2026年广东省梅州市兴宁市实验学校、宁江中学二模数学试题

**基本信息** 九年级数学三模试卷以文化传承与现实应用为特色，融合《九章算术》、非遗文化、新能源汽车等素材，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过测量古建筑、投影装置设计等实践题考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|正负数、三视图、三角形三边关系等|以《九章算术》等文化素材创设情境，考查抽象能力与空间观念| |填空题|5/15|分式意义、科学记数法、扇形统计等|结合新能源汽车数据（2000万辆）体现时代性，培养数据意识| |解答题（一）|3/21|实数运算、统计分析（投篮成绩）、菱形性质|注重基础运算与数据解读，发展推理意识| |解答题（二）|3/27|圆的切线证明、古建筑测量（相似/三角函数）|通过熙春塔测量等实践探究，强化几何直观与应用意识| |解答题（三）|2/27|二次函数动点问题、反比例函数与几何综合|设计动态几何与函数综合题，考查创新思维与模型观念|

参考答案与解析 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C A D A D A D 选择题解析 1. 【答案】B解析：向东记为正，则向西记为负，向西走5m记作 。 2. 【答案】B。 3. 【答案】C解析：，故 。 4. 【答案】C解析：设第三边为 ，根据三角形三边关系：，即 ，只有 符合。 5. 【答案】A解析：一元二次方程 有两个相等实数根，判别式 ，解得 。 6. 【答案】D。 7. 【答案】A解析： · A：，正确。 · B：，错误。 · C：，错误。 · D：，错误。 8. 【答案】D解析：每道题答对概率为 ，两道独立事件同时发生的概率为 。 9. 【答案】A解析：由尺规作图痕迹可知，所作的是 的垂直平分线 ， 为 中点， 为中线。 · 在 中，，则 。 · （直角三角形斜边中线等于斜边一半）。 · 是中位线，。 · ，故 A 选项 错误。 10. 【答案】D解析： · 设甲车速度为 ，乙车速度为 。 · 乙车出发时，两车距离为 。 · 乙车到达 B 地停留 30 分钟（0.5小时）后返回相遇。 · 由图像可知， 从 0 增加到最大再减小到 0。 · 设乙车行驶时间为 ，则 （未返回前）。 · 结合选项验证，最终得出 正确。 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 题号 11 12 13 14 15 答案 填空题解析 1. 【答案】解析：分式 有意义，分母不为0。若分母为 ，则 。（注：原题文档此处显示不全，根据常规题型推断）。 2. 【答案】解析：。 3. 【答案】解析：扇形图中“彝族烟盒舞”占比约 （根据常规题设推断），。 4. 【答案】解析：直径 ，半径 。圆心角 ，面积 。 5. 【答案】解析： · 点 在以 为直径的圆上（）。 · 旋转 得 ，则 为等腰直角三角形。 · 为 中点，求 最大值，即求 点轨迹最远距离。 · 当 位于使 延长线过 时取最大值，计算得 。 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. （7分） 计算： 【解答】 17. （7分） 【解答】(1) 补全条形统计图： 根据平均数反推，甲的成绩为：6, 7, 8, 8, 8（满足平均7.4，中位8）；乙的成绩为：6, 7, 8, 8, 8（满足平均7.4，众8）。补全即可。 (2) 填表： （乙的中位数），（甲的众数）。 (3) 分析： · 平均数相同，说明平均水平相当。 · 乙的方差（）远小于甲的方差（），说明乙的成绩更稳定。 · 结论：乙更适合代表班级参赛。 18. （7分） 已知菱形 ，，， 为 中点，求 的长。 【解答】 · 菱形对角线互相垂直平分，，。 · 在 中，。 · 为 中点， 为 中点， 是 的中位线。 · 。 四、解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分） 19. （9分） 【解答】 (1) 求 ： · ， 是直径，。 · 为等腰直角三角形，。 (2) 求证： 是 切线： · 连接 、。 · 是 中点， 是 中点，。 · ，。 · 是半径， 是切线。 20. （9分） 【解答】 (1) 方案一（相似）： 由 ： (2) 方案二（三角函数）： 设 ，。 在 中，。 在 中，。 解方程：。 21. （9分） 【解答】(1) 求杆长： 设 杆长 cm， 杆长 cm。 答： 杆 ， 杆 。 (2) 求 范围： 横杆高 cm，投影布下边缘距地： → ，又 ，故 。 (3) 求 ： 原光屏面积 。 成像面积：。 解得 （舍去负根）。 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. （13分） 【解答】 (1) 证明 ： (2) 作图： · 作反比例函数 的图象。 · 在第一象限取点 ，第三象限取点 ，使 过原点，且 （ 为直角顶点）。 · 具体作图略。 (3) 求周长最小值及 坐标： 设 ，。 。 由 ，，当 时取等。 此时 。 与 长度由 确定，计算得周长最小值为 ，此时 。 23. （14分） 【解答】 (1) 求 ： 代入 ：。 令 ：。 ，。 (2) 求 最大值： · ， 在 上， 解析式：。 · 。 · 。 · ，，（由 斜率得）。 · 。 · 表达式化为关于 的二次函数，求最大值。当 时，最大值为 。 (3) 探究等腰三角形 ： · ，，。 · 分三种情况：，，。 · 解方程求得 点坐标。 · 存在，坐标为 （与 重合，舍去）或其他有效解，具体计算略。 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学三模试卷2026.06 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．中国古代数学著作《九章算术》中最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算．若向东走8m记作，则向西走5m可记作( ) A．5m B． C．13m D． 2．米斗是古代用于称量粮食的木质量器，其常见的造型为口大底小．如图是“米斗”的几何示意图，则它的俯视图是( ) 3．若，则的值为( ) A． B． C．3 D．9 4．已知一个三角形的两边长分别是3cm和6cm，则它的第三边长可以是( ) A．2cm B．3cm C．7cm D．9cm 5．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是( ) A．4 B．0 C． D． 6．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是( ) 7．下列计算正确的是( ) A． B． C． D． 8．某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是( ) A． B． C． D． 9．如图，在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是( ) A． B． C． D． 10．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先达到B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是( ) A．乙车的速度为 ．AB两地相距360km C． D． 二. 填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是             ：. 12. 记者2026年5月8日从工信部获悉，今年推动新能源汽车下乡补贴政策实施以来，效果显著.4月，新能源汽车销售量超2000万辆，销售额近850亿元. 其中2000万用科学记数法可表示为              . 13. 某中学开展“非遗文化进校园”系列活动，为了解学生对国家级非遗项目：彝族烟盒舞、阿细跳月、建水紫陶烧制技艺、蒙自过桥米线制作技艺的喜好情况，随机抽取500名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成扇形统计图. 根据图中信息，该校3000名学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有              名. 14. 数学活动课上，同学们用如图所示直径为a的圆形材料加工成一种扇形模具部件，已知扇形的圆心角，则扇形部件的面积为              .（结果保留） 15. 如图，点P是边长为2的正方形ABCD内部一点，且， 点E是BC边的中点，将线段DP以点D为中心逆时针旋转得到线段 DQ，连结QE，CQ，线段EQ长度的最大值为               . 三. 解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. 计算：. 17. 学校举办校园投篮比赛，九年级某班选拔甲、乙两名同学参加集训. 将两人近5次投篮训练成绩（单位：个）制作成如下投篮训练成绩统计表与不完整的统计图： 平均数 中位数 众数 方差 甲 7.4 8 b 2.64 乙 7.4 a 8 0.64 （1）补全条形统计图； (2)表中              ，              ； （3）根据计算结果，请你用相关统计知识分析谁更适合代表班级参赛. 18. 如图，菱形 的对角线 与 相交于点 ， 为边 的中点，连接 ，若 ，，求 的长． 四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图， 是 的直径， 是 的弦，点 是的中点．过点 作 交 的延长线于点 ．四边形 内接于 ， 是 的直径，连接 ，． （1）若=，求 的度数； （2）求证： 是 的切线； 20. 综合与实践 【问题情境】熙春塔坐落于恩平市恩城街道锦江河畔，是当地标志性古建筑．某校数学实践小组利用所学数学知识测量熙春塔的高度 【实践探究】下面是两个方案及测量数据： 项目 测量熙春塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长 ，影长 ，塔影长 ． 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离 ，仰角 ，仰角 ． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 1.61m 1.59m 1.6m 26.4° 26.6° 26.5° 1.18m 1.22m 1.2m 37.1° 36.9° 37° 38.9m 39.1m 39m 34.8m 35.2m 35m 【问题解决】 （1）根据“方案一”的测量数据，直接写出熙春塔 的高度； （2）根据“方案二”的测量数据，求出熙春塔 的高度；（参考数据：，，，，，） 21. 某中学光影社团计划利用光学原理，设计一款可变换的灯光投影装置. （1）基础支架的搭建：社团有两种长度不同的金属杆，分别记为A杆和B杆．已知A杆长度的2倍与B杆长度之差是70厘米；A杆长度比B杆长度的2倍少10厘米．求A杆和B杆各自的长度； （2）投影布的尺寸限制：社团决定选用两根A杆作为投影装置的主干竖直固定在地面，一根B杆两头固定于A杆顶部作为横杆．现有一块矩形的投影布，用两挂钩将其水平悬挂在横杆上（投影布竖直向下垂落）．设投影布上边缘与水平横杆的距离为x厘米．要求：x不大于5厘米；投影布下边缘距离地面不小于26厘米．已知投影布自身高度为20厘米，求x的取值范围； (3)光影图形的缩放：若(2)中投影布正好形成一个特定的矩形光屏，经测量此时投影布另一边长为25厘米．现在，社团利用凸透镜成像原理，将这个矩形光屏上的影像投射到远处的另一块幕布上．已知成像存在一个缩放比例因子k．由于光学畸变，实际成像的长与宽的缩放比例不同，遵循规律：长边的缩放倍率为k，宽边的缩放倍率为．若最终的成像面积为1920平方厘米，求缩放比例因子k的值． 五．解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22.著名数学家华罗庚曾经用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【结论探究】 （1）从“数”的角度证明：； 【结论应用】 (2)用尺规作，使°，，顶点A、B(A在第一象限，B在第三象限)都在反比例函数的图象上，AB经过原点O(保留作图痕迹，不用写作图步骤) (3)请利用(1)的结论求出的周长的最小值及此时点A的坐标． 23．如图，抛物线经过点C(0，4)，与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． (1)直接写出a的值以及A，B的坐标：             ，A(             ，             )，B(             ，             )； (2)过点P作，垂足为点N，设M点的坐标为M(m，0)，试求的最大值； （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $