重难点专题01 一元二次方程的解法（5大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“解法类型”为核心构建专项体系，系统提炼五种解法的操作步骤与易错要点，形成“方法步骤+典例应用+逻辑递进”的训练框架。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|6题|整理形式→判断根情况→开方带±|从特殊形式方程切入，培养方程变形能力| |配方法|5题|移项→化1→配方→开方|体现转化思想，为公式法推导奠基| |公式法|4题|化标准式→算Δ→代入求根公式|通用解法，强化运算能力与推理意识| |因式分解法|6题|提公因式→十字相乘→ab=0模型|基于整式乘法逆运算，培养代数变形能力| |换元法|5题|设元→降次→回代→验根|渗透整体思想，提升复杂方程转化能力|

重难点专题01 一元二次方程的解法 重难点一 利用直接开平方法解一元二次方程 1. 先将方程整理为形式； 2. 根据有两个不等的实数根，有两个相等的实数根，无实根进行求解； 3.开方必带±，不漏负根。 1．方程的根为（    ） A． B． C． D． 2．方程的解是______． 3．方程的根是__________． 4．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 5．解下列方程： (1) (2) 6．求下列各式中的的值： (1)； (2) 重难点二 利用配方法解一元二次方程 1.先将常数项移到方程的右侧，将二次项系数化为1； 2.等号两边同时加上一次项系数一半的平方； 3.写成平方式后开方，进行求解，写出两个解. 1．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程：． 4．解方程：． 5．解方程： (1)； (2)． 重难点三 利用公式法解一元二次方程 1.先将方程整理为标准形式，确定a、b、c的值； 2.先算Δ，当Δ＜0时，直接判定方程无实数根； 3.当Δ≥0时，将a、b、c的值代入求根公式进行计算，结果进行约分化简。 1．用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 4．解方程： 16．解下列方程：（用公式法）； 重难点四 利用因式分解解一元二次方程 1.有公因式先提取进行因式分解，不可直接除公因式防漏根； 2.十字相乘拆系数，看常数正负定分解数字符号； 3.平方差、完全平方整体分解，不用全部展开； 4.最重要一点就是利用因式分解法将方程化为ab=0的形式； 5.根据ab=0得a=0或b=0解出方程的解。 1．方程的解是（    ） A． B． C．， D．无实数根 2．一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 3．解方程： 4．解方程：． 5．解方程：． 6．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 重难点五 利用换元法解一元二次方程 1.把公共部分代数式设为t，标注t取值范围； 2.换元将方程转一元二次方程解出t的值； 3.逐个回代求x的值； 4.分式、根式换元必须验根，舍去超范围解。 1．解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 3．已知方程的解是，则方程的解是___________． 26．解方程： 4．降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 5．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 一元二次方程的解法 重难点一 利用直接开平方法解一元二次方程 1. 先将方程整理为形式； 2. 根据有两个不等的实数根，有两个相等的实数根，无实根进行求解； 3.开方必带±，不漏负根。 1．方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，若一个数的平方等于0，则这个数为0，即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 2．方程的解是______． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．直接开方即可． 【详解】解：， ， 解得：或， 故答案为或． 3．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 4．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 5．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴或， ∴，． 6．求下列各式中的的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原式化简为，再等号两边开平方，即可求解； （2）先将原式化简为，再等号两边开平方，即可求解． 【详解】（1）解：， 化简得， 解得． （2）解：， 化简得， 开方得， 解得． 重难点二 利用配方法解一元二次方程 1.先将常数项移到方程的右侧，将二次项系数化为1； 2.等号两边同时加上一次项系数一半的平方； 3.写成平方式后开方，进行求解，写出两个解. 1．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 即． 2．若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 3．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 4．解方程：． 【答案】， 【分析】可以利用配方法解一元二次方程． 【详解】解： ， ， ， ∴，． 5．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）化简后采用配方法求解即可； （2）化简后采用配方法求解即可； 【详解】（1）解： ， （2）解： 重难点三 利用公式法解一元二次方程 1.先将方程整理为标准形式，确定a、b、c的值； 2.先算Δ，当Δ＜0时，直接判定方程无实数根； 3.当Δ≥0时，将a、b、c的值代入求根公式进行计算，结果进行约分化简。 1．用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】将原方程整理为一般形式，找出对应的二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：原方程为， 移项整理为一般形式得， 可得二次项系数，一次项系数，常数项 2．用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 3．使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)无实数根 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，根据的符号判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，最后代入求根公式求解(时无需代入)． （1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解； （2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据求相等实根； （3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据判断无实数根． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即，； （2）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即； （3）解：先将方程化为一般形式：， 其中，，， ∴， ∴原方程无实数根． 4．解方程： 【答案】， 【分析】用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解： 16．解下列方程：（用公式法）； 【答案】， 【详解】解：， ，，， ， ∴方程有两个不等的实数根， ， 即，． 重难点四 利用因式分解解一元二次方程 1.有公因式先提取进行因式分解，不可直接除公因式防漏根； 2.十字相乘拆系数，看常数正负定分解数字符号； 3.平方差、完全平方整体分解，不用全部展开； 4.最重要一点就是利用因式分解法将方程化为ab=0的形式； 5.根据ab=0得a=0或b=0解出方程的解。 1．方程的解是（    ） A． B． C．， D．无实数根 【答案】C 【分析】利用因式分解法即可解答． 【详解】∵ 移项得 提取公因式得 ∴或 解得． 2．一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】使用因式分解法解题，先移项变形，提取公因式分解后，即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 3．解方程： 【答案】 【详解】解： ， 或 ， 解得. 4．解方程：． 【答案】， 【分析】将提取公因式得到，再利用因式分解法解这个一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， 或， ，． 5．解方程：． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴或 ∴，． 6．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得； （2）解：原方程化为一般形式，得． 把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得． 重难点五 利用换元法解一元二次方程 1.把公共部分代数式设为t，标注t取值范围； 2.换元将方程转一元二次方程解出t的值； 3.逐个回代求x的值； 4.分式、根式换元必须验根，舍去超范围解。 1．解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原方程中对应部分用换元后的y替换，再对分式方程去分母整理得到整式方程即可解答． 【详解】解：∵令，可得 将其代入原方程得： 方程两边同乘（）去分母得：， 移项整理得：， 因此换元后整理得到的整式方程为． 2．已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【分析】利用换元法，将新方程中的看作整体，对应原方程的，根据原方程的解得到整体的取值，再解一元一次方程即可得到新方程的解． 【详解】解：令，则方程可变形为， 关于的方程的解为， ， 即或， 解得或， 方程的解是． 3．已知方程的解是，则方程的解是___________． 【答案】， 【分析】利用整体换元的思想，将看作整体，对应已知方程中的值，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，． 26．解方程： 【答案】，． 【分析】令，得到关于的方程，利用配方法求得，，进而求出的值即可． 【详解】解：令，代入方程得， ， ， ， ， ， 解得：，， 当时，， 当时，， 原方程的解为，． 4．降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 5．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $