2025-2026学年高二下学期物理期末冲刺 磁场-专题精讲（二）（临界与多解问题）

**基本信息** 聚焦带电粒子在磁场中的临界与多解问题，以“四步法”和“分类讨论”策略构建系统性方法体系，整合几何关系与物理规律，强化科学思维中的模型建构与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有界磁场临界问题|4个典例（含矩形/圆形/三角形边界）|“画轨迹→找圆心→定半径→用几何”四步法，相切条件分析，缩放圆法|基于洛伦兹力提供向心力，聚焦轨迹与边界相切的几何约束（圆心距=半径）| |带电粒子多解问题|4个典例（含电性/速度方向/周期性多解）|“分类讨论、全面枚举”策略，动态圆扫描，等分圆周法（n通解）|针对电性/速度方向等不确定因素，分析轨迹多样性及周期性边界下的通解表达|

2025-2026 学年高二下学期物 理期末复习讲义 + 专项练习 磁场专题二·学生版 【2026期末冲刺】高二物理下学期期末复习专题二 临界·多解问题·学生版 【使用说明】 (1)精选20252026全国最新期中期末真题，含详细解析·方法总结，Word完全可编辑 (2)本专题适用于期末复习，包含：有界磁场临界问题、带电粒子在磁场中的多解问题 (3)基础通关：适合全体学生课堂限时训练（20分钟） (4)重难点突破：适合中等及以上学生课后培优（30分钟） (5)教师版含详细解题步骤和易错点分析，学生版已删除解析和答案，可直接打印发放。 【系列说明】 本专题是高二下学期物理期末复习核心专题，聚焦带电粒子在匀强磁场中的运动——重点包括有界磁场中的临界问题与多解问题两大高频考点。期末试卷中，本专题内容常以选择压轴和计算大题形式出现，是区分度最高的内容之一。 本专题期末考情速览 考查维度 具体内容 考查频率 常见题型 高频考点 有界磁场临界问题：粒子在矩形/圆形/三角形边界磁场中“恰好射出”“恰好相切”的临界条件分析，轨迹圆心确定+几何关系推导是核心套路，期末必考 ★★★★★ 选择+计算压轴 中频考点 多解问题：电性不确定导致轨迹双解、速度方向不确定导致动态圆扫描、相邻反向磁场区域中周期性往返的多解问题，常与n的通解表达式结合考查 ★★★★☆ 多选+计算 期末压轴 有界磁场+多解综合：粒子在环形磁场中多次碰撞后射出(等分圆周法)、两个相邻反向等宽磁场区域中粒子往返n次后出射(n的通解+几何约束)，是期末压轴题常见套路 ★★★★★ 计算题 核心考点精讲+典例突破 考点一有界磁场临界问题 核心知识点 有界磁场临界问题的核心是轨迹圆与边界相切的条件。 “轨迹圆与直线边界相切”时，圆心到边界距离等于半径R；“轨迹圆与圆形边界相切”时，两圆圆心距等于两圆半径之和(外切)或半径之差(内切)。 粒子在矩形边界磁场中的临界分析： 从某边射入后，能否从对边射出？看轨迹半径R是否大于入射点到对边的距离 从某边射入后，能否从邻边射出？看轨迹的圆心角是否超过临界值 “恰好射出”=轨迹圆与边界相切，“恰好打不到”=轨迹圆刚好不与边界相交 磁场圆与轨迹圆的关系(缩放圆法)： 粒子速度大小不变、方向变化→轨迹半径相同，圆心在以入射点为圆心R为半径的圆上移动 粒子速度方向不变、大小变化→轨迹圆心在入射点速度垂线上移动 用“相切法”找临界轨迹：画出一族轨迹圆，找到刚好与边界相切的那一个 本考点涉及的问题需要熟练运用勾股定理(R²=(Rd)²+L²等)和三角函数建立几何方程。 【重难点析】 本专题的核心难点在于带电粒子在有界磁场中运动的临界问题。粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹由洛伦兹力提供向心力决定，但一旦加上"有界"条件——如矩形、三角形、圆形或环形边界——粒子的运动轨迹就受到边界约束，能否射出磁场、在磁场中的运动时间、与边界碰撞的次数等都成为需要精细分析的临界问题。这类问题综合性强，对空间想象能力和几何分析能力要求高，是高考中的区分度题目。 突破思路：解决有界磁场临界问题，应坚持"画轨迹→找圆心→定半径→用几何"的四个步骤。先根据粒子入射方向和边界条件画出可能的运动轨迹，再利用"速度方向垂直于半径"找出圆心，然后根据几何关系(勾股定理、三角函数等)确定半径与边界尺寸的关系，最后联立洛伦兹力公式求解。 要点1：临界条件的确定——"恰好射出"意味着轨迹圆与边界相切，"恰好不射出"意味着粒子轨迹刚好不到达边界。相切条件是轨迹圆的圆心到边界的距离等于半径。掌握这一几何关系是突破临界问题的关键。 要点2：对称性的运用——粒子在同种均匀磁场中运动具有对称性。例如，粒子从圆形磁场边界某点射入，若能沿径向射入则必沿径向射出；在矩形边界磁场中，粒子与边界发生弹性碰撞时入射角和反射角相等。利用这些对称性可以大大简化几何分析。 要点3：多解问题的处理——当粒子电性不确定、速度方向不确定或磁场方向不确定时，往往存在多种可能的运动轨迹。应先画出所有可能的轨迹，逐一分析每种情况是否满足题目条件，再综合判断。特别要注意"周期性边界"下的多碰撞问题，往往可以用等分圆周法求解。 【典例突破】 【例1】（2526高三上·新疆阿克苏·阶段检测）如图所示，在边长为L的正方形区域里有大小不变的垂直于纸面向里的匀强磁场，有a、b、c三个带电粒子（不计重力）依次从A点沿方向水平射入磁场，其运动轨迹分别如图所示，带电粒子a从边中点E射出，b从C点射出，c从D点射出。下列说法正确的是（） A．三个粒子均带正电荷 B．若三个粒子的比荷相等，则a、b、c三个粒子在磁场中的速率之比为 C．a、b、c三个粒子在磁场中的运动时间之比一定为 D．若三个粒子射入时动量相等，则a、b、c三个粒子的带电量之比为 【变式1】（2526高二上·北京西城·期末）如图，OACD为矩形，OA边长为L，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的粒子从O点以速度v0直射入磁场，速度方向与OA的夹角为，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，下列说法正确的是（） A．粒子带正电 B．粒子做圆周运动的轨道半径 C．减小粒子的入射速度，粒子在磁场区域内的运动时间不变 D．增大粒子的入射速度，粒子一定从AC边射出 【例2】（2526高二下·全国·课堂例题）如图所示，在xOy平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，与x轴、y轴分别相切于A（L，0）、C（0，L）两点，第Ⅱ象限内有沿y轴负方向的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点沿y轴正方向以v0射入磁场，经C点射入电场，最后从x轴上离O点的距离为2L的P点射出，不计粒子的重力。求： (1)匀强磁场磁感应强度B的大小； (2)电场强度E的大小； (3)粒子在磁场和电场中运动的总时间。 （2）粒子在电场中做类平抛运动，则有，，解得， （3）粒子在磁场中圆周运动的周期，粒子在磁场中运动的时间 粒子在磁场和电场中运动的总时间解得 【变式2】（2526高二上·山西·期末）如图所示，在一等腰直角三角形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为。一质量为电荷量为的带正电粒子（重力不计）以速度从边的中点垂直边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为，要使粒子从边射出，则的取值范围为（） A． B． C． D． 考点二带电粒子在磁场中的多解问题 核心知识点 带电粒子在磁场中的多解问题由不确定因素导致，核心是“分类讨论、逐个分析”。 一、电性不确定导致的轨迹双解： 正电荷受洛伦兹力方向与负电荷相反，导致轨迹圆偏转方向相反(顺时针vs逆时针) 解题时先假设粒子带正电画一个轨迹，再假设带负电画另一个轨迹 二、速度方向不确定导致的动态圆问题： 速率相同但方向不同→所有可能轨迹半径相同，圆心分布在“以入射点为圆心、以R为半径”的圆上 关键找临界轨迹：轨迹圆与边界相切/轨迹圆过某定点 三、周期性边界导致的多解： 两个相邻反向等宽磁场区域：粒子在磁场1中顺时针转半圆、在磁场2中逆时针转半圆，完成一个“S形”运动周期。