第21讲 机械能守恒定律及其应用（举一反三讲义）2027年高考物理一轮复习举一反三系列

该高中物理高考复习讲义聚焦机械能守恒定律及其应用，涵盖守恒条件判断、单物体（含链条/液柱）及多物体（轻绳/杆/弹簧连接体）问题等核心考点，按“知识回顾-模型精讲-方法总结-分层训练”流程，帮助学生构建从概念到综合应用的系统认知，突破高考高频难点。 讲义以能量观念和科学思维为导向，创新设计“守恒条件动态辨析”“连接体速度关联建模”等教学活动，如通过链条分段重心分析突破非质点问题，结合高考真题变式训练提升迁移能力，分层练习确保不同水平学生高效提升，为教师精准把控复习节奏提供实用方案。

第21讲机械能守恒定律及其应用 目录 1 4 考点一 机械能守恒的判断 4 考点二 单物体的机械能守恒问题 7 考向1：一般物体的机械能守恒 8 考向2：链条、液柱类物体的机械能守恒 8 考点三 多物体的机械能守恒问题 11 考向1：轻绳连接系统的机械能守恒 12 考向2：轻杆连接系统的机械能守恒 13 考向3：含轻弹簧系统的机械能守恒 14 17 基础巩固练 17 综合提升练 30 核心考点 1.重力势能与弹性势能： 重力势能：Ep=mgh（h为相对于参考平面的高度），是标量、状态量，具有相对性（重力势能的大小与零势能面的选取有关）。 弹性势能：Ep=½kx²（x为弹簧的形变量），与弹簧的劲度系数k和形变量x有关。 2.机械能守恒定律： 内容：在只有重力或弹簧弹力做功的物体系统内，动能与势能相互转化，而总的机械能保持不变。 3.机械能守恒的判断方法： 做功判断法：分析物体或系统的受力，判断是否只有重力或弹簧弹力做功（如有其他外力，但其他外力不做功或做功的代数和为零，则机械能守恒）。 能量转化法：若系统中只有动能和势能（重力势能、弹性势能）相互转化，无机械能与其他形式能（如内能）的转化，则机械能守恒。 4.机械能守恒的应用场景： 单个物体：常见于自由落体、竖直上抛、光滑斜面或曲面上的运动、单摆运动等。 多物体系统：常见于含弹簧的系统（如小球与弹簧）、轻绳连接体、轻杆连接体、光滑的“滑块—圆弧槽”或“滑块—曲面”系统。 考情透析 1.题型与难度：以选择题和计算题为主，是高考力学板块的核心考点，难度中档→较高，常作为综合性压轴题的关键分析工具。 2.命题规律： 常与牛顿运动定律、动能定理、圆周运动（特别是过山车、管道模型）、弹簧系统等结合，考查多过程、多物体的复杂问题。 常以实际生活情景（如蹦极、过山车、滑雪）或经典模型（如弹簧振子、单摆）为背景命题，考查学生建模能力。 常与图像（如v-t、Ek-h、Ep-h等）结合，考查从图像中获取信息判断机械能是否守恒的能力。 3.考查方向：侧重机械能守恒条件的正确判断、机械能守恒定律各种表达式的灵活运用、含弹簧系统的能量转化分析、多物体系统（连接体）中机械能的分配与转化。 素养对接 1.能量观念：深刻理解“机械能守恒”是能量守恒定律在特定条件下的特例，建立功是能量转化的量度的观念，能从能量转化与守恒的视角分析问题。 2.科学推理：能基于功能关系（重力做功等于重力势能减少、弹力做功等于弹性势能减少）推导出机械能守恒定律，培养逻辑推理能力。 3.模型建构：将“蹦极”、“过山车”等实际情景抽象为“机械能守恒”的理想模型，忽略空气阻力、摩擦等次要因素，培养理想化建模能力。 4.整体与隔离思维：在处理多物体系统时，既能对单个物体应用动能定理或能量守恒，也能对整体应用机械能守恒，培养宏观与微观相结合的分析能力。 学习目标 1.知识目标： 能准确写出重力势能和弹性势能的表达式，理解其标量、状态量及相对性。 能准确写出机械能守恒定律的三种表达式（守恒式、转化式、转移式），并理解其物理意义。 能说出判断机械能是否守恒的两种常用方法（做功判断法、能量转化法）。 能说出“系统机械能守恒”的常见模型（如含弹簧系统、轻绳/轻杆连接体、滑块—曲面系统）。 2.能力目标： 守恒条件判断能力：能正确分析物体或系统受力，准确快速判断机械能是否守恒，避免盲用守恒定律。 表达式选用能力：能根据题目条件（已知初末状态或已知能量转化关系）选择最合适的表达式（守恒式或转化式）进行列式求解。 含弹簧系统的分析能力：能正确分析含弹簧系统中动能、重力势能、弹性势能的相互转化，并能找出弹簧形变量最大或最小等关键状态。 多物体（连接体）系统的分析能力：能分析连接体（绳、杆、接触面）系统中各物体的速度关系，从而正确表达系统总动能，并列出机械能守恒方程。 备考建议 1.重视“机械能守恒条件”的判断： 核心标准：系统内只有重力（或弹簧弹力）做功。特别注意： 物体沿粗糙斜面下滑：有摩擦力做功，不守恒。 物体在竖直面上做圆周运动（轻绳模型）：绳子拉力不做功，只有重力做功，守恒。 物体受外力作用时（如牵引力、恒定拉力），若外力做功，一般不守恒（除非外力做功为零）。 解题第一步：拿到题目，第一件事就是判断机械能是否守恒，而不是直接套公式。 2.灵活选用三种表达式： 守恒式：适合无需关心中间转化过程，直接比较初末状态总机械能的问题。 转化式：适合计算某部分能量的具体变化量（如动能增加了多少，势能减少了多少），或者系统内只有一种势能变化的问题。 转移式：专门用于多物体系统（如连接体），一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。 3.重视“含弹簧系统”的机械能守恒： 模型特征：系统由物体、弹簧和地球组成。只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒。 临界状态：弹簧形变量最大时，物体速度为零（动能全部转化为弹性势能）；弹簧恢复原长时，弹性势能为零。 4.突破“连接体”系统中的机械能守恒： 核心难点：找到两个物体速度之间的几何或约束关系（如沿绳方向速度相等、沿杆方向速度相等、角速度相等）。 解题步骤： ①判断系统（物体+绳子/杆+地球）机械能是否守恒（通常没有摩擦，绳子拉力/杆的弹力做功代数和为零）。 ②选取零势能面，写出初末状态系统的总机械能（注意两物体势能的正负）。 ③根据几何关系，建立两物体速度的关联方程。 ④联立机械能守恒方程和速度关联方程，求解。 5.强化易错点的针对性训练： 易错点一：对“系统”的机械能守恒理解不到位。单个物体的机械能守恒条件苛刻（只有重力/弹力做功）；而系统（如物体+弹簧）的机械能守恒条件相对宽松（系统内非重力/弹力的其他力做功代数和为零即可）。 易错点二：计算重力势能时，忘记设定统一的零势能面，导致势能数值错误或符号混乱。 易错点三：混淆“机械能守恒”与“动能定理”。当系统有化学能、内能等其他形式能参与转化时，必须用动能定理（或能量守恒定律），而不能用机械能守恒。 易错点四：在连接体问题中，误以为两个物体的速度大小相等（实际可能不等，需要速度分解关联）。 考点一 机械能守恒的判断 【必备知识回顾】 一、重力做功与重力势能 1．重力做功的特点 (1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。 (2)重力做功不引起物体机械能的变化。 2．重力做功与重力势能变化的关系 (1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大。 (2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。 (3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关。 3．弹性势能 (1)概念：物体由于发生弹性形变而具有的能。 (2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示为W＝－ΔEp。 二、机械能守恒定律及其应用 1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能。 2．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。 (2)表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv。 3．守恒条件：只有重力或系统内的弹力做功。 【重难模型精讲】 【典例1】（2025·浙江温州·单元测试）关于机械能守恒，以下说法正确的是（　　） A．物体做匀速运动，它的机械能一定守恒 B．物体所受合力的功为零，它的机械能一定守恒 C．物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒 D．物体所受的合力等于零，它的机械能一定守恒 【答案】C 【解析】机械能守恒的条件是：只有重力（或系统内弹力）做功，其他力不做功或做功的代数和为零。 A．物体做匀速运动时动能不变，但重力势能可能变化，例如降落伞匀速下降，重力势能减小，机械能减小，故A错误； B．合力做功为零时动能不变，但重力势能可能变化，例如降落伞匀速下降时合力做功为零，机械能减小，故B错误； C．物体合力不为零时，若仅受重力作用，只有重力做功，机械能守恒，例如自由落体运动，故C正确； D．合力等于零时，可能存在除重力外的其他力做功，例如降落伞匀速下降时合力为零，空气阻力做负功，机械能减小，故D错误。 故选C。 【变式训练与拓展】 【变式1】（2026·河北张家口·阶段检测）如图所示，下列说法正确的是（所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量）（　　） A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空则机械能守恒，若加速升空则机械能不守恒 B．乙图中，物块在外力的作用下匀速上滑，物块的机械能守恒 C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒 D．丁图中，物块A加速下落、物块B加速上升的过程中，A、B系统机械能守恒 【答案】D 【解析】A．甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，均是增加的，故A错误； B．乙图中，物块匀速上滑，动能不变，重力势能增加，则机械能必定增加，故B错误； C．丙图中，在物块A压缩弹簧的过程中，弹簧和物块A组成的系统只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，由于弹性势能增加，则A的机械能减小，故C错误； D．丁图中，对A、B组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。 故选D。 【变式2】（2025·广西·阶段检测）图为某高空翼装飞行爱好者在空中滑翔的情景，关于滑翔者在空中长距离滑翔的过程中，下列说法正确的是（　　） A．滑翔者机械能守恒 B．滑翔者动能的增加量大于合力做的功 C．滑翔者重力势能的减少量等于重力做的功 D．滑翔者重力势能的减少量等于动能的增加量 【答案】C 【解析】A．滑翔者在空中长距离滑翔的过程中，滑翔者受空气阻力作用，故机械能不守恒，故A错误； B．根据动能定理，合力做的功等于滑翔者动能的增加量，故B错误； CD．根据重力做功的特点，重力做正功，滑翔者重力势能减少，且重力势能的减少量等于重力做的功，考虑到空气阻力做负功，故根据动能定理，重力势能的减少量大于动能的增加量，故C正确，D错误。 故选C。 【变式3】（多选）（2026·湖北·期中）如图所示，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球，各球编号如图所示。斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r。现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后均做平抛运动，不计一切摩擦。则在各小球运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．球1的机械能守恒 B．球6在OA段机械能增大 C．球6的水平射程最大 D．有三个球落地点相同 【答案】BD 【解析】A．6个小球都在斜面上运动时，只有重力做功，整个系统的机械能守恒。当有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，球2对球1的作用力做功，故球1的机械能不守恒，故A错误； B．球6在OA段运动时，斜面上的小球在加速，球5对球6的作用力做正功，动能增加，机械能增大，故B正确； C．由于有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，所以可知离开A点时球6的速度最小，水平射程最小，故C错误； D．最后三个球在水平面上运动时不再加速，球3、球2、球1的速度相等，水平射程相同，落地点位置相同，故D正确。 故选BD。 【方法规律】 1．判断方法 (1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则其机械能守恒。 (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或系统内的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则其机械能守恒。 (3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。 2．三点提醒 (1)分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统。 (2)系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中的单个物体机械能通常不守恒。 (3)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目有特别说明，否则机械能必定不守恒。 考点二 单物体的机械能守恒问题 【必备知识回顾】 1．常用的三种表达式 (1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能。 (2)转化式：ΔEk＝-ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减。表示系统势能的减少量等于动能的增加量。 (3)转移式：ΔEA＝-ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减。表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能。 2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 (1)选对象：选取研究对象——物体。 (2)析受力、判守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 (3)析运动、明状态：恰当地选取参考平面，确定研究对象在所研究过程的初、末状态时的机械能。 (4)列方程、解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。 【重难模型精讲】 考向1：一般物体的机械能守恒 【典例2】（2025·江苏徐州·阶段检测）如图所示，质量为m的物体，以速度v离开高为H的桌子，当它落到距地面为h的A点时，在不计空气阻力的情况下，以地面为重力势能的零点，下列说法正确的是（　　） A．物体在A点具有的机械能是 B．物体在A点具有的机械能是 C．物体在A点具有的动能是 D．物体在A点具有的动能是 【答案】B 【解析】AB．物体在运动的过程中机械能守恒，初始位置的机械能 所以A点的机械能为，故A错误，B正确； CD．根据机械能守恒得 则，故CD错误。 故选B。 考向2：链条、液柱类物体的机械能守恒 【典例3】（2025·湖南常德·三模）如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为m，链条悬垂的长度为l，台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一质量也为m的小球（直径相对链条长度可忽略不计），如图乙所示，还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．甲图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 B．乙图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 C．甲图中链条下端在触地之前，链条的加速度大小不变 D．乙图中小球在下落过程中，链条对小球的拉力在不断增大 【答案】A 【解析】A．甲图中链条触地时，平台右侧悬垂部分长度为2l，根据机械能守恒定律有 解得，故A正确； B．乙图中链条触地时，根据机械能守恒定律有 解得，故B错误； C．甲图中平台右侧悬垂部分的重力等于链条整体所受外力的合力，随悬垂部分的增多，链条整体所受外力的合力增大，链条在触地之前加速度逐渐增大，故C错误； D．乙图中，平台右侧悬垂部分与小球总的重力等于链条与小球整体所受外力的合力，随悬垂部分的增多，链条整体所受外力的合力增大，乙链条在触地之前加速度逐渐增大，对小球进行分析，根据牛顿第二定律可知，链条对小球的拉力在不断减小，故D错误。 故选A。 【变式训练与拓展】 【变式4】（多选）（2026·广东·模拟考试）在某次跳水训练中，质量为的运动员在高的跳台上站立，然后保持站立姿势竖直下落，脚接触水后在水中沿竖直方向继续运动，直至速度为0。已知运动员的脚在水中下落的深度为。忽略空气阻力，重力加速度取，取跳台为零势能参考平面，则运动员（　　） A．在全过程中，重力做功为 B．在脚刚好接触水时的机械能为0 C．在脚刚好接触水时的重力势能为 D．从脚接触水至速度为0，水的阻力做功为 【答案】ABC 【解析】A．重力做功为，故A正确。 B．忽略空气阻力，在空中下落过程机械能守恒。初始状态（跳台处）速度，高度（零势能参考面），机械能。脚接触水时机械能仍为0。故B正确。 C．脚接触水时，高度（以跳台为零势能参考面） 重力势能。故C正确。 D．全过程应用动能定理可得 解得水的阻力做功为，故D错误。 故选ABC。 【变式5】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径R＝m的光滑半球体上方。给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B滑至C处时其速度大小为3m/s。已知∠AOB＝60°，以OC所在平面为参考平面，取g＝10m/s2。则下列说法中正确的是（　　） A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒 B．铁链在初始位置时其重心高度m C．铁链的端点A滑至C点时其重心下降2.8m D．铁链的端点A滑至C处时速度大小为6m/s 【答案】C 【解析】A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链受到上边拉链的拉力，该拉力做负功，故机械能不守恒，故A错误； B．根据几何关系可知，铁链长度为 L＝＝2m 铁链全部贴在球体上时，质量分布均匀且形状规则，则其重心在几何中心且重心在∠AOB的角平分线上，故铁链在初始位置时其重心与圆心连线长度等于端点B滑至C处时其重心与圆心连线长度，均设为h0，根据机械能守恒定律有 mgh0－mgh0sin30°＝ 代入数据解得 h0＝1.8m 故B错误； C．铁链的端点A滑至C点时，其重心在参考平面下方处，则铁链的端点A滑至C点时其重心下降 Δh＝h0＋＝2.8m 故C正确； D．铁链的端点A滑至C处过程，根据机械能守恒定律有 解得 故D错误。 故选C。 【变式6】（2026·陕西榆林·期末）如图所示，长为l的匀质链条放在光滑水平桌面上，且有部分悬于桌面外，链条由静止开始释放，则它刚滑离桌面时的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】链条释放之后，到离开桌面，由于桌面无摩擦，整个链条的机械能守恒，取桌面为零势能面，整个链条的质量为m，根据机械能守恒有 解得 故选B。 【方法规律】 非质点类物体的机械能守恒问题： 1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。 2．物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 考点三 多物体的机械能守恒问题 【必备知识回顾】 1．解决多物体系统机械能守恒问题的注意点 (1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。 2．几种实际情境的分析 (1)速率相等情境，如图所示。 注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。 (2)角速度相等情境，如图所示。 ①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ②由v＝ωr知，v与r成正比。 (3)某一方向分速度相等情境(关联速度情境)，如图所示。 两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。 (4)含轻弹簧的系统机械能守恒问题 ①弹簧发生形变时会具有弹性势能，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统的机械能守恒。 ②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹簧的弹性势能最大。 ③对同一弹簧，弹性势能的大小为Ep＝kx2，弹性势能由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。 ④物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。 【重难模型精讲】 考向1：轻绳连接系统的机械能守恒 【典例4】（多选）（2026高三·全国·专题练习）如图所示，倾角为30°、高为L的固定斜面底端与水平面平滑相连，质量分别为3m、m的两个小球A、B用一根长为L的轻绳连接，A球置于斜面顶端。现由静止释放A、B两球，B球与弧形挡板碰撞过程时间极短，无机械能损失，且碰后只能沿斜面下滑，两球最终均滑到水平面上。已知重力加速度为g，不计一切摩擦，则（　　） A．A球刚滑至水平面上时的速度大小为 B．B球刚滑至水平面上时的速度大小为 C．两小球在水平面上不可能相撞 D．在A球沿斜面下滑的过程中，轻绳对B球先做正功，后不做功 【答案】ABD 【解析】A．A球刚滑至水平面时，对A、B两球组成的整体，根据机械能守恒定律可知 解得，故A正确； B．当A球滑到水平面上后，做匀速运动，而B球在斜面上做加速运动，则B球刚滑至水平面时，对A、B两球组成的整体，根据机械能守恒定律可知 解得，故B正确； D．在A球沿斜面下滑的过程中，在B球没有滑上斜面之前，轻绳对B球做正功，当B球滑到水平面之后，轻绳无弹力，则对B球不做功，故D正确； C．A球滑至水平面后做匀速运动，而B球还要做一段加速后到达水平面，故B球能追上A球发生碰撞，故C错误。 故选ABD。 考向2：轻杆连接系统的机械能守恒 【典例5】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，一长为2L的轻杆中央有一光滑的小孔O，两端分别固定小球A和B，小球A和B质量分别为m和2m，光滑的铁钉穿过轻杆小孔垂直钉在竖直的墙壁上，将轻杆从水平位置由静止释放，转到竖直位置，在转动的过程中，忽略空气的阻力，下列说法正确的是（　　） A．在转动到竖直位置的过程中，A球机械能的增加小于B球机械能的减少 B．在转动到竖直位置的过程中，A、B两球组成系统的重力势能的减少等于系统动能的增加 C．在竖直位置两球的速度大小均为 D．由于忽略一切摩擦阻力，根据机械能守恒，杆一定能绕铁钉做完整的圆周运动 【答案】B 【解析】A．对于两球组成的系统，在转动过程中，只有重力做功，其机械能守恒。而转动过程中，A的动能和重力势能都增加，即A的机械能增加，B的机械能减少，则根据机械能守恒定律可知，A球机械能的增加等于B球机械能的减少，故A错误； B．对于两球组成的系统，在转动过程中，总重力势能减少，总动能增加，根据机械能守恒定律可知，两球的总重力势能的减少等于总动能的增加，故B正确； C．根据可知，转动到竖直位置时，两球的速度大小相等，设为，取图中所示位置为参考平面，根据机械能守恒定律可得 解得，故C错误； D．根据机械能守恒定律可知，当系统顺时针转到水平位置时速度为零，然后再逆时针转动，不可能做完整的圆周运动，故D错误。 故选B。 考向3：含轻弹簧系统的机械能守恒 【典例6】（2026高三·江苏·专题练习）如图所示，小球穿在固定光滑杆上，与两个相同的轻弹簧相连，弹簧可绕O1、O2无摩擦转动。小球在杆上A点时，弹簧1竖直且处于原长，弹簧2处于水平伸长状态，杆上的B点与O1、A、O2构成矩形，AB=2。现将小球从A点释放，则小球下滑的过程中（　　） A．到达A、B中点前，弹簧1的弹力比弹簧2的大 B．到达A、B中点时，加速度等于零 C．弹簧1的最大弹性势能比弹簧2的大 D．与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间长 【答案】C 【解析】A．几何关系可知，设弹簧原长为，分析易得小球到达A、B中点O时，弹簧1、弹簧2都处于原长，如图所示 图中易知到达A、B中点O前，弹簧2的形变量一直大于弹簧1的形变量，故弹簧1的弹力比弹簧2的小，故A错误； B．到达A、B中点时，两弹簧弹力为0，小球的合力为其重力沿杆方向向下的分力，故加速度不为0，故B错误； C．根据，到达A、B中点前，弹簧1的最大弹性势能， 弹簧2的最大弹性势能 可知弹簧1的最大弹性势能比弹簧2的大，故C正确； D．小球从A点运动到B点过程，由于两个弹簧对小球做的总功为零，与没有弹簧时相比，小球运动到B点的速度相等；设杆的倾角为，没有弹簧时，小球运动的加速度为 有弹簧时，加速度先大于，然后加速度逐渐减小，到AB中点时，加速度为，之后加速度小于，则两种情况的v-t图像如图所示 两种情况的v-t图像与横轴围成的面积相等，由图可知与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间更短，故D错误。 故选C。 【变式训练与拓展】 【变式7】（多选）（2026高三·全国·专题练习）长为L的轻杆可绕O在竖直平面内无摩擦转动，质量为M的小球A固定于杆端点，质量为m的小球B固定于杆中点，且M＝2m，重力加速度为g，不计空气阻力，开始杆处于水平，由静止释放，当杆转到竖直位置时（　　） A．球A瞬时速度是球B瞬时速度的2倍 B．球A在最低点速度为 C．O和B之间杆的拉力大于B和A之间杆的拉力 D．轻杆对球B做功mgL 【答案】ABC 【解析】ABD．在转动过程中，A、B两球的角速度相同，设球的速度为，B球的速度为，则有 以A、B和杆组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得 联立可以求出， 设杆对A、B两球做功分别为，。根据动能定理，对A有 对B有 解得， 则轻杆对球A做正功，轻杆对球B做负功，AB正确，D错误； C．当杆转到竖直位置时B的向心力向上，而 可知OB杆的拉力大于BA杆的拉力，C正确。 故选ABC。 【变式8】（多选）（2026·福建泉州·阶段检测）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体P和Q用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量、时刻将两物体由静止释放，物体Q的加速度大小为。T时刻轻绳突然断开，物体P能够达到的最高点恰与物体Q释放位置处于同一高度，取时刻物体P所在水平面为零势能面，此时物体Q的机械能为E。重力加速度大小为g，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．物体P和Q的质量之比为1：3 B．T时刻物体Q的机械能为 C．2T时刻物体P的速度大小 D．2T时刻物体P重力的功率为 【答案】BC 【解析】A．开始释放时物体Q的加速度为，则， 解得，故A错误； B．在T时刻，两物体的速度 P上升的距离 细线断后P能上升的高度 可知开始时PQ距离为 若设开始时P所处的位置为零势能面，则开始时Q的机械能为 从开始到绳子断裂，绳子的拉力对Q做负功，大小为 则此时物体Q的机械能，故B正确； CD．在2T时刻，重物P的速度 大小为，方向向下；此时物体P重力的瞬时功率，故C正确，D错误。 故选BC。 【方法规律】 多物体系统机械能守恒问题的分析方法 (1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。 (2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。 (3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。 基础巩固练 1．（2025·辽宁·期中）“雪如意”是北京2022年冬奥会的跳台滑雪场地，其主体建筑设计灵感来自中国传统饰物“如意”。“雪如意”内的部分赛道可简化为高为H、对应水平投影长度为的坡路AB段和水平雪道BC段，如图所示。若某质量为m的运动员从雪道的顶端A点由静止开始加速下滑，到达底端B点后以不变的速率进入水平雪道减速运动，滑行距离后停止。已知坡路和水平雪道的动摩擦因数处处相同，重力加速度为g，忽略空气阻力。以下说法正确的是（　　） A．运动员在坡路AB段克服摩擦力所做的功为 B．运动员在B点的速度大小v满足的方程式是 C．运动员在坡路AB段重力势能的减少量等于动能的增加量 D．运动员从A运动至B的过程中机械能减少了 【答案】A 【解析】A．设坡路AB倾斜部分的倾角为，投影在水平方向上的长度为x，则坡路AB倾斜部分的长度 运动员在坡路AB段倾斜部分受到的摩擦力 则运动员在坡路AB段倾斜部分克服摩擦力所做的功 也即等同于在长度为x的水平面上克服摩擦力做的功，AB的水平长度为，故A正确； B．由A选项可知，AB段克服摩擦力所做的功为，从到的过程，根据动能定理 所以m，故B错误； C．运动员在坡路AB段运动时，重力势能的减少量等于动能的增加量与克服摩擦力做功之和，故C错误； D．运动员从运动至的过程中，机械能的减少量等于克服摩擦力做的功，即，故D错误。 故选A。 2．（2026·福建龙岩·三模）2026年春晚，质量为m的H2型号人形机器人身着武侠袍服，作为“剑宗大师”压轴登场进行舞剑表演。如图所示，在表演过程中舞台缓慢上升h，机器人始终与舞台保持相对静止。关于上述过程说法正确的是（　　） A．重力对机器人做正功 B．舞台对机器人不做功 C．机器人的动能增加mgh D．机器人的机械能增加mgh 【答案】D 【解析】A．重力方向竖直向下，机器人运动方向向上，根据可知重力对机器人做负功，故A错误； B．根据平衡条件可知舞台对机器人的作用力竖直向上，机器人运动方向向上，根据可知舞台对机器人做正功，故B错误； C．机器人在表演过程中舞台缓慢上升，速度不变，动能不变，故C错误； D．机器人在表演过程中舞台缓慢上升h，重力势能增加，动能不变，则机械能增加，故D正确。 故选D。 3．（2026·江苏扬州·期中）在研究重力势能的过程中，用到了如图所示的情景，小球从A位置到B位置过程，则（　　） A．小球下滑过程中重力势能增加 B．小球沿光滑曲面下滑比沿粗糙曲面下滑时重力做功少 C．无论沿什么路径从A到B，小球重力势能变化量都相等 D．小球从A到B过程，重力势能的变化与零参考平面的选取有关 【答案】C 【解析】A．小球从A到B高度降低，重力做正功，重力势能减小，故A错误； B．重力做功的特点是只和初末位置的高度差有关，与路径粗糙程度无关，A到B高度差不变，两种情况重力做功相等，故B错误； C．重力势能的变化量仅由初末位置的高度差决定，和运动路径无关，因此无论沿什么路径从A到B，重力势能变化量都相等，故C正确； D．重力势能的大小与零参考平面选取有关，但重力势能的变化量只和初末位置的高度差有关，与零参考平面的选取无关，故D错误。 故选C。 4．（2026·河北衡水·模拟预测）如图所示，圆弧形光滑轨道固定在竖直面内，圆弧轨道的最低点刚好与光滑水平面相切，质量为的小球以一定的速度沿水平面向右运动并进入圆弧轨道，小球在圆弧轨道上运动过程中不脱离轨道。不计小球的大小，重力加速度为，则小球经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆弧半径为，最低点速度为，轨道对小球支持力为，由向心力公式得 整理得 小球不脱离轨道分两种情况，情况1：小球上升高度不超过圆心高度，滑回水平面不脱离轨道。小球上升最大高度满足 由机械能守恒 代入的表达式得 情况2：小球能通过最高点，完成完整圆周运动不脱离轨道。不脱离轨道的临界条件：最高点重力提供向心力（为最高点速度） 从最低点到最高点机械能守恒得 联立得，因此，即此情况压力范围为 综上可得压力范围为或 故选B。 5．（2026·福建福州·二模）2026年央视春晚《武BOT》展示了人形机器人的武术才能。节目中，机器人借助弹射踏板斜向上弹出，不计空气阻力，在空中其重心的运动轨迹可视为抛物线如图所示。以所在平面为零势能面，机器人重心从A到运动过程中，下列关于机器人的重力势能、动能、重力瞬时功率P、水平方向位移x与竖直方向位移y之间变化关系，可能正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A．机器人做斜抛运动，不计空气阻力，水平方向匀速直线运动，竖直方向竖直上抛运动。以为零势能面，从到运动过程中。重力势能公式为： 在上升阶段，从增加到最高点的，线性增大；在下落阶段，从减小到，线性减小。但与始终是一次函数关系，图像应为过原点的“V形折线”，而选项A的图像起点在原点，顶点在中间，终点在横轴，看似符合，但需要注意：是竖直位移，在下落阶段是从大到小，而图中横坐标是从到最大值再回到，实际运动中先增后减，而图像的横坐标是单调增加的，因此A的图像无法对应下落阶段，A错误。 B．根据机械能守恒 上升阶段，增大，减小；到最高点时，竖直速度为0，动能不为0（还有水平速度）；下落阶段，减小，增大。因此不会减小到0，选项B的图像在中间点，与事实矛盾，B错误。 C．重力的瞬时功率公式为： 其中是竖直方向的速度。竖直方向上， 因此： 上升阶段，增大，减小，减小；到最高点时，；下落阶段，减小，反向增大，且同一高度功率相同，故C正确。 D．水平方向： 竖直方向： 消去得： 这是开口向左的抛物线，D错误。 故选C。 6．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）一半径为R的光滑半球面固定在水平桌面上，球面上放置一光滑匀质绳，A为球面的顶点，B端与C端恰与桌面不接触。匀质绳单位长度的质量为，重力加速度大小为g，求铁链A处的张力T的大小（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，考虑一半链条，设想存在作用力F作用在链条A端，将会使链条做出一个非常小，趋近于零的虚位移，而这个过程的作用效果可以等效于处于链条B端的一段长为的链条移到A端，因此，重力势能的增加即为F所做的功，因此 解得，而此作用力为铁链A处的张力T，则 故选A。 7．（2026高三下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，一条长度为2L、质量为m的匀质链条的一半放置在水平桌面上，另一半悬在桌面下方，链条末端到地面的距离也为L，不计一切摩擦阻力，重力加速度为g。现让链条由静止释放，在链条完全落地瞬间，链条对地面的压力为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从链条开始运动到完全脱离桌面的过程中，链条机械能守恒，重力势能减小量 由机械能守恒定律得 解得 此后链条最高点将以初速度、加速度向下匀加速运动，落地前速度满足 解得 设落地前极短时间内，落地链条的质量 其中为链条单位长度的质量，即 落地过程满足动量定理— 解得链条末端落地时对地面的冲击力 再加上链条自身重力，链条对地面的压力为 故选A。 8．（2026·北京东城·二模）如图甲所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，一质量为m的小球从与弹簧上端距离为h（h≠0）的O点处由静止释放，以O点为坐标原点，竖直向下为正方向建立Ox轴，小球所受弹力的大小F随小球位置坐标x的变化关系如图乙所示，其中时，。不计空气阻力，重力加速度为g。下列结论正确的是（　　） A．运动过程中，小球最低点坐标大于 B．弹簧弹性势能最大值为 C．当时，小球重力势能与弹簧弹性势能之和最小 D．小球压缩弹簧过程中重力的功率逐渐减小 【答案】A 【解析】A．若小球在（刚接触弹簧）处由静止释放，根据简谐运动对称性，最低点坐标为 但本题小球从点静止下落，到达时已经具有向下的速度，因此最低点位置更靠下，坐标大于，A正确； B．弹性势能最大对应最低点，初末动能为0，由动能定理得：弹性势能最大值 由A的结论，因此，远大于，B错误； C．系统总机械能守恒，总机械能=动能+重力势能+弹性势能，因此动能最大时，重力势能与弹性势能之和最小； 动能最大在平衡位置处，不是，C错误； D．重力功率，压缩弹簧过程中，小球速度先增大后减小，因此重力功率先增大后减小，不是逐渐减小，D错误。 故选A。 9．（多选）（2025·辽宁朝阳·阶段检测）如图甲所示，质量为m的滑块静止在倾角的粗糙斜面底端，现用平行于斜面向上的拉力F作用在滑块上，滑块沿斜面运动时撤去拉力F，此时滑块的机械能，滑块上滑过程中机械能E与上滑位移x之间的关系图像如图乙所示，滑块运动时达到最高点，取斜面底端重力势能为0，重力加速度g取，则下列说法正确的是（　　） A．滑块的质量为 B．滑块所受摩擦力的大小为10N C．拉力F的大小恒为40N D．拉力F撤去时滑块的动能为50J 【答案】BD 【解析】BC．由功能关系，滑块机械能的变化量等于除重力以外的力做功，拉力作用内有= 拉力撤去后内有 解得拉力，，故B正确，C错误； AD．拉力作用内，由动能定理有= 拉力撤去后内，由动能定理有 联立解得，，故A错误，D正确。 故选BD。 10．（多选）（2026·天津宝坻·三模）一根不可伸长的轻质细绳跨过轻质定滑轮，细绳的两端分别系有小球A和B。用手托住B球，当细绳刚好被拉紧时，B球离地面的高度为h，A球静止于地面，如图所示。已知B球的质量是A球的k倍（），忽略一切摩擦和空气阻力。B球从释放至刚好落地的过程中，下列判断正确的是（） A．A球和B球组成系统的动量守恒 B．细绳对A球拉力冲量的大小等于细绳对B球拉力冲量的大小 C．k越大，细绳拉力的大小越接近A球所受重力的大小 D．细绳对A球拉力做的功等于A球机械能的增加量 【答案】BD 【解析】A．对A、B组成的系统，所受合外力为 由于，即，合外力不为零，系统动量不守恒，故A错误； B．同一根轻绳拉力大小处处相等，作用时间相同，根据可知细绳对A球拉力冲量的大小等于细绳对B球拉力冲量的大小，故B正确； C．对系统应用牛顿第二定律有 对A球有 联立解得 当越大时，越接近2，即拉力越接近，而不是，故C错误； D．根据功能关系，除重力以外的力做的功等于机械能的变化量，对A球而言，只有重力和拉力做功，故细绳对A球拉力做的功等于A球机械能的增加量，故D正确； 故选BD。 11．（多选）（2026·山西运城·一模）运动员某次投篮时，篮球的运动过程简化图如图所示，已知篮球的质量为m，被投出时篮球的初速度为，距离篮筐的竖直距离为h，忽略篮球运动过程中的空气阻力，取篮筐所在的平面为零势能面，重力加速度大小为g，篮球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．篮球被抛出后在空中做匀变速曲线运动 B．篮球在被投出点的重力势能为 C．篮球刚进入篮筐时的动能为 D．篮球的运动轨迹可能是一段圆弧 【答案】AB 【解析】A．篮球运动过程中仅受重力作用，因此被抛出后在空中做匀变速曲线运动，故A正确； B．取篮筐所在的平面为零势能面，则篮球在被投出点的重力势能，故B正确； C．由机械能守恒可知，篮球刚进入篮筐时的动能，故C错误； D．篮球做斜抛运动，其运动轨迹是抛物线，故D错误。 故选AB。 12．（多选）（2026·广东深圳·期中）如图所示，A、B两物块通过跨过轻质定滑轮的不可伸长的轻质细绳相连，物块A穿在固定的光滑竖直杆上，物块B、C通过轻质弹簧相连，C静止在地面上。初始时，用手托住A，使连接A的细绳水平伸直，此时细绳恰好无拉力，B、C质量均为m，释放物块A，当A沿竖直杆滑至最低点时，连接A的细绳与水平方向夹角为53°，且C对地面恰好无压力，竖直杆与定滑轮的间距为d（忽略定滑轮的大小），重力加速度为g，，。下列说法正确的是（　　） A．A下滑的过程中，A、B组成的系统机械能守恒 B．弹簧的劲度系数为 C．A的质量满足 D．若将A的质量增加到原来的2倍，再次滑到图示位置时，A、B两物块的动能之和为 【答案】BD 【解析】A．A下滑过程中，弹簧的弹性势能会发生变化，弹簧弹力对B做功，因此A、B组成的系统机械能不守恒（只有A、B、弹簧构成的整体机械能才守恒），故A错误； B．初始状态：绳子无拉力，弹簧被压缩，对B受力平衡得 压缩量 末状态：C对地面恰好无压力，弹簧被拉长，对C受力平衡得 伸长量 B上升的总高度 由几何关系：右端绳子原长（滑轮到初始A位置）为，末态绳长为 右端绳子伸长量即B上升高度 联立得 解得，故B正确； C．A下滑到最低点时，A、B速度均为0，且初末状态弹簧形变量相同，弹性势能相等，系统机械能守恒。A下滑高度 A重力势能减少量等于B重力势能增加量 代入 得 解得，故C错误； D．A质量变为原来2倍，即，滑到图示位置时，弹簧弹性势能变化仍为0，由机械能守恒，A、B的动能之和等于重力势能的变化量 代入数据得，故D正确。 故选BD。 13．（多选）（2026·江西·模拟预测）如图，光滑圆形支架固定于竖直平面内，圆心为O，半径为R=0.5m，AB为圆的竖直直径，圆上穿一质量为m=1.25kg的小球，小球可沿圆自由滑动。原长为L0=0.6m、劲度系数为k=100N/m的轻弹簧一端固定在小球上，另一端固定在圆上A点，初始时小球锁定在圆上C点。已知∠CAB=60°，重力加速度g=10m/s2，弹簧的弹性势能为（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）。某一时刻解除锁定，小球沿圆轨道运动过程中弹簧始终在弹性限度内。以A点所在的水平面为重力势能的参考平面，下列说法正确的是（） A．小球的动能和弹簧的弹性势能之和一直增大 B．小球的动能和弹簧的弹性势能之和先增大后减小 C．小球的最大动能为3.325J D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和的最小值为-6J 【答案】BD 【解析】AB．由几何知识得AC=R，假设小球沿圆轨道运动过程中可以通过B点，小球在B点时动能为，小球从C到B过程中，根据机械能守恒定律有 解得 故小球可以通过B点，小球沿圆轨道运动过程中其重力势能先减小再增大，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，故小球的动能和弹簧的弹性势能之和先增大再减小，故A错误，B正确； C．当小球动能最大时其速度最大，则小球沿圆轨道运动的切向加速度为0，设弹簧与直径AB夹角为时小球速度最大，对小球受力分析如图 此时有 解得 =37° 小球从C点运动到最大速度的过程中，根据机械能守恒定律有 解得，故C错误； D．小球动能最大时其重力势能与弹簧的弹性势能之和最小，此时小球的重力势能为 弹簧的弹性势能为 则，故D正确。 故选BD。 14．（多选）（2026·河北·一模）如图所示，半径为R、内壁光滑的半球形容器固定在水平地面上，A、B是容器口的水平直径，O为球心，a、b两个小球用细直轻杆连接放在容器内，开始时a球在A点，b球在容器内最低点，由静止释放两球，当杆水平时，b球的速度刚好为零，不计球的大小，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．运动过程中，a、b两球的速度大小总是相等 B．a球向下运动过程中，受到的合力先做正功后做负功 C．a球向下运动过程中，机械能一直减小 D．a、b两球的质量之比为 【答案】ABC 【解析】A．由于a、b两球相同时间内转过的角度相等，则a、b两球的角速度总是相等，两球做圆周运动的半径相等，所以a、b两球的速度大小总是相等，故A正确； B．a球向下运动过程中，a球的速度先增大后减小，即动能先增大后减小，根据动能定理可知，a球受到的合力先做正功后做负功，故B正确； C．a、b两球组成的系统满足机械能守恒，a球向下运动过程中，在速度增大过程，由于b球的动能和重力势能都增大，所以b球的机械能增大，a球的机械能减小；在速度减小过程，a球的动能和重力势能都减小，所以a球的机械能减小；则a球的机械能一直减小，故C正确； D．由题意可知，当杆水平时，a、b两球的速度刚好为零；根据系统机械能守恒可知，a球的重力势能减少量等于b球的重力势能增加量，结合几何关系可得 可得a、b两球的质量之比为，故D错误。 故选ABC。 15．（2026·山东菏泽·二模）如图所示，半径为R的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一质量m=0.6kg的小球从A点以初速度冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g取10m/s2。求： (1)若R=0.5m，小球在最高点对圆环的压力； (2)仅调整R的大小，小球从最高点飞出，求A、C间的最大距离及对应的R值。 【答案】(1)13.2N，方向竖直向上 (2)1.8m，0.45m 【解析】（1）设小球到达B点时的速度为v，小球从A到B的运动过程中，由动能定理得 在B点，设轨道对小球弹力为，方向竖直向下，对小球由牛顿第二定律得 代入数据解得 由牛顿第三定律可知小球在最高点对轨道的压力N，方向竖直向上。 （2）设小球到达B点时的速度为v，小球从A到B的运动过程中，由动能定理得 小球从B点飞出做平抛运动，由平抛运动规律可知， 联立以上各式，整理得 当时，即时，x有最大值； 将代入解得： 综合提升练 1．（2024·重庆·高考真题）2024年5月3日，嫦娥六号探测器成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中（） A．减速阶段所受合外力为0 B．悬停阶段不受力 C．自由下落阶段机械能守恒 D．自由下落阶段加速度大小g=9.8m/s2 【答案】C 【解析】A．组合体在减速阶段有加速度，合外力不为零，故A错误； B．组合体在悬停阶段速度为零，处于平衡状态，合力为零，仍受重力和升力，故B错误； C．组合体在自由下落阶段只受重力，机械能守恒，故C正确； D．月球表面重力加速度不为9.8m/s2，故D错误。 故选C。 2．（2025·全国卷·高考真题）如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力加速度取10m/s2）（　　） A．4m B．5m C．6m D．7m 【答案】B 【解析】在理论上：当运动员在最高点速度为零时，重心提升高度最大，以地面为零势能面，根据机械能守恒定律有 可得其理论的最大高度 故选B。 3．如图，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动．质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端．现用外力作用在物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块（） A．最大速度相同 B．最大加速度相同 C．上升的最大高度不同 D．重力势能的变化量不同 【答案】C 【解析】撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上先做加速度减小的加速运动，当加速度等于零时，即mgsinθ=kx，物块速度最大，又两物块的质量不同，故速度最大的位置不同，最大速度也不同，故A错误；在离开弹簧前加速度先减小后增大，离开弹簧后不变，刚开始运动时，根据牛顿第二定律kx-mgsinθ=ma，弹力相同，质量不同，故加速度不同，离开弹簧后加速度相同，故B错误；初始时弹簧的压缩量相同，弹性势能相同，根据能量守恒：EP=mgh，由两物体的质量不同，故上升的最大高度不同，故C正确；重力势能的变化量等于弹性势能的减少量，故重力势能的变化量是相同的，故D错误． 故选C。 4．（2017·全国III卷·高考真题）如图所示，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中，绳的重力势能增加（　　） A．mgl B．mgl C．mgl D．mgl 【答案】A 【解析】由题意可知，PM段细绳的重力势能不变，MQ段细绳的重心升高了，则重力势能增加 故选A。 5．（2023·浙江·高考真题）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中（　　） A．弹性势能减小 B．重力势能减小 C．机械能保持不变 D．绳一绷紧动能就开始减小 【答案】B 【解析】游客从跳台下落，开始阶段橡皮绳未拉直，只受重力作用做匀加速运动，下落到一定高度时橡皮绳开始绷紧，游客受重力和向上的弹力作用，弹力从零逐渐增大，游客所受合力先向下减小后向上增大，速度先增大后减小，到最低点时速度减小到零，弹力达到最大值。 A．橡皮绳绷紧后弹性势能一直增大，A错误； B．游客高度一直降低，重力一直做正功，重力势能一直减小，B正确； C．下落阶段橡皮绳对游客做负功，游客机械能减少，转化为弹性势能，C错误； D．绳刚绷紧开始一段时间内，弹力小于重力，合力向下做正功，游客动能在增加；当弹力大于重力后，合力向上对游客做负功，游客动能逐渐减小，D错误。 故选B。 6．（2017·全国II卷·高考真题）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时。对应的轨道半径为（重力加速度大小为）：（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设半圆形轨道半径为，小物块质量为，到达轨道上端的速度为。轨道光滑，机械能守恒，有 整理得 小物块从上端水平飞出后做平抛运动，竖直方向下落高度为，在竖直方向，做自由落体运动，得 解得运动时间 水平落地点距离 代入和，得 x最大时，根号内的二次函数取最大值。对于开口向下的二次函数，最大值在顶点处，代入得 因此距离最大时对应轨道半径为。 故选B。 7．（多选）（2025·云南·高考真题）如图所示，倾角为的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数。过程I：Q以速度从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在OM（含O、M点）之间 【答案】CD 【解析】A．设的距离为，过程I，根据动能定理有 设的距离为，过程Ⅱ中，当Q速度最大时，根据平衡条件 P、M两点之间的距离 联立可得 故A错误； B．根据功能关系，可知过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中Q和弹簧组成的系统损失的机械能为 结合 可得 但在过程Ⅱ中单独对于Q而言机械能是增加的，故B错误； C．设过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移，根据能量守恒定律 结合 解得 故C正确； D．无论Q从何处释放，Q在斜面上运动过程中，弹簧与Q初始时的势能变为摩擦热，当在点时，满足 当在点时，满足 所以在OM（含O、M点）之间速度为零时，Q将静止，故D正确。 故选CD。 8．（多选）（2024·福建·高考真题）如图，某同学在水平地面上先后两次从点抛出沙包，分别落在正前方地面和处。沙包的两次运动轨迹处于同一竖直平面，且交于点，点正下方地面处设为点。已知两次运动轨迹的最高点离地高度均为，，，，沙包质量为，忽略空气阻力，重力加速度大小取，则沙包（　　） A．第一次运动过程中上升与下降时间之比 B．第一次经点时的机械能比第二次的小 C．第一次和第二次落地前瞬间的动能之比为 D．第一次抛出时速度方向与落地前瞬间速度方向的夹角比第二次的大 【答案】BD 【解析】A．沙包从抛出到最高点的运动可视为平抛运动的“逆运动”，则可得第一次抛出上升的高度为 上升时间为 最高点距水平地面高为，故下降的时间为 故一次抛出上升时间，下降时间比值为，故A错误； BC．两条轨迹最高点等高、沙包抛出的位置相同，故可知两次从抛出到落地的时间相等为 故可得第一次，第二次抛出时水平方向的分速度分别为 由于两条轨迹最高点等高，故抛出时竖直方向的分速度也相等，为 由于沙包在空中运动过程中只受重力，机械能守恒，故第一次过P点比第二次机械能少 从抛出到落地瞬间根据动能定理可得 则故落地瞬间，第一次，第二次动能之比为，故B正确，C错误； D．根据前面分析可知两次抛出时竖直方向的分速度相同，两次落地时物体在竖直方向的分速度也相同，由于第一次的水平分速度较小，物体在水平方向速度不变，如图所示，故可知第一次抛出时速度与水平方向的夹角较大，第一次落地时速度与水平方向的夹角也较大，故可知第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第二次大，故D正确。 故选BD。 9．（多选）（2022·广东·高考真题）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平段以恒定功率、速度匀速行驶，在斜坡段以恒定功率、速度匀速行驶。已知小车总质量为，，段的倾角为，重力加速度g取，不计空气阻力。下列说法正确的有（　　） A．从M到N，小车牵引力大小为 B．从M到N，小车克服摩擦力做功 C．从P到Q，小车重力势能增加 D．从P到Q，小车克服摩擦力做功 【答案】ABD 【解析】A．小车从M到N，依题意有 代入数据解得 故A正确； B．依题意，小车从M到N，因匀速，小车所受的摩擦力大小为 则摩擦力做功为 则小车克服摩擦力做功为800J，故B正确； C．依题意，从P到Q，重力势能增加量为 故C错误； D．依题意，小车从P到Q，摩擦力为f2，有 摩擦力做功为 联立解得 则小车克服摩擦力做功为700J，故D正确。 故选ABD。 10．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 【答案】(1)， (2)4m (3) 【解析】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， （2）小球做平抛运动时， 解得x=4m （3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲机械能守恒定律及其应用 目录 1 4 考点一 机械能守恒的判断 4 考点二 单物体的机械能守恒问题 6 考向1：一般物体的机械能守恒 7 考向2：链条、液柱类物体的机械能守恒 7 考点三 多物体的机械能守恒问题 8 考向1：轻绳连接系统的机械能守恒 9 考向2：轻杆连接系统的机械能守恒 10 考向3：含轻弹簧系统的机械能守恒 10 12 基础巩固练 12 综合提升练 18 核心考点 1.重力势能与弹性势能： 重力势能：Ep=mgh（h为相对于参考平面的高度），是标量、状态量，具有相对性（重力势能的大小与零势能面的选取有关）。 弹性势能：Ep=½kx²（x为弹簧的形变量），与弹簧的劲度系数k和形变量x有关。 2.机械能守恒定律： 内容：在只有重力或弹簧弹力做功的物体系统内，动能与势能相互转化，而总的机械能保持不变。 3.机械能守恒的判断方法： 做功判断法：分析物体或系统的受力，判断是否只有重力或弹簧弹力做功（如有其他外力，但其他外力不做功或做功的代数和为零，则机械能守恒）。 能量转化法：若系统中只有动能和势能（重力势能、弹性势能）相互转化，无机械能与其他形式能（如内能）的转化，则机械能守恒。 4.机械能守恒的应用场景： 单个物体：常见于自由落体、竖直上抛、光滑斜面或曲面上的运动、单摆运动等。 多物体系统：常见于含弹簧的系统（如小球与弹簧）、轻绳连接体、轻杆连接体、光滑的“滑块—圆弧槽”或“滑块—曲面”系统。 考情透析 1.题型与难度：以选择题和计算题为主，是高考力学板块的核心考点，难度中档→较高，常作为综合性压轴题的关键分析工具。 2.命题规律： 常与牛顿运动定律、动能定理、圆周运动（特别是过山车、管道模型）、弹簧系统等结合，考查多过程、多物体的复杂问题。 常以实际生活情景（如蹦极、过山车、滑雪）或经典模型（如弹簧振子、单摆）为背景命题，考查学生建模能力。 常与图像（如v-t、Ek-h、Ep-h等）结合，考查从图像中获取信息判断机械能是否守恒的能力。 3.考查方向：侧重机械能守恒条件的正确判断、机械能守恒定律各种表达式的灵活运用、含弹簧系统的能量转化分析、多物体系统（连接体）中机械能的分配与转化。 素养对接 1.能量观念：深刻理解“机械能守恒”是能量守恒定律在特定条件下的特例，建立功是能量转化的量度的观念，能从能量转化与守恒的视角分析问题。 2.科学推理：能基于功能关系（重力做功等于重力势能减少、弹力做功等于弹性势能减少）推导出机械能守恒定律，培养逻辑推理能力。 3.模型建构：将“蹦极”、“过山车”等实际情景抽象为“机械能守恒”的理想模型，忽略空气阻力、摩擦等次要因素，培养理想化建模能力。 4.整体与隔离思维：在处理多物体系统时，既能对单个物体应用动能定理或能量守恒，也能对整体应用机械能守恒，培养宏观与微观相结合的分析能力。 学习目标 1.知识目标： 能准确写出重力势能和弹性势能的表达式，理解其标量、状态量及相对性。 能准确写出机械能守恒定律的三种表达式（守恒式、转化式、转移式），并理解其物理意义。 能说出判断机械能是否守恒的两种常用方法（做功判断法、能量转化法）。 能说出“系统机械能守恒”的常见模型（如含弹簧系统、轻绳/轻杆连接体、滑块—曲面系统）。 2.能力目标： 守恒条件判断能力：能正确分析物体或系统受力，准确快速判断机械能是否守恒，避免盲用守恒定律。 表达式选用能力：能根据题目条件（已知初末状态或已知能量转化关系）选择最合适的表达式（守恒式或转化式）进行列式求解。 含弹簧系统的分析能力：能正确分析含弹簧系统中动能、重力势能、弹性势能的相互转化，并能找出弹簧形变量最大或最小等关键状态。 多物体（连接体）系统的分析能力：能分析连接体（绳、杆、接触面）系统中各物体的速度关系，从而正确表达系统总动能，并列出机械能守恒方程。 备考建议 1.重视“机械能守恒条件”的判断： 核心标准：系统内只有重力（或弹簧弹力）做功。特别注意： 物体沿粗糙斜面下滑：有摩擦力做功，不守恒。 物体在竖直面上做圆周运动（轻绳模型）：绳子拉力不做功，只有重力做功，守恒。 物体受外力作用时（如牵引力、恒定拉力），若外力做功，一般不守恒（除非外力做功为零）。 解题第一步：拿到题目，第一件事就是判断机械能是否守恒，而不是直接套公式。 2.灵活选用三种表达式： 守恒式：适合无需关心中间转化过程，直接比较初末状态总机械能的问题。 转化式：适合计算某部分能量的具体变化量（如动能增加了多少，势能减少了多少），或者系统内只有一种势能变化的问题。 转移式：专门用于多物体系统（如连接体），一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。 3.重视“含弹簧系统”的机械能守恒： 模型特征：系统由物体、弹簧和地球组成。只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒。 临界状态：弹簧形变量最大时，物体速度为零（动能全部转化为弹性势能）；弹簧恢复原长时，弹性势能为零。 4.突破“连接体”系统中的机械能守恒： 核心难点：找到两个物体速度之间的几何或约束关系（如沿绳方向速度相等、沿杆方向速度相等、角速度相等）。 解题步骤： ①判断系统（物体+绳子/杆+地球）机械能是否守恒（通常没有摩擦，绳子拉力/杆的弹力做功代数和为零）。 ②选取零势能面，写出初末状态系统的总机械能（注意两物体势能的正负）。 ③根据几何关系，建立两物体速度的关联方程。 ④联立机械能守恒方程和速度关联方程，求解。 5.强化易错点的针对性训练： 易错点一：对“系统”的机械能守恒理解不到位。单个物体的机械能守恒条件苛刻（只有重力/弹力做功）；而系统（如物体+弹簧）的机械能守恒条件相对宽松（系统内非重力/弹力的其他力做功代数和为零即可）。 易错点二：计算重力势能时，忘记设定统一的零势能面，导致势能数值错误或符号混乱。 易错点三：混淆“机械能守恒”与“动能定理”。当系统有化学能、内能等其他形式能参与转化时，必须用动能定理（或能量守恒定律），而不能用机械能守恒。 易错点四：在连接体问题中，误以为两个物体的速度大小相等（实际可能不等，需要速度分解关联）。 考点一 机械能守恒的判断 【必备知识回顾】 一、重力做功与重力势能 1．重力做功的特点 (1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。 (2)重力做功不引起物体机械能的变化。 2．重力做功与重力势能变化的关系 (1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大。 (2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。 (3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关。 3．弹性势能 (1)概念：物体由于发生弹性形变而具有的能。 (2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示为W＝－ΔEp。 二、机械能守恒定律及其应用 1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能。 2．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。 (2)表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv。 3．守恒条件：只有重力或系统内的弹力做功。 【重难模型精讲】 【典例1】（2025·浙江温州·单元测试）关于机械能守恒，以下说法正确的是（　　） A．物体做匀速运动，它的机械能一定守恒 B．物体所受合力的功为零，它的机械能一定守恒 C．物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒 D．物体所受的合力等于零，它的机械能一定守恒 【变式训练与拓展】 【变式1】（2026·河北张家口·阶段检测）如图所示，下列说法正确的是（所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量）（　　） A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空则机械能守恒，若加速升空则机械能不守恒 B．乙图中，物块在外力的作用下匀速上滑，物块的机械能守恒 C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒 D．丁图中，物块A加速下落、物块B加速上升的过程中，A、B系统机械能守恒 【变式2】（2025·广西·阶段检测）图为某高空翼装飞行爱好者在空中滑翔的情景，关于滑翔者在空中长距离滑翔的过程中，下列说法正确的是（　　） A．滑翔者机械能守恒 B．滑翔者动能的增加量大于合力做的功 C．滑翔者重力势能的减少量等于重力做的功 D．滑翔者重力势能的减少量等于动能的增加量 【变式3】（多选）（2026·湖北·期中）如图所示，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球，各球编号如图所示。斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r。现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后均做平抛运动，不计一切摩擦。则在各小球运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．球1的机械能守恒 B．球6在OA段机械能增大 C．球6的水平射程最大 D．有三个球落地点相同 【方法规律】 1．判断方法 (1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则其机械能守恒。 (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或系统内的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则其机械能守恒。 (3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。 2．三点提醒 (1)分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统。 (2)系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中的单个物体机械能通常不守恒。 (3)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目有特别说明，否则机械能必定不守恒。 考点二 单物体的机械能守恒问题 【必备知识回顾】 1．常用的三种表达式 (1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能。 (2)转化式：ΔEk＝-ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减。表示系统势能的减少量等于动能的增加量。 (3)转移式：ΔEA＝-ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减。表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能。 2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 (1)选对象：选取研究对象——物体。 (2)析受力、判守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 (3)析运动、明状态：恰当地选取参考平面，确定研究对象在所研究过程的初、末状态时的机械能。 (4)列方程、解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。 【重难模型精讲】 考向1：一般物体的机械能守恒 【典例2】（2025·江苏徐州·阶段检测）如图所示，质量为m的物体，以速度v离开高为H的桌子，当它落到距地面为h的A点时，在不计空气阻力的情况下，以地面为重力势能的零点，下列说法正确的是（　　） A．物体在A点具有的机械能是 B．物体在A点具有的机械能是 C．物体在A点具有的动能是 D．物体在A点具有的动能是 考向2：链条、液柱类物体的机械能守恒 【典例3】（2025·湖南常德·三模）如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为m，链条悬垂的长度为l，台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一质量也为m的小球（直径相对链条长度可忽略不计），如图乙所示，还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．甲图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 B．乙图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 C．甲图中链条下端在触地之前，链条的加速度大小不变 D．乙图中小球在下落过程中，链条对小球的拉力在不断增大 【变式训练与拓展】 【变式4】（多选）（2026·广东·模拟考试）在某次跳水训练中，质量为的运动员在高的跳台上站立，然后保持站立姿势竖直下落，脚接触水后在水中沿竖直方向继续运动，直至速度为0。已知运动员的脚在水中下落的深度为。忽略空气阻力，重力加速度取，取跳台为零势能参考平面，则运动员（　　） A．在全过程中，重力做功为 B．在脚刚好接触水时的机械能为0 C．在脚刚好接触水时的重力势能为 D．从脚接触水至速度为0，水的阻力做功为 【变式5】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径R＝m的光滑半球体上方。给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B滑至C处时其速度大小为3m/s。已知∠AOB＝60°，以OC所在平面为参考平面，取g＝10m/s2。则下列说法中正确的是（　　） A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒 B．铁链在初始位置时其重心高度m C．铁链的端点A滑至C点时其重心下降2.8m D．铁链的端点A滑至C处时速度大小为6m/s 【变式6】（2026·陕西榆林·期末）如图所示，长为l的匀质链条放在光滑水平桌面上，且有部分悬于桌面外，链条由静止开始释放，则它刚滑离桌面时的速度为（　　） A． B． C． D． 【方法规律】 非质点类物体的机械能守恒问题： 1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。 2．物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 考点三 多物体的机械能守恒问题 【必备知识回顾】 1．解决多物体系统机械能守恒问题的注意点 (1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。 2．几种实际情境的分析 (1)速率相等情境，如图所示。 注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。 (2)角速度相等情境，如图所示。 ①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ②由v＝ωr知，v与r成正比。 (3)某一方向分速度相等情境(关联速度情境)，如图所示。 两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。 (4)含轻弹簧的系统机械能守恒问题 ①弹簧发生形变时会具有弹性势能，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统的机械能守恒。 ②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹簧的弹性势能最大。 ③对同一弹簧，弹性势能的大小为Ep＝kx2，弹性势能由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。 ④物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。 【重难模型精讲】 考向1：轻绳连接系统的机械能守恒 【典例4】（多选）（2026高三·全国·专题练习）如图所示，倾角为30°、高为L的固定斜面底端与水平面平滑相连，质量分别为3m、m的两个小球A、B用一根长为L的轻绳连接，A球置于斜面顶端。现由静止释放A、B两球，B球与弧形挡板碰撞过程时间极短，无机械能损失，且碰后只能沿斜面下滑，两球最终均滑到水平面上。已知重力加速度为g，不计一切摩擦，则（　　） A．A球刚滑至水平面上时的速度大小为 B．B球刚滑至水平面上时的速度大小为 C．两小球在水平面上不可能相撞 D．在A球沿斜面下滑的过程中，轻绳对B球先做正功，后不做功 考向2：轻杆连接系统的机械能守恒 【典例5】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，一长为2L的轻杆中央有一光滑的小孔O，两端分别固定小球A和B，小球A和B质量分别为m和2m，光滑的铁钉穿过轻杆小孔垂直钉在竖直的墙壁上，将轻杆从水平位置由静止释放，转到竖直位置，在转动的过程中，忽略空气的阻力，下列说法正确的是（　　） A．在转动到竖直位置的过程中，A球机械能的增加小于B球机械能的减少 B．在转动到竖直位置的过程中，A、B两球组成系统的重力势能的减少等于系统动能的增加 C．在竖直位置两球的速度大小均为 D．由于忽略一切摩擦阻力，根据机械能守恒，杆一定能绕铁钉做完整的圆周运动 考向3：含轻弹簧系统的机械能守恒 【典例6】（2026高三·江苏·专题练习）如图所示，小球穿在固定光滑杆上，与两个相同的轻弹簧相连，弹簧可绕O1、O2无摩擦转动。小球在杆上A点时，弹簧1竖直且处于原长，弹簧2处于水平伸长状态，杆上的B点与O1、A、O2构成矩形，AB=2。现将小球从A点释放，则小球下滑的过程中（　　） A．到达A、B中点前，弹簧1的弹力比弹簧2的大 B．到达A、B中点时，加速度等于零 C．弹簧1的最大弹性势能比弹簧2的大 D．与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间长 【变式训练与拓展】 【变式7】（多选）（2026高三·全国·专题练习）长为L的轻杆可绕O在竖直平面内无摩擦转动，质量为M的小球A固定于杆端点，质量为m的小球B固定于杆中点，且M＝2m，重力加速度为g，不计空气阻力，开始杆处于水平，由静止释放，当杆转到竖直位置时（　　） A．球A瞬时速度是球B瞬时速度的2倍 B．球A在最低点速度为 C．O和B之间杆的拉力大于B和A之间杆的拉力 D．轻杆对球B做功mgL 【变式8】（多选）（2026·福建泉州·阶段检测）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体P和Q用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量、时刻将两物体由静止释放，物体Q的加速度大小为。T时刻轻绳突然断开，物体P能够达到的最高点恰与物体Q释放位置处于同一高度，取时刻物体P所在水平面为零势能面，此时物体Q的机械能为E。重力加速度大小为g，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．物体P和Q的质量之比为1：3 B．T时刻物体Q的机械能为 C．2T时刻物体P的速度大小 D．2T时刻物体P重力的功率为 【方法规律】 多物体系统机械能守恒问题的分析方法 (1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。 (2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。 (3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。 基础巩固练 1．（2025·辽宁·期中）“雪如意”是北京2022年冬奥会的跳台滑雪场地，其主体建筑设计灵感来自中国传统饰物“如意”。“雪如意”内的部分赛道可简化为高为H、对应水平投影长度为的坡路AB段和水平雪道BC段，如图所示。若某质量为m的运动员从雪道的顶端A点由静止开始加速下滑，到达底端B点后以不变的速率进入水平雪道减速运动，滑行距离后停止。已知坡路和水平雪道的动摩擦因数处处相同，重力加速度为g，忽略空气阻力。以下说法正确的是（　　） A．运动员在坡路AB段克服摩擦力所做的功为 B．运动员在B点的速度大小v满足的方程式是 C．运动员在坡路AB段重力势能的减少量等于动能的增加量 D．运动员从A运动至B的过程中机械能减少了 2．（2026·福建龙岩·三模）2026年春晚，质量为m的H2型号人形机器人身着武侠袍服，作为“剑宗大师”压轴登场进行舞剑表演。如图所示，在表演过程中舞台缓慢上升h，机器人始终与舞台保持相对静止。关于上述过程说法正确的是（　　） A．重力对机器人做正功 B．舞台对机器人不做功 C．机器人的动能增加mgh D．机器人的机械能增加mgh 3．（2026·江苏扬州·期中）在研究重力势能的过程中，用到了如图所示的情景，小球从A位置到B位置过程，则（　　） A．小球下滑过程中重力势能增加 B．小球沿光滑曲面下滑比沿粗糙曲面下滑时重力做功少 C．无论沿什么路径从A到B，小球重力势能变化量都相等 D．小球从A到B过程，重力势能的变化与零参考平面的选取有关 4．（2026·河北衡水·模拟预测）如图所示，圆弧形光滑轨道固定在竖直面内，圆弧轨道的最低点刚好与光滑水平面相切，质量为的小球以一定的速度沿水平面向右运动并进入圆弧轨道，小球在圆弧轨道上运动过程中不脱离轨道。不计小球的大小，重力加速度为，则小球经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小不可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·福建福州·二模）2026年央视春晚《武BOT》展示了人形机器人的武术才能。节目中，机器人借助弹射踏板斜向上弹出，不计空气阻力，在空中其重心的运动轨迹可视为抛物线如图所示。以所在平面为零势能面，机器人重心从A到运动过程中，下列关于机器人的重力势能、动能、重力瞬时功率P、水平方向位移x与竖直方向位移y之间变化关系，可能正确的是（） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）一半径为R的光滑半球面固定在水平桌面上，球面上放置一光滑匀质绳，A为球面的顶点，B端与C端恰与桌面不接触。匀质绳单位长度的质量为，重力加速度大小为g，求铁链A处的张力T的大小（） A． B． C． D． 7．（2026高三下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，一条长度为2L、质量为m的匀质链条的一半放置在水平桌面上，另一半悬在桌面下方，链条末端到地面的距离也为L，不计一切摩擦阻力，重力加速度为g。现让链条由静止释放，在链条完全落地瞬间，链条对地面的压力为（　　） A． B． C． D． 8．（2026·北京东城·二模）如图甲所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，一质量为m的小球从与弹簧上端距离为h（h≠0）的O点处由静止释放，以O点为坐标原点，竖直向下为正方向建立Ox轴，小球所受弹力的大小F随小球位置坐标x的变化关系如图乙所示，其中时，。不计空气阻力，重力加速度为g。下列结论正确的是（　　） A．运动过程中，小球最低点坐标大于 B．弹簧弹性势能最大值为 C．当时，小球重力势能与弹簧弹性势能之和最小 D．小球压缩弹簧过程中重力的功率逐渐减小 9．（多选）（2025·辽宁朝阳·阶段检测）如图甲所示，质量为m的滑块静止在倾角的粗糙斜面底端，现用平行于斜面向上的拉力F作用在滑块上，滑块沿斜面运动时撤去拉力F，此时滑块的机械能，滑块上滑过程中机械能E与上滑位移x之间的关系图像如图乙所示，滑块运动时达到最高点，取斜面底端重力势能为0，重力加速度g取，则下列说法正确的是（　　） A．滑块的质量为 B．滑块所受摩擦力的大小为10N C．拉力F的大小恒为40N D．拉力F撤去时滑块的动能为50J 10．（多选）（2026·天津宝坻·三模）一根不可伸长的轻质细绳跨过轻质定滑轮，细绳的两端分别系有小球A和B。用手托住B球，当细绳刚好被拉紧时，B球离地面的高度为h，A球静止于地面，如图所示。已知B球的质量是A球的k倍（），忽略一切摩擦和空气阻力。B球从释放至刚好落地的过程中，下列判断正确的是（） A．A球和B球组成系统的动量守恒 B．细绳对A球拉力冲量的大小等于细绳对B球拉力冲量的大小 C．k越大，细绳拉力的大小越接近A球所受重力的大小 D．细绳对A球拉力做的功等于A球机械能的增加量 11．（多选）（2026·山西运城·一模）运动员某次投篮时，篮球的运动过程简化图如图所示，已知篮球的质量为m，被投出时篮球的初速度为，距离篮筐的竖直距离为h，忽略篮球运动过程中的空气阻力，取篮筐所在的平面为零势能面，重力加速度大小为g，篮球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．篮球被抛出后在空中做匀变速曲线运动 B．篮球在被投出点的重力势能为 C．篮球刚进入篮筐时的动能为 D．篮球的运动轨迹可能是一段圆弧 12．（多选）（2026·广东深圳·期中）如图所示，A、B两物块通过跨过轻质定滑轮的不可伸长的轻质细绳相连，物块A穿在固定的光滑竖直杆上，物块B、C通过轻质弹簧相连，C静止在地面上。初始时，用手托住A，使连接A的细绳水平伸直，此时细绳恰好无拉力，B、C质量均为m，释放物块A，当A沿竖直杆滑至最低点时，连接A的细绳与水平方向夹角为53°，且C对地面恰好无压力，竖直杆与定滑轮的间距为d（忽略定滑轮的大小），重力加速度为g，，。下列说法正确的是（　　） A．A下滑的过程中，A、B组成的系统机械能守恒 B．弹簧的劲度系数为 C．A的质量满足 D．若将A的质量增加到原来的2倍，再次滑到图示位置时，A、B两物块的动能之和为 13．（多选）（2026·江西·模拟预测）如图，光滑圆形支架固定于竖直平面内，圆心为O，半径为R=0.5m，AB为圆的竖直直径，圆上穿一质量为m=1.25kg的小球，小球可沿圆自由滑动。原长为L0=0.6m、劲度系数为k=100N/m的轻弹簧一端固定在小球上，另一端固定在圆上A点，初始时小球锁定在圆上C点。已知∠CAB=60°，重力加速度g=10m/s2，弹簧的弹性势能为（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）。某一时刻解除锁定，小球沿圆轨道运动过程中弹簧始终在弹性限度内。以A点所在的水平面为重力势能的参考平面，下列说法正确的是（） A．小球的动能和弹簧的弹性势能之和一直增大 B．小球的动能和弹簧的弹性势能之和先增大后减小 C．小球的最大动能为3.325J D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和的最小值为-6J 14．（多选）（2026·河北·一模）如图所示，半径为R、内壁光滑的半球形容器固定在水平地面上，A、B是容器口的水平直径，O为球心，a、b两个小球用细直轻杆连接放在容器内，开始时a球在A点，b球在容器内最低点，由静止释放两球，当杆水平时，b球的速度刚好为零，不计球的大小，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．运动过程中，a、b两球的速度大小总是相等 B．a球向下运动过程中，受到的合力先做正功后做负功 C．a球向下运动过程中，机械能一直减小 D．a、b两球的质量之比为 15．（2026·山东菏泽·二模）如图所示，半径为R的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一质量m=0.6kg的小球从A点以初速度冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g取10m/s2。求： (1)若R=0.5m，小球在最高点对圆环的压力； (2)仅调整R的大小，小球从最高点飞出，求A、C间的最大距离及对应的R值。 综合提升练 1．（2024·重庆·高考真题）2024年5月3日，嫦娥六号探测器成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中（） A．减速阶段所受合外力为0 B．悬停阶段不受力 C．自由下落阶段机械能守恒 D．自由下落阶段加速度大小g=9.8m/s2 2．（2025·全国卷·高考真题）如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力加速度取10m/s2）（　　） A．4m B．5m C．6m D．7m 3．如图，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动．质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端．现用外力作用在物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块（） A．最大速度相同 B．最大加速度相同 C．上升的最大高度不同 D．重力势能的变化量不同 4．（2017·全国III卷·高考真题）如图所示，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中，绳的重力势能增加（　　） A．mgl B．mgl C．mgl D．mgl 5．（2023·浙江·高考真题）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中（　　） A．弹性势能减小 B．重力势能减小 C．机械能保持不变 D．绳一绷紧动能就开始减小 6．（2017·全国II卷·高考真题）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时。对应的轨道半径为（重力加速度大小为）：（　　） A． B． C． D． 7．（多选）（2025·云南·高考真题）如图所示，倾角为的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数。过程I：Q以速度从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在OM（含O、M点）之间 8．（多选）（2024·福建·高考真题）如图，某同学在水平地面上先后两次从点抛出沙包，分别落在正前方地面和处。沙包的两次运动轨迹处于同一竖直平面，且交于点，点正下方地面处设为点。已知两次运动轨迹的最高点离地高度均为，，，，沙包质量为，忽略空气阻力，重力加速度大小取，则沙包（　　） A．第一次运动过程中上升与下降时间之比 B．第一次经点时的机械能比第二次的小 C．第一次和第二次落地前瞬间的动能之比为 D．第一次抛出时速度方向与落地前瞬间速度方向的夹角比第二次的大 9．（多选）（2022·广东·高考真题）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平段以恒定功率、速度匀速行驶，在斜坡段以恒定功率、速度匀速行驶。已知小车总质量为，，段的倾角为，重力加速度g取，不计空气阻力。下列说法正确的有（　　） A．从M到N，小车牵引力大小为 B．从M到N，小车克服摩擦力做功 C．从P到Q，小车重力势能增加 D．从P到Q，小车克服摩擦力做功 10．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $