第二讲 集合间的基本关系（讲义）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合间的基本关系，系统梳理子集、真子集的概念与性质，集合相等的判定方法，空集的特性及应用，Venn图表示集合关系，构建从概念理解到性质应用再到综合题型的递进学习支架。 资料以9类题型为载体，通过例题与变式训练强化数学思维，如子集个数计算培养抽象能力，集合相等求参数训练推理意识，Venn图应用发展几何直观。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升解决集合问题的能力。

第二讲 集合间的基本关系 【题型1 子集、真子集的确定】 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【题型3 判断两个集合是否相等】 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【题型6 Venn图表示集合的关系】 【题型7 判断集合间的关系】 【题型8 根据集合间的关系求参数】 【题型9 集合间关系中的新定义问题】 知识点1 子集与真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 子集、真子集的确定】 【例1】集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】集合{0，1，2，4}的一个子集为（ ） A．{0，2} B．{2，6} C．{2，4，6} D．{1，2，3} 【变式1-2】集合的一个真子集可以为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知集合A＝{ x|x2﹣1＝0 }，则下列集合是A的真子集的是（　 ） A．{0，1} B．{0} C．{1} D．{ 1，﹣1 } 【变式1-4】已知集合，且. （1）求的值； （2）写出集合的所有真子集. 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】设集合，，则B的非空子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【变式2-1】已知集合A＝{1，3}，则集合A的真子集有（　 　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2-2】已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 【变式2-3】已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 知识点2 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】下列每组集合是相等集合的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列各组中，两个集合相等的是（　　） A．M＝{（1，2）}，N＝{（2，1）} B．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} C．M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z} D．M＝{（x，y）|1}，N＝{（x，y）|y﹣1＝x﹣2} 【变式3-3】下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【变式4-1】已知集合，，若，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若集合A中有三个元素1，，a；集合B中有三个元素0，，b，集合A与集合B相等，则等于（  ） A．1 B． C．2 D． 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】下列写法中正确的是（ 　） A．{0}∈{0，1} B．0∈∅ C．∅⊆{0} D．∅∈{0，1} 【变式5-1】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-2】下列集合中表示空集的是（　 　） A．{∅} B．{0} C．{x∈R|x2+x﹣1＝0} D．{x∈R|x2+x+1＝0} 【变式5-3】下列关于0与说法不正确的是（　 　） A． B． C． D． 【题型6 Venn图表示集合的关系】 【例6】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（     ） A．   B．   C．   D．   【变式6-1】已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　 ） A． B． C． D． 【变式6-2】请用文氏图表示下列集合关系：，． 知识点3 集合间关系的性质 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型7 判断集合间的关系】 【例7】设集合M＝{x|x，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则（　 ） A．M＝N B．M⫋N C．M⊆N D．M⫌N 【变式7-1】设集合M＝{x|x，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则（　 　） A．M＝N B．M⫋N C．N⫋M D．M与N关系不确定 【变式7-2】设集合M＝{x|x，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则M、N之间的关系为（ ） A．M⫋N B．M⫌N C．M＝N D．M∩N＝∅ 【变式7-3】指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 【题型8 根据集合间的关系求参数】 【例8】已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（　 　） A．a≥1 B． C． D．a≤1 【变式8-1】已知集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|5≤x≤16}，且A⊆B，则a的取值范围为（ ） A．2≤a≤7 B．6≤a≤7 C．a≤7 D．a＜6 【变式8-2】已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B为A的真子集，则m的取值范围是（　　） A．{m|m＜2} B．{m|2≤m＜3} C．{m|m≤3} D．{m|2＜m≤3} 【变式8-3】（多选）已知集合A＝{x|ax＝x﹣1，a∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣56＝0}，若A⊆B，则实数a的值可以是（　　） A． B． C．0 D．1 【变式8-4】已知集合． （1）若，为常数，求实数m的取值范围． （2）若，为常数，求实数m的取值范围． （3）若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【题型9 集合间关系中的新定义问题】 【例9】若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【变式9-1】定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式9-2】定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【课后练习】 1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（　　） A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A 2.已知集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{﹣1，0，1}，则（　 ） A．P∈Q B．P⊆Q C．Q⊆P D．Q∈P 3．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2﹣a+1}，若B⊆A，则实数a＝（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣1或2 4.下列各组中的两个集合相等的是（　 　） ①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n﹣1），n∈Z}，②P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N+}，Q＝{x|x＝2n+1，x∈N+}，③P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x，n∈Z}． A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 5.下列各组中，两个集合相等的是（ ） A．M＝{（1，2）}，N＝{（2，1）} B．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} C．M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z} D．M＝{（x，y）|1}，N＝{（x，y）|y﹣1＝x﹣2} 6.已知集合A＝{ x|x2﹣1＝0 }，则下列集合是A的真子集的是（　 ） A．{0，1} B．{0} C．{1} D．{ 1，﹣1 } 7．给出下列命题，其中正确的个数是（　　） ①空集没有子集； ②空集是任何一个集合的真子集； ③任何一个集合都有两个或两个以上的子集； ④若集合B⊆A，则若元素不属于A，则必不属于B． A．1 B．2 C．3 D．4 8.设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{菱形}，则下列结论正确的是（ ） A．A⫋B⫋C⫋D B．A⫋B⫋D⫋C C．A⫋D⫋B⫋C D．A⫋D⫋C⫋B 9.集合M＝{x|x（2k+1），k∈Z}，N＝{x|x±，k∈Z}，则集合M与N的关系为（　　） A．M＝N B．M⫋N C．N⫌M D．M与N关系不确定 10.已知集合M满足{0，1}⫋M⊆{0，1，2，3，4}，则满足条件的M的个数是（　　） A．7 B．8 C．15 D．16 11（多选）已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x﹣1≤1}，则下列说法正确的有（ 　） A．1∈A B．{2，3}⊆A C．A中有5个元素 D．集合A有16个子集 12.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（   ） A．7 B．15 C．31 D．63 13.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|x≥m}，且A⊆B，则实数m的取值范围是　　 ．　　 14.若A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤5}，A⊆B，则a的取值范围是 　　 ． 15.已知集合A＝{2，3}，B＝{x|ax+1＝0}，且B⊆A，则a的值所构成的集合为　　 ． 16．已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}． （1）若a＝1，写出A的所有子集； （2）若集合A中只含有一个元素，求a的值． 17.已知集合A＝{x|﹣2≤x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 18．设集合A＝{x|x2+4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，a∈R，x∈R}， （1）求A的子集； （2）若B⊆A，求实数a的取值范围． 19.设集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}． （1）若，试判定集合A与B的关系； （2）若B⊆A，求实数a的取值集合． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲 集合间的基本关系 【题型1 子集、真子集的确定】 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【题型3 判断两个集合是否相等】 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【题型6 Venn图表示集合的关系】 【题型7 判断集合间的关系】 【题型8 根据集合间的关系求参数】 【题型9 集合间关系中的新定义问题】 知识点1 子集与真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 子集、真子集的确定】 【例1】集合的子集为（ D  ） A． B． C． D． 【解析】 由集合，根据集合子集的定义，可得 【变式1-1】集合{0，1，2，4}的一个子集为（　A　） A．{0，2} B．{2，6} C．{2，4，6} D．{1，2，3} 【解析】 因为0∈{0，1，2，4}，2∈{0，1，2，4}，所以{0，2}⊆{0，1，2，4}，故A正确；因为6∉{0，1，2，4}，故BC错误；因为3∉{0，1，2，4}，故D错误． 【变式1-2】集合的一个真子集可以为（  C  ） A． B． C． D． 【解析】 ，故A错误；，故B错误；因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；是集合的真子集，故C正确. 【变式1-3】已知集合A＝{ x|x2﹣1＝0 }，则下列集合是A的真子集的是（　C　） A．{0，1} B．{0} C．{1} D．{ 1，﹣1 } 【解析】 集合A＝{ x|x2﹣1＝0 }＝{﹣1，1}，∴集合A的真子集有∅，{﹣1}，{1}． 【变式1-4】已知集合，且. （1）求的值； （2）写出集合的所有真子集. 【解析】 （1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意；当时，解得或，不合题意，当时，，符合题意；综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为：，，，，，，. 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】设集合，，则B的非空子集个数为（   C ） A．3 B．4 C．7 D．8 【解析】要使，，则，故B中含有三个元素，所以B的非空子集有，，，，，，共7个． 【变式2-1】已知集合A＝{1，3}，则集合A的真子集有（　A　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解析】 由已知可得集合A有2个元素，故真子集个数为22﹣1＝3． 【变式2-2】已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   A ） A．7 B．4 C．8 D．15 【解析】依题意，所以集合B的真子集的个数为. 【变式2-3】已知集合，则的子集个数为（ B  ） A．8 B．16 C．32 D．64 【解析】因为，，所以当时，， 当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以， 所以集合的子集个数为. 知识点2 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】下列每组集合是相等集合的是（  D  ） A．， B．， C．， D．， 【解析】 对于A：，，故，所以A错误；对于B：为点集，为数集，故，所以B错误；对于C：，，故，所以C错误；对于D：数集和数集元素一样，故，所以D正确， 【变式3-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（   C  ） A． B． C． D． 【解析】对于A：两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误；对于B：集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误；对于C：，得，即，故C正确；对于D：集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 【变式3-2】下列各组中，两个集合相等的是（　C　） A．M＝{（1，2）}，N＝{（2，1）} B．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} C．M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z} D．M＝{（x，y）|1}，N＝{（x，y）|y﹣1＝x﹣2} 【解析】 A中，M＝{（1，2）}，N＝{（2，1）}，M≠N；B中，M＝{1，2}，N＝{（1，2）}，M≠N； C中，M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}表示全体奇数集合，N＝{x|2k﹣1，k∈Z}也表示全体奇数集合，故M＝N，D中，M＝{（x，y）|1}＝{（x，y）|y﹣1＝x﹣2，x≠2}，N＝{（x，y）|y﹣1＝x﹣2}，M≠N 【变式3-3】下列集合中表示同一集合的是（  D  ） A．， B．， C．， D．， 【解析】 对于A：两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；对于B：M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；对于C：M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；对于D：，，故M、N为同一集合，故D正确. 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】已知集合，，若，则a的值是（ C  ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【解析】 由题设，可得或，当时，，满足题设；当时，，不符合集合元素的互异性；所以. 【变式4-1】已知集合，，若，则（ A ） A． B．0 C．1 D．2 【解析】 由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得舍去，所以解得，所以， 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若集合A中有三个元素1，，a；集合B中有三个元素0，，b，集合A与集合B相等，则等于（ C ） A．1 B． C．2 D． 【解析】 由题意可知且，，，，故. 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】下列写法中正确的是（　C　） A．{0}∈{0，1} B．0∈∅ C．∅⊆{0} D．∅∈{0，1} 【解析】 对于A：由集合间的关系知，{0}⊆{0，1}，A错误；对于B：∅是没有元素的，所以0∉∅，B错误；对于C：空集是任何集合的子集，所以C正确；对于D：∅⊆{0，1}，是集合与集合之间的关系，选项D错误． 【变式5-1】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（   C  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】 根据元素与集合、集合与集合关系：是的一个元素，故，①正确；是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确. 【变式5-2】下列集合中表示空集的是（　D　） A．{∅} B．{0} C．{x∈R|x2+x﹣1＝0} D．{x∈R|x2+x+1＝0} 【解析】 对于A和B，集合{∅}和集合{0}都存在一个元素，不为∅，故AB都不符合题意；对于C，由x2+x﹣1＝0，则Δ＝1+4＝5＞0，即该方程存在两个不相等的实数根，所以集合{x∈R|x2+x﹣1＝0}≠∅，故C不符合题意；对于D，由x2+x+1＝0，则Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，即该方程不存在实数根，所以集合{x∈R|x2+x+1＝0}＝∅，故D符合题意． 【变式5-3】下列关于0与说法不正确的是（　C　） A． B． C． D． 【解析】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确；对于选项B：，故B正确；对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 【题型6 Venn图表示集合的关系】 【例6】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（ B   ） A．   B．  C．   D．   【解析】 ，又，所以，选项B符合， 【变式6-1】已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　B　） A． B． C． D． 【解析】 N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以NM， 【变式6-2】请用文氏图表示下列集合关系：，． 【解析】由于高一（1）班班长是高一（1）班班委成员，即为的真子集，据此可得下图    知识点3 集合间关系的性质 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型7 判断集合间的关系】 【例7】设集合M＝{x|x，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则（　B　） A．M＝N B．M⫋N C．M⊆N D．M⫌N 【解析】 M＝{x|x，k∈Z}，对于集合N，当k＝2m（m∈Z）时，x，m∈Z；当k＝2m﹣1（m∈Z）时，x，m∈Z．∴M⫋N 【变式7-1】设集合M＝{x|x，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则（　B　） A．M＝N B．M⫋N C．N⫋M D．M与N关系不确定 【解析】 对于集合M：，k∈Z，对于集合N：，k∈Z，∵2k+1是奇数集，k+2是整数集，∴M⫋N 【变式7-2】设集合M＝{x|x，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则M、N之间的关系为（　A　） A．M⫋N B．M⫌N C．M＝N D．M∩N＝∅ 【解析】 ∵M＝{x|x，k∈Z}＝{x|x＝（2k±1），k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}＝{x|x（k+2），k∈Z}；∴M⫋N 【变式7-3】指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 【解析】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. （2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. （3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. （4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. （5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z，因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z. 【题型8 根据集合间的关系求参数】 【例8】已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（　C　） A．a≥1 B． C． D．a≤1 【解析】 由已知可得集合A非空，且A⊆B，所以B必为非空集，则需满足，解得，综上，实数a的取值范围为[，1]． 【变式8-1】已知集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|5≤x≤16}，且A⊆B，则a的取值范围为（　C　） A．2≤a≤7 B．6≤a≤7 C．a≤7 D．a＜6 【解析】 如图所示，若A⊆B，需要分2种情况讨论：当A为空集，即3a﹣5＜2a+1时，解不等式3a﹣5＜2a+1，可得a＜6，因为空集是任何集合的子集，所以当a＜6时，A＝∅⊆B，当A不为空集时，3a﹣5≥2a+1时，解不等式3a﹣5≥2a+1，可得a≥6，已知A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|5≤x≤16}，若A⊆B，则有，解可得：2≤a≤7，又因为前提是a≥6，所以6≤a≤7，综合可得：a≤7． 【变式8-2】已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B为A的真子集，则m的取值范围是（　C　） A．{m|m＜2} B．{m|2≤m＜3} C．{m|m≤3} D．{m|2＜m≤3} 【解析】 由题意可知，集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且B⫋A，当B＝∅时，则m+1＞2m﹣1，解得m＜2，当B≠∅时，则，或，解得2≤m≤3，综上所述，m的取值范围是{m|m≤3}． 【变式8-3】（多选）已知集合A＝{x|ax＝x﹣1，a∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣56＝0}，若A⊆B，则实数a的值可以是（　ABD　） A． B． C．0 D．1 【解析】 A＝{x|ax＝x﹣1，a∈R}＝{x|（a﹣1）x＝﹣1，a∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣56＝0}＝{﹣7，8}，当a＝1时，A＝∅，满足A⊆B；当a≠1时，，则或，解得或．综上所述，a＝1或或． 【变式8-4】已知集合． （1）若，为常数，求实数m的取值范围． （2）若，为常数，求实数m的取值范围． （3）若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解析】 （1）①若，满足，则，解得．②若，满足，则解得．由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下：依题意有即此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若，则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 【题型9 集合间关系中的新定义问题】 【例9】若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（ D  ） A．9 B．12 C．15 D．18 【解析】的所有子集有：； （1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有：⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有：⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有：⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有：⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组；综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组. 【变式9-1】定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（   C ） A．14 B．15 C．16 D．17 【解析】 因为，所以集合的子集的个数是 【变式9-2】定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（  A  ） A．82 B．74 C．12 D．70 【解析】，非空子集有个.当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12；当子集为双元素集，，，，，时，“和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36；当子集为三元素集，，，时，“和睦数”分别为4，7，8，7，和为26；当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 【课后练习】 1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（　C　） A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A 【解析】 ∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B。 2.已知集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{﹣1，0，1}，则（　C　） A．P∈Q B．P⊆Q C．Q⊆P D．Q∈P 【解析】 集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{﹣1，0，1}，可知集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P． 3．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2﹣a+1}，若B⊆A，则实数a＝（　C　） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣1或2 【解析】 因为B⊆A，所以必有a2﹣a+1＝3或a2﹣a+1＝a．①若a2﹣a+1＝3，即a2﹣a﹣2＝0，解得a＝﹣1或a＝2．当a＝﹣1时，A＝{1，3，﹣1}，B＝{1，3}，满足条件．当a＝2时，A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，满足条件．②若a2﹣a+1＝a，则a2﹣2a+1＝0，解得a＝1．此时A＝{1，3，1}不满足集合元素的互异性，所以a＝1，不成立．综上a＝﹣1或a＝2． 4.下列各组中的两个集合相等的是（　B　） ①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n﹣1），n∈Z}，②P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N+}，Q＝{x|x＝2n+1，x∈N+}，③P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x，n∈Z}． A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【解析】 对于①：P，Q都表示偶数，是相等集合；对于②：P＝{1，3，5，7，••}，Q＝{3，5，7，…}，集合Q是集合P的子集，不相等；对于③：P＝{0，1}，Q＝{0，1}，相等。 5.下列各组中，两个集合相等的是（　C　） A．M＝{（1，2）}，N＝{（2，1）} B．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} C．M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z} D．M＝{（x，y）|1}，N＝{（x，y）|y﹣1＝x﹣2} 【解析】 A中，M＝{（1，2）}，N＝{（2，1）}，M≠N；B中，M＝{1，2}，N＝{（1，2）}，M≠N； C中，M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}表示全体奇数集合，N＝{x|2k﹣1，k∈Z}也表示全体奇数集合，故M＝N，D中，M＝{（x，y）|1}＝{（x，y）|y﹣1＝x﹣2，x≠2}，N＝{（x，y）|y﹣1＝x﹣2}，M≠N 6.已知集合A＝{ x|x2﹣1＝0 }，则下列集合是A的真子集的是（　C　） A．{0，1} B．{0} C．{1} D．{ 1，﹣1 } 【解析】 集合A＝{ x|x2﹣1＝0 }＝{﹣1，1}，∴集合A的真子集有∅，{﹣1}，{1}． 7．给出下列命题，其中正确的个数是（　A　） ①空集没有子集； ②空集是任何一个集合的真子集； ③任何一个集合都有两个或两个以上的子集； ④若集合B⊆A，则若元素不属于A，则必不属于B． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 ①空集是它本身的子集，因此不正确；②空集是任何一个非空集合的真子集，因此不正确；③任何一个集合都有两个或两个以上的子集，空集只有一个子集，是它本身，因此不正确；④若集合B⊆A，则若元素不属于A，则一定不属于B，因此正确．综上只有④正确． 8.设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{菱形}，则下列结论正确的是（　C　） A．A⫋B⫋C⫋D B．A⫋B⫋D⫋C C．A⫋D⫋B⫋C D．A⫋D⫋C⫋B 【解析】 根据正方形，平行四边形，四边形，菱形的定义可知，正方形是特殊的菱形，菱形是特殊的平行四边形，平行四边形是特殊的四边形，故A⫋D⫋B⫋C． 9.集合M＝{x|x（2k+1），k∈Z}，N＝{x|x±，k∈Z}，则集合M与N的关系为（　A　） A．M＝N B．M⫋N C．N⫌M D．M与N关系不确定 【解析】 集合M＝{x|x（2k+1），k∈Z}，N＝{x|x±，k∈Z}＝{x|x（4k±1），k∈Z}，对于集合M，当k＝2m（m∈Z）时，x（4m+1），m∈Z；当k＝2m﹣1（m∈Z）时，x（4m﹣1），m∈Z．∴M＝N． 10.已知集合M满足{0，1}⫋M⊆{0，1，2，3，4}，则满足条件的M的个数是（　A　） A．7 B．8 C．15 D．16 【解析】 由集合M满足{0，1}⫋M，可知集合M中至少含有三个元素（必须包含1和0），且是集合{0，1，2，3，4}的子集；因此若M中含有三个元素，则M可以是{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}；若M中含有四个元素，则M可以是{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，2，4}；若M中含有五个元素，则M可以是{0，1，2，3，4}，所以满足条件的M的个数是7个． 11.（多选）已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x﹣1≤1}，则下列说法正确的有（　AD　） A．1∈A B．{2，3}⊆A C．A中有5个元素 D．集合A有16个子集 【解析】 由题意可知，A＝{x∈Z|﹣2≤x﹣1≤1}＝{x∈Z|﹣1≤x≤2}＝{﹣1，0，1，2}，所以1∈A，故A正确；因为3∉A，所以{2，3}⊄A，故B错误；集合A中有4个元素，故C错误；因为A中有4个元素，所以A有24＝16个子集，故D正确． 12.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（  A  ） A．7 B．15 C．31 D．63 【解析】 ，所以8是自恋数；，所以23不是自恋数；，所以81不是自恋数；，所以153是自恋数；，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数.所以集合.所以真子集个数：个. 13.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|x≥m}，且A⊆B，则实数m的取值范围是　　 ．{m|m≤1} 【解析】 因为集合A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|x≥m}，且A⊆B，所以m≤1，故实数m的取值范围为{m|m≤1} 故答案为：（﹣∞，1]． 14.若A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤5}，A⊆B，则a的取值范围是 　　 ．{a|a≤3} 【解析】 由题意可知，A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤5}，且A⊆B，当A＝∅时，则a+1＞2a﹣1，解得a＜2，当A≠∅，则，解得2≤a≤3，综上所述，a的取值范围是{a|a≤3}． 15.已知集合A＝{2，3}，B＝{x|ax+1＝0}，且B⊆A，则a的值所构成的集合为　　 ．{0，，} 【解析】 由题意可知，集合A＝{2，3}，B＝{x|ax+1＝0}，且B⊆A，当a＝0时，B＝∅，符合题意， 当a≠0时，B＝{}，则2或3，解得a或，所以a的值所构成的集合为{0，，}． 16．已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}． （1）若a＝1，写出A的所有子集； （2）若集合A中只含有一个元素，求a的值． 【解析】 （1）当a＝1时，集合A＝{x∈R|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，其子集有∅，{1}，{2}，{1，2}； （2）当a＝0时，集合A＝{x∈R|﹣3x+2＝0}＝{}，满足要求；当a≠0时，要满足题意只需方程ax2﹣3x+2＝0有两个相同的解，即Δ＝（﹣3）2﹣4a•2＝0，解得，代入方程，解得，此时集合，满足要求，综上，a的值为0或． 17.已知集合A＝{x|﹣2≤x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 【解析】 由B⊆A，①当m＞2m﹣1即m＜1时，B＝∅，满足B⊆A，②当B≠∅时，由B⊆A，得：， 解得：1，综合①②得：实数m的取值范围为：{m|m≤} 18．设集合A＝{x|x2+4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，a∈R，x∈R}， （1）求A的子集； （2）若B⊆A，求实数a的取值范围． 【解析】 （1）集合A＝{x|x2+4x＝0，x∈R}，∵x2+4x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣4，∴集合A＝{﹣4，0}．那么集合A的子集为：{﹣4}，{0}，{﹣4，0}和∅． （2）集合B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，a∈R，x∈R} 由方程x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0 ∵Δ＝4（a+1）2﹣4a2+4，当Δ＜0时，即a＜﹣1．∴方程无解，此时B⊆A成立．当Δ＝0时，即a＝﹣1，方程有一个解，①x1＝0，即a2﹣1＝0，解得a＝±1，故得a＝﹣1．②x2＝﹣4，即a2﹣8a+7＝0，解得a＝1或a＝7，故a无解．当Δ＞0时，即a＞﹣1，方程有两解，x1＝0，x2＝﹣4，解得a＝1，综上所得：B⊆A，实数a的取值范围是{a|a≤﹣1或a＝1}． 19.设集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}． （1）若，试判定集合A与B的关系； （2）若B⊆A，求实数a的取值集合． 【解析】 （1）由x2﹣8x+15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3，5}，当由ax﹣1＝0得x＝5．∴B＝{5}，∴B⫋A． （2）当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B，由B⊆A得，∴．综上所述，实数a的取值集合为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $