x， 可得f '(x)＝(x－2)(2－sin x)， 因为2－sin x>0， 当x<2时，f '(x)<0； 当x>2时，f '(x)>0， 从而m＝f (x)min＝f (2)＝－4－sin 2， a＝2，所以m＋a＝－2－sin 2．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 8．(2026·儋州模拟)声音的波长变化曲线一般都可用多个形如y＝Asin ωx的函数的和来描述，因此，我们通常将用函数y＝Asin ωx的和构成的函数称为声音函数．已知某声音函数f (x)＝sin x＋sin 2x，则f (x)在区间[－2π，－π]∪[π，2π]上的最小值与最大值之积为______________．  －　 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 －　[由f (x)＝sin x＋sin 2x，可得f '(x)＝cos x＋cos 2x，令cos x＋cos 2x＝0，解得2cos2x＋cos x－1＝0，即(2cos x－1)(cos x＋1)＝0，可得cos x＝－1或cos x ＝，x∈[－2π，－π]∪[π，2π]， 解得x＝－π，x＝π，x＝－，x＝， f (－π)＝0，f (π)＝0，f，f＝－＝－， f (2π)＝0，f (－2π)＝0， 所以f (x)在区间[－2π，－π]∪[π，2π]上的最小值与最大值之积为－．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 四、解答题 9．(2025·北京卷节选)已知函数f (x)的定义域是 (－1，＋∞)，导函数f '，求f '(x)的最大值． 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 [解]　设g＝f '，g'＝，x>－1， 由g'＝0可得x＝e－1，当x∈时，g'>0，g单调递增； 当x∈时，g'<0，g单调递减， 所以f '的最大值为f '． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 10．(2025·南通月考)已知f (x)＝aln x－1＋． (1)若a＝1，证明：f (x)≥0； (2)若f (x)的最小值为－1，求实数a． 理法先行 考点深研 课时作业 第26课时　导数与函数的最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 [解]　(1)证明：当a＝1时，f (x)＝ln x＋－1，x>0， 则f '(x)＝， 当x>1时，f '(x)>0，f (x)单调递增； 当0<x<1时，f '(x)<0，f (x)单调递减， 故f (x)≥f (1)＝0． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 (2)因为f '(x)＝，x>0， 当a≤0时，f '(x)<0，f (x)单调递减，此时函数没有最小值，不符合题意； 当a>0时，由f '(x)>0可得x>，f (x)单调递增；由f '(x)<0可得0<x<， f (x)单调递减， 故当x＝时，函数f (x)取得最小值f ＝aln－1＋a＝－1，即1－ln a＝0，所以a＝e． 谢谢！ $