强基培优2 导数中的函数构造课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数中的函数构造”核心考点，依据高考评价体系梳理了逆用导函数思维、地位同等同构、数值特征构造三大技法，通过典例分析明确比较大小、解不等式等高频题型占比，构建系统备考框架，体现高考考查要求的针对性。 课件亮点在于“技法拆解+真题精析+素养提升”策略，如典例展示1通过构造g(x)=f(x)/x分析单调性，培养数学思维与推理能力，纵深攻略题组强化构造技巧训练。教师可依托课件精准指导学生掌握函数构造方法，提升解题效率，助力高考冲刺。

强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 备考纵深·高阶思维突破攻略 培优点一　逆用导函数思维构造函数 技法1　利用f (x)与xn构造 【典例展示1】　(多选)已知函数f (x)的导函数为f '(x)，对任意的正数x，都满足f (x)<xf '(x)<2f (x)－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f (1)<2f f (2) C．f (1)<4f f (2)＋1 √ √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 2 BC　[设g(x)＝>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 由g(1)>g，故A错误； 由g(1)<g(2)，得f (1)<f (2)，故B正确； 3 设h(x)＝(x>0)， 则h'(x)＝＝<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 由h(1)<h－2，故C正确； 由h(1)>h(2)，得f (1)>f (2)＋1，故D错误．故选BC．] 4 技法2　利用f (x)与ex(或enx)构造 【典例展示2】　已知定义域为R的函数f (x)满足f (1)＝的解集是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(0，＋∞) D．(－∞，0) √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 5 D　[构造函数g(x)＝exf (x)，则g'(x)＝ex[f (x)＋f '(x)]<0， 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减， 因为g(1)＝e1f (1)＝1，所以不等式f (x＋1)>可变为ex+1f (x＋1)>1， 即g(x＋1)>g(1)，所以x＋1<1，即x<0， 所以不等式f (x＋1)>的解集为(－∞，0)．故选D．] 6 技法3　利用f (x)与sin x，cos x构造 【典例展示3】　已知f '(x)是函数f (x)的导函数，f (x)－f (－x)＝0，且对于任意的x∈满足f '(x)cos x＋f (x)sin x>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A． B．f C．f (－1)<cos 1 D． √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 7 A　[令g(x)＝， 则g'(x)＝， 又对于任意的x∈满足f '(x)cos x＋f (x)sin x>0，则g'(x)>0， 故g(x)在内单调递增， 而f (x)－f (－x)＝0，故g(－x)＝＝g(x)，故g(x)是偶函数， 8 故g ， 即， 故A正确，BCD错误．故选A．] 9 名师点评：(1)构造可导积函数 条件 构造函数 f '(x)g(x)＋f (x)g'(x)≥0 F(x)＝f (x)g(x) f '(x)＋f (x)<0 F(x)＝exf (x) f '(x)＋nf (x)<0 F(x)＝enxf (x) xf '(x)＋f (x)>0 F(x)＝xf (x) xf '(x)＋nf (x)>0 F(x)＝xnf (x) f '(x)sin x＋f (x)cos x>0 F(x)＝f (x)sin x f '(x)cos x－f (x)sin x>0 F(x)＝f (x)cos x 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 10 (2)构造可导商函数 ①'，特别地，'； ②'，特别地，'，'； ③'； ④'． 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 11 【纵深攻略】 1．定义在的函数f (x)，f '(x)是它的导函数，且恒有f (x)< f '(x)tan x成立，则(　　) A． sin 1 C． √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 12 D　[f (x)<f '(x)tan x⇔f '(x)sin x－f (x)cos x>0，x∈， 则F'(x)＝>0， 即函数F(x)在内单调递增． A项，F， ∴，故A项错误； B项，F(1)>F， ∴f (1)>2f sin 1，故B项错误； 13 C项，F， ∴，故C项错误； D项，F， ∴，故D项正确．故选D．] 14 2．已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，f '(x)是f (x)的导函数， f (－3)＝0，当x>0时，xf '(x)－f (x)>0，则不等式f (x)<0的解集为_______________________． (－∞，－3)∪(0，3)　[设函数g(x)＝， 因为当x>0时，xf '(x)－f (x)>0，所以当x>0时，g'(x)>0，所以g(x)＝在(0，＋∞)上单调递增， (－∞，－3)∪(0，3) 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 15 因为函数f (x)是定义在R上的奇函数， 所以f (－x)＝－f (x)， 所以g(－x)＝＝g(x)， 所以函数g(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递减． 因为f (－3)＝0，所以g(－3)＝＝0，g(3)＝g(－3)＝0， 当x>0时，f (x)<0等价为g(x)<0， 即g(x)<g(3)，解得0<x<3， 16 当x<0时，f (x)<0等价为g(x)>0， 即g(x)>g(－3)，解得x<－3， 当x＝0时，f (x)＝0不符合题意， 综上，不等式f (x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0，3)．] 17 3．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)＋f '(x)>1，f (1)＝3，则不等式exf (x)>ex＋2e的解集为_____________． (1，＋∞)　[设g(x)＝exf (x)－ex(x∈R)， 则g'(x)＝exf (x)＋exf '(x)－ex＝ex[f (x)＋f '(x)－1]， 因为f (x)＋f '(x)>1，所以f (x)＋f '(x)－1>0， (1，＋∞) 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 18 又ex>0，所以g'(x)>0恒成立， 所以y＝g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 故原不等式可转化为exf (x)－ex>2e， 又f (1)＝3，所以g(1)＝ef (1)－e＝2e， 所以g(x)>g(1)，所以x>1， 故不等式exf (x)>ex＋2e的解集为(1，＋∞)．] 19 培优点二　地位同等同构 【典例展示4】　(1)(多选)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则(　　) A．ea－eb<ln a－ln b B．bln a<aln b C． <1 (2)已知a，b，c∈(0，1)，且a2－2ln a＋1＝e，b2－2ln b＋2＝e2，c2－2ln c＋3＝e3，其中e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是_____________． √ √ a>b>c 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 20 (1)CD　(2)a>b>c　[(1)由2a>2b>1，得a>b>0．对于A，设y＝ex－ln x且x∈(0，＋∞)，则y'＝ex－ 21 <1， D正确．故选CD． 22 (2)设f (x)＝x2－2ln x，g(x)＝ex－x，则f (a)＝g(1)，f (b)＝g(2)，f (c)＝g(3)，又g'(x)＝ex－1>0(x>0)，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(3)>g(2)>g(1)，即f (c)>f (b)>f (a)，因为f '(x)＝2x－<0(x∈(0，1))，所以f (x)在(0，1)内单调递减，所以a>b>c．] 23 名师点评：地位同等同构策略 对于含有地位同等的两个变量的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数的单调性解决．常见的同构类型有： 原式 转化 构造函数 >k(x2>x1) f (x1)－f (x2)<kx1－kx2 构造y＝f (x)－kx，为增函数 (x2>x1) f (x1)－f (x2)> 构造y＝f (x)＋，为减函数 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 24 【纵深攻略】 4．已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则(　　) A．sin α>sin β B．cos α>cos β C．cos α>sin β D．sin α>cos β √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 25 D　[α＋β－ ，∴cos β<sin α， sin β>cos α．故选D．] 26 5．已知函数f (x)＝ax2＋(a＋1)ln x＋1(a≤－1)，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，恒有|f (x1)－f (x2)|≥4，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－e2] B．(－∞，－e] C．[－2，－1] D．(－∞，－2] √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 27 D　[由题意知，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝2ax＋ ＋4≤0在(0，＋∞)上恒成立， 从而a≤ 28 ＝， 当x∈ 时，h'(x)>0，h(x)单调递增， ∴h(x)min＝h＝－2，故a≤－2．故选D．] 29 培优点三　依据数值特征构造函数 【典例展示5】　(1)设a＝999ln 1 001，b＝1 000·ln 1 000，c＝1 001ln 999，则下列选项正确的是(　　) A．a>c>b B．c>b>a C．b>a>c D．a>b>c (2)已知a＝e0.8＋1，b＝，c＝ln(0.8e3)，则a，b，c的大小关系为 (　　) A．a>c>b B．c>b>a C．b>a>c D．a>b>c √ √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 30 (1)B　(2)D　[(1)设f (x)＝(1 000－x)ln(1 000＋x)，x∈[－1，1]，当x∈[－1，1]时，f '(x)＝－ln(1 000＋x)＋<0，所以函数f (x)在[－1，1]上单调递减，所以f (－1)＝1 001ln 999>f (0)＝1 000ln 1 000 >f (1)＝999ln 1 001，所以c>b>a．故选B．(2)由题意得，a＝e0.8＋1，b＝0.8＋2，c＝ln 0.8＋3，构造函数y1＝ex＋1，y2＝x＋2，y3＝ ln x＋3， 令f (x)＝y1－y2＝ex－x－1，x∈(0，1)，则f '(x)＝ex－1>0，所以f (x)在(0，1)内单调递增，所以f (0.8)>f (0)＝0，所以e0.8－0.8－1>0，所以e0.8＋1>0.8＋2，所以a>b． 31 令g(x)＝y2－y3＝x－ln x－1，x∈(0，1)，则g'(x)＝1－<0，所以g(x)在(0，1)内单调递减，所以g(0.8)>g(1)＝0，所以0.8－ln 0.8－1>0，所以0.8＋2>ln 0.8＋3，所以b>c，所以a>b>c．故选D． ] 32 名师点评：当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为所构函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小． 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 33 【纵深攻略】 6．已知a，b，c∈(1，e)且aln 5＝5ln a，bln 4＝4ln b，cln 3＝3ln c，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<a<b √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 34 A　[aln 5＝5ln a⇒， cln 3＝3ln c⇒ ．当x∈[1，e)时，f '(x)>0； 当x∈(e，＋∞)时，f '(x)<0，故f (x)在[1，e)内 单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，作出f (x)的图象如图所示．因为a，b，c∈(1，e)，所以由图知a<b<c．] 35 一、单项选择题 1．已知函数f '(x)是函数f (x)的导函数，f (1)＝ 的解集为(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(1，e) D．(e，＋∞) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 教用备选题·强基培优(二)　导数中的函数构造 √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 36 B　[由F(x)＝， 因为f (x)－f '(x)>0，则F'(x)<0，可知F(x)在R上单调递减，且F(1)＝， 由不等式F(x)<可得F(x)<F(1)，解得x>1， 所以不等式F(x)<的解集为(1，＋∞)．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 2．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)的导函数为f '(x)，xf '(x)> 2f (x)，则下列不等式成立的是(　　) A．22f (3)>32f (2) B．22f (3)<32f (2) C．2f (3)>3f (2) D．2f (3)<3f (2) √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 38 A　[令g(x)＝(x>0)， 则g'(x)＝， ∵xf '(x)>2f (x)，∴g'(x)>0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴g(2)<g(3)，即， 即22f (3)>32f (2)．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 39 3．若0<x1<x2<1，则(　　) A．>ln x2－ln x1 B．<ln x2－ln x1 C．x2 D．x2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 40 C　[构造函数f (x)＝ex－ln x，x∈(0，1)， f '(x)＝ex－，当x→0时，f '(x)<0，当x＝1时，f '(x)>0，易知f '(x)在(0，1)内单调递增， ∴f '(x)＝ex－在(0，1)内有唯一变号零点， ∴f (x)在(0，1)内有一个极值点， ∴f (x)在(0，1)内不单调，无法判断f (x1)与f (x2)的大小，故A，B错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 41 令g(x)＝，x∈(0，1)， ∴g'(x)＝<0， ∴g(x)在(0，1)内单调递减， 又∵x2>x1，∴g(x1)>g(x2)，∴．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 42 4．已知函数y＝f (x)定义域为(0，＋∞)，f '(x)为其导函数，若xf '(x)－2f (x)>0恒成立，且f ，则不等式f (x)<x2的解集为(　　) A．(0，1) B． C． D．(1，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 43 B　[令g(x)＝，x>0，那么g'(x)＝， 由于在(0，＋∞)上，xf '(x)－2f (x)>0恒成立，可知函数g(x)在(0， ＋∞)上单调递增，由于f ＝1， 当f (x)<x2，即， 由于函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以0<x<．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 44 5．设f (x)是定义域为R的奇函数，f (－1)＝0，当x>0时，xf '(x)－ f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 45 A　[令g(x)＝(x≠0)，则g'(x)＝，所以当x>0时，g'(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 又f (x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增． 又f (1)＝－f (－1)＝0，即g(1)＝g(－1)＝0． 而f (x)>0等价于或 即所以x<－1或0<x<1．故选A． ] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 46 6．已知a＝e-0.02，b＝0.01，c＝ln 1.01，则(　　) A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 47 C　[由指数函数的性质得 a＝e-0.02>＝0.01＝b， 设f (x)＝ex－1－x， 则f '(x)＝ex－1≥0在[0，＋∞)上恒成立， 因此f (x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴f (0.01)>f (0)，即e0.01－1－0.01>0， 即e0.01>1.01， ∴b＝0.01>ln 1.01＝c，∴a>b>c．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 48 二、多项选择题 7．下列大小关系正确的是(　　) A．<ln 2 B．22.2<2.22 C．3.32>23.3 D．3.34<43.3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 √ √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 49 BC　[对于A，由0<ln 2<1，得 ，由C知D错误．故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 50 8．已知x>y>0，则下列不等式正确的是(　　) A．ex－ey>x－y B．ln x－ln y>x－y C．ln x≥1－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 √ √ √ 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 51 ACD　[设f (x)＝ex－x(x>0)，则f '(x)＝ex－1>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x)>f (y)，即ex－x>ey－y，即ex－ey>x－y，A正确； 令x＝e，y＝1，则ln x－ln y＝1，而x－y＝e－1，所以ln x－ln y<x－y，B不正确； 设h(x)＝ln x－1＋， 当0<x<1时，h'(x)＝<0，函数h(x)单调递减； 当x>1时，h'(x)＝>0，函数h(x)单调递增， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 52 则h(x)＝ln x－1＋，C正确； 设g(x)＝x·ex(x>0)，则g'(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)＝x·ex在(0， ＋∞)上单调递增， 所以由x>y>0得x·ex>y·ey，即，D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 53 三、填空题 9．实数e3，3π，π3的大小关系为_____________．(用“<”连接) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 e3<π3<3π　[设f (x)＝， 当x>e时，f '(x)<0，所以f (x)在(e，＋∞)上单调递减， 所以f (3)>f (π)，即，所以πln 3>3ln π， 所以ln 3π>ln π3，即3π>π3． 因为y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，e<π， 所以e3<π3，所以e3<π3<3π．] e3<π3<3π 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 54 10．已知f (x)是定义在时，f '(x)sin x＋f (x)cos x>0，则不等式 f (x)sin x<3的解集为_____________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 教用备选题·强基培优 强基培优2　导数中的函数构造 55 ． 因为g(x)在．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 56 谢 谢 ！ $