每周期侧移2d(d为磁场宽度)，经n个周期总侧移2nd，需结合边界尺寸确定n的取值范围 环形/筒形磁场中多次碰撞：用“等分圆周法”——将整圆K等分，每个等分对应一次碰撞 通解答案必须带n的取值范围(由几何约束解出)，如“n=1,2,…,k” 四、多解答案规范：通解表达式+n的取值范围+必要时分正负电性讨论。 【重难点析】 本专题的核心难点在于带电粒子在磁场中运动的多解问题。粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，其运动形式由速度大小、方向、电性、磁场方向等诸多因素共同决定。当一个或多个因素不确定时，符合条件的运动轨迹往往不唯一，从而形成多解。这类问题的难点不在于洛伦兹力公式本身，而在于能否全面考虑所有可能的物理情景，避免遗漏。高考中多解问题常见于压轴题，区分度极高。 突破思路：解决多解问题，应坚持"分类讨论、全面枚举"的策略。先在草稿纸上列出所有不确定因素的清单——电性(正/负)、速度方向(左/右/上/下)、磁场方向(里/外)、边界条件(有界/无界)、碰撞次数(n=1,2,3...)等。然后对每个因素的可能取值逐一画出轨迹，再根据题目约束条件筛选有效解。切忌"感觉只有一种情况"就匆忙下笔。 要点1：电性不确定导致的多解——当题中未明确带电粒子的电性时，正电荷和负电荷在相同磁场中受到的洛伦兹力方向相反，轨迹圆的偏转方向也相反（一个顺时针，一个逆时针）。此时必须分两种情况讨论，画出各自的轨迹图，再用几何关系求解。许多学生只画一种情况就丢掉了另一半分数。 要点2：速度方向不确定导致的多解——当粒子以相同速率从同一点射入磁场但方向不确定时，所有可能轨迹构成一个"动态圆"族。这些轨迹的半径相同（速率相同），但圆心分布在以入射点为圆心、半径为R的圆上。解决此类问题的关键是找到"临界轨迹"——通常是与边界相切或过某一定点的轨迹。 要点3：周期性边界导致的多解——当粒子在环形磁场、或两个相邻磁场区域中运动时，粒子可能在磁场间往返运动多次后才从某点射出。这种情况下，粒子运动的圈数n（n=1,2,3,...）是待定参数，需要在答案中保留n作为通解形式。特别要注意n的取值范围受到轨迹几何条件的约束，不能取任意大的值。 【典例突破】 【例1】（25-26高二下·全国·课后作业）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为q（q＞0）的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有质子均能通过D点，已知质子的比荷，则质子的速度不可能为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2017·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，某平面内有折线PAQ为磁场的分界线，已知∠A＝90°，AP＝AQ＝L．在折线的两侧分布着方向相反，与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子从P点沿PQ方向射出，途经A点到达Q点，不计粒子重力．求粒子初速度v应满足的条件及粒子从P经A到达Q所需时间的最小值． 【变式2】如图所示，由光滑弹性绝缘壁构成的等边三角形ABC容器的边长为a，小孔O是竖直边AB的中点，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子从小孔O以速度v垂直AB沿水平射入磁场，粒子与器壁经过8次垂直碰撞后能从O孔水平射出，不计粒子重力，碰撞时无能量和电荷量损失，则磁场的磁感应强度B及对应粒子在磁场中运行时间t分别为（  ） A．、 B．、 C．、 D．、 期末基础通关 1．（2526高二下·湖北武汉·期中）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）（多选） A． B． C． D． 2．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，边长为正方形区域内无磁场，正方形中线将区域外左右两侧分成两个磁感应强度均为的匀强磁场区域，右侧磁场方向垂直于纸面向外，左侧磁场方向垂直于纸面向里。现将一质量为，电荷量为的正粒子从中点以某一速率垂直于射入磁场，不计粒子的重力，则关于粒子的运动，下列说法正确的是（　　） A．若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子的最大速度为 B．若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 C．若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 D．若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 3．（2526高二下·山东枣庄·期中）如图所示，某质谱仪由加速电场、速度选择器、电场分析器、磁场分析器组成，速度选择器中电场的场强大小为E，磁场的磁感应强度大小为B，电场分析器中电场为均匀辐向电场，磁分析器中匀强磁场的磁感应强度大小也为B，它们的方向如图所示。离子源产生的带电粒子（不计重力）经小孔进入加速电场，初速度可忽略不计，经过速度选择器后，从点进入电场分析器，调节电场分析器中的场强，使粒子恰好沿圆弧运动，并从点垂直磁场进入磁分析器，最终打在胶片上Q点，已知圆弧上电场强度大小为，圆弧所对应的半径为R。求： (1)粒子的比荷； (2)点与Q点的距离。 　 　 　 4．(2022·广东高考)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是(　　) 5．(2022·海南高考)如图，有一个辐向分布的电场，距离O相等的地方电场强度大小相等，有一束粒子流沿圆弧轨迹通过电场，又垂直进入一匀强磁场，则运动轨迹相同的粒子，它们具有相同的(　　) A．质量 B．电量 C．比荷 D．动能 6．(2023·海南高考)(多选)如图所示，质量为m、带电量为＋q的带电粒子，从原点以初速度v0射入第一象限内的电磁场区域，在0<y<y0、0<x<x0(x0、y0为已知)区域内有竖直向上的匀强电场，在x>x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度(E值有多种可能)，可让粒子从NP射入磁场后偏转打到接收器MN上，则(　　) A．粒子从NP中点射入磁场，电场强度满足E＝ B．粒子从NP中点射入磁场时速度为v0 C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为 D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是 7．(2023·湖南省郴州市高三下第四次质量检测)如图所示，在A处有平行于y轴的虚线，虚线左侧所有空间分布着水平向左的匀强电场，在虚线右侧所有空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在O点处，某时刻有一带负电的粒子以初速度v0沿y轴正方向运动，粒子从A(L，2L)点进入磁场，在磁场中运动一段时间后恰好又回到O点，已知粒子的质量为m，电荷量大小为q，不计粒子重力，求： (1)电场强度的大小和带电粒子运动到A点的速度； (2)磁感应强度大小和带电粒子从开始运动到恰好回到O点的时间。 　 　 　 　 8．（2011高二上·浙江宁波·期中）如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小； （2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 　 　 期末重难点突破 1．（2526高二下·江苏苏州·期中）如图所示，第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子（不计重力），从y轴上的P点以速度v水平向右射入匀强磁场，从x轴上的Q点射出磁场，且速度方向与x轴正方向成30°角，OQ＝a。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨道半径为a B．匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子穿过第一象限的时间为 D．若仅增大粒子速度，则粒子在磁场中运动的时间变长 2．（2526高二下·陕西安康·期中）如图所示，竖直纸面内矩形区域中存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，带负电粒子从点以初速度垂直射入磁场，从边上的点射出磁场，射出时速度方向与初速度方向的夹角。已知长为，不考虑粒子重力和磁场边界效应，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场运动的半径为 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．当粒子的初速度方向不变，速率逐渐减小时，射出磁场区域所需的时间逐渐增大 3．（2526高三上·云南·阶段检测）如图所示，边长为的等边三角形区域内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为，方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点处有一正粒子源，能沿的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过点，粒子的比荷，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能为（） A． B． C． D． 4．（多选）（2425高二下·江西宜春·期中）如图所示，环状匀强磁场围成的中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径，外半径，若被束缚的带电粒子的比荷，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小均为，。下列说法正确的是（　　） A．为使沿半径方向射入磁场的粒子均被束缚，磁感应强度最小值为2T B．为使沿半径方向射入磁场的粒子均被束缚，磁感应强度最小值为4T C．为使所有粒子被束缚，磁感应强度最小值为6T D．若沿半径方向射入磁场的粒子恰被束缚，则粒子在磁场中运动一次速度方向改变37° 5．（多选）（2526高二下·云南·阶段检测）如图所示，半径为的刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴线的匀强磁场，磁感应强度为，筒上点开有一个小孔，过的横截面是以为圆心的圆．一带电粒子从点以速度沿射入，与筒壁发生了3次碰撞，之后从点小孔飞出．假设碰撞前、后瞬间，粒子的速度大小不变、方向相反，电荷量不变．不计重力和碰撞时间．下列说法正确的是（） A．粒子运动的轨道半径大于 B．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向的反向延长线一定过圆心 C．由题目已知条件可以求出粒子的质量 D．粒子在圆筒内运动的时间等于 6．（2025·安徽马鞍山·二模）垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 7．（多选）（2026·内蒙古赤峰·一模）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（） A． B． C． D． 8．（2526高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，矩形区域Ⅰ内存在垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场区域。、为相互平行的磁场边界线，矩形磁场区域的长度足够长，宽度均为L。某种带正电的粒子从上的处以大小不同的速率沿与成角的方向进入区域Ⅰ内磁场。已知带电粒子的质量为，带电量为，忽略带电粒子间的作用力，不计带电粒子的重力。求： (1)以速率入射的粒子恰好垂直于右边界射出，求该速率的大小； (2)以速率入射的粒子恰好不能从右侧离开区域Ⅰ，求该速率的大小； (3)以速率入射的粒子（小于第（2）问所求）在区域Ⅰ内的运动时间。 　 　 　 9．（2526高二下·浙江温州·期中）直角坐标系第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，第四象限内有垂直纸面向内的匀强磁场，质量、带电量的粒子从轴的点以速度垂直轴入射第一象限，进入磁场时速度方向与轴正方向的夹角，已知点到坐标原点的距离为，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度的大小； (2)粒子从点出发经多长时间粒子第二次经过轴； (3)粒子第99次经过轴时的位置与点的距离。 　 　 　 10．（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。 　 　 11．（2122高三·全国·课后作业）在图甲所示的平面直角坐标系xOy内，正方形区域（0<x<d、0<y<d）内存在垂直xOy平面周期性变化的匀强磁场，规定图示磁场方向为正方向，磁感应强度B的变化规律如图乙所示，变化的周期T可以调节，图中B0为已知。在x＝d处放置一垂直于x轴的荧光屏，质量为m、电荷量为q的带负电粒子在t＝0时刻从坐标原点O沿y轴正方向射入磁场，不计粒子重力。 （1）调节磁场的周期，满足，若粒子恰好打在屏上P（d，0）处，求粒子的速度大小v； （2）调节磁场的周期，满足，若粒子恰好打在屏上Q（d，d）处，求粒子的加速度大小a。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年高二下学期物 理期末复习讲义 + 专项练习 磁场专题二·教师版 【2026期末冲刺】高二物理下学期期末复习专题二 临界·多解问题·教师版 【使用说明】 (1)精选20252026全国最新期中期末真题，含详细解析·方法总结，Word完全可编辑 (2)本专题适用于期末复习，包含：有界磁场临界问题、带电粒子在磁场中的多解问题 (3)基础通关：适合全体学生课堂限时训练（20分钟） (4)重难点突破：适合中等及以上学生课后培优（30分钟） (5)教师版含详细解题步骤和易错点分析，学生版已删除解析和答案，可直接打印发放。 (6)配套学生版（无答案）已单独上传 【系列说明】 本专题是高二下学期物理期末复习核心专题，聚焦带电粒子在匀强磁场中的运动——重点包括有界磁场中的临界问题与多解问题两大高频考点。期末试卷中，本专题内容常以选择压轴和计算大题形式出现，是区分度最高的内容之一。 本专题期末考情速览 考查维度 具体内容 考查频率 常见题型 高频考点 有界磁场临界问题：粒子在矩形/圆形/三角形边界磁场中“恰好射出”“恰好相切”的临界条件分析，轨迹圆心确定+几何关系推导是核心套路，期末必考 ★★★★★ 选择+计算压轴 中频考点 多解问题：电性不确定导致轨迹双解、速度方向不确定导致动态圆扫描、相邻反向磁场区域中周期性往返的多解问题，常与n的通解表达式结合考查 ★★★★☆ 多选+计算 期末压轴 有界磁场+多解综合：粒子在环形磁场中多次碰撞后射出(等分圆周法)、两个相邻反向等宽磁场区域中粒子往返n次后出射(n的通解+几何约束)，是期末压轴题常见套路 ★★★★★ 计算题 核心考点精讲+典例突破 考点一有界磁场临界问题 核心知识点 有界磁场临界问题的核心是轨迹圆与边界相切的条件。 “轨迹圆与直线边界相切”时，圆心到边界距离等于半径R；“轨迹圆与圆形边界相切”时，两圆圆心距等于两圆半径之和(外切)或半径之差(内切)。 粒子在矩形边界磁场中的临界分析： 从某边射入后，能否从对边射出？看轨迹半径R是否大于入射点到对边的距离 从某边射入后，能否从邻边射出？看轨迹的圆心角是否超过临界值 “恰好射出”=轨迹圆与边界相切，“恰好打不到”=轨迹圆刚好不与边界相交 磁场圆与轨迹圆的关系(缩放圆法)： 粒子速度大小不变、方向变化→轨迹半径相同，圆心在以入射点为圆心R为半径的圆上移动 粒子速度方向不变、大小变化→轨迹圆心在入射点速度垂线上移动 用“相切法”找临界轨迹：画出一族轨迹圆，找到刚好与边界相切的那一个 本考点涉及的问题需要熟练运用勾股定理(R²=(Rd)²+L²等)和三角函数建立几何方程。 【重难点析】 本专题的核心难点在于带电粒子在有界磁场中运动的临界问题。粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹由洛伦兹力提供向心力决定，但一旦加上"有界"条件——如矩形、三角形、圆形或环形边界——粒子的运动轨迹就受到边界约束，能否射出磁场、在磁场中的运动时间、与边界碰撞的次数等都成为需要精细分析的临界问题。这类问题综合性强，对空间想象能力和几何分析能力要求高，是高考中的区分度题目。 突破思路：解决有界磁场临界问题，应坚持"画轨迹→找圆心→定半径→用几何"的四个步骤。先根据粒子入射方向和边界条件画出可能的运动轨迹，再利用"速度方向垂直于半径"找出圆心，然后根据几何关系(勾股定理、三角函数等)确定半径与边界尺寸的关系，最后联立洛伦兹力公式求解。 要点1：临界条件的确定——"恰好射出"意味着轨迹圆与边界相切，"恰好不射出"意味着粒子轨迹刚好不到达边界。相切条件是轨迹圆的圆心到边界的距离等于半径。掌握这一几何关系是突破临界问题的关键。 要点2：对称性的运用——粒子在同种均匀磁场中运动具有对称性。例如，粒子从圆形磁场边界某点射入，若能沿径向射入则必沿径向射出；在矩形边界磁场中，粒子与边界发生弹性碰撞时入射角和反射角相等。利用这些对称性可以大大简化几何分析。 要点3：多解问题的处理——当粒子电性不确定、速度方向不确定或磁场方向不确定时，往往存在多种可能的运动轨迹。应先画出所有可能的轨迹，逐一分析每种情况是否满足题目条件，再综合判断。特别要注意"周期性边界"下的多碰撞问题，往往可以用等分圆周法求解。 【典例突破】 【例1】（2526高三上·新疆阿克苏·阶段检测）如图所示，在边长为L的正方形区域里有大小不变的垂直于纸面向里的匀强磁场，有a、b、c三个带电粒子（不计重力）依次从A点沿方向水平射入磁场，其运动轨迹分别如图所示，带电粒子a从边中点E射出，b从C点射出，c从D点射出。下列说法正确的是（） A．三个粒子均带正电荷 B．若三个粒子的比荷相等，则a、b、c三个粒子在磁场中的速率之比为 C．a、b、c三个粒子在磁场中的运动时间之比一定为 D．若三个粒子射入时动量相等，则a、b、c三个粒子的带电量之比为 【答案】B 【详解】A．三个粒子在A点受洛伦兹力均向下，由左手定则可知三个粒子均带负电荷，故A错误； B．a、b、c三个粒子在磁场中的轨迹半径之比为 由洛伦兹力提供向心力,可得 若三个粒子的比荷相等，则速率之比等于半径之比，故B正确； C．a、b、c三个粒子在磁场中运动的圆心角之比为 运动时间为 由于比荷之比未知，则运动时间之比不能确定，故C错误； D．由可得 若三个粒子射入时动量相等，则带电量与成反比，为，故D错误。 故选B。 【变式1】（2526高二上·北京西城·期末）如图，OACD为矩形，OA边长为L，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的粒子从O点以速度v0直射入磁场，速度方向与OA的夹角为，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，下列说法正确的是（） A．粒子带正电 B．粒子做圆周运动的轨道半径 C．减小粒子的入射速度，粒子在磁场区域内的运动时间不变 D．增大粒子的入射速度，粒子一定从AC边射出 【答案】C 【详解】A．粒子进入磁场时所受洛伦兹力垂直速度方向指向右下方，由左手定则可知，粒子带负电，故A错误； B．粒子运动轨迹如图所示 由几何知识可得轨迹半径，故B错误； C．根据牛顿第二定律，周期为，可得 减小粒子的入射速度，轨迹半径将减小，粒子出射位置会在A点左侧，由几何知识可知，轨迹的圆心角为不变，粒子在磁场中做圆周运动的周期不变，粒子在磁场中的运动时间 则粒子在磁场区域内的运动时间不变，故C正确； D．增大粒子的入射速度，粒子可能从CD边射出，故D错误。 故选C。 【例2】（2526高二下·全国·课堂例题）如图所示，在xOy平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，与x轴、y轴分别相切于A（L，0）、C（0，L）两点，第Ⅱ象限内有沿y轴负方向的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点沿y轴正方向以v0射入磁场，经C点射入电场，最后从x轴上离O点的距离为2L的P点射出，不计粒子的重力。求： (1)匀强磁场磁感应强度B的大小； (2)电场强度E的大小； (3)粒子在磁场和电场中运动的总时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子从A点沿y轴正方向以v0射入磁场，经C点射入电场，根据几何关系有 粒子圆周运动过程由洛伦兹力提供向心力，则有，解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，则有，，解得， （3）粒子在磁场中圆周运动的周期，粒子在磁场中运动的时间 粒子在磁场和电场中运动的总时间解得 【变式2】（2526高二上·山西·期末）如图所示，在一等腰直角三角形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为。一质量为电荷量为的带正电粒子（重力不计）以速度从边的中点垂直边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为，要使粒子从边射出，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若粒子恰好从C点射出时，粒子运动轨迹半径最小，粒子的速度最小,如图所示 由几何知识可知 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 则粒子的最小速度为 若粒子恰好从D点射出时，粒子的轨迹半径最大速度最大，如图所示 连接OD形成直线边界，取AD中点F，在三角形OFD中，，可知，由直线边界的性质可知，多大角度进入则以多大角度射出磁场，可知此时粒子不能从D点射出，故速度最大时应与AD相切，由几何关系有 解得 粒子的最大速度为 故粒子入射时的速度取值范围为 故选C。 【易错剖析】 易错点1：轨迹圆心确定错误 典型错误：学生在找圆心时，只找了速度垂线一个条件，忽略了另一个必要条件——弦的中垂线或边界法线。导致圆心位置确定错误，后续所有几何关系全部算错。 错因分析：圆心的确定需要两个条件的交点——①速度方向的垂线（过入射点指向圆心），②弦的中垂线（连接入射点和出射点的线段的中垂线），或边界法线。学生往往只记得一个条件就匆忙下结论。 纠正策略：严格遵循"两步定心法"——第一步过入射点作速度垂线，第二步连接入射点和出射点（若已知出射方向则作出射点速度垂线），两条线的交点即为圆心。两条件缺一不可。 易错点2："恰好射出"与"恰好不射出"的临界条件混淆 典型错误：在处理"粒子恰好从磁场边界射出"的问题时，学生把临界条件误认为是"粒子的轨迹圆与边界相交"，实际上"恰好射出"意味着轨迹圆恰好与边界相切。相切与相交是两个完全不同的几何条件。 错因分析：学生对"临界"二字的物理含义理解不到位。"恰能"的物理含义是"刚好达到某一极限"，对应的是"擦边而过"的相切状态，而不是已经越界的相交状态。 纠正策略：判断临界问题时，先在草稿纸上画出"稍微改变某个参数就会改变结果"的临界状态图。口诀："恰射出，是相切；恰不入，也相切；差一点，不是相切就是接近。" 易错点3：运动时间计算中圆心角与速度偏转角的关系搞错 典型错误：在计算粒子在磁场中的运动时间时，学生直接用速度偏转角代替圆心角，或者混淆了圆心角与速度偏转角之间的换算关系。实际上，对于匀速圆周运动，圆心角等于速度偏转角，但有时候学生把弦切角误当作圆心角。 错因分析：粒子在磁场中的运动时间由圆心角决定——t=θT/(2π)，而圆心角是轨迹圆上弧所对的角度，与速度偏转角在数值上相等（因为速度方向变化量等于半径转过的角度）。但如果不画图只凭想像，很容易混淆各种角度。 纠正策略：牢记"圆心角=速度偏转角"，在轨迹图上把圆心角和速度方向变化同时标出来，直观验证二者相等。画图时用不同颜色的笔标出：圆心角用红色弧线，速度偏转用蓝色箭头。 【方法总结】 总结1：有界磁场临界问题"四步法" 第一步：画轨迹——根据入射方向和边界条件，画出粒子可能的运动轨迹（圆弧），标明入射点和出射点。第二步：找圆心——过入射点作速度的垂线，过出射点（若已知）作速度的垂线，两线交点即为圆心。若只有入射点，则利用弦的中垂线结合边界条件确定圆心。第三步：定半径——利用几何关系（勾股定理、三角函数、相似三角形等）建立半径R与边界尺寸L的关系方程。第四步：求结果——由R=mv/(qB)联系速度、磁感应强度等物理量，求解题目要求的未知量。 总结2：几何关系"三工具" 工具一：勾股定理——处理直角三角形中的半径与边界尺寸关系，如粒子在矩形磁场中运动时，半径R与边界边长a、b的关系经常用R²=(Rd)²+L²的形式出现。工具二：三角函数——处理非直角三角形中的角度关系，半径与边界线的夹角可以通过入射角、出射角、圆心角等相互转化。工具三：对称性原理——径向射入圆形磁场必径向射出；粒子与边界碰撞满足反射定律；磁场对称时轨迹也对称。灵活运用这三个工具，绝大多数几何关系都能迎刃而解。 总结3：多解问题"分类讨论法" 遇到带电粒子在有界磁场中运动的多解问题时，不要试图一蹴而就。按照以下层次分类讨论：①电性不确定→正负电荷各画一个轨迹；②速度方向不确定→所有可能方向各画一个轨迹；③磁场方向不确定→垂直纸面向里和向外各画一个轨迹；④周期性边界（如环形磁场）→考虑粒子可能绕n圈后射出。每个分类中利用"相切法"和"等分圆周法"确定临界值，最后取各分类的交集作为答案。这种方法虽然耗时，但不会有遗漏，是处理多解问题的根本方法。 考点二带电粒子在磁场中的多解问题 核心知识点 带电粒子在磁场中的多解问题由不确定因素导致，核心是“分类讨论、逐个分析”。 一、电性不确定导致的轨迹双解： 正电荷受洛伦兹力方向与负电荷相反，导致轨迹圆偏转方向相反(顺时针vs逆时针) 解题时先假设粒子带正电画一个轨迹，再假设带负电画另一个轨迹 二、速度方向不确定导致的动态圆问题： 速率相同但方向不同→所有可能轨迹半径相同，圆心分布在“以入射点为圆心、以R为半径”的圆上 关键找临界轨迹：轨迹圆与边界相切/轨迹圆过某定点 三、周期性边界导致的多解： 两个相邻反向等宽磁场区域：粒子在磁场1中顺时针转半圆、在磁场2中逆时针转半圆，完成一个“S形”运动周期。每周期侧移2d(d为磁场宽度)，经n个周期总侧移2nd，需结合边界尺寸确定n的取值范围 环形/筒形磁场中多次碰撞：用“等分圆周法”——将整圆K等分，每个等分对应一次碰撞 通解答案必须带n的取值范围(由几何约束解出)，如“n=1,2,…,k” 四、多解答案规范：通解表达式+n的取值范围+必要时分正负电性讨论。 【重难点析】 本专题的核心难点在于带电粒子在磁场中运动的多解问题。粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，其运动形式由速度大小、方向、电性、磁场方向等诸多因素共同决定。当一个或多个因素不确定时，符合条件的运动轨迹往往不唯一，从而形成多解。这类问题的难点不在于洛伦兹力公式本身，而在于能否全面考虑所有可能的物理情景，避免遗漏。高考中多解问题常见于压轴题，区分度极高。 突破思路：解决多解问题，应坚持"分类讨论、全面枚举"的策略。先在草稿纸上列出所有不确定因素的清单——电性(正/负)、速度方向(左/右/上/下)、磁场方向(里/外)、边界条件(有界/无界)、碰撞次数(n=1,2,3...)等。然后对每个因素的可能取值逐一画出轨迹，再根据题目约束条件筛选有效解。切忌"感觉只有一种情况"就匆忙下笔。 要点1：电性不确定导致的多解——当题中未明确带电粒子的电性时，正电荷和负电荷在相同磁场中受到的洛伦兹力方向相反，轨迹圆的偏转方向也相反（一个顺时针，一个逆时针）。此时必须分两种情况讨论，画出各自的轨迹图，再用几何关系求解。许多学生只画一种情况就丢掉了另一半分数。 要点2：速度方向不确定导致的多解——当粒子以相同速率从同一点射入磁场但方向不确定时，所有可能轨迹构成一个"动态圆"族。这些轨迹的半径相同（速率相同），但圆心分布在以入射点为圆心、半径为R的圆上。解决此类问题的关键是找到"临界轨迹"——通常是与边界相切或过某一定点的轨迹。 要点3：周期性边界导致的多解——当粒子在环形磁场、或两个相邻磁场区域中运动时，粒子可能在磁场间往返运动多次后才从某点射出。这种情况下，粒子运动的圈数n（n=1,2,3,...）是待定参数，需要在答案中保留n作为通解形式。特别要注意n的取值范围受到轨迹几何条件的约束，不能取任意大的值。 【典例突破】 【例1】（25-26高二下·全国·课后作业）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为q（q＞0）的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径满足 即r＝·（n=1，2，3，…） 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m 则v＝＝·（n=1，2，3，…） 当n=1、2时可得或 选项AB。 【变式1】如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有质子均能通过D点，已知质子的比荷，则质子的速度不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 质子的运动轨迹如图所示，由几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得 所以ABD正确，不符合题意；C错误，符合题意； 故选C。 【例2】（2017·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，某平面内有折线PAQ为磁场的分界线，已知∠A＝90°，AP＝AQ＝L．在折线的两侧分布着方向相反，与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子从P点沿PQ方向射出，途经A点到达Q点，不计粒子重力．求粒子初速度v应满足的条件及粒子从P经A到达Q所需时间的最小值． 【答案】 【详解】根据运动的对称性，粒子能从P经A到达Q，运动轨迹如图所示， 由图可得：L＝nx 其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，由几何关系知，偏转圆弧对应的圆心角为或． 设粒子运动轨迹的半径为R，由几何关系可得：2R2＝x2 解得： 又 解得： 当n取奇数时，粒子从P经A到Q过程中圆心角的总和为： 从P经A到Q的总时间为： 当n取偶数时，粒子从P经A到Q过程中圆心角的总和为： 从P经A到Q的总时间为： 综合上述两种情况，可得粒子从P经A到达Q所用时间的最小值为： 【变式2】如图所示，由光滑弹性绝缘壁构成的等边三角形ABC容器的边长为a，小孔O是竖直边AB的中点，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子从小孔O以速度v垂直AB沿水平射入磁场，粒子与器壁经过8次垂直碰撞后能从O孔水平射出，不计粒子重力，碰撞时无能量和电荷量损失，则磁场的磁感应强度B及对应粒子在磁场中运行时间t分别为（  ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【详解】 粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，则，① 因粒子从O孔水平射入后，经过8次垂直碰撞后能从O孔水平射出，则有② 联立①②得 对应粒子的运动时间为③ 而④ 联立①②③④得 故选A。 【易错剖析】 易错点1：多解讨论遗漏——只找到一个解就停止分析 典型错误：学生找到一种符合条件的轨迹后，就认为完成了求解，没有继续检查是否还有其他可能的运动形式。例如在电性未明确的问题中，只画了正电荷的轨迹就得出答案，忽略了负电荷也可能满足条件的情况。 错因分析：解题惯性思维——默认粒子带正电。很多题目中虽然没有说明电性，但学生潜意识里习惯假设粒子带正电，导致负电荷的情况被自动忽略。同样，磁场方向"垂直纸面向里"是常见默认，但题目如果未指明方向，另一种方向也应被考虑。 纠正策略：养成"列清单、逐个验"的习惯。读完题后先列出一个不确定因素清单(电性、磁场方向、速度方向)，对每个因素有几种可能就画几种轨迹。可以做一个简单的思维口诀："正负、里外、左右，全画一遍再下结论。" 易错点2：周期性边界问题中n的取值范围确定错误 典型错误：在环形磁场或多区域磁场问题中，学生推导出了含有n的通解表达式，但不知道n的取值范围，或者直接把n取为1、2、3等任意正整数，忽略了轨迹的几何约束条件对n的限制。 错因分析：学生只关注了运动学方程，没有结合几何边界条件对n进行约束。实际上，粒子在有限空间中的运动受到边界尺寸的限制——轨迹圆的半径不能超过磁场区域的有效尺寸，这就对n的取值产生了上限约束。 纠正策略：在用n表示通解后，必须将轨迹半径R的表达式代入几何约束条件（如R≤边界尺寸、圆心到边界的距离≥/≤半径等），解出n的不等式，再结合n为正整数确定n的具体取值范围。最后，答案应明确写出"n=1,2,...,k"的形式，而非只写通解。 易错点3：两个相邻磁场区域问题中粒子运动轨迹的对称性运用错误 典型错误：在两个相邻但磁感应强度方向相反的磁场区域中，学生认为粒子在两个区域的运动轨迹是独立无关的，没有利用对称性和周期性来简化分析。例如，粒子在两个相邻磁场中交替运动时，每个周期的轨迹应该对称，但学生没有用这个对称性来简化计算。 错因分析：对"对称性"的理解停留在表面，没有深入认识到——粒子在相邻等宽度的反向磁场区域中运动时，每一完整周期的轨迹和偏转角完全相同，这使得问题可以简化为"一个周期"的分析，再乘以周期数n即可。 纠正策略：遇到两个相邻反向磁场区域的多解问题，先画出一个周期的完整轨迹（从进入第一个磁场到再次回到同一位置），计算这个周期的侧移量和偏转角。然后，题目中n个周期的总侧移等于一个周期的侧移乘以n，从而建立n与几何尺寸的关系。对称性和周期性的运用是这类问题的最优解。 【方法总结】 总结1：多解问题"三步分类法" 第一步：找变量——读题后立即标记所有不确定因素（电性、速度方向、磁场方向、碰撞次数等），在草稿纸上列成清单。第二步：分情况——对每个不确定因素，列出所有可能的取值，逐一画出轨迹图。基本原则：电性两种(正/负)→两幅图；磁场方向两种(里/外)→两幅图；速度方向范围→动态圆扫描边界。第三步：筛有效——将每种情况的轨迹与题目条件对照，排除不满足的，保留所有满足的。注意"恰好""刚好""至少"等关键词往往对应临界条件。以本题集为例，题13涉及电性不确定和速度方向范围的多解，题56涉及周期性边界下的多解，题910涉及相邻反向磁场区域的周期性多解。 总结2："圆轨迹"几何关系速查 处理带电粒子在磁场中的多解问题时，以下几组几何关系最为常用：①弦长公式——轨迹圆弧的弦长L=2Rsin(θ/2)，其中θ为圆心角。当粒子的入射点和出射点已知时，弦长可由几何位置直接求出，进而解出半径R。②圆心角与偏转角——匀速圆周运动中，圆心角等于速度偏转角，且运动时间t=θT/(2π)=θm/(qB)。③周期性条件——当粒子在两个相邻反向磁场中往返运动时，经过n个完整周期（2n段圆弧）的总侧移为单个周期侧移的n倍。④相切条件——轨迹圆与边界相切时，圆心到边界的距离等于半径。掌握这四组关系，90%的几何分析都能找到突破口。 总结3：多解答案的规范表达 多地问题答案不是唯一的，规范表达至关重要。①通解形式——当解与圈数n有关时，答案必须写成含n的通解，如"R=____（n=1,2,3,…）"。②取值范围——通解中的n不能只写"n为正整数"，必须根据几何约束求出n的具体取值区间，如"n=1,2,…,k"，其中k由边界尺寸决定。③两个或多个变量——若多解由两个独立变量导致(如电性和圈数同时不确定)，答案应分情况讨论，如"①粒子带正电时，……；②粒子带负电时，……"。④最终验证——将n取最小值和最大值代入通解，检查轨迹是否仍满足几何约束。这是排查答案是否自洽的最有效手段。 期末基础通关 1．（2526高二下·湖北武汉·期中）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得 根据线速度和周期的关系，可得，联立解得 由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝240°，粒子在磁场中运动的时间为 若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝120°，粒子在磁场中运动的时间为 故选BC。 2．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，边长为正方形区域内无磁场，正方形中线将区域外左右两侧分成两个磁感应强度均为的匀强磁场区域，右侧磁场方向垂直于纸面向外，左侧磁场方向垂直于纸面向里。现将一质量为，电荷量为的正粒子从中点以某一速率垂直于射入磁场，不计粒子的重力，则关于粒子的运动，下列说法正确的是（　　） A．若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子的最大速度为 B．若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 C．若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 D．若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 【答案】C 【详解】根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有 ，解得 若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子可能的运动轨迹如图所示 由几何关系可得：解得 当时，速度最大为 当时 当时 则粒子的速度不可能为。 故选C。 3．（2526高二下·山东枣庄·期中）如图所示，某质谱仪由加速电场、速度选择器、电场分析器、磁场分析器组成，速度选择器中电场的场强大小为E，磁场的磁感应强度大小为B，电场分析器中电场为均匀辐向电场，磁分析器中匀强磁场的磁感应强度大小也为B，它们的方向如图所示。离子源产生的带电粒子（不计重力）经小孔进入加速电场，初速度可忽略不计，经过速度选择器后，从点进入电场分析器，调节电场分析器中的场强，使粒子恰好沿圆弧运动，并从点垂直磁场进入磁分析器，最终打在胶片上Q点，已知圆弧上电场强度大小为，圆弧所对应的半径为R。求： (1)粒子的比荷； (2)点与Q点的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在速度选择器中，有，解得 在辐向电场中带电粒子圆周运动，电场力充当向心力，有，联立可得 （2）在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有，点与Q点的距离为 4．(2022·广东高考)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是(　　) 【答案】A 【详解】质子进入磁场时，速度方向与磁场方向垂直，则质子会在平行于Oyx平面的平面内做匀速圆周运动，又因为两磁场磁感应强度大小相等、方向相反，故质子运动轨迹在Oyx平面的投影是两段半径相等、圆心在轨迹异侧的圆弧，在Ozx平面的投影是一段平行于x轴的直线，故C、D错误；由左手定则可知，沿z轴负方向看，质子先逆时针运动，后顺时针运动，故A可能正确，B错误。 5．(2022·海南高考)如图，有一个辐向分布的电场，距离O相等的地方电场强度大小相等，有一束粒子流沿圆弧轨迹通过电场，又垂直进入一匀强磁场，则运动轨迹相同的粒子，它们具有相同的(　　) A．质量 B．电量 C．比荷 D．动能 【答案】C 【详解】设带电粒子的质量为m，电荷量为q，速度大小为v，带电粒子在辐向分布的电场中运动时，运动半径为R1，轨迹所在处电场强度大小为E，由电场力提供做圆周运动的向心力，有qE＝m，解得ER1＝；设带电粒子在匀强磁场中运动时，运动半径为R2，磁场的磁感应强度大小为B，由洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，有qvB＝m，解得BR2＝。运动轨迹相同的粒子，R1、R2相同，B、E相同，则、相同，则v相同，相同，比荷相同，质量m、电量q不一定相同，动能mv2不一定相同，故选C。 6．(2023·海南高考)(多选)如图所示，质量为m、带电量为＋q的带电粒子，从原点以初速度v0射入第一象限内的电磁场区域，在0<y<y0、0<x<x0(x0、y0为已知)区域内有竖直向上的匀强电场，在x>x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度(E值有多种可能)，可让粒子从NP射入磁场后偏转打到接收器MN上，则(　　) A．粒子从NP中点射入磁场，电场强度满足E＝ B．粒子从NP中点射入磁场时速度为v0 C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为 D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是 【答案】AD 【详解】若粒子从NP中点射入磁场，设粒子在电场中的运动时间为t，则x0＝v0t，y0＝·at2，其中粒子的加速度大小a＝，联立解得E＝，设粒子射入磁场时沿y轴方向的分速度大小为vy1，则＝t，解得vy1＝v0，故粒子从NP中点射入磁场时速度为v1＝＝v0，A正确，B错误；粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设运动速度为v，轨道半径为r，则qvB＝m，如图所示，设粒子从电场中射出时的速度方向与y轴方向夹角为θ，则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN的距离为d＝rcosθ，联立解得d＝＝，C错误；对从(x0，y)进入磁场的粒子，粒子在电场中运动时，竖直方向上有y＝·t，解得vy＝v0，则粒子离开电场的速度v＝＝v0，粒子在磁场中运动的圆周半径r＝＝ ，又因0<y≤y0，则粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是rm＝，D正确。 7．(2023·湖南省郴州市高三下第四次质量检测)如图所示，在A处有平行于y轴的虚线，虚线左侧所有空间分布着水平向左的匀强电场，在虚线右侧所有空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在O点处，某时刻有一带负电的粒子以初速度v0沿y轴正方向运动，粒子从A(L，2L)点进入磁场，在磁场中运动一段时间后恰好又回到O点，已知粒子的质量为m，电荷量大小为q，不计粒子重力，求： (1)电场强度的大小和带电粒子运动到A点的速度； (2)磁感应强度大小和带电粒子从开始运动到恰好回到O点的时间。 【答案】(1)　v0　方向斜向右上且与y轴正方向成45°角 (2)　 【详解】(1)作出粒子运动轨迹，如图所示 设电场强度大小为E，带电粒子在电场中运动的加速度大小为a，运动时间为t1，到A点的速度大小为vA，粒子在电场中做类平抛运动， 沿y轴方向，有2L＝v0t1 沿x轴方向，有L＝at 由牛顿第二定律有qE＝ma 解得t1＝，E＝ 粒子到A点时，沿x轴正方向的速度vx＝at1 粒子到A点的速度大小vA＝ 设vA与y轴正方向成θ角 则有tanθ＝ 解得vA＝v0，θ＝45°，即vA方向斜向右上且与y轴正方向成45°角。 (2)设磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，运动周期为T，运动时间为t2，由洛伦兹力提供向心力，有qvAB＝m 由几何关系可知r＝ 解得B＝ 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 T＝＝ 粒子做匀速圆周运动的时间t2＝·T 解得t2＝ 设粒子从开始运动到回到O点的时间为t，根据运动的对称性可知t＝2t1＋t2 解得t＝。 8．（2011高二上·浙江宁波·期中）如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小； （2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【答案】（1）；（2）（n=1，2，3，…） 【详解】（1）设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，则，正离子做匀速圆周运动的周期 联立以上可得磁感应强度 （2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子的运动轨迹如图所示 两板之间正离子只运动一个周期T0时，有 当两板之间正离子运动n个周期nT0时，有（n=1，2，3，…） 联立解得正离子的速度的可能值为（n=1，2，3，…） 期末重难点突破 1．（2526高二下·江苏苏州·期中）如图所示，第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子（不计重力），从y轴上的P点以速度v水平向右射入匀强磁场，从x轴上的Q点射出磁场，且速度方向与x轴正方向成30°角，OQ＝a。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨道半径为a B．匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子穿过第一象限的时间为 D．若仅增大粒子速度，则粒子在磁场中运动的时间变长 【答案】C 【详解】A．粒子初速度水平向右，洛伦兹力竖直向下，圆心在轴上。粒子从点射出时速度方向与轴正方向成角，则半径与轴负方向夹角为（或者说与竖直方向夹角为）。在中，，，则轨道半径，故A错误； B．根据洛伦兹力提供向心力，解得，故B错误； C．粒子在磁场中运动的周期 粒子速度偏转角等于圆心角，则粒子穿过第一象限的时间，故C正确； D．若仅增大粒子速度，由，可知轨道半径增大。粒子轨迹变得平缓，偏转程度减小，即圆心角减小。 由（周期与速度无关），可知粒子在磁场中运动的时间变短，故D错误。 故选C。 2．（2526高二下·陕西安康·期中）如图所示，竖直纸面内矩形区域中存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，带负电粒子从点以初速度垂直射入磁场，从边上的点射出磁场，射出时速度方向与初速度方向的夹角。已知长为，不考虑粒子重力和磁场边界效应，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场运动的半径为 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．当粒子的初速度方向不变，速率逐渐减小时，射出磁场区域所需的时间逐渐增大 【答案】C 【详解】A．设粒子圆周运动的半径为，由题意知，在磁场中粒子的速度方向偏转角，故粒子圆弧轨迹对应的圆心角也为，由几何关系得，解得，故A错误； B．由洛伦兹力提供向心力可知，代入 解得粒子的比荷为，故B错误； C．粒子在磁场中做匀速圆周运动，转过的圆心角也为，时间，故C正确； D．当粒子的初速度方向不变，速率逐渐减小时，由上述分析可知轨迹半径 粒子运动的时间满足 其中为粒子转过的圆弧对应的圆心角，当粒子从右边界射出时，随着速率逐渐减小，轨迹半径逐渐减小，粒子转过的圆弧对应的圆心角逐渐增大，粒子射出磁场区域所需的时间逐渐增大；当粒子速度减小到一定程度，粒子会从下边界或左边界射出，从左边界射出时，随着速率逐渐减小，粒子转过的圆弧对应的圆心角保持不变，粒子射出磁场区域所需的时间保持不变，故D错误。 故选C。 3．（2526高三上·云南·阶段检测）如图所示，边长为的等边三角形区域内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为，方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点处有一正粒子源，能沿的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过点，粒子的比荷，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，粒子运动的半径 由洛伦兹力提供向心力，有，联立解得 将代入，只有选项A符合，故选A。 4．（多选）（2425高二下·江西宜春·期中）如图所示，环状匀强磁场围成的中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径，外半径，若被束缚的带电粒子的比荷，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小均为，。下列说法正确的是（　　） A．为使沿半径方向射入磁场的粒子均被束缚，磁感应强度最小值为2T B．为使沿半径方向射入磁场的粒子均被束缚，磁感应强度最小值为4T C．为使所有粒子被束缚，磁感应强度最小值为6T D．若沿半径方向射入磁场的粒子恰被束缚，则粒子在磁场中运动一次速度方向改变37° 【答案】BC 【详解】ABD．沿半径射入磁场的粒子恰好被束缚，如图所示 根据几何关系可得，代入数据解得 由洛伦兹力提供向心力可得，解得 可知为使沿半径方向射入磁场的粒子均被束缚，磁感应强度最小值为4T；由图中几何关系可得，可得 沿半径方向射入磁场的粒子恰被束缚，则粒子在磁场中运动一次速度方向改变的夹角为，故AD错误，B正确； C．为使所有粒子被束缚，如图所示 可知半径最大值为 根据，可得 可知为使所有粒子被束缚，磁感应强度最小值为6T，故C正确。 故选BC。 5．（多选）（2526高二下·云南·阶段检测）如图所示，半径为的刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴线的匀强磁场，磁感应强度为，筒上点开有一个小孔，过的横截面是以为圆心的圆．一带电粒子从点以速度沿射入，与筒壁发生了3次碰撞，之后从点小孔飞出．假设碰撞前、后瞬间，粒子的速度大小不变、方向相反，电荷量不变．不计重力和碰撞时间．下列说法正确的是（） A．粒子运动的轨道半径大于 B．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向的反向延长线一定过圆心 C．由题目已知条件可以求出粒子的质量 D．粒子在圆筒内运动的时间等于 【答案】BD 【详解】A．由题可知，粒子从P点沿PO射入，与筒壁发生3次碰撞后从P点飞出，说明粒子的运动轨迹是4段相等的圆弧，根据几何关系，可知粒子运动的轨道半径等于，故A错误； B．由图可知，因为粒子沿半径方向入射，碰撞后速度大小不变、方向相反，根据对称性，碰撞后速度方向的反向延长线一定过圆心，故B正确； C．根据洛伦兹力提供向心力有 其中，解得 由于题中没有给出粒子的电荷量，故无法求出粒子的质量，故C错误； D．由图可知，粒子运动的总路程为4段相等的圆弧，则总路程为 所以粒子在圆筒内运动的时间，故D正确。 故选BD。 6．（2025·安徽马鞍山·二模）垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 周期为 由图可知磁场变化的周期为 根据，可得在时间内偏转的角度为 同理在在时间内偏转的角度为 设粒子的出发点为，经磁场变化的一个周期的终点为，由图可知，磁场先向里再向外，故作出其在磁场变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得粒子的位移即为a、b两点的距离，则有 从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为 故选D。 7．（多选）（2026·内蒙古赤峰·一模）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】带负电粒子斜向右上与x轴成入射，粒子垂直打在，结合几何关系可得，最大半径 当轨迹恰好与相切时，有 最小半径，所以轨迹半径满足 洛伦兹力提供向心力，解得速度范围 故选BC。 8．（2526高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，矩形区域Ⅰ内存在垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场区域。、为相互平行的磁场边界线，矩形磁场区域的长度足够长，宽度均为L。某种带正电的粒子从上的处以大小不同的速率沿与成角的方向进入区域Ⅰ内磁场。已知带电粒子的质量为，带电量为，忽略带电粒子间的作用力，不计带电粒子的重力。求： (1)以速率入射的粒子恰好垂直于右边界射出，求该速率的大小； (2)以速率入射的粒子恰好不能从右侧离开区域Ⅰ，求该速率的大小； (3)以速率入射的粒子（小于第（2）问所求）在区域Ⅰ内的运动时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）结合几何关系，可知其轨道半径为 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 解得该速率 （2）粒子恰好不能从右侧离开区域Ⅰ，则粒子速度与磁场右边界相切，如图所示 根据几何知识，可得，解得做圆周运动的半径 粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，有，解得 （3）粒子的入射速度小于，不会从射出，结合几何关系和运动的对称性，可知在区域Ⅰ内做圆周运动的圆心角 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有，解得 粒子做圆周运动的周期 则以速率入射的粒子在区域Ⅰ内的运动时间 9．（2526高二下·浙江温州·期中）直角坐标系第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，第四象限内有垂直纸面向内的匀强磁场，质量、带电量的粒子从轴的点以速度垂直轴入射第一象限，进入磁场时速度方向与轴正方向的夹角，已知点到坐标原点的距离为，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度的大小； (2)粒子从点出发经多长时间粒子第二次经过轴； (3)粒子第99次经过轴时的位置与点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子进入磁场时速度为，则，解得 由动能定理有，解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动的时间为，以向下为正方向，由动量定理 解得 粒子在磁场中做圆周运动的周期 在磁场中做运动的时间，由几何关系可知，粒子运动轨迹圆的圆心角为，则 粒子第二次经过轴的时间： （3）粒子在电场中做类平抛运动，水平位移方向的解得 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，有解得 在磁场中的水平位移 根据粒子运动的周期性，故粒子第99次经过轴时的位置与点的距离 解得 10．（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。 【答案】（1）（2） 【详解】（1）根据牛顿第二定律 ，得 粒子运动轨迹如图OP长度为 （2）粒子从点离开一定是从区域Ⅰ与相切离开磁场区域，故， 根据几何关系 即 ，解得 11．（2122高三·全国·课后作业）在图甲所示的平面直角坐标系xOy内，正方形区域（0<x<d、0<y<d）内存在垂直xOy平面周期性变化的匀强磁场，规定图示磁场方向为正方向，磁感应强度B的变化规律如图乙所示，变化的周期T可以调节，图中B0为已知。在x＝d处放置一垂直于x轴的荧光屏，质量为m、电荷量为q的带负电粒子在t＝0时刻从坐标原点O沿y轴正方向射入磁场，不计粒子重力。 （1）调节磁场的周期，满足，若粒子恰好打在屏上P（d，0）处，求粒子的速度大小v； （2）调节磁场的周期，满足，若粒子恰好打在屏上Q（d，d）处，求粒子的加速度大小a。 【答案】（1）；（2）（k＝1，2，3…） 【详解】（1）满足，粒子的运动轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力，有 几何关系可得2R1＝d，联立解得 （2）满足，粒子的轨迹如图所示 由几何关系可得d＝kR2，其中k＝1，2，3… 由可得（k＝1，2，3…） 而联立可得，k＝1，2，3… 学科网（北京）股份有限公司 $