第九章　微点突破6　电场强度矢量叠加的几种特殊方法 讲义 -2027届高考物理一轮复习

该高中物理讲义聚焦高考电场强度矢量叠加核心考点，围绕等效法、对称法、填补法、微元法四种特殊方法系统梳理知识，通过考点解析、方法归纳、例题示范、真题演练的教学流程，帮助学生构建解题框架，突破矢量叠加计算难点。 资料以科学思维和模型建构为核心，创新采用“方法-例题-真题”递进式教学，如用填补法将半球面补全为球面简化电场分析，微元法拆分圆环电荷单元推导合场强，配合分层练习（基础例题到高考模拟题），有效培养学生推理与创新能力，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考效率。

　电场强度矢量叠加的几种特殊方法 目标要求　会用“等效法”“对称法”“填补法”“微元法”求几种特殊情景下的电场强度的矢量叠加。 1.等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。 例如：一个点电荷+q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的部分电场，如图甲、乙所示。 2.对称法 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化。 例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。 3.填补法 将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。 4.微元法 将带电体分成许多电荷单元，每个电荷单元看成点电荷，先根据库仑定律求出某个电荷单元产生的电场强度(一般为通式)，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度。 例1　如图甲、乙所示，半径相同的半圆环和的圆环带有同种电荷，电荷量之比为1∶3，环上电荷分布均匀且环的粗细可忽略不计。图甲中圆心处的电场强度大小为E，图乙中圆心处的电场强度大小为(　　) A.E B.E C.E D.E 答案　A 解析　题图甲可以分成两个的圆环，而这两个圆环分别在圆心产生的电场强度成90°夹角，合电场强度为E，根据平行四边形定则，单个圆环在圆心产生的电场强度大小为E，题图乙中圆环在圆心产生的电场强度可以等效为三个的圆环在圆心产生的合电场强度，而关于圆心对称的两个圆环在圆心的合电场强度为零，所以合电场强度等于剩余一个圆环在圆心产生的电场强度，但题图乙中一个圆环带电荷量是题图甲的2倍，故题图乙中圆心处的电场强度大小为E。故选A。 例2　(来自教材改编)如图所示，电荷量为q的点电荷与均匀带电薄板相距3d，水平虚线垂直薄板且过板的几何中心，虚线上P、Q两点到板的距离均为d。已知P点电场强度为0，静电力常量为k，则Q点电场强度大小为(　　) A.k B.k C.k D.0 答案　A 解析　由已知条件可得薄板与点电荷在P点的电场强度等大反向，则薄板在P点的电场强度大小E1==，根据对称性可知薄板在Q点的电场强度大小E2=E1=，方向与在P点的电场强度相反，则Q点电场强度大小为EQ=+=k，故选A。 例3　(2025·江苏南京市模拟)如图所示，一些负电荷在半球面ACB上均匀分布，球面半径为R，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线。P、M、O'均为CD上的点，P、M关于O点对称，PM=MO'=R，在O'点固定负点电荷-Q。已知P点的电场强度方向指向C点，大小为，静电力常量为k，已知带电均匀的封闭球壳内部电场强度处处为零，则M点的电场强度大小及方向为(　　) A.0 B.，指向O'点 C.，指向O点 D.，指向O'点 答案　D 解析　点电荷-Q在P点产生电场强度大小为E=k=k，方向水平向右，由于P点的电场强度大小为，方向指向C点，则半球在P点产生的电场强度大小为E'=k+E=k，方向水平向左。把圆心在O点的半球壳变成一个均匀带负电荷的完整球壳，球壳内部电场强度处处为零，则右半球在P点产生的电场强度大小为k，方向水平向右，根据对称性可知，左半球在M点产生的电场强度大小为k，方向水平向左，点电荷在M点产生的电场强度大小为E″=k，方向水平向右。所以M点的合电场强度大小为EM=k-k=k，方向水平向右即指向O'点，故选D。 例4　(2025·江苏丹阳市一模)如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面，金属环均匀带电，带电量为Q，一长为L=2R的绝缘细线一端固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电量为q(未知)的金属小球(可视为质点)。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P'(图中未画出)是点P关于圆心O对称的点。已知静电力常量为k，重力加速度为g，若取无穷远的电势为零。求： (1)P'点电场强度大小； (2)金属带电小球的电量。 答案　(1)+　(2) 解析　(1)(2)设细线与半径的夹角为θ，由几何关系cos θ==，θ=60° 金属环均匀带电，将金属圆环无限划分，每一极小段带电量为Δq，则每一极小段带电量Δq在P点处电场强度的水平分量为ksin θ=ΔE 则金属圆环在P点处电场强度的水平分量 EP=∑ΔE=∑ksin θ，其中∑Δq=Q 联立解得EP= 对金属带电小球进行受力分析， 可得qEP=mgtan θ 解得金属带电小球的电量q= 设r为P、P'两点之间的长度，由几何关系得r=2R 带电金属小球在P'处的电场强度大小 E1=k=k= 根据对称性可知，带电量为Q的金属环，在P、P'两点的电场强度大小相等，方向相反，即带电量为Q的金属环在P'点的电场强度大小为，而P'点的电场强度大小是金属圆环与带电金属小球在P'处的电场强度的叠加，则有EP+E1=+。 1.(2025·江苏省苏锡常镇二模)三根相同长度的绝缘均匀带电棒组成等边三角形，带电荷量分别为-Q、+Q和+，其中一根带电荷量为+Q的带电棒在三角形中心O点产生的电场强度大小为E，则O点的合电场强度大小为(　　) A. B.E C.E D. 答案　A 解析　+Q和-Q在O点的合电场强度大小为E1=2Ecos 30°=E，三个棒在O点的合电场强度大小为E合==E，故选A。 2.半径为R的绝缘圆环固定放置，圆心为O，圆环上均匀分布着电荷量为Q的负电荷。如图所示，在A、B两处分别取走弧长为Δx(Δx≪R)的圆弧，圆环上剩余电荷的分布不变，C1、C2分别是A、B间两段圆弧的中点，已知∠AOB=60°，静电力常量为k，则圆环上剩余电荷在O点产生的电场强度的大小和方向为(　　) A.，由O指向C2 B.，由O指向C1 C.，由O指向C2 D.，由O指向C1 答案　A 解析　假设把取走的电荷放置到原位置，A、B两处的电荷分别在O点产生的电场强度大小均为E1=，A、B两处的电荷在O点产生的合电场强度大小为E2=2E1cos 30°，方向由O指向C1，此时整个圆环在O点的合电场强度为0，则圆环上剩余的电荷在O点产生的合电场强度的大小为E3=E2=，方向由O指向C2，故选A。 3.(2024·河北卷·7)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为(　　) A. B.(6+) C.(3+1) D.(3+) 答案　D 解析　B点和C点的点电荷在M的合电场强度大小为E=2cos 60°=，方向向上，由M点的电场强度为零，故带电细杆在M点的电场强度大小EM=E=，方向向下，由对称性可知带电细杆在A点的电场强度大小为EA=EM=，方向向上，因此A点合电场强度大小为E合=EA+2cos 30°=(3+)，故选D。 4.(2025·江苏扬州市检测)如图所示，两个固定的半径均为r的细圆环同轴放置，O1、O2分别为两细圆环的圆心，且O1O2=2r，两圆环分别带有均匀分布的等量异种电荷+Q、-Q(Q>0)。一带正电的粒子(重力不计)从O1由静止释放。静电力常量为k。下列说法正确的是(　　) A.O1O2中点处的电场强度大小为 B.O1O2中点处的电场强度大小为 C.粒子在O1O2中点处动能最大 D.粒子在O2处动能最大 答案　A 解析　把圆环上每一个点都看成一个点电荷，则每个点电荷的电荷量为q=，根据点电荷电场强度公式，点电荷在O1O2中点的电场强度大小为E=，根据电场的叠加原理，单个圆环在O1O2中点的电场强度大小为E=cos 45°，两个圆环在O1O2中点的合电场强度大小为E总=，故A正确，B错误；带电粒子从O1点开始由静止释放，在粒子从O1向O2的运动过程中，两圆环对粒子的作用力皆向左，可见电场对带电粒子做正功，故粒子在O1O2中点处动能不是最大，故C错误；根据电场叠加原理，在O2左侧电场强度方向先向左后向右，因此粒子到达O2左侧某一点时，速度最大，动能最大，在这以后向左运动的速度开始减小，动能也减小，故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $