第13讲 抛体运动（平抛、斜抛）的规律及其应用（举一反三讲义）2027年高考物理一轮复习举一反三系列

该高中物理高考复习讲义围绕抛体运动专题，涵盖平抛运动基本规律及推论、斜面与曲面关联问题、临界极值分析、斜抛运动规律等核心考点，按考向分层梳理知识体系，通过考点精讲、方法规律总结、典例剖析及变式训练，帮助学生构建运动分解与合成的分析框架，突破平抛推论应用、斜面模型转化等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出科学思维与模型建构素养，创新设计斜面平抛“两类模型”专项突破，如通过对比“落在斜面”的位移关系与“垂直打在斜面”的速度关系，引导学生掌握几何条件转化方法。设置基础巩固与综合提升分层练习，结合高考真题情境训练，有效培养学生临界分析与逻辑推理能力，为教师把控复习节奏、提升学生应试效率提供有力支持。

第13讲抛体运动(平抛、斜抛)的规律及其应用 目录 1 3 考点一 平抛运动基本规律的应用 3 考向1：平抛运动基本规律 4 考向2：平抛运动的推论 5 考点二 与斜面和曲面相关的平抛运动问题 7 考向1：顺着斜面平抛 8 考向2：对着斜面平抛 9 考向3：曲面约束的平抛运动 9 考点三 平抛运动的临界极值问题 11 考点四 斜抛运动的理解和分析 13 考向1：斜抛运动的理解与运动规律的应用 13 考向2：逆向分析斜上抛运动 14 16 基础巩固练 16 综合提升练 21 核心考点 1.平抛运动的规律： 运动性质：水平方向匀速直线运动，竖直方向自由落体运动。 合速度与合位移的大小、方向的求解。 重要推论：速度偏转角θ正切是位移偏转角α正切的两倍（tanθ=2tanα）；平抛运动任意时刻速度反向延长线交于水平位移的中点。 2.斜抛运动的规律： 运动性质：水平方向匀速直线运动，竖直方向竖直上抛运动。 基本参数：飞行时间、水平射程、最大高度。 对称性：从抛出点到最高点与从最高点到落地点的时间、速度大小变化具有对称性。 3.典型模型与情境： 斜面关联的平抛：落在斜面上（位移与斜面共线）；垂直打在斜面上（速度方向垂直于斜面）。 临界极值问题：求小球能否越过围墙、最小落地速度等。 考情透析 1.题型与难度：以选择题和计算题为主，是高考力学必考内容，难度中档→较高。 2.命题规律： 常与斜面、曲面、圆弧轨道等情境结合，考查平抛与斜抛的运动分解与合成。近年与喷泉、滑雪、投篮、打水漂等生活实践情境结合紧密。 常与圆周运动、功能关系、动量守恒等综合考查，作为多过程问题的组成部分。 “临界与极值问题”是区分中档与高档题的关键，常出现在求“初速度范围”或“最小落地速度”等情境中。 3.考查方向：侧重运动分解与合成的基本规律应用、速度与位移偏向角（tanθ=2tanα）的灵活运用、斜面/曲面上的平抛模型分析、抛体运动的临界条件建立与求解。 素养对接 1.模型建构：将“平抛”或“斜抛”抽象为水平匀速与竖直匀变速的合运动，忽略空气阻力，建立理想模型。 2.运动分解与合成思想：将复杂的抛体运动分解为两个简单的直线运动（水平和竖直），体现化繁为简的核心科学思维。 3.科学推理：基于分运动的规律，综合推理合运动的位移、速度、时间、轨迹等物理量，培养逻辑推导能力。 4.临界与极值思维：通过分析“恰好越过”、“恰好落在”等临界条件，建立不等式或等式方程求解临界速度或范围，培养量化极限的思维。 学习目标 1.知识目标： 能写出平抛运动水平、竖直方向的运动学方程及合速度、合位移公式。 能写出速度偏转角θ与位移偏转角α的关系（tanθ=2tanα）及物理意义。 能写出斜抛运动的飞行时间、射程、最大高度的表达式。 能说出“落在斜面上”与“垂直打在斜面上”两种情境下的分析差异。 2.能力目标： 规范分析能力：能对抛体运动进行标准分解（水平、竖直），并分别列式，画出运动轨迹示意图。 模型识别能力：能快速识别“平抛”、“斜抛”、“斜面关联”、“临界”等模型类型，并选用对应的解题策略。 斜面情境分析能力：能根据“落在斜面上”和“垂直打在斜面上”两种情况，建立不同的几何方程。 临界问题求解能力：能根据“恰好通过”、“刚好落在”等文字描述建立不等式或等式，求解初速度的范围或最小值。 备考建议 1.狠抓平抛的基本规律 解题固定程序：看到抛体问题，立即分解为水平方向与竖直方向。 熟记“两倍”关系：tanθ=2tanα是解决平抛选择题和计算题的利器，务必理解并熟练证明与运用。 2.突破斜面关联的“两类”经典模型： 模型一：物体从斜面外抛出落在斜面上，关键找位移关系（y/x=tanθ）。 模型二：物体从斜面上抛出垂直落到斜面上，关键找速度关系（vy/vx=tanθ，其中θ为斜面倾角）。 3.斜抛运动：掌握“对称性”与公式推导： 斜抛运动的研究方法仍是分解——水平匀速、竖直上抛，重在掌握对称性（上升与下降时间对称，上升与下降速率对称）。 射程X与角度θ的关系：当θ=45°时射程最远，是常考的极值结论。 4.临界与极值问题：用“轨道”思想转化： 对“小球从屋顶水平飞出落在围墙外空地”这类问题，画出运动轨道示意图，将物理边界转化为数学临界方程（如最高点恰过墙头、最远点恰落空地边缘）。 常用方法：极限法（将未知量推向极限，分析边界状态）、函数法。 5.强化易错点与拓展训练： 易错点：误将位移偏角当成速度偏角；忘记平抛运动的速度反向延长线过水平位移中点；斜面情境中弄混“落在斜面上”和“垂直打在斜面上”的几何关系。 拓展训练：练习“平抛运动与圆周运动相结合”、“平抛运动与功能关系结合”、“利用频闪照片或轨迹求初速度”等综合题型，提升灵活应用能力。 考点一 平抛运动基本规律的应用 【必备知识回顾】 1．平抛运动 (1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。 (2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 (3)研究方法：运动的合成与分解 ①水平方向：匀速直线运动。 ②竖直方向：自由落体运动。 (4)基本规律 如图所示，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向建立平面直角坐标系。 水平方向：做　匀速直线　运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t　。 竖直方向：做　自由落体　运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2　。 2.合运动 （1）合速度：v＝，设方向与水平方向夹角为θ，则tanθ＝＝　。 （2）合位移：s＝，设方向与水平方向夹角为α，则tanα＝＝　。 3.轨迹方程：y=x2，平抛运动的轨迹是一条抛物线。 【重难模型精讲】 考向1：平抛运动基本规律 【典例1】（2026·河南周口·阶段检测）一物体从O点以速度水平抛出，经过空中的P、Q两点时，其速度方向与水平方向的夹角分别为和，不计空气阻力，，，下列说法正确的是（　　） A．从P点到Q点物体做变加速曲线运动 B．物体经过P、Q两点时的速度大小之比为 C．物体从O点到P点的位移与水平方向的夹角为 D．若物体在空中运动的时间足够长，物体的速度将变成竖直 考向2：平抛运动的推论 【典例2】（2026·广东湛江·期中）投壶是由古代礼仪演化而来，非常盛行的一种文雅游戏。如图，某次投壶游戏时，两箭分别从高度为、的、位置水平抛出，落地时水平位移分别为、。忽略空气阻力，两箭都可以看作质点，下列说法正确的是（　　） A．、两箭在空中运动的时间相同 B．、两箭在空中运动的位移相同 C．要想两箭落到同一点，箭的初速度要变为原来的倍 D．落地时箭速度偏向角正切值为箭速度偏向角正切值的4倍 【变式训练与拓展】 【变式1】（2026·河南南阳·阶段检测）如图所示，某同学在同一位置先后水平抛出一物体，物体第一次落在甲点，第二次落在乙点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．物体第一次运动的时间小于第二次运动的时间 B．物体第一次运动的加速度小于第二次运动的加速度 C．物体第一次被抛出时的速度小于第二次被抛出时的速度 D．物体落在甲点时速度方向与竖直方向的夹角大于落在乙点时速度方向与竖直方向的夹角 【变式2】（2026·江苏南通·阶段检测）如图所示，甲、乙两位选手先后在O点正上方A、B两点将相同飞镖水平抛出，飞镖击中竖直墙上的同一点P。若不计空气阻力，飞镖可视为质点，则甲、乙投掷的飞镖（　　） A．运动时间相等 B．击中P点时飞镖重力的功率相等 C．甲选手发射飞镖时做的功比乙选手少 D．击中点时速度的反向延长线交于一点 【变式3】（2025·山东济南·期中）2024年10月23日，国内首条口岸区域无人机配送航线在深圳开航，利用无人机进行快递配送的目的主要在于解决偏远地区的配送问题，提高配送效率。如图所示，无人机悬停在距水平地面3.2m高度处，某时刻以的加速度水平向右飞行，经过释放一包裹。已知重力加速度，不计空气阻力。求： (1)包裹落地时的速度大小； (2)包裹落地点与悬停点之间的水平距离。 【方法规律】 ⑴.飞行时间 由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 ⑵.水平射程 x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。 ⑶.落地速度 v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tanθ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关。 ⑷.速度和位移的变化规律 ①速度的变化规律相等时间ΔT内的速度变化量相等，即Δv＝Δvy＝gΔT，方向竖直向下。 ②位移的变化规律 相等时间ΔT内的水平位移相等，即Δx＝v0ΔT。 连续相等时间ΔT内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔT2。 ⑸.两个重要推论 ①平抛运动任意时刻的速度偏角θ与位移偏角α满足：tanθ＝2tanα（正切2倍）。 推导：→tanθ＝2tanα ②平抛运动任意时刻的速度反向延长线通过对应水平位移的中点（反延过中）。 推导：→xB＝ 考点二 与斜面和曲面相关的平抛运动问题 【必备知识回顾】 平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。 常见的模型 已知条件 情境示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上(如图所示)，末速度的方向垂直于斜面 分解速度tanθ＝＝， t＝ 从斜面外平抛，恰好从斜面顶点无碰撞切入斜面(如图所示)，末速度方向沿斜面方向 分解速度tanθ＝＝， t＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道(如图所示)，末速度方向沿该点圆弧的切线方向 已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上(如图所示)，位移的方向沿斜面向下 分解位移 tanθ＝＝＝， t＝ 从斜面外平抛，落在斜面上位移最小(如图所示)，位移方向垂直于斜面 分解位移 tanθ＝＝＝， t＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 【重难模型精讲】 考向1：顺着斜面平抛 【典例3】（2026·河南·三模）一同学经过多次训练，从点将小球以某一速度水平抛出，小球恰好落在倾角为的固定光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，如图所示。不计空气阻力，若该同学改变初速度的大小，要使小球仍然恰好落在斜面顶端并刚好沿斜面下滑，则抛出点距点的竖直高度与水平距离应满足的关系为（　　） A． B． C． D． 考向2：对着斜面平抛 【典例4】（2026·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，以的水平速度抛出的物体，飞行一段时间后，撞在倾角为的斜面上，速度方向与斜面成，可知物体撞击在斜面上的瞬时速度是多大（　　） A． B． C． D． 考向3：曲面约束的平抛运动 【典例5】（2026·河北邢台·二模）如图所示，半圆形凹槽半径为R，圆心为O，MN为水平直径。A点与O等高，B点在O点正下方，P点位于槽面上，P到O的水平距离为。现从A、B点分别以水平速度vA、vB抛出小球，恰好都垂直槽面击中P点，所用时间分别为tA、tB。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．A、B、P三点不共线 【变式训练与拓展】 【变式4】（2026·安徽亳州·模拟预测）2026年2月6日，意大利冬奥会在米兰圣西罗球场盛大开幕。跳台滑雪是冬奥会的重要竞技项目。如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出。该运动员两次试滑分别在斜坡上的M、N两点着陆。已知，斜坡与水平面的夹角为，不计空气阻力，运动员（含装备）可视为质点，则该运动员两次试滑（　　） A．着陆在M、N点时动量的方向不同 B．着陆在M、N点时动能之比为 C．着陆在M、N点两过程时间之比为 D．着陆在M、N点对应在O点的初速度之比为 【变式5】（2026·山东·期中）在一次无人机“空投”演习中，无人机携带的物资需投放到沿坡路行驶货车的车厢中。已知坡路的倾角，货车在坡路底端，无人机以的速度水平匀速飞行，当经过坡底正上方时自由释放所带物资，同时货车启动并沿坡面直线行驶当货车前进时，物资恰好落入车厢内。已知物资与货车始终处于同一竖直平面，重力加速度，不计空气阻力，则物资释放时离货车的高度是（　　） A．80m B．85m C．90m D．95m 【变式6】（多选）（2026高一下·海南海口·期中）如图所示，一半径为R的半球形坑，其中坑边缘两点与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别将M、N两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ=53°，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A． B． C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，无论小球抛出的速度大小如何，小球都不可能垂直于坑壁落入坑中 【方法规律】 解题关键 (1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。 (2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。 (3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。 考点三 平抛运动的临界极值问题 【必备知识回顾】 1．临界点的确定 (1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。 (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。 【重难模型精讲】 【典例6】（2026·甘肃平凉·阶段检测）在第19届杭州亚运会女子排球决赛中，中国女排以战胜日本女排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕冠军，如图所示为发球队员在底线中点距离地面高处将排球水平击出，已知排球场的长为，宽为，球网高为。为使排球能落在对方球场区域，则发球员将排球击出后，关于排球初速度的最小值和最大值的描述中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练与拓展】 【变式7】（2026高三上·河北保定·期末）在网球训练中，发球机从距地面1.3m高的位置水平发射一球，刚好能越过前方6.0m处竖直挡网，如图所示。已知挡网高约为0.9m，网球飞出后做平抛运动，取。球被击出时的水平初速度大小约为（　　） A．6m/s B．12m/s C．14m/s D．22m/s 【变式8】（2026高三·北京·二轮复习）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式9】（多选）（2026·广西南宁·期中）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈（可视为质点）刚被削离时距开水锅的高度为，与锅沿的水平距离为，锅的半径也为，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为。则下列关于所有小面圈在空中运动的描述，正确的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量不相同 C．若小面圈的初速度为，则 D．小面圈落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 【方法规律】 平抛运动临界、极值问题的分析方法 （1）确定研究对象的运动性质； （2）根据题意确定临界状态； （3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图； （4）应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。 考点四 斜抛运动的理解和分析 【必备知识回顾】 抛体运动 (1)定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 (2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 (3)研究方法：运动的合成与分解 ①水平方向：匀速直线运动。 ②竖直方向：匀变速直线运动。 (4)基本规律（以斜上抛运动为例，如图所示） 以斜上抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 初速度可以分解为v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ。在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cosθ)t vx＝v0x＝v0cosθ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sinθ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt 【重难模型精讲】 考向1：斜抛运动的理解与运动规律的应用 【典例7】（2026·安徽·期中）春晚舞台上，武BOT表演着各种武术动作。在表演某个动作时，武BOT以与水平方向成角的初速度从点斜向上弹射而出，经过点时速度方向与初速度方向恰好垂直。已知、之间的水平距离为，忽略空气阻力的影响，重力加速度为，，则下列说法正确的是（） A．从到的时间为 B．从到的时间为 C．从点抛出时的速度大小为 D．从点抛出时的速度大小为 考向2：逆向分析斜上抛运动 【典例8】（2026·甘肃武威·期中）两同学完成一娱乐性比赛，比赛时由同一点O各斜抛出一小球，要求小球刚好不与天花板发生碰撞，且落地点距离抛出点远者获胜，如图所示，乙球最终胜出。已知两小球的质量相等，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．在相等时间内，甲球速度变化量大于乙球速度变化量 B．乙球在空中运动的时间较长 C．两球在天花板处的速度相等 D．落地瞬间乙球的速度较大 【变式训练与拓展】 【变式10】（2026·山东烟台·二模）在烟台莱阳一智慧物流园区内，无人机悬停在距离目标点D的竖直高度、水平距离处。为精准投递，无人机通过内部弹射装置将一可视为质点的包裹以初速度斜向上抛出，的方向与水平方向夹角为，其在空中飞行后落于目标点。已知重力加速度，，忽略空气阻力，则包裹抛出时初速度的大小为（　　） A．3m/s B．4m/s C．6m/s D．9m/s 【变式11】（2026·云南红河·期中）“跳一跳”小游戏需要玩家控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边完全相同的平台上。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，棋子运动的最高点离平台的高度为，水平速度为。若棋子可视为质点，空气阻力不计，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．棋子跳起和下落两个过程速度的变化量大小相等、方向相反 B．棋子从最高点落到平台上所需要的时间为 C．棋子在空中运动过程中的最小速度的大小为 D．棋子起跳点与落点间的水平距离为 【变式12】（多选）（2026·福建泉州·期中）某篮球运动员在练习投篮时，两次球出手的位置和速度方向保持不变，第一次击中篮板时速度方向为水平，第二次击中篮板的位置与抛出点处于O同一高度，如图所示。关于两次投篮的初速度之比、运动总时间之比、篮球上升的最大高度之比，正确的是（　　） A． B． C． D． 【方法规律】 1．斜上抛运动的飞行时间、射高、射程 (1)在最高点时：vy＝0，t＝。 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，飞行时间t总＝。 (2)射高：Hm＝。 (3)射程：xm＝。 当θ＝45°时，射程xm最大，即初速度v0大小一定时，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。 2．逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动物体从抛出点到最高点的运动过程，可以逆向看成平抛运动；分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解有关问题。 基础巩固练 1.(2026·江苏省·期末考试)如图所示，水平抛出一个小球，若不计空气阻力，小球落地前关于小球在相等时间内的运动，下列说法正确的是() A.位移相同 B.竖直方向分运动的位移相同 C.速度的变化量相同 D.速度的变化量越来越大 2.(2026·广西壮族自治区·期中考试)在同一点水平抛出两个物体，它们做平抛运动的轨迹如图所示，则两个物体做平抛运动的初速度、的关系和做平抛运动的时间、的关系分别是() A.， B.， C.， D.， 3.(2026·陕西省西安市·月考试卷)如图所示，、两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间在空中相遇若两球的抛出速度都变为原来的倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为() A. B. C. D. 4.(2026·云南省·期中考试)“套圈圈”是许多人喜爱的一种游戏，如图所示，小孩和大人在同一竖直线上的不同高度先后水平抛出小圆环，且小圆环都恰好套中同一个物体。若小圆环的运动视为平抛运动，则() A.小孩抛出的圆环运动时间较短 B.大人抛出的圆环运动时间较短 C.小孩抛出的圆环初速度较小 D.两人抛出的圆环初速度大小相等 5.(2026·四川省内江市·模拟题)机器人表演扭秧歌时，将左、右手中的手绢同时抛出互换，如图所示。两手绢在空中的运动轨迹分别为轨迹和轨迹，若忽略空气阻力，则() A.沿轨迹运动的手绢加速度更大 B.沿轨迹运动的手绢在空中运动时间更长 C.沿轨迹运动的手绢到最高点时速度更大 D.沿轨迹运动的手绢到最高点时速度更大 6.(2026·江苏省无锡市·月考试卷)如图所示，同时从点斜向上抛出物体、，分别落于、两位置，两条轨迹交于点且最高点等高，不计空气阻力物体() A.在空中运动的时间更长 B.经过点时的速度更大 C.落地时的速度方向与水平方向的夹角更大 D.与物体之间的距离先增大后减小再增大 7.(2026·湖北省荆州市·其他类型)如图所示，、两个小球分别以大小相等的水平初速度从不同高度处被相向抛出并且恰好能够同时落地，它们的运动轨迹的交点为，不计空气阻力，则下列说法正确的是() A.、两个小球被同时抛出 B.球的水平位移大小大于球的水平位移大小 C.、两球在点相遇 D.球在空中运动时惯性发生了改变 8.(2026·湖北省孝感市·其他类型)冬奥会中跳台滑雪项目是勇敢者的运动，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑区上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。图甲所示是运动员在空中飞行的姿态，图乙是滑道的简略示意图，飞行着陆区斜面倾角为，运动员每次都从助滑区的同一点开始下滑，从飞出点水平飞出时的速度大小为，各功能区的高度和坡度都是定值，运动员可视为质点和忽略各种阻力，重力加速度为，以下说法正确的是() A.由于运动员质量不同，因此在助滑区飞出点的速度大小不同 B.由于运动员质量不同，因此落在飞行着陆区时的速度方向不同 C.运动员水平飞出后到落回斜面的时间是 D.运动员水平飞出后离斜面最远距离为 9.(2026·广东省·月考试卷)如图所示，运动员将网球在边界处正上方点正对球网水平向右击出，恰好过中间网的上边沿落在点已知，网高，，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是() A.网球的初速度大小为 B.网球在中间网左、右两侧的水平距离之比为 C.若网球的初速度变为原来的两倍，网球还可以落在对方界内 D.若击球高度低于仍大于，应减小击球速度，才能让球落在对方界内 10.(2026·陕西省西安市·期末考试)如图所示，排球运动员在己方底线正上方高为处，垂直球网将排球以速度水平击出。排球恰好经球网上沿落在对方场地底线处。若保持击球方向不变，要使发出的球既不触网又不出底线，以下方法中可行的是() A.提升高度且增大速度 B.提升高度且减小速度 C.降低高度且增大速度 D.降低高度且减小速度 11.（多选）(2026·广东省·月考试卷)同一水平线上相距为的两位置沿相同方向水平抛出两小球甲和乙，两球在空中相遇，运动轨迹如图所示。不计空气阻力，下列说法正确的是 A.甲球要先抛出才能相遇 B.乙球要先抛出才能相遇 C.甲、乙两球要同时抛出才能相遇 D.两球相遇时，甲球的速度大小更大 12.（多选）(2026·内蒙古自治区·期中考试)利用足球发球机可以极大的提高守门员的训练效率，为了测试足球发球机的性能，某次试验时发球机向球门网架发射足球，当发球机向网架水平移动，发球口先后在点与点发射的两个相同的足球、，刚好沿水平方向打在横梁上同一点，已知在点、点的发射速度与水平方向所成的角度分别为、。不考虑足球在空中受到的阻力，下列说法正确的是() A.、两球的初速度之比为 B.、两球在点的速度之比为 C.、两球的水平位移之比为 D.、两球在、两点重力的瞬时功率之比为： 13.（多选）(2026·安徽省·联考题)如图所示，小球甲从点水平抛出的同时小球乙从点自由释放，两小球先后经过点时的速度大小相等，方向间的夹角为，已知高，不计空气的阻力。由以上条件可知() A.甲小球做平抛运动的初速度大小为 B.甲、乙两小球到达点所用的时间之比为 C.A、两点的高度差为 D.A、两点的水平距离为 14.（多选）(2026·福建省·期中考试)、两球从如图所示位置分别以和水平抛出图中虚线为竖直线，两球落在斜面上同一个位置，已知球在空中运动位移最短，球垂直打在斜面上，、两球在空中运动时间分别为和，忽略空气阻力，则下列说法正确的是() A. B. C. D. 15.（多选）(2026·安徽省芜湖市·月考试卷)如图，从半径为的半圆上的点水平抛出一个可视为质点的小球，经小球落到半圆上，则小球的初速度可能为() A. B. C. D. 16.（多选）(2026·河南省开封市·入学测验)如图所示，一节车厢长、宽、高，它以速度匀速行驶。一可视为质点的小球以垂直于的水平速度从车厢的右上角处的一个洞进入车厢，恰好撞击对角。重力加速度取，不计空气阻力，则() A. B. C. D. 17.(2026·广东省广州市·期中考试)打板投篮是一种很直接、命中率很高的投篮方式，因此是一种很常见的篮球技术动作训练。如图所示，一篮球以水平初速度碰撞竖直篮板后水平弹回，速率变为原来的倍为一定值，弹回后篮球的中心恰好经过篮框的中心。已知篮球的半径为，篮框半径为，篮框中心距篮板的距离为，碰撞点与篮框中心的高度差为，不考虑篮球转动和空气阻力，重力加速度为。问： 值为多少？ 碰撞点不变时，为保证篮球不与篮框碰撞的情况下进篮，碰撞篮板前瞬间速度的最大值为多少？ 18.(2026·四川省·联考题)如图所示，某同学将小球从竖直立柱的上端处以大小为的速度斜向上抛出，经到达最高点，最终垂直落在倾角的斜面上点。取重力加速度，忽略空气阻力。求： 小球在点的速度大小 、之间的水平距离。 综合提升练 1．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 2．（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃·高考真题）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 6．（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 7．（多选）（2024·江西·高考真题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为，末速度v沿x轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间t的关系，下列图像可能正确的是（） A． B． C． D． 8．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲抛体运动(平抛、斜抛)的规律及其应用 目录 1 3 考点一平抛运动基本规律的应用 3 考向1：平抛运动基本规律 4 考向2：平抛运动的推论 5 考点二与斜面和曲面相关的平抛运动问题 9 考向1：顺着斜面平抛 10 考向2：对着斜面平抛 11 考向3：曲面约束的平抛运动 12 考点三平抛运动的临界极值问题 16 考点四斜抛运动的理解和分析 19 考向1：斜抛运动的理解与运动规律的应用 20 考向2：逆向分析斜上抛运动 20 23 基础巩固练 23 综合提升练 33 核心考点 1.平抛运动的规律： 运动性质：水平方向匀速直线运动，竖直方向自由落体运动。 合速度与合位移的大小、方向的求解。 重要推论：速度偏转角θ正切是位移偏转角α正切的两倍（tanθ=2tanα）；平抛运动任意时刻速度反向延长线交于水平位移的中点。 2.斜抛运动的规律： 运动性质：水平方向匀速直线运动，竖直方向竖直上抛运动。 基本参数：飞行时间、水平射程、最大高度。 对称性：从抛出点到最高点与从最高点到落地点的时间、速度大小变化具有对称性。 3.典型模型与情境： 斜面关联的平抛：落在斜面上（位移与斜面共线）；垂直打在斜面上（速度方向垂直于斜面）。 临界极值问题：求小球能否越过围墙、最小落地速度等。 考情透析 1.题型与难度：以选择题和计算题为主，是高考力学必考内容，难度中档→较高。 2.命题规律： 常与斜面、曲面、圆弧轨道等情境结合，考查平抛与斜抛的运动分解与合成。近年与喷泉、滑雪、投篮、打水漂等生活实践情境结合紧密。 常与圆周运动、功能关系、动量守恒等综合考查，作为多过程问题的组成部分。 “临界与极值问题”是区分中档与高档题的关键，常出现在求“初速度范围”或“最小落地速度”等情境中。 3.考查方向：侧重运动分解与合成的基本规律应用、速度与位移偏向角（tanθ=2tanα）的灵活运用、斜面/曲面上的平抛模型分析、抛体运动的临界条件建立与求解。 素养对接 1.模型建构：将“平抛”或“斜抛”抽象为水平匀速与竖直匀变速的合运动，忽略空气阻力，建立理想模型。 2.运动分解与合成思想：将复杂的抛体运动分解为两个简单的直线运动（水平和竖直），体现化繁为简的核心科学思维。 3.科学推理：基于分运动的规律，综合推理合运动的位移、速度、时间、轨迹等物理量，培养逻辑推导能力。 4.临界与极值思维：通过分析“恰好越过”、“恰好落在”等临界条件，建立不等式或等式方程求解临界速度或范围，培养量化极限的思维。 学习目标 1.知识目标： 能写出平抛运动水平、竖直方向的运动学方程及合速度、合位移公式。 能写出速度偏转角θ与位移偏转角α的关系（tanθ=2tanα）及物理意义。 能写出斜抛运动的飞行时间、射程、最大高度的表达式。 能说出“落在斜面上”与“垂直打在斜面上”两种情境下的分析差异。 2.能力目标： 规范分析能力：能对抛体运动进行标准分解（水平、竖直），并分别列式，画出运动轨迹示意图。 模型识别能力：能快速识别“平抛”、“斜抛”、“斜面关联”、“临界”等模型类型，并选用对应的解题策略。 斜面情境分析能力：能根据“落在斜面上”和“垂直打在斜面上”两种情况，建立不同的几何方程。 临界问题求解能力：能根据“恰好通过”、“刚好落在”等文字描述建立不等式或等式，求解初速度的范围或最小值。 备考建议 1.狠抓平抛的基本规律 解题固定程序：看到抛体问题，立即分解为水平方向与竖直方向。 熟记“两倍”关系：tanθ=2tanα是解决平抛选择题和计算题的利器，务必理解并熟练证明与运用。 2.突破斜面关联的“两类”经典模型： 模型一：物体从斜面外抛出落在斜面上，关键找位移关系（y/x=tanθ）。 模型二：物体从斜面上抛出垂直落到斜面上，关键找速度关系（vy/vx=tanθ，其中θ为斜面倾角）。 3.斜抛运动：掌握“对称性”与公式推导： 斜抛运动的研究方法仍是分解——水平匀速、竖直上抛，重在掌握对称性（上升与下降时间对称，上升与下降速率对称）。 射程X与角度θ的关系：当θ=45°时射程最远，是常考的极值结论。 4.临界与极值问题：用“轨道”思想转化： 对“小球从屋顶水平飞出落在围墙外空地”这类问题，画出运动轨道示意图，将物理边界转化为数学临界方程（如最高点恰过墙头、最远点恰落空地边缘）。 常用方法：极限法（将未知量推向极限，分析边界状态）、函数法。 5.强化易错点与拓展训练： 易错点：误将位移偏角当成速度偏角；忘记平抛运动的速度反向延长线过水平位移中点；斜面情境中弄混“落在斜面上”和“垂直打在斜面上”的几何关系。 拓展训练：练习“平抛运动与圆周运动相结合”、“平抛运动与功能关系结合”、“利用频闪照片或轨迹求初速度”等综合题型，提升灵活应用能力。 考点一 平抛运动基本规律的应用 【必备知识回顾】 1．平抛运动 (1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。 (2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 (3)研究方法：运动的合成与分解 ①水平方向：匀速直线运动。 ②竖直方向：自由落体运动。 (4)基本规律 如图所示，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向建立平面直角坐标系。 水平方向：做　匀速直线　运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t　。 竖直方向：做　自由落体　运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2　。 2.合运动 （1）合速度：v＝，设方向与水平方向夹角为θ，则tanθ＝＝　。 （2）合位移：s＝，设方向与水平方向夹角为α，则tanα＝＝　。 3.轨迹方程：y=x2，平抛运动的轨迹是一条抛物线。 【重难模型精讲】 考向1：平抛运动基本规律 【典例1】（2026·河南周口·阶段检测）一物体从O点以速度水平抛出，经过空中的P、Q两点时，其速度方向与水平方向的夹角分别为和，不计空气阻力，，，下列说法正确的是（　　） A．从P点到Q点物体做变加速曲线运动 B．物体经过P、Q两点时的速度大小之比为 C．物体从O点到P点的位移与水平方向的夹角为 D．若物体在空中运动的时间足够长，物体的速度将变成竖直 【答案】B 【解析】A．物体运动过程中，只受重力，加速度大小和方向均不变（），做匀变速曲线运动，故A错误； B．平抛运动水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，将P、Q两点的速度沿水平、竖直方向分解，根据几何关系得， 联立得，故B正确； C．设从O点到P点的位移与水平方向的夹角为，由平抛位移夹角与速度夹角关系得 解得 在内，值越大，对应角度越大，可判断出，故C错误； D．因物体水平方向速度不变，无论运动时间多长，速度方向都不可能变成竖直方向，故D错误。 故选B。 考向2：平抛运动的推论 【典例2】（2026·广东湛江·期中）投壶是由古代礼仪演化而来，非常盛行的一种文雅游戏。如图，某次投壶游戏时，两箭分别从高度为、的、位置水平抛出，落地时水平位移分别为、。忽略空气阻力，两箭都可以看作质点，下列说法正确的是（　　） A．、两箭在空中运动的时间相同 B．、两箭在空中运动的位移相同 C．要想两箭落到同一点，箭的初速度要变为原来的倍 D．落地时箭速度偏向角正切值为箭速度偏向角正切值的4倍 【答案】D 【解析】A．由于平抛运动竖直方向做的是自由落体运动，则由可知，质点下落的时间为 由于，则有，故A错误； B．箭在空中运动的位移大小为 同理箭在空中运动的位移大小为 位移是矢量，、两箭在空中运动的位移大小相等但方向不同，所以位移不同，故B错误； C．由于、两箭在空中运动的时间不变，所以要想使两箭落到同一点，则箭落地时的水平位移要变为原来的2倍，故由可知，箭的初速度要变为原来的2倍，故C错误； D．设、两箭落地时速度偏向角分别为和，因落地时速度的反向延长线过水平位移的中点，则有， 所以有 即落地时箭速度偏向角的正切值为箭速度偏向角正切值的4倍，故D正确。 故选D。 【变式训练与拓展】 【变式1】（2026·河南南阳·阶段检测）如图所示，某同学在同一位置先后水平抛出一物体，物体第一次落在甲点，第二次落在乙点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．物体第一次运动的时间小于第二次运动的时间 B．物体第一次运动的加速度小于第二次运动的加速度 C．物体第一次被抛出时的速度小于第二次被抛出时的速度 D．物体落在甲点时速度方向与竖直方向的夹角大于落在乙点时速度方向与竖直方向的夹角 【答案】C 【解析】A．物体做平抛运动，根据可得 竖直位移越大，时间越长，可知物体第一次运动的时间大于第二次运动的时间，故A错误； B．物体第一次运动和第二次运动的加速度相同，均为重力加速度，故B错误； C．根据可知被抛出时的速度 物体第一次被抛出时的水平位移较小，时间长，可知被抛出时的速度较小，故C正确； D．设物体落在甲点时速度方向与竖直方向的夹角为，落在乙点时速度方向与竖直方向的夹角为，有， 根据 物体第一次被抛出时的竖直位移大，可知物体第一次被抛出落在甲点时的速度竖直分量较大，又水平速度较小，可知，可知物体落在甲点时速度方向与竖直方向的夹角小于落在乙点时速度方向与竖直方向的夹角，故D错误。 故选C。 【变式2】（2026·江苏南通·阶段检测）如图所示，甲、乙两位选手先后在O点正上方A、B两点将相同飞镖水平抛出，飞镖击中竖直墙上的同一点P。若不计空气阻力，飞镖可视为质点，则甲、乙投掷的飞镖（　　） A．运动时间相等 B．击中P点时飞镖重力的功率相等 C．甲选手发射飞镖时做的功比乙选手少 D．击中点时速度的反向延长线交于一点 【答案】C 【解析】A．甲、乙投掷的飞镖在空中做平抛运动，竖直方向有 由于甲投掷的飞镖下落高度较大，所以运动时间较长，故A错误； B．根据 由于甲投掷的飞镖运动时间较长，所以击中P点时，甲投掷的飞镖的重力功率较大，故B错误； C．水平方向有 两飞镖的水平位移相等，甲投掷的飞镖运动时间较长，所以甲投掷的飞镖的初速度较小，根据动能定理可知，甲选手发射飞镖时做的功比乙选手少，故C正确； D．击中P点时，甲飞镖竖直速度大，水平速度小，甲飞镖的速度与竖直方向的夹角更小，所以甲、乙投掷的飞镖击中P点时速度的反向延长线不交于一点，故D错误。 故选C。 【变式3】（2025·山东济南·期中）2024年10月23日，国内首条口岸区域无人机配送航线在深圳开航，利用无人机进行快递配送的目的主要在于解决偏远地区的配送问题，提高配送效率。如图所示，无人机悬停在距水平地面3.2m高度处，某时刻以的加速度水平向右飞行，经过释放一包裹。已知重力加速度，不计空气阻力。求： (1)包裹落地时的速度大小； (2)包裹落地点与悬停点之间的水平距离。 【答案】(1)10m/s (2)13.8m 【解析】（1）包裹释放时的速度为 落地时，竖直方向的速度满足 落地的速度为 解得 （2）水平加速度位移为 根据平抛运动规律有， 解得 【方法规律】 ⑴.飞行时间 由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 ⑵.水平射程 x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。 ⑶.落地速度 v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tanθ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关。 ⑷.速度和位移的变化规律 ①速度的变化规律相等时间ΔT内的速度变化量相等，即Δv＝Δvy＝gΔT，方向竖直向下。 ②位移的变化规律 相等时间ΔT内的水平位移相等，即Δx＝v0ΔT。 连续相等时间ΔT内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔT2。 ⑸.两个重要推论 ①平抛运动任意时刻的速度偏角θ与位移偏角α满足：tanθ＝2tanα（正切2倍）。 推导：→tanθ＝2tanα ②平抛运动任意时刻的速度反向延长线通过对应水平位移的中点（反延过中）。 推导：→xB＝ 考点二 与斜面和曲面相关的平抛运动问题 【必备知识回顾】 平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。 常见的模型 已知条件 情境示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上(如图所示)，末速度的方向垂直于斜面 分解速度tanθ＝＝， t＝ 从斜面外平抛，恰好从斜面顶点无碰撞切入斜面(如图所示)，末速度方向沿斜面方向 分解速度tanθ＝＝， t＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道(如图所示)，末速度方向沿该点圆弧的切线方向 已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上(如图所示)，位移的方向沿斜面向下 分解位移 tanθ＝＝＝， t＝ 从斜面外平抛，落在斜面上位移最小(如图所示)，位移方向垂直于斜面 分解位移 tanθ＝＝＝， t＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 【重难模型精讲】 考向1：顺着斜面平抛 【典例3】（2026·河南·三模）一同学经过多次训练，从点将小球以某一速度水平抛出，小球恰好落在倾角为的固定光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，如图所示。不计空气阻力，若该同学改变初速度的大小，要使小球仍然恰好落在斜面顶端并刚好沿斜面下滑，则抛出点距点的竖直高度与水平距离应满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设小球在点水平方向速度和竖直方向速度大小分别为、，如图所示 设小球从点到点时间为，由平抛运动水平方向做匀速直线运动和竖直方向做自由落体运动可得 小球仍然恰好落在斜面顶端并刚好沿斜面下滑，则满足 综合解得 故选A。 考向2：对着斜面平抛 【典例4】（2026·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，以的水平速度抛出的物体，飞行一段时间后，撞在倾角为的斜面上，速度方向与斜面成，可知物体撞击在斜面上的瞬时速度是多大（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示 由几何关系可知，可得物体撞击斜面时的速度大小为 故选D。 考向3：曲面约束的平抛运动 【典例5】（2026·河北邢台·二模）如图所示，半圆形凹槽半径为R，圆心为O，MN为水平直径。A点与O等高，B点在O点正下方，P点位于槽面上，P到O的水平距离为。现从A、B点分别以水平速度vA、vB抛出小球，恰好都垂直槽面击中P点，所用时间分别为tA、tB。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．A、B、P三点不共线 【答案】C 【解析】AC．由于两小球均垂直槽面击中P点，所以速度的反向延长线必过水平位移中点，即经过圆心O，如图所示 根据几何关系可得 解得 根据平抛运动的规律可得，，， 联立解得，，故A错误，C正确； B．由于， 所以，故B错误； D．根据平抛运动的推论可知，由于两小球的速度偏转角相等，即速度方向与水平方向的夹角相等，所以位移与水平方向的夹角相等，则A、B、P三点共线，故D错误。 故选C。 【变式训练与拓展】 【变式4】（2026·安徽亳州·模拟预测）2026年2月6日，意大利冬奥会在米兰圣西罗球场盛大开幕。跳台滑雪是冬奥会的重要竞技项目。如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出。该运动员两次试滑分别在斜坡上的M、N两点着陆。已知，斜坡与水平面的夹角为，不计空气阻力，运动员（含装备）可视为质点，则该运动员两次试滑（　　） A．着陆在M、N点时动量的方向不同 B．着陆在M、N点时动能之比为 C．着陆在M、N点两过程时间之比为 D．着陆在M、N点对应在O点的初速度之比为 【答案】B 【解析】平抛运动中，水平位移 竖直位移 由此得运动时间，即 初速度，即 A．动量方向即速度方向。平抛落在斜面上时 速度偏角满足（为位移偏角，恒定不变），因此速度方向恒定，动量方向相同，A错误； C．由， 可得，C错误； D．由，得初速度之比，D错误； B．动能 代入、，化简可得 因此，B正确。 故选B。 【变式5】（2026·山东·期中）在一次无人机“空投”演习中，无人机携带的物资需投放到沿坡路行驶货车的车厢中。已知坡路的倾角，货车在坡路底端，无人机以的速度水平匀速飞行，当经过坡底正上方时自由释放所带物资，同时货车启动并沿坡面直线行驶当货车前进时，物资恰好落入车厢内。已知物资与货车始终处于同一竖直平面，重力加速度，不计空气阻力，则物资释放时离货车的高度是（　　） A．80m B．85m C．90m D．95m 【答案】D 【解析】设物资经时间t恰落入车厢，水平方向有 解得 则物资释放时离货车的高度为 故选D。 【变式6】（多选）（2026高一下·海南海口·期中）如图所示，一半径为R的半球形坑，其中坑边缘两点与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别将M、N两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ=53°，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A． B． C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，无论小球抛出的速度大小如何，小球都不可能垂直于坑壁落入坑中 【答案】AD 【解析】A．对小球M，有， 联立解得，故A正确； B．对小球N，有， 联立解得，故B错误； C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，则运动时间相同均为 水平方向，有 所以两球抛出的速率之和为 由此可知，两球抛出的速率之和随着落点的竖直高度的变化而变化，故C错误； D．根据平抛运动的推论，速度的反向延长线交水平位移的中点，假设小球垂直落在半球形坑中，速度反向延长线过球心O并不是水平位移的中点，两者矛盾，所以假设错误，不可能使小球垂直坑壁落在圆弧轨道内，故D正确。 故选AD。 【方法规律】 解题关键 (1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。 (2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。 (3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。 考点三 平抛运动的临界极值问题 【必备知识回顾】 1．临界点的确定 (1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。 (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。 【重难模型精讲】 【典例6】（2026·甘肃平凉·阶段检测）在第19届杭州亚运会女子排球决赛中，中国女排以战胜日本女排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕冠军，如图所示为发球队员在底线中点距离地面高处将排球水平击出，已知排球场的长为，宽为，球网高为。为使排球能落在对方球场区域，则发球员将排球击出后，关于排球初速度的最小值和最大值的描述中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】AB．排球被击出后近似做平抛运动，当抛出速度最小时可认为排球刚好经过球网的中点，即水平方向上有 竖直方向上 联立可解得，故AB错误； CD．当抛出速度最大时可认为排球击中底线的最边缘，即水平方向有 竖直方向上 可解得，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练与拓展】 【变式7】（2026高三上·河北保定·期末）在网球训练中，发球机从距地面1.3m高的位置水平发射一球，刚好能越过前方6.0m处竖直挡网，如图所示。已知挡网高约为0.9m，网球飞出后做平抛运动，取。球被击出时的水平初速度大小约为（　　） A．6m/s B．12m/s C．14m/s D．22m/s 【答案】D 【解析】由平抛运动规律可知，网球水平方向做匀速直线运动 网球竖直方向做自由落体运动 解得 故选D。 【变式8】（2026高三·北京·二轮复习）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】初速度最小时，水平位移最小即沿中线方向水平发射恰好过球网 竖直方向自由落体运动此时从发球点到球网，下降高度为 水平方向匀速直线运动 可得最小初速度 初速度最大时，水平位移最大即斜向对方台面的两个角发射 水平方向匀速运动 竖直方向 解得 符合条件的速度范围 所以平抛的初速度 故选D。 【变式9】（多选）（2026·广西南宁·期中）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈（可视为质点）刚被削离时距开水锅的高度为，与锅沿的水平距离为，锅的半径也为，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为。则下列关于所有小面圈在空中运动的描述，正确的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量不相同 C．若小面圈的初速度为，则 D．小面圈落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 【答案】AC 【解析】A．小面圈竖直方向有 解得 由于每个小面圈平抛运动的高度h相同，则所有小面圈在空中运动的时间t都相同，故A正确； B．因为所有小面圈在空中运动的时间t都相同，根据可知，速度的变化量相同，故B错误； C．小面圈水平方向有 联立解得 因为 联立解得，故C正确； D．落入锅中时，最大水平速度、最小水平速度分别为， 小面圈落入锅中时合速度大小为 可知最大速度不是最小速度的3倍，故D错误。 故选AC。 【方法规律】 平抛运动临界、极值问题的分析方法 （1）确定研究对象的运动性质； （2）根据题意确定临界状态； （3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图； （4）应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。 考点四 斜抛运动的理解和分析 【必备知识回顾】 抛体运动 (1)定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 (2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 (3)研究方法：运动的合成与分解 ①水平方向：匀速直线运动。 ②竖直方向：匀变速直线运动。 (4)基本规律（以斜上抛运动为例，如图所示） 以斜上抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 初速度可以分解为v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ。在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cosθ)t vx＝v0x＝v0cosθ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sinθ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt 【重难模型精讲】 考向1：斜抛运动的理解与运动规律的应用 【典例7】（2026·安徽·期中）春晚舞台上，武BOT表演着各种武术动作。在表演某个动作时，武BOT以与水平方向成角的初速度从点斜向上弹射而出，经过点时速度方向与初速度方向恰好垂直。已知、之间的水平距离为，忽略空气阻力的影响，重力加速度为，，则下列说法正确的是（） A．从到的时间为 B．从到的时间为 C．从点抛出时的速度大小为 D．从点抛出时的速度大小为 【答案】A 【解析】从A到B水平方向 竖直方向 其中 解得， 故选A。 考向2：逆向分析斜上抛运动 【典例8】（2026·甘肃武威·期中）两同学完成一娱乐性比赛，比赛时由同一点O各斜抛出一小球，要求小球刚好不与天花板发生碰撞，且落地点距离抛出点远者获胜，如图所示，乙球最终胜出。已知两小球的质量相等，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．在相等时间内，甲球速度变化量大于乙球速度变化量 B．乙球在空中运动的时间较长 C．两球在天花板处的速度相等 D．落地瞬间乙球的速度较大 【答案】D 【解析】A．斜抛运动加速度恒为重力加速度，相等时间内速度变化量，因此两球相等时间内速度变化量相等，故A错误； B．两球刚好不碰天花板，因此最大上升高度相同，由竖直上抛规律，得两球竖直方向初速度大小相等； 总运动时间，由于相等，因此两球在空中运动总时间相等，故B错误； C．最高点竖直速度为0，速度等于水平分速度。由，乙落地点更远，总时间相等，得乙的水平分速度更大，因此天花板处乙的速度更大，故C错误； D．落地瞬间，竖直分速度大小等于抛出时的，水平分速度，合速度，因此落地瞬间乙球的速度更大，故D正确。 故选D。 【变式训练与拓展】 【变式10】（2026·山东烟台·二模）在烟台莱阳一智慧物流园区内，无人机悬停在距离目标点D的竖直高度、水平距离处。为精准投递，无人机通过内部弹射装置将一可视为质点的包裹以初速度斜向上抛出，的方向与水平方向夹角为，其在空中飞行后落于目标点。已知重力加速度，，忽略空气阻力，则包裹抛出时初速度的大小为（　　） A．3m/s B．4m/s C．6m/s D．9m/s 【答案】A 【解析】包裹抛出后做斜抛运动，设运动时间为，在水平方向上有 在竖直方向上有 代入数据联立解得 故选A。 【变式11】（2026·云南红河·期中）“跳一跳”小游戏需要玩家控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边完全相同的平台上。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，棋子运动的最高点离平台的高度为，水平速度为。若棋子可视为质点，空气阻力不计，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．棋子跳起和下落两个过程速度的变化量大小相等、方向相反 B．棋子从最高点落到平台上所需要的时间为 C．棋子在空中运动过程中的最小速度的大小为 D．棋子起跳点与落点间的水平距离为 【答案】C 【解析】A.根据竖直上抛运动的对称性，棋子跳起和下落过程所用时间相同，且这两个过程所受合力都为重力，所以这两个过程速度的变化量大小相等，方向相同，都是竖直向下，故A错误； B.由可知，从最高点落到平台所需的时间为，故B错误； C.当棋子上升到最高点时，竖直方向速度为零，水平方向速度为，此时棋子的速度最小为，故C正确； D.棋子水平方向做匀速直线运动，所以有，故D错误。 故选C。 【变式12】（多选）（2026·福建泉州·期中）某篮球运动员在练习投篮时，两次球出手的位置和速度方向保持不变，第一次击中篮板时速度方向为水平，第二次击中篮板的位置与抛出点处于O同一高度，如图所示。关于两次投篮的初速度之比、运动总时间之比、篮球上升的最大高度之比，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设抛出点到篮板的水平距离为x，第一次击中篮板时速度方向水平，则有，， 第二次击中篮板的位置与抛出点处于O同一高度，根据对称性，有，， 所以，， 故选AD。 【方法规律】 1．斜上抛运动的飞行时间、射高、射程 (1)在最高点时：vy＝0，t＝。 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，飞行时间t总＝。 (2)射高：Hm＝。 (3)射程：xm＝。 当θ＝45°时，射程xm最大，即初速度v0大小一定时，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。 2．逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动物体从抛出点到最高点的运动过程，可以逆向看成平抛运动；分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解有关问题。 基础巩固练 1.(2026·江苏省·期末考试)如图所示，水平抛出一个小球，若不计空气阻力，小球落地前关于小球在相等时间内的运动，下列说法正确的是() A.位移相同 B.竖直方向分运动的位移相同 C.速度的变化量相同 D.速度的变化量越来越大 【答案】C 【解析】小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动匀加速直线运动，根据运动学规律可知在两任意相等时间内，小球水平方向分运动的位移一定相等，竖直方向分运动的位移一定不等，所以合位移不可能相等，故AB错误； 平抛运动属于匀变速曲线运动，根据可知小球落地前在任意相等时间内速度的变化量相同，故C正确，D错误。 故选C。 2.(2026·广西壮族自治区·期中考试)在同一点水平抛出两个物体，它们做平抛运动的轨迹如图所示，则两个物体做平抛运动的初速度、的关系和做平抛运动的时间、的关系分别是() A.， B.， C.， D.， 【答案】D 【解析】根据，知下降的高度大，则的运动时间长，即，根据，知，则。 故选D。 3.(2026·陕西省西安市·月考试卷)如图所示，、两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间在空中相遇若两球的抛出速度都变为原来的倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】把平抛运动分解成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，根据运动的独立性和等时性可知，平抛运动的时间和水平方向上运动的时间相同。 、两小球从相同高度同时水平抛出，两者竖直方向位移相等，运动时间相等， 则，， 若两球的抛出速度都变为原来的倍，两球从抛出到相遇时两者的水平位移不变，所以，即两球从抛出到相遇经过的时间为，故选C。 4.(2026·云南省·期中考试)“套圈圈”是许多人喜爱的一种游戏，如图所示，小孩和大人在同一竖直线上的不同高度先后水平抛出小圆环，且小圆环都恰好套中同一个物体。若小圆环的运动视为平抛运动，则() A.小孩抛出的圆环运动时间较短 B.大人抛出的圆环运动时间较短 C.小孩抛出的圆环初速度较小 D.两人抛出的圆环初速度大小相等 【答案】A 【解析】解：平抛运动的物体飞行时间由高度决定，依题意，有 可知小孩抛出的圆环运动时间较短。故A正确，B错误； 水平位移相等，根据 则大人抛环的速度小。故CD错误。 故选：。 5.(2026·四川省内江市·模拟题)机器人表演扭秧歌时，将左、右手中的手绢同时抛出互换，如图所示。两手绢在空中的运动轨迹分别为轨迹和轨迹，若忽略空气阻力，则() A.沿轨迹运动的手绢加速度更大 B.沿轨迹运动的手绢在空中运动时间更长 C.沿轨迹运动的手绢到最高点时速度更大 D.沿轨迹运动的手绢到最高点时速度更大 【答案】D 【解析】A.忽略空气阻力，手绢只受重力作用，做抛体运动，沿轨迹和运动的加速度相等均为重力加速度，故A错误； B.手绢在空中为斜上抛运动，手绢从手中到最高点逆向思维与最高点到手中为对称的平抛运动，设手绢在空中运动时间为，由，可知沿轨迹运动的手绢更大，所以其在空中运动时间更长，故B错误； 设手绢在空中运动时间为，水平方向做匀速直线运动，由，由图可知相同，沿轨迹运动的手绢在空中运动时间更短，所以沿轨迹运动的手绢到最高点时的速度更大，故C错误，D正确。 故选D。 6.(2026·江苏省无锡市·月考试卷)如图所示，同时从点斜向上抛出物体、，分别落于、两位置，两条轨迹交于点且最高点等高，不计空气阻力物体() A.在空中运动的时间更长 B.经过点时的速度更大 C.落地时的速度方向与水平方向的夹角更大 D.与物体之间的距离先增大后减小再增大 【答案】B 【解析】A.斜抛运动可以看成两侧的平抛运动，两轨迹最高点等高，竖直分位移相同，故两轨迹空中运动时间相同，A错误； B.物体水平分位移大，水平分速度大，两物体在点竖直分速度大小相同，故物体经过点时的速度更大，B正确； C.落地时两物体竖直分速度相同，物体水平分速度大，物体落地时的速度方向与水平方向的夹角更小，C错误； D.两物体竖直分位移相同，物体水平分速度大，水平分位移之差逐渐变大，所以两物体之间距离一直增大，D错误。 7.(2026·湖北省荆州市·其他类型)如图所示，、两个小球分别以大小相等的水平初速度从不同高度处被相向抛出并且恰好能够同时落地，它们的运动轨迹的交点为，不计空气阻力，则下列说法正确的是() A.、两个小球被同时抛出 B.球的水平位移大小大于球的水平位移大小 C.、两球在点相遇 D.球在空中运动时惯性发生了改变 【答案】B 【解析】根据可知，的运动时间长，故球先被抛出，选项A错误 、球的水平初速度相等，而球在空中运动的时间更长，则球的水平位移大小大于球的水平位移大小，选项B正确 由于、两球从不同高度被水平抛出，下落到点时两球竖直速度不同，且两球又同时落地，所以不能在点相遇，选项C错误 球在空中运动时惯性不变，选项D错误。 8.(2026·湖北省孝感市·其他类型)冬奥会中跳台滑雪项目是勇敢者的运动，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑区上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。图甲所示是运动员在空中飞行的姿态，图乙是滑道的简略示意图，飞行着陆区斜面倾角为，运动员每次都从助滑区的同一点开始下滑，从飞出点水平飞出时的速度大小为，各功能区的高度和坡度都是定值，运动员可视为质点和忽略各种阻力，重力加速度为，以下说法正确的是() A.由于运动员质量不同，因此在助滑区飞出点的速度大小不同 B.由于运动员质量不同，因此落在飞行着陆区时的速度方向不同 C.运动员水平飞出后到落回斜面的时间是 D.运动员水平飞出后离斜面最远距离为 【答案】D 【解析】A.设运动员的质量为，在飞出点的速度为，根据动能定理得，解得，可见在助滑区飞出点的速度与运动员的质量无关，故A错误 B.根据平抛运动的规律，设水平分速度与速度的夹角为，则有，是定值，因此落在飞行着陆区时的速度方向是相同的，故B错误 C.运动员做平抛运动，可得运动员水平飞出后到落回斜面的时间是，故C错误 D.运动员水平飞出后，将速度和重力加速度沿斜面和垂直于斜面进行分解，当沿垂直斜面的分速度减为时，离斜面最远距离为，故D正确。 故选D。 9.(2026·广东省·月考试卷)如图所示，运动员将网球在边界处正上方点正对球网水平向右击出，恰好过中间网的上边沿落在点已知，网高，，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是() A.网球的初速度大小为 B.网球在中间网左、右两侧的水平距离之比为 C.若网球的初速度变为原来的两倍，网球还可以落在对方界内 D.若击球高度低于仍大于，应减小击球速度，才能让球落在对方界内 【答案】B 【解析】网球做平抛运动，竖直方向有和，水平方向有和，联立解得，，则网球在中间网左、右两侧的水平距离之比，A错误、B正确 若网球的初速度变为原来的两倍，则网球落地时的水平位移，网球出界，C错误 若击球高度低于，则网球运动到与网等高位置的时间变短，若再减小击球速度，网球会落在网前，D错误． 故选B。 10.(2026·陕西省西安市·期末考试)如图所示，排球运动员在己方底线正上方高为处，垂直球网将排球以速度水平击出。排球恰好经球网上沿落在对方场地底线处。若保持击球方向不变，要使发出的球既不触网又不出底线，以下方法中可行的是() A.提升高度且增大速度 B.提升高度且减小速度 C.降低高度且增大速度 D.降低高度且减小速度 【答案】B 【解析】提升高度，则根据，运动时间变大，若增大速度，根据，可知排球出底线，减小时，可以使发出的球既不触网又不出底线，故A错误，B正确； 降低高度，运动时间变小，减小速度时，不能过网，降低高度且增大速度，对网的左侧可知，运动时间变小，在网右侧运动时间变大，根据，可知，网球一定出底线，故CD错误。 故选B。 11.（多选）(2026·广东省·月考试卷)同一水平线上相距为的两位置沿相同方向水平抛出两小球甲和乙，两球在空中相遇，运动轨迹如图所示。不计空气阻力，下列说法正确的是 A.甲球要先抛出才能相遇 B.乙球要先抛出才能相遇 C.甲、乙两球要同时抛出才能相遇 D.两球相遇时，甲球的速度大小更大 【答案】CD 【解析】由于相遇时甲、乙做平抛运动的竖直位移相同，由可以判断两球下落时间相同，即应同时抛出两球才能相遇，故AB错误，C正确； D.由于同时抛出，水平方向上，甲球追上乙球，可知抛出时甲球的初速度更大，相遇时竖直方向速度相同，因此两球相遇时甲球速度大小更大，故D正确。 12.（多选）(2026·内蒙古自治区·期中考试)利用足球发球机可以极大的提高守门员的训练效率，为了测试足球发球机的性能，某次试验时发球机向球门网架发射足球，当发球机向网架水平移动，发球口先后在点与点发射的两个相同的足球、，刚好沿水平方向打在横梁上同一点，已知在点、点的发射速度与水平方向所成的角度分别为、。不考虑足球在空中受到的阻力，下列说法正确的是() A.、两球的初速度之比为 B.、两球在点的速度之比为 C.、两球的水平位移之比为 D.、两球在、两点重力的瞬时功率之比为： 【答案】BD 【解析】发球口先后在点与点发射的两个相同的足球、，刚好沿水平方向打在横梁上同一点，可由逆向思维法看成从点做平抛运动， 因竖直位移相同，则由，，可知运动到点和点的时间相同，竖直速度相同， 则由， 解得： 故A错误； B.、两球在点的速度即为平抛的水平速度，有， 可得：，故B正确； C.、两球的水平位移为： 可得：，故C错误； D.、两球在、两点重力的瞬时功率为：，因竖直速度相同，则功率之比为，故D正确。 故选：。 13.（多选）(2026·安徽省·联考题)如图所示，小球甲从点水平抛出的同时小球乙从点自由释放，两小球先后经过点时的速度大小相等，方向间的夹角为，已知高，不计空气的阻力。由以上条件可知() A.甲小球做平抛运动的初速度大小为 B.甲、乙两小球到达点所用的时间之比为 C.A、两点的高度差为 D.A、两点的水平距离为 【答案】AD 【解析】A、乙球到达点的速度大小，则甲球到达点的速度大小 根据平行四边形定则知，甲球平抛运动的初速度，故A正确； B、对甲有：，对乙球有：，则，，则甲、乙小球到达点所用时间之比为：，故B错误； C、、两点的高度差，则、的高度差，故C错误； D、、的水平距离，故D正确。 故选：。 14.（多选）(2026·福建省·期中考试)、两球从如图所示位置分别以和水平抛出图中虚线为竖直线，两球落在斜面上同一个位置，已知球在空中运动位移最短，球垂直打在斜面上，、两球在空中运动时间分别为和，忽略空气阻力，则下列说法正确的是() A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】球在空中运动位移最短，则有 球垂直打在斜面上，则有 又 联立可得， 故选BD。 15.（多选）(2026·安徽省芜湖市·月考试卷)如图，从半径为的半圆上的点水平抛出一个可视为质点的小球，经小球落到半圆上，则小球的初速度可能为() A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】小球下降的高度，若小球落在左边四分之一圆弧上，根据几何关系有，解得水平位移，则初速度，若小球落在右边四分之一圆弧上，根据几何关系有，解得，则水平位移，初速度。 故应选A、。 16.（多选）(2026·河南省开封市·入学测验)如图所示，一节车厢长、宽、高，它以速度匀速行驶。一可视为质点的小球以垂直于的水平速度从车厢的右上角处的一个洞进入车厢，恰好撞击对角。重力加速度取，不计空气阻力，则() A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】设小球在时间内到达地板，竖直方向上有，解得，由于保持不变，它在内移动了的水平距离，所以，车厢必须在内向前移动，所以，故BC正确。 故选BC。 17.(2026·广东省广州市·期中考试)打板投篮是一种很直接、命中率很高的投篮方式，因此是一种很常见的篮球技术动作训练。如图所示，一篮球以水平初速度碰撞竖直篮板后水平弹回，速率变为原来的倍为一定值，弹回后篮球的中心恰好经过篮框的中心。已知篮球的半径为，篮框半径为，篮框中心距篮板的距离为，碰撞点与篮框中心的高度差为，不考虑篮球转动和空气阻力，重力加速度为。问： 值为多少？ 碰撞点不变时，为保证篮球不与篮框碰撞的情况下进篮，碰撞篮板前瞬间速度的最大值为多少？ 【答案】弹回后篮球做平抛运动，在水平方向 在竖直方向 联立以上两式解得 当篮球边缘恰好经过篮球框内部左边缘时，入射速度最大且为，则反弹过程中，做平抛运动，在水平方向 在竖直方向 联立解得 18.(2026·四川省·联考题)如图所示，某同学将小球从竖直立柱的上端处以大小为的速度斜向上抛出，经到达最高点，最终垂直落在倾角的斜面上点。取重力加速度，忽略空气阻力。求： 小球在点的速度大小 、之间的水平距离。 【答案】把过程，看成从最高点向左平抛，竖直方向有 解得 小球在点的速度大小为 解得； 小球垂直落在斜面上，有 解得 、之间的水平距离 解得。 综合提升练 1．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】D 【解析】AB．鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有 由于hM<hN，则tM<tN，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，故AB错误； CD．在水平方向有x=v0t，如图 过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确。 故选D。 2．（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】网球水平方向上做匀速直线运动，有 设球网高度为h，向下为正，则对斜向下发出的球，有 对斜向上发出的球，有 联立以上各式，可得 故选C。 3．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若小孩能接到球，则有， 联立解得 故选B。 4．（2025·甘肃·高考真题）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知，小球A和B碰撞过程中，水平方向上动量守恒，竖直方向上A球的竖直速度不变，设碰撞后A球水平速度为，B球水平速度为，则有 碰撞为完全弹性碰撞，则由能量守恒定律有 联立解得， 小球A在竖直方向上做匀加速直线运动，则有 解得 可知，碰撞后，小球A运动落地，则水平方向上有 解得 故选B。 5．（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 【答案】B 【解析】AB．根据平抛运动的规律可知，钢球在空中飞行时间为 钢球平抛初速度为，A错误，B正确； C．钢球撞击木板时速度方向与水平方向的夹角满足 可知，增大h，钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大，C错误； D．根据可知，减小h，钢球落点离桌边的水平距离x减小，D错误。 故选B。 6．（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 【答案】BD 【解析】AC．将初速度分解为沿PQ方向分速度和垂直PQ分速度，则有 ， 将重力加速度分解为沿PQ方向分速度和垂直PQ分速度，则有 ， 垂直PQ方向根据对称性可得重物运动时间为 重物离PQ连线的最远距离为 故AC错误； B．重物落地时竖直分速度大小为 则落地速度与水平方向夹角正切值为 可得 故B正确； D．从抛出到最高点所用时间为 则从最高点到落地所用时间为 轨迹最高点与落点的高度差为 故D正确。 故选BD。 7．（多选）（2024·江西·高考真题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为，末速度v沿x轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间t的关系，下列图像可能正确的是（） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】AC．小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即为定值，则有水平位移 故A正确，C错误； BD．小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则 ， 且最高点时竖直方向的速度为0，故B错误，D正确。 故选AD。 8．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